Semana 1 - Exercícios

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` a´lgebra linear - Turma B
Semana 1 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Matrizes, definic¸o˜es e operac¸o˜es entre matrizes. Propriedades.
Matriz Transposta. Exemplos de va´rios tipos de matrizes.
Sec¸o˜es dos livros:
• Steinbruch-Winterle, A´lgebra Linear: Apeˆndice de A.1 ate´ A.16
• Anton-Rorres, A´lgebra Linear com aplicac¸o˜es: 1.3 ,1.4 e 1.7.
Exerc´ıcios (Steinbruch-Winterle, A´lgebra Linear: Apeˆndice)
1) Exerc´ıcios na sec¸a˜o A.8.1 do livro:
• N. 1,2,3,4,5,8,9,10,12,13,15,16,17,18,21,22,25,28.
2) Exerc´ıcios na sec¸a˜o A.16.1 do livro:
• N. 1,3,4,6,7,8,10,11,18,19,20,24,25,26.
1
Motrizes. Determinantes. Sistema de equagóes lineares 393
Solugdo
Efetuando o produto AB, vem:
lg s l l+ " l [ ro+s'" en+aslAB=l t ' l l=l I
17 4J L* eJ lza*+* 7n+36)
Mas AB deve ser igual a I, isto é:
l-ro * s* en + 4s-l [t oll l=ll
l_zs + +'n 7n + 36) [o t_]
Pela definigào de igualdade de matrizes, deve-se ter:
3 6 + 5 m = l m = - 7
2 8 + 4 6 = g m = - 7
9 n + 4 5 = 0 n = - 5
7 n + 3 6 = l n = - 5
Para que B seja inversa de A, deve-se ter m = -'7 e n = -5.
De fato:
t-' sl [4 -sl fn]AB=l lx l l= l l - l
ú 4) [z '_j [o rJ
A.8.î ProblemasPropostos
Nos problemas de I a 3, calcular os valores de m e n
lguals.
l ) r=[,,:-'leB=[ 'l
para que as matrizes A e B sejam
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394 Àlgebro linear
"'lle B=L.: 'fr2)
I l. '=[; ,,.',,]3)
'l
,J
'l ,r=[' -7 'l t'-.J [o 4 l"=1,-lI
A -
-40
6
A -
Dadas as matrizes:
A -
4) Ca lcu la r A+B.
5) Ca lcu la r B+C.
6) Ca lcu la r A+C.
7) Ca lcu la r A-B.
8) Ca lcu la r A-C.
9) Ca lcu la r B-C.
10)
I l )
r2)
C a l c u l a r X = 4 A - 3 8 + 5 C .
Calcular X= 2B - 3A - 6C.
Calcular X= 4{ + 2A - 68.
Nos problemas 13 a 15, efetuar a multiplicagÍo das matrizes A e X.
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Matrizes. Determinantes. Sistemo de equagóes líneares 395
i].1
1s)
L, le
matrizes:
-z)
r l [ ' 3 -s -zlI B= l4l ' lo z -8 ' lel
13) 
^ =[:
'4, ^=[i
[ =
[ =
p =
2
3
5
-8
X 1
X2
X3
&
- 3 4
0 l
- 2 4
-9
Dadas as
, c=
1
3
7
5
1 7 3 - 8
-3 -l -l -3
4 1 9 0
3 2 - 3
Calcular AB.
Calcular (AB) D.
Calcular A(BD).
l6 )
t7)
l8)
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Algebra linear
Calcular BA.
Calcular (BA)C.
Calcular B (AC).
Nos problemas de 22 a26,verificar se a matriz B é inversa da matriz
396
le)
20)
2r)
A.
l',: | |il22) [-o'tA= l -0 ,5L-o,t
[ ],,, i,l
L-r r -o,sJ
^[l:j]
^= [; 
'u 'l [-' ' -Ì'-]
L,o _8 le 
B=[l:l -'u,, _i,,J
^[: : ;] ,[i : I
1l eB [1r i: i']
-1,5
-2.,5
-2
e B
$ =
23)
I
24)
25\
26) 0 4
2 8
2 -14
A _
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Matrízes. Determituntes. Sístema de equagóes líneares 397
Nos problernas 27 e 2S,calcular m e n para que amatriz27) r= L: l''=[; ",)
2 8 ) 
A - [ , 
: ] ' ' [ ; ]
B sejainversa da matriz A.
A.8.2 Respostas ou Roteiros para os Problemas Propostos
l . n = 5 e m = - 6
2 . m = j 9 e n = t 3
3 , x = 5
4 a 6. Roteiro: Esses problemas se resolvem de forma andoga à do problema 2 do item 4.8.
7 a 9. Roteiro: Esses problemas se resolvem de forma aneíloga à do problema 3 do item 4.8.
10a 12. Roteiro:Esses problemas se resolvem de forma aniíloga à do problema 4 do item 4.8.
-3xr + 4xz + Zxt + 8xa
x2 + 3x? -6xq
+ 4xz + 5xg - 1xq
- 9xz - 8xs + 6xq
13' 
AX=[ ' .-ut l
L-t* * o, )
14. l- xr t 2xz + :*rl
O* =l -2x1 .- 5x2 * ,*. I
L r*., + 9xz - t*r-l
-2xr
9 x r
1 5 .
A X =
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414 Àlgebra linear
['2 'l l' -,,-J l, '-, IE=AB l: ; :lx L: : ;l L: ; l']
A mattiz AB = E é uma matriz triangular superior.
12\ Calcular CD e classificar CD = F.
F
CD = F é uma matiztriangular inferior.
I l) Calcular AB e classificar a matúz AB = E.
Solugdo
Solugdo
F = C D =
A maftiz
A.1 6.1 Problemas Propostos
l) Determinar amaúiz AT tt.nsposta da matnz
lr 4 3 *lA=l t -7 o -21
L'-s 6 "J
Dadas as matrizes:
[ : : - ] h[ , -3-2 
- l f ,3, ]^=l-;:;l,u=l' 8 s nl'.=lr I -81
L' ',1 [o 6 3-'J L's -J
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Matrizes. Determinantes. Sistema de equagóes lineares 4 t 5
e D = [ :
[ :
Calcular (ng)r
0 3
l - 2
2 1
l 0
2
4
-5
2
2)
3)
4)
s)
6)
Calcular (ng) nr.
Calcular AlnOr;.
Calcular BTC.
z (nrgr) + 3cr.
Dadas as matrizes:
7) Classi f icar A+AT.
8) Classificar B+BT.
q) Chssi f icar A. AT.
l0) Classi f icar A-AT.
l l ) C lass i f i car B-BT.
tZ) Classificar C -Cr.
^[: ":l '[; 1l c[: ",j]
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>.
i::.,
$:
ti!
k
i
F .F.
i*:t'
416 Àtgebra lineor
D=[:, :l
'ql
A,[; :] "[:: i;]T)E -
Z,rft['lF
Dadas as matrizes:
, B =
\E t/î
33
tre ,re
3 6
tî
o - Y z2
H _
6
3
Calcular'AAT e classificar a matriz A.
Calcular BBT . classificar a matriz B.
Calcular CCT r classificar a matriz C.
5
I
T
^ [ 
: ]
++'.]
+ -1 +l
: -3 |
t:l 'I'[:] ,L
l3)
t4)
ls )
Matrizes. Determíruntes. Sistema de equagdes lineares 417
Calcular DDT e classificar a matriz D.
Calcular EET e classificu a matriz E.
Calcular pz e chssificar a matriz F.
Calcular G2 e classifìcar a matriz G.
Calcular H3 e classificar a matru H.
Calcular J2 e classifìcar amatrtz J.
Calcular L2 e classificu a matriz L.
Calcular M3 e classificar a matriz M.
Dadas as matrizes triangulares superiores (A e B) e inferiores (C e D):
[ t 2 8l f , -3 r l I t o olt t t l t la=lo | 2 I ,B=lo z - l I ,c= l - l 3 o let t l t l l
Lo o 4) Lr o 3J l2 -r 2)
f o o olt lo=l l - l o l
[-r -3 -, )
Calcular AB e classificar a matriz AB =E.
Calcular CD e classificar a matriz CD = F.
Dadas as matrizes diagonais:
f, o ol fo o olt t l lA=l o 7 ol "B=l o s ol
foo3J lo 6J
calcular AB e classificar ese produto.
l6)
t7)
t8)
le)
20)
2r)
22)
23)
24)
2s)
26)
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