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Semana 10 - Exercícios

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` a´lgebra linear - Turma B
Semana 10 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Determinantes. Ca´lculo da inversa de uma matriz quadrada com
os co-fatores. Regra de Cramer. Sistemas lineares com paraˆmetro.
A) Calcule o determinante das seguintes matrizes:
(1) (a)
(
1 −1
3 5
)
, (b)
(
1 2
2 4
)
;
(2) (a)
(
2 1
0 0
)
, (b)
(
1 −2 3
−5 0 1
)
;
(3) (a)
 0 1 2−1 0 −3
2 3 0
, (b) ( 4 −5
2 3
)
, (c)

0 2 1 3
1 0 −2 2
3 −1 0 1
−1 1 2 0
.
(4) (a)

1 0 −2 3
−3 1 1 2
0 4 −1 1
2 3 0 1
, (b)

1 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 1 0 1 1
1 1 1 0 0
0 0 1 0 0
,
(5) (a)

1 1 2 1
1 1 1 0
0 1 2 1
1 2 1 1
, (b)

1 −1 1 1
3 −2 1 1
1 1 1 1
1 2 1 −1
;
(6) (a)

0 1 −1 1 1
3 0 −2 1 1
0 −1 1 2 −1
0 1 2 1 −1
0 1 1 1 −2
, (b)

0 1 0 0 0
3 0 0 0 1
0 0 1 2 1
0 1 0 1 −1
0 0 1 1 −2
.
2) Resolva os seguintes sistemas lineares, usando o me´todo de Cramer:
(a)
 x + 2y + z = 13x + z = 2
x + y + z = 2
, (b)
 x− y − z = 2−3x + 2y + z = 4
x− y + z = 0
,
(c)
 2x + y − 3z = 5x− 2y + z = 10
3x + 4y − 2z = 0
, (d)
 x− y + 4z = −4−8x + 3y + z = 8
2x− y + z = 0
,
(e)
 3x + y + z = 4−2x− y = 12
x + 2y + z = −8
.
1
2
C) Calcule a inversa das seguintes matrizes com o me´todo dos co-fatores:
(a)
(
1 −1
3 5
)
, (b)
 0 1 2−1 0 −3
2 3 0
, (c)

0 2 1 3
1 0 −2 2
3 −1 0 1
−1 1 2 0
.
D) Determine os valores de k ∈ R tais que as seguintes matrizes sejam invert´ıveis e
nestes casos, determine a inversa da matriz com o me´todo dos-cofatores:
(1) A =
(
1 k
k 1
)
, B =
(
k 2
1 0
)
, C =
(
k 1
2k 2
)
.
(2) A =
 1 1 k0 1 2k
1 2 k
 , B =
 0 k 11 0 1
0 k2 1
 .
(3) A =
 k 1 10 k 1
0 0 k
 , B =
 k 1 k1 −1 −1
1 k 1
 .
E) Determine os valores de k ∈ R tais que os seguintes sistemas possuam uma u´nica
soluc¸a˜o e nestes casos determine a soluc¸a˜o usando o me´todo de Cramer.
(1) (a)
{
kx + y = k
2x− y = 3 , (b)
{
2kx + ky = k
2− ky = k2 , (c)
{
x− 3ky = k + 2
kx + (k − 2)y = 0 .
(2) (a)
 x + y − z = 0kx− y + z = 1
kx + y + 2z = 0
, (b)
 x + 2y + 3z = 4ky + z = 5
kz = 3
.
(3) (a)
 kx + (k + 1)y + (k + 1)z = 0kx + (k − 1)y + (k − 2)z = 0
kx = 0
, (b)
 x + 2y − z = kx + 3y − z = 2k
x + y − z = k2
.
Soluc¸o˜es:
A)
(1) (a) 8, (b) 0;
(2) (a) 0 , (b) na˜o existe;
(3) (a) −12, (b) 22, (c) −3;
(4) (a) 95, (b) 2;
(5) (a) 2, (b) −8;
(6) (a) −45, (b) 12.
B) (a) (−12 ,−1, 72), (b) (−7,−8,−1); (c) (4,−3, 0) , (d) (−20,−48,−8);
(e) (0,−12, 16).
C)
(a)
(
5
8
1
8
−38 18
)
, (b)
 −34 −12 141
2
1
3
1
6
1
4
1
6 − 112
, (c)

2 −3 0 −4
4 −173 −23 −233
−1 43 13 73
−2 103 13 133
.
D)
(1) A invert´ıvel se k 6= 1, B invert´ıvel para qualquer valor de k ∈ R;
C na˜o e´ invert´ıvel para nenhum valor de k.
3
(2) A invert´ıvel se k 6= 0, B invert´ıvel se k 6= 0, 1
(3) A invert´ıvel se k 6= 0, B invert´ıvel se k 6= −1, 1
E)
(1) o sistema (a) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= −2, e a soluc¸a˜o e´
(s1, s2) =
(
k + 3
k + 2
,− k
k + 2
)
o sistema (b) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= 0,−1, e a soluc¸a˜o e´
(s1, s2) =
(
k
2
,−k − 1
k
)
,
o sistema (c) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= −1, 23 , e a soluc¸a˜o e´
(s1, s2) =
(
k2 − 4
(3k − 2)(k + 1) ,−
k(k + 2)
(3k − 2)(k + 1)
)
.
(2) o sistema (a) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= −1, e a soluc¸a˜o e´
(s1, s2, s3) =
(
1
k + 1
,− 2 + k
3(k + 1)
,− k − 1
3(k + 1)
)
,
o sistema (b) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= 0, e a soluc¸a˜o e´
(s1, s2, s3) =
(
4k2 − 19k + 6
k2
,
5k − 3
k2
, 3
)
.
(3) o sistema (a) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= −1, 0, e a soluc¸a˜o e´
(s1, s2, s3) = (0, 0, 0),
o sistema (b) ns˜o possui soluc¸a˜o u´nica para nenhum valor de k ja´ que
det
 1 2 −11 3 −1
1 1 −1
 = 0.

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