micro1prova1_1_2011SOL

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Soluc¸a˜o da Primeira prova de Microeconomia 1
Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia
Questa˜o 1 (25 pontos): Verdadeiro ou falso (justifique ambos os casos sucintamente):
a) Defina bem normal e bem inferior. Mostre graficamente como a demanda de ambos os tipos de bens
reagem a uma mudanc¸a na renda.
S: Um bem normal e´ um bem em que o consumo aumenta (diminui) quando a renda aumenta
(diminui), um bem inferior e´ um bem em que o consumo diminui (aumenta) quando a renda aumenta
(diminui). Ou seja,
Bem Normal:
∂xM
∂m
> 0, Bem Inferior:
∂xM
∂m
< 0
Graficamente, temos que (outra representac¸a˜o gra´fica correta para a questa˜o e´ por meio de curvas
de Engel):
6
-
prec¸o
quantidade
@
@
@
@
@
@
@
@@
Bem Normal
�
��
@
@
@
@
@
@
@
@@��	
@
@
@
@
@
@
@@
Bem Inferior
b) Quando todas as elasticidades-renda sa˜o iguais e constantes, elas devem ser todas iguais a 1.
S: Verdadeiro. Temos que a seginte relac¸a˜o e´ va´lida: “Todas as elasticidades-renda somam um,
quando ponderadas pela frac¸a˜o da renda gasta em cada bem”. Portanto,
s1η1 + s2η2 + · · ·+ snηn = 1
Se todas as elasticidades sa˜o iguai e constantes, η1 = η2 = · · · = ηn = η̂, enta˜o:
1 = s1η1 + s2η2 + · · ·+ snηn = s1η̂ + s2η̂ + · · ·+ snη̂ = η̂(s1 + s2 + · · ·+ sn)
Como s1 + s2 + · · ·+ sn = 1, enta˜o η̂ = η1 = η2 = · · · = ηn = 1.
c) Se lazer e´ um bem inferior, enta˜o a curva de oferta de trabalho e´ positivamente inclinada.
S: Verdadeiro. A equac¸a˜o de Slutsky para o caso de renda endo´gena diz que:
∂lM
∂w
=
∂lh
∂w︸︷︷︸
<0
+
∂l
∂m
(H − l)︸ ︷︷ ︸
<0
< 0,
onde l e´ a demanda por lazer, H e´ a dotac¸a˜o de tempo do indiv´ıduo, e w e´ o sala´rio. Como a oferta
de trabalho e´ o negativo da demanda por lazer (T = H − l, onde T representa a oferta de trabalho
do indiv´ıduo), temos que:
∂TM
∂w
= −∂l
M
∂w
= −
 ∂lh
∂w︸︷︷︸
<0
+
∂l
∂m
(H − l)︸ ︷︷ ︸
<0
 > 0
Portanto, se lazer e´ um bem inferior, enta˜o a oferta de trabalho necessariamente aumenta quando o
sala´rio aumenta.
1
d) Em um modelo de dois per´ıodos, se o consumidor poupa recursos, enta˜o um aumento na taxa de
juros necessariamente melhora o seu bem-estar.
S: Verdadeiro. Se o indiv´ıduo esta´ poupando, e a taxa de juros sobe, enta˜o, usando um argumento
de prefereˆncia revelada, podemos mostrar que necessariamente o seu bem-estar melhora, como o
gra´fico abaixo ilustra. O aumento da taxa de juros modifica a restric¸a˜o intertemporal do indiv´ıduo,
tornando mais caro tomar emprestado e mais vantajoso poupar. Como o indiv´ıduo ja´ revelou que na
situac¸a˜o inicial prefere poupar (esta´ escolhendo, por exemplo, uma cesta de consumo intertemporal
como B representada na figura abaixo), enta˜o o aumento da taxa de juros elimina escolhas que foram
reveladas piores e cria escolhas que permitem o consumidor aumentar o seu bem-estar (no caso da
utilidade que gera as curvas de indiferenc¸a representadas no gra´fico, no ponto A o consumidor obte´m
o mais alto n´ıvel de satisfac¸a˜o na nova situac¸a˜o, maior do que o n´ıvel de satisfac¸a˜o inicial).
6
-
c2
c1
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
JJ
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
rA
rB
���
���rm2
m1
e) Para um bem normal, a demanda Marshalliana e´ mais inclinada do que a demanda Hicksiana. Entre-
tanto, para um bem inferior, a demanda Hicksiana e´ mais inclinada do que a demanda Marshalliana.
S: Verdadeiro. A equac¸a˜o de Slutsky diz que:
∂xMi (p,m)
∂pi
=
∂xhi (p, u
∗)
∂pi
− xMi (p,m)
∂xMi (p,m)
∂m
Se o bem e´ normal, enta˜o:
∂xMi (p,m)
∂pi
=
∂xhi (p, u
∗)
∂pi
−xMi (p,m)
∂xMi (p,m)
∂m︸ ︷︷ ︸
<0
<
∂xhi (p, u
∗)
∂pi
Se o bem e´ inferior, enta˜o:
∂xMi (p,m)
∂pi
=
∂xhi (p, u
∗)
∂pi
−xMi (p,m)
∂xMi (p,m)
∂m︸ ︷︷ ︸
>0
>
∂xhi (p, u
∗)
∂pi
Enta˜o, a demanda Marshalliana e´ mais inclinada do que a demanda Hicksiana no caso de um bem
normal e menos inclinada no caso de um bem inferior (lembre-se que essas derivadas sa˜o negativas).
2
Questa˜o 2 (25 pontos): Suponha que existam apenas 3 bens e que um certo indiv´ıduo escolhe as cestas
xi = (xi1, x
i
2, x
i
3) aos prec¸os p
i = (pi1, p
i
2, p
i
3), i = 1, 2, 3 (logo, existem treˆs observac¸o˜es de consumo desse
indiv´ıduo), onde:
Observac¸a˜o 1: p1 = (1, 1, 2), x1 = (5, 19, 9)
Observac¸a˜o 2: p2 = (1, 1, 1), x2 = (12, 12, 12)
Observac¸a˜o 3: p3 = (1, 2, 1), x3 = (27, 11, 1)
a) Mostre que essas observac¸o˜es satisfazem o Axioma Fraco da prefereˆncia revelada.
b) Mostre que essas observac¸o˜es na˜o satisfazem o Axioma Forte da prefereˆncia revelada.
S: (itens a) e b) juntamente) A tabela abaixo, com os custos de cada cesta para cada situac¸a˜o de prec¸o,
mostra que a cesta 1 foi revelada preferida a` cesta 3 (x1 �RD x3), a cesta 2 foi revelada preferida
a` cesta 1 (x2 �RD x1), e que a cesta 3 foi revelada preferida a` cesta 2 (x3 �RD x2). Portanto na˜o
ocorre violac¸a˜o do AFrPR, ja´ que sempre que temos que a cesta x e´ revelada diretamente preferida
a` cesta y, na˜o ocorre que a cesta y seja revelada diretamente preferida a` cesta x:
• x1 �RD x3 mas na˜o ocorre x3 �RD x1;
• x2 �RD x1 mas na˜o ocorre x1 �RD x2;
• x3 �RD x2 mas na˜o ocorre x2 �RD x3;
Logo, as observac¸o˜es satisfazem o AFrPR. Pore´m as observac¸o˜es acima na˜o satisfazem o AFoPR,
ja´ que a prefereˆncia revelada revelada e´ intransitiva: x2 �RD x1, x1 �RD x3 e x3 �RD x2. Mais
precisamente, segue de x2 �RD x1, x1 �RD x3 que x2 �RI x3 e como ocorre que x3 �RD x2, isso
caracteriza a violac¸a˜o do AFoPR.
Cesta Obs 1 Cesta Obs 2 Cesta Obs 3
Prec¸os Obs 1 42 48 40(*)
Prec¸os Obs 2 33(*) 36 39
Prec¸os Obs 3 52 48(*) 50
Questa˜o 3 (25 pontos): Considere a func¸a˜o de utilidade dada por
u(x1, x2) = x
2
1x2,
onde x1 e x2 sa˜o as quantidades consumidas dos bens 1 e 2, respectivamente.
a) Calcule as func¸o˜es de demandas Marshallianas e a func¸a˜o de utilidade indireta.
S: O problema do consumidor para essa func¸a˜o de utilidade e´:
max
x1,x2
x21x2 s.a. p1x1 + p2x2 = m
O Langrageano do problema e´:
L = xα1x1−α2 + λ (m− p1x1 − p2x2)
As condic¸o˜es de primeira ordem (CPOs) desse problema sa˜o:
λ∗p1 = 2x1x2
λ∗p2 = x21
m = p1x1 + p2x2
3
Dividindo a primeira CPO pela segunda CPO, obtemos:
x2
x1
=
p1
2p2
⇒ x2 = p1
2p2
x1
Substituimos agora essa expressa˜o para x2 na reta orc¸amenta´ria (terceira CPO):
m = p1x1 + p2
(
p1
2p2
x1
)
⇒ x1 = 2m
3p1
Substituindo x1 de volta em x2, temos que as func¸o˜es de demanda sa˜o:
x1(p1, p2,m) =
2m
3p1
e x2(p1, p2,m) =
m
3p2
A func¸a˜o de utilidade indireta e´:
v(p1, p2,m) = u(x1(p1, p2,m), x2(p1, p2,m)) =
(
2m
3p1
)2(
m
3p2
)
=
4
27
(
m3
p21p2
)
b) Suponha que os prec¸os dos bens 1 e 2 sa˜o p1 = R$ 4 e p2 = R$ 2, respectivamente, e que a renda do
consumidor e´ R$ 90. Calcule a quantidade consumida de cada bem.
S: Usando as demandas derivadas no item acima, obtemos:
x∗1 =
2× 90
3× 4 = 15 e x
∗
2 =
90
3× 2 = 15
c) Calcule as elasticidades prec¸o e renda do bem 1. Se a renda aumentar em 10%, voceˆ pode dizer o
que ocorre com o consumo do bem, sem ter conhecimento do valor original da renda?
S: As elasticidades do bem 1 sa˜o:
ε11 =
p1
x1
∂x1
∂p1
= − p12
3
m
p1
2
3
m
p21
= −1
η1 =
m
x1
∂x1
∂m
=
m
2
3
m
p1
2
3
1
p1
= 1
Se a renda aumentar em 10%, enta˜o o consumo do bem 1 aumentara´ em 10%.
d) Suponha que os prec¸os dos bens e a renda sa˜o como dados no item b). Calcule a variac¸a˜o no excedente
do consumidor no caso em que o prec¸o do bem 2 aumenta para R$ 4.
S: A variac¸a˜o no EC e´:
∆EC =
∫ 2
4
x2(p1, p2,m)dp2 = −
∫ 4
2
1
3
90
p2
dp2 = −30[ln(4)− ln(2)] = −20, 79O valor negativo indica que o aumento de prec¸o diminui o bem-estar do consumidor. O valor
moneta´rio dessa perda de bem-estar, medido pela variac¸a˜o do EC, e´ de R$ 20, 79.
Questa˜o 4 (25 pontos): Suponha que a func¸a˜o utilidade indireta de um consumidor e´ dada por:
v(p1, p2,m) = 50
[
1
p
1/2
1 p2
]2/3
m.
4
a) Encontre as func¸o˜es de demanda Marshallianas dos dois bens e as frac¸o˜es da renda gastas com cada
bem.
S: Pela identidade de Roy, temos que:
xM1 (p1, p2,m) = −
∂v(p1,p2,m)
∂p1
∂v(p1,p2,m)
∂m
= −50(−2/3)(p
1/2
1 p2)
−2/3−1m(1/2)p−1/21 p2
50(p
1/2
1 p2)
−2/3
=
m
3p1
,
xM2 (p1, p2,m) = −
∂v(p1,p2,m)
∂p2
∂v(p1,p2,m)
∂m
= −50(−2/3)(p
1/2
1 p2)
−2/3−1mp1/21
50(p
1/2
1 p2)
−2/3
=
2m
3p2
.
As frac¸o˜es da renda gastas com cada bem sa˜o:
s1 =
p1x
M
1 (p1, p2,m)
m
=
1
3
e s2 =
p2x
M
2 (p1, p2,m)
m
=
2
3
.
b) Encontre a func¸a˜o dispeˆndio desse consumidor. Use o lema de Shephard para encontrar as demandas
Hicksianas dos dois bens.
S: Usando a relac¸a˜o de dualidade v(p1, p2, e(p1, p2, u)) = u obtemos:
v(p1, p2, e(p1, p2, u)) = 50
[
1
p
1/2
1 p2
]2/3
e(p1, p2, u) = u ⇒ e(p1, p2, u) = 1
50
p
1/3
1 p
2/3
2 u.
Usando o Lema de Shephard, encontramos as demandas Hicksianas:
xh1(p1, p2, u) =
∂e(p1, p2, u)
∂p1
=
1
150
p
−2/3
1 p
2/3
2 u
xh2(p1, p2, u) =
∂e(p1, p2, u)
∂p2
=
1
75
p
1/3
1 p
−1/3
2 u
c) Usando os resultados de a) e b), verifique a equac¸a˜o de Slutsky para o bem x1.
S: Derivando a demanda Marshallina e a demanda Hicksiana para o bem 1, em relac¸a˜o ao seu prec¸o,
e derivando a demanda Marshalliana desse bem em relac¸a˜o a renda, obtemos:
∂xM1 (p1, p2,m)
∂p1
= − m
3p21
∂xh1(p1, p2, u)
∂p1
= − 1
225
p
−5/3
1 p
2/3
2 u
∂xM1 (p1, p2,m)
∂m
=
1
3p1
Enta˜o:
∂xh1(p1, p2, v(p1, p2,m))
∂p1
− xM1
∂xM1
∂m
= − 1
225
p
−5/3
1 p
2/3
2 50
[
1
p
1/2
1 p2
]2/3
m− m
3p1
(
1
3p1
)
= −2m
9p21
− m
9p21
= − m
3p21
=
∂xM1 (p1, p2,m)
∂p1
,
ou seja, a equac¸a˜o de Slutsky e´ va´lida, como esperado.
5