Semana 9 - Exercícios Extras

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` a´lgebra linear - Turma B
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Temas abordados: Transformac¸o˜es lineares.
1) Considere a transformac¸a˜o linear assim definida:
(a) T : R3 → R3, onde T (1, 0, 1) = (−1, 1, 2), T (2, 1, 1) = (1, 0, 1), T (0, 1, 1) =
(0, 1, 3);
(b) T : R2 → R3, onde T (1, 1) = (2, 1, 3), T (−1, 2) = (0, 1, 1);
(c) T : R4 → R3, onde T (1,−1, 1, 0) = (1, 1, 1), T (1, 1, 1, 0) = (2, 1,−1),
T (1, 2, 1, 2) = (1, 0,−2), T (2, 1, 1, 1) = (4, 3, 1).
Em cada caso acima determine a aplicac¸a˜o linear T . Logo determine uma base, a
dimensa˜o e as equac¸o˜es cartesianas de N(T ) e Im(T ).
2) Sejam
B1 = {(1, 1, 0), (−1, 0, 1), (1, 2, 3)}, B2 = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (0, 1,−1)},
B3 = {(1, 1), (−1, 2)}, B4 = {(2, 1), (1, 2)}.
Considere as transformac¸o˜es lineares T1 : R3 → R2, T2 : R3 → R3 assim definidas:
T1(x, y, z) = (x− y, x + y + z),
T2(x, y, z) = (x− y + z, x + y + z, 3x− 2y − z).
(i) Mostre que B1 e B2 sa˜o bases de R3;
(ii) Mostre que B3 e B4 sa˜o bases de R2;
(iii) Determine as seguintes matrizes:
MB1C2 (T1), M
C3
B3
(T1), M
B2
B3
(T1), M
B1
B4
(T1);
MC3B1 (T2), M
C3
B2
(T2), M
B2
B2
(T2), M
B1
B2
(T2);
MB1C3 (id1), M
C3
B2
(id1), M
C2
B3
(id2), M
B4
C2
(id2);
onde C2 e´ a base canoˆnica de R2, C3 e´ a base canoˆnica de R3, id1 : R3 → R3
e´ a aplicac¸a˜o identidade de R3 e id2 : R2 → R2 e´ a aplicac¸a˜o identidade de
R2 .
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