micro1prova1_1_2009SOL

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Soluc¸a˜o da Primeira prova de Microeconomia 1
Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia
Bras´ılia, maio de 2009
Questa˜o 1 (20 pontos): Verdadeiro ou falso (justifique ambos os casos sucintamente):
a) A hipo´tese de taxa marginal de substituic¸a˜o decrescente significa que o consumidor prefere diversificac¸a˜o
a` especializac¸a˜o no consumo.
R: Verdadeiro. Taxa marginal de substituic¸a˜o decrescente implica curvas de indiferenc¸a convexas com
relac¸a˜o a` origem. Um mapa de indiferenc¸a com esse formato representa prefereˆncias bem comportadas,
em particular, prefereˆncias convexas. A hiopo´tese de convexidade das prefereˆncias esta´ associada ao con-
sumidor preferir diversificar o consumo.
b) O n´ıvel de utilidade de um consumidor na˜o varia ao longo da curva de demanda Marshalliana desse
consumidor.
R: Falso. A utilidade do consumidor varia ao longo da curva de demanda. Em particular, quanto maior o
prec¸o do bem, menor sera´ a utilidade associada ao ponto da curva de demanda.
c) A func¸a˜o de demanda de um consumidor e´ decrescente, exceto se o efeito renda e o efeito substituic¸a˜o
ocorrem em sentidos contra´rios.
R: Falso. Pode ocorrer que o efeito renda e o efeito substituic¸a˜o tenham sentidos contra´rios, mas que o
bem na˜o seja de Giffen (bem inferior que na˜o e´ bem de Giffen).
d) E´ imposs´ıvel que para um mesmo consumidor as elasticidades prec¸o e renda de um determinado bem
sejam ambas positivas.
R: Verdadeiro. Se a elasticidade renda de um consumidor e´ positiva, enta˜o o bem e´ normal. Portanto,
a equac¸a˜o de Slutsky mostra que esse bem na˜o pode ser de Giffen, ou seja, sua elasticidade prec¸o e´
necessariamente negativa.
e) Se um aumento de sala´rio reduz o tempo dedicado ao lazer (ou seja, aumenta o tempo dedicado ao
trabalho), enta˜o lazer e´ um bem inferior.
R: Falso. A equac¸a˜o de Slutsky para o caso de lazer, onde o consumidor e´ ofertante de trabalho (ou seja,
vendedor l´ıquido de lazer), mostra que lazer pode ser tanto um bem inferior como um bem normal nesse
caso.
Questa˜o 2 (20 pontos): Suponha que a utilidade de Rafael seja u(x1, x2) = x
0,2
1 x
0,8
2 , onde x1 e´ a
quantidade de alimentos que Paulo consome e x2 e´ a quantidade de todos os outros bens que Paulo
consome (um bem composto, portanto). Suponha que o prec¸o do bem 2 e´ p2 = 1.
a) Se a renda de Rafael e´ R$1000 e o prec¸o de x1 e´ R$2, qual e´ o consumo de alimentos de Rafael?
R: O problema do consumidor para essa func¸a˜o de utilidade e´:
max
x1,x2
x0,21 x
0,8
2 s.a.p1x1 + p2x2 = m
O Langrageano do problema e´:
L = x0,21 x0,82 + λ (m− p1x1 − p2x2)
as CPOs sa˜o: 
0, 2x−0,81 x
0,8
2 = λ
∗p1
0, 8x0,21 x
−0,2
2 = λ
∗p2
p1x1 + p2x2 = m
1
Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:
x2
4x1
=
p1
p2
⇒ x2 = 4p1
p2
x1
Substituimos agora essa expressa˜o para x2 na reta orc¸amenta´ria (terceira CPO):
m = p1x1 + p2
(
4
p1
p2
x1
)
⇒ x1 = 1
5
m
p1
E portanto substituindo x1 de volta em x2, temos que as func¸o˜es de demanda sa˜o dadas por:
Resolvendo o problema acima, encontramos:
x1(p1, p2,m) =
1
5
(
m
p1
)
e x2(p1, p2,m) =
4
5
(
m
p2
)
Para os valores dados, temos que a demanda por alimentos de Rafael e´ x∗1 = 100 (e x
∗
2 = 800).
b) Se o prec¸o de x1 duplicar, qual sera´ o novo consumo de alimentos de Rafael?
R: O novo consumo de x1 de Rafael sera´ 50 nesse caso. O consumo de x2 sera´ x2 = 800.
c) Suponha agora que o governo resolve subsidiar alimentos, mantendo o prec¸o igual a R$2 - ou seja,
concendendo um subs´ıdio de R$2 por unidade de consumida de x1. Se o governo financia esse subs´ıdio por
meio da cobranc¸a de um imposto sobre a renda, qual e´ o novo n´ıvel de consumo de x1 de Rafael?
R: Se a relac¸a˜o de prec¸os volta a ser a antiga, o equil´ıbrio do consumidor volta a satisfazer no o´timo a
relac¸a˜o de taxa marginal de subsitutic¸a˜o entre os bens igual aos prec¸os relativos, ou seja,
x∗2
4x∗1
= p1
p2
= 2
1
, ou
seja, x∗2 = 8x
∗
1. A nova restric¸a˜o orc¸amenta´ria e´:
2x1 + x2 = mˆ,
onde mˆ = m− 2x1 = 1000− 2x1. Sabendo que x∗2 = 8x∗1 no o´timo, obtemos que o seguinte sistema:
10x1 = mˆ e mˆ = m− 2x1 ⇒ mˆ = 5
6
m =
5
6
1000
Enta˜o as novas demandas sa˜o:
x∗∗1 =
500
6
e x∗∗2 =
2000
3
d) Construa um diagrama comparando as situac¸o˜es em b) e c) e mostre em qual situac¸a˜o o consumidor
esta´ melhor.
R: O diagrama esta´ representado na figura abaixo. O ponto E e´ o equil´ıbrio inicial. Quando o prec¸o do
bem 1 aumenta, o equil´ıbrio se desloca para o ponto Eˆ. Quando o governo adota o subs´ıdio, a restric¸a˜o
orc¸amenta´ria volta a ter a mesma inclinac¸a˜o de antes, pore´m ela se encontra a esquerda da restric¸a˜o
orc¸amenta´ria original, ja´ que o governo taxa o indiv´ıduo para pagar o subs´ıdio (logo, o novo ponto de
o´timo de consumo no caso em que o governo adota o subs´ıdio, E˜, se encontra na intersec¸a˜o das duas
restric¸o˜es orc¸amenta´rias). Calculando a utilidade nos dois casos, temos que:
sem subs´ıdio : u(x∗1, x
∗
2) = 50
0,28000,8 = 459, 48
com subs´ıdio : u(x∗∗1 , x
∗∗
2 ) =
(
500
6
)0,2(
2000
3
)0,8
= 439, 84
Logo, o consumidor esta´ melhor na situac¸a˜o sem o subs´ıdio. Portanto, Rafael estaria melhor se o governo
na˜o interferisse no aumento de prec¸o do bem 1.
2
6
-
x2
x1
m
p2
m
p1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
sE
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
ee
m
pˆ1
ff
sEˆQQQ
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
s
E˜
Questa˜o 3 (20 pontos): Considere a func¸a˜o de utilidade dada por
u(x1, x2) = x
2
1x2,
onde x1 e x2 sa˜o as quantidades consumidas dos bens 1 e 2, respectivamente.
a) Calcule as func¸o˜es de demandas Marshallianas e a func¸a˜o de utilidade indireta.
R: O problema do consumidor para essa func¸a˜o de utilidade e´:
max
x1,x2
x21x2 s.a.p1x1 + p2x2 = m
O Langrageano do problema e´:
L = xα1x1−α2 + λ (m− p1x1 − p2x2)
As condic¸o˜es de primeira ordem (CPOs) desse problema sa˜o:
λ∗p1 = 2x1x2
λ∗p2 = x21
m = p1x1 + p2x2
Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:
x2
x1
=
p1
2p2
⇒ x2 = p1
2p2
x1
Substituimos agora essa expressa˜o para x2 na reta orc¸amenta´ria (terceira CPO):
m = p1x1 + p2
(
p1
2p2
x1
)
⇒ x1 = 2
3
m
p1
E portanto substituindo x1 de volta em x2, temos que as func¸o˜es de demanda sa˜o dadas por:
x1(p1, p2,m) =
2
3
m
p1
e x2(p1, p2,m) =
1
3
m
p2
A func¸a˜o de utilidade indireta e´:
v(p1, p2,m) =
4
27
(
m3
p21p2
)
3
b) Suponha que os prec¸os dos bens 1 e 2 sa˜o p1 = R$4 e p2 = R$2, respectivamente, e que a renda do
consumidor e´ R$90. Calcule a quantidade consumida de cada bem.
R: Usando as demandas derivadas no item acima, obtemos:
x∗1 =
2
3
90
4
= 15 e x∗2 =
1
3
90
2
= 15
c) Calcule as elasticidades prec¸o e renda do bem 1. Se a renda aumentar em 10%, voceˆ pode dizer o que
ocorre com o consumo do bem, sem ter conhecimento do valor original da renda?
R: As elasticidades do bem 1 sa˜o:
�11 =
p1
x1
∂x1
∂p1
= − p12
3
m
p1
2
3
m
p21
= −1
η1 =
m
x1
∂x1
∂m
=
m
2
3
m
p1
2
3
1
p1
= 1
Se a renda aumentar em 10%, enta˜o o consumo do bem 1 aumentara´ em 10%.
d) Suponha que os prec¸os dos bens e a renda sa˜o como dados no item b). Calcule a variac¸a˜o no excedente
do consumidor no caso em que o prec¸o do bem 2 aumenta para R$4.
R: A variac¸a˜o no EC e´:
∆EC =
∫ 2
4
x2(p1, p2,m)dp2 = −
∫ 4
2
1
3
90
p2
dp2 = −30[ln(4)− ln(2)] = −20, 79.
Questa˜o 4 (20 pontos): Suponha que a func¸a˜o utilidade indireta de um consumidor e´ dada por:
v(p1, p2,m) = 50
[
1
p
1/2
1p2
]2/3
m.
a) Encontre as func¸o˜es de demanda Marshallianas dos dois bens e as frac¸o˜es da renda gastas com cada
bem.
R: Pela identidade de Roy, temos que:
xM1 (p1, p2,m) = −
∂v(p1,p2,m)
∂p1
∂v(p1,p2,m)
∂m
= −50(−2/3)(p
1/2
1 p2)
−2/3−1m(1/2)p−1/21 p2
50(p
1/2
1 p2)
−2/3
=
m
3p1
,
xM2 (p1, p2,m) = −
∂v(p1,p2,m)
∂p2
∂v(p1,p2,m)
∂m
= −50(−2/3)(p
1/2
1 p2)
−2/3−1mp1/21
50(p
1/2
1 p2)
−2/3
=
2m
3p2
.
As frac¸o˜es da renda gastas com cada bem sa˜o:
s1 =
p1x
M
1 (p1, p2,m)
m
=
1
3
e s2 =
p2x
M
2 (p1, p2,m)
m
=
2
3
.
b) Encontre a func¸a˜o dispeˆndio desse consumidor. Use o lema de Shephard para encontrar as demandas
Hicksianas dos dois bens.
R: Usando a relac¸a˜o de dualidade v(p1, p2, e(p1, p2, u)) = u obtemos:
v(p1, p2, e(p1, p2, u)) = 50
[
1
p
1/2
1 p2
]2/3
e(p1, p2, u) = u ⇒ e(p1, p2, u) = 1
50
p
1/3
1 p
2/3
2 u.
4
Usando o Lema de Shephard, encontramos as demandas Hicksianas:
xh1(p1, p2, u) =
∂e(p1, p2, u)
∂p1
=
1
150
p
−2/3
1 p
2/3
2 u
xh2(p1, p2, u) =
∂e(p1, p2, u)
∂p2
=
1
75
p
1/3
1 p
−1/3
2 u
c) Usando os resultados de a) e b), verifique a equac¸a˜o de Slutsky para o bem x1.
R: Derivando a demanda Marshallina e a demanda Hicksiana para o bem 1, em relac¸a˜o ao seu prec¸o, e
derivando a demanda Marshalliana desse bem em relac¸a˜o a renda, obtemos:
∂xM1 (p1, p2,m)
∂p1
= − m
3p21
∂xh1(p1, p2, u)
∂p1
= − 1
225
p
−5/3
1 p
2/3
2 u
∂xM1 (p1, p2,m)
∂m
=
1
3p1
Enta˜o:
∂xh1(p1, p2, v(p1, p2,m))
∂p1
− xM1 (p1, p2,m)
∂xM1 (p1, p2,m)
∂m
= − 1
225
p
−5/3
1 p
2/3
2 50
[
1
p
1/2
1 p2
]2/3
m− m
3p1
(
1
3p1
)
= −2m
9p21
− m
9p21
= − m
3p21
=
∂xM1 (p1, p2,m)
∂p1
.
Questa˜o 5 (20 pontos): Suponha que existam apenas 3 bens e que um certo indiv´ıduo escolhe as cestas
xi = (xi1, x
i
2, x
i
3) aos prec¸os p
i = (pi1, p
i
2, p
i
3), i = 0, 1, 2 (logo, existem treˆs observac¸o˜es de consumo desse
indiv´ıduo), onde
p0 =
 11
2
 x0 =
 519
9

p1 =
 11
1
 x1 =
 1212
12

p2 =
 12
1
 x2 =
 2711
1
 .
(a) Mostre que essas observac¸o˜es satisfazem o Axioma Fraco da prefereˆncia revelada.
(b) Mostre que essas observac¸o˜es na˜o satisfazem o Axioma Forte da prefereˆncia revelada.
R: A tabela abaixo, com os custos de cada cesta para cada situac¸a˜o de prec¸o, mostra que a cesta 0 foi
revelada preferida a` cesta 2 (x0Rpx2), a cesta 1 foi revelada preferida a` cesta 0 (x1Rpx0), e que a cesta 2
foi revelada preferida a` cesta 1 (x2Rpx1). Portanto na˜o ocorre violac¸a˜o do AFrPR, mas ocorre violac¸a˜o do
AFoPR, pois a prefereˆncia revelada e´ intransitiva (x1Rpx0, x0Rpx2, mas na˜o ocorre (x1Rpx2).
Cesta Obs 0 Cesta Obs 1 Cesta Obs 2
Prec¸os Obs 0 42 48 40(*)
Prec¸os Obs 1 33(*) 36 39
Prec¸os Obs 2 52 48(*) 50
5