Semana 7 - Exercícios

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` a´lgebra linear - Turma B
Semana 7 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Espac¸o-linha, espac¸o-coluna e espac¸o-nulo de una matriz. Posto
e nulidade de uma matriz. Transformac¸o˜es lineares. Definic¸a˜o e exemplos.
Sec¸o˜es dos livros:
• Steinbruch-Winterle, A´lgebra Linear: Cap´ıtulo 4 sec¸a˜o 1.
• Anton-Rorres, A´lgebra Linear com aplicac¸o˜es: 5.5, 5.6
Exerc´ıcios (Steinbruch-Winterle, A´lgebra Linear)
1) Exerc´ıcios na sec¸a˜o 4.8 do livro:
• N. 1,2,3,4,5,6.
2) Determine quais das seguintes transformac¸o˜es sa˜o lineares:
(1) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (z + y, x+ 2y);
(2) T : R2 → R4, T (x, y) = (x+ y, x+ 2y, x+ y, x+ y + 1);
(3) T : R2 → R3, T (x, y) = (x+ y, x+ y, 3);
(4) T : R3 → R4, T (x, y, z) = (x+ y, x+ 2y, x− y + z, x+ y − z);
(5) T : R3 → R4, T (x, y, z) = (xy, x+ 2y, x+ z, z + y);
(6) T : R3 → R4, T (x, y, z) = (x− y, x+ y, x+ y, x− 2y);
(7) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x+ y, xy, xz).
3) Determine se o vetor b esta´ no espac¸o-coluna da matriz A e, se estiver, expresse
b como combinac¸a˜o linear dos vetores coluna de A.
(i)
A =
�
1 3
4 −6
�
. b =
� −2
10
�
(ii)
A =
 1 1 21 0 1
2 1 3
 . b =
 −10
2

(iii)
A =
 1 −1 19 3 1
1 1 1
 . b =
 51
−1

(iv)
A =
 1 −1 11 1 −1
−1 −1 1
 . b =
 20
0

(v)
A =

1 2 0 1
0 1 2 1
1 2 1 3
0 1 2 2
 . b =

4
3
5
7

4) Encontre uma base para o espac¸o-nulo de A:
1
2
(i) A =
 1 −1 35 −4 −4
7 −6 2
 .
(ii) A =
 2 0 −14 0 −2
0 0 0
 .
(iii) A =
 1 4 5 22 1 3 0
−1 3 2 2
 .
(iv) A =

1 4 5 6 9
3 −2 1 4 −1
−1 0 −1 −2 −1
2 3 5 7 8
 .
(v) A =

1 −3 2 2 1
0 3 6 0 −3
2 −3 −2 4 4
3 −6 0 6 5
−2 9 2 −4 −5
 .
5)
(a) Para as matrizes do Exerc´ıcio 4), encontre uma base do espac¸o-linha de A
reduzindo a matriz com eliminac¸a˜o gaussiana.
(b) Para as matrizes do Exerc´ıcio 4), encontre uma base do espac¸o-coluna de A.
(c) Para as matrizes do Exerc´ıcio 4), encontre uma base do espac¸o-linha de A
consistindo totalmente de vetores linha de A.
(d) Para as matrizes do Exercc´ıcio 4), encontre posto e nulidade de A. Logo
verifique que os valores obtidos satisfazem o teorema da dimensa˜o.
Soluc¸o˜es de :
2)
(1) sim;
(2) na˜o;
(3) na˜o;
(4) sim;
(5) na˜o;
(6) sim;
(7) na˜o.
3) Determine se o vetor b esta´ no espac¸o-coluna da matriz A e, se estiver, expresse
b como combinac¸a˜o linear dos vetores coluna de A.
(i)
b =
� −2
10
�
=
�
1
4
�
−
�
3
−6
�
(ii) b na˜o esta´ no espac¸o-coluna de A.
3
(iii)
b =
 51
−1
 =
 19
1
− 3
 −13
1
+
 11
1

(iv)
b =
 20
0
 =
 11
−1
+ (t− 1)
 −11
−1
+ t
 1−1
1

(v)
b =

4
3
5
7
 = −26

1
0
1
0
+ 13

2
1
2
1
− 7

0
2
1
2
+ 4

1
1
3
2

4) Encontre uma base para o espac¸o-nulo de A:
(i)
 1619
1
 .
(ii)
 10
2
 ,
 01
0
 .
(iii)

−1
−1
1
0
 ,

2
−4
0
7

(iv)

−1
−1
1
0
0
 ,

−2
−1
0
1
0
 ,

−1
−2
0
0
1

(v)

−2
0
0
1
0
 ,

−16
2
5
0
12

5)
(a) (i)
(1,−1, 3), (0, 1,−19);
(ii)
(1, 0,−1
2
);
(iii)
(1, 4, 5, 2), (0, 1, 1,
4
7
);
(iv)
(1, 4, 5, 6, 9), (0, 1, 1, 1, 2);
4
(v)
(1,−3, 2, 2, 1), (0, 1, 2, 0,−1), (0, 0, 1, 0,− 5
12
).
(b) (i)
 15
7
 ,
 −1−4
−6

(ii)
 24
0
 ;
(iii)
 12
−1
 ,
 41
3

(iv)

1
3
−1
2
 ,

4
−2
0
3
 ;
(v)

1
0
2
3
−2
 ,

−3
3
−3
−6
9
 ,

2
6
−2
0
2
 ,
(c) (i)
(1,−1, 3), (5,−4,−4);
(ii)
(2, 0,−1);
(iii)
(1, 4, 5, 2), (2, 1, 3, 0);
(iv)
(1, 4, 5, 6, 9), (3,−2, 1, 4,−1);
(v)
(1,−3, 2, 2, 1), (0, 3, 6, 0,−3), (2,−3,−2, 4, 4).
(d) (i)
nul(A) = 1, r(A) = 2, n = 3.
(ii)
nul(A) = 2, r(A) = 1, n = 3.
(iii)
nul(A) = 2, r(A) = 2, n = 4.
(iv)
nul(A) = 3, r(A) = 2, n = 5.
(v)
nul(A) = 2, r(A) = 3, n = 5.
Cristina Acciarri
Cristina Acciarri
Cristina Acciarri
Cristina Acciarri
Cristina Acciarri
Cristina Acciarri