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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Introduc¸a˜o a` a´lgebra linear - Turma B Semana 10 – Lista de exerc´ıcios Temas abordados: Determinantes. Ca´lculo da inversa de uma matriz quadrada com os co-fatores. Regra de Cramer. Sistemas lineares com paraˆmetro. A) Calcule o determinante das seguintes matrizes: (1) (a) ( 1 −1 3 5 ) , (b) ( 1 2 2 4 ) ; (2) (a) ( 2 1 0 0 ) , (b) ( 1 −2 3 −5 0 1 ) ; (3) (a) 0 1 2−1 0 −3 2 3 0 , (b) ( 4 −5 2 3 ) , (c) 0 2 1 3 1 0 −2 2 3 −1 0 1 −1 1 2 0 . (4) (a) 1 0 −2 3 −3 1 1 2 0 4 −1 1 2 3 0 1 , (b) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 , (5) (a) 1 1 2 1 1 1 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1 , (b) 1 −1 1 1 3 −2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 −1 ; (6) (a) 0 1 −1 1 1 3 0 −2 1 1 0 −1 1 2 −1 0 1 2 1 −1 0 1 1 1 −2 , (b) 0 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 0 1 −1 0 0 1 1 −2 . 2) Resolva os seguintes sistemas lineares, usando o me´todo de Cramer: (a) x + 2y + z = 13x + z = 2 x + y + z = 2 , (b) x− y − z = 2−3x + 2y + z = 4 x− y + z = 0 , (c) 2x + y − 3z = 5x− 2y + z = 10 3x + 4y − 2z = 0 , (d) x− y + 4z = −4−8x + 3y + z = 8 2x− y + z = 0 , (e) 3x + y + z = 4−2x− y = 12 x + 2y + z = −8 . 1 2 C) Calcule a inversa das seguintes matrizes com o me´todo dos co-fatores: (a) ( 1 −1 3 5 ) , (b) 0 1 2−1 0 −3 2 3 0 , (c) 0 2 1 3 1 0 −2 2 3 −1 0 1 −1 1 2 0 . D) Determine os valores de k ∈ R tais que as seguintes matrizes sejam invert´ıveis e nestes casos, determine a inversa da matriz com o me´todo dos-cofatores: (1) A = ( 1 k k 1 ) , B = ( k 2 1 0 ) , C = ( k 1 2k 2 ) . (2) A = 1 1 k0 1 2k 1 2 k , B = 0 k 11 0 1 0 k2 1 . (3) A = k 1 10 k 1 0 0 k , B = k 1 k1 −1 −1 1 k 1 . E) Determine os valores de k ∈ R tais que os seguintes sistemas possuam uma u´nica soluc¸a˜o e nestes casos determine a soluc¸a˜o usando o me´todo de Cramer. (1) (a) { kx + y = k 2x− y = 3 , (b) { 2kx + ky = k 2− ky = k2 , (c) { x− 3ky = k + 2 kx + (k − 2)y = 0 . (2) (a) x + y − z = 0kx− y + z = 1 kx + y + 2z = 0 , (b) x + 2y + 3z = 4ky + z = 5 kz = 3 . (3) (a) kx + (k + 1)y + (k + 1)z = 0kx + (k − 1)y + (k − 2)z = 0 kx = 0 , (b) x + 2y − z = kx + 3y − z = 2k x + y − z = k2 . Soluc¸o˜es: A) (1) (a) 8, (b) 0; (2) (a) 0 , (b) na˜o existe; (3) (a) −12, (b) 22, (c) −3; (4) (a) 95, (b) 2; (5) (a) 2, (b) −8; (6) (a) −45, (b) 12. B) (a) (−12 ,−1, 72), (b) (−7,−8,−1); (c) (4,−3, 0) , (d) (−20,−48,−8); (e) (0,−12, 16). C) (a) ( 5 8 1 8 −38 18 ) , (b) −34 −12 141 2 1 3 1 6 1 4 1 6 − 112 , (c) 2 −3 0 −4 4 −173 −23 −233 −1 43 13 73 −2 103 13 133 . D) (1) A invert´ıvel se k 6= 1, B invert´ıvel para qualquer valor de k ∈ R; C na˜o e´ invert´ıvel para nenhum valor de k. 3 (2) A invert´ıvel se k 6= 0, B invert´ıvel se k 6= 0, 1 (3) A invert´ıvel se k 6= 0, B invert´ıvel se k 6= −1, 1 E) (1) o sistema (a) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= −2, e a soluc¸a˜o e´ (s1, s2) = ( k + 3 k + 2 ,− k k + 2 ) o sistema (b) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= 0,−1, e a soluc¸a˜o e´ (s1, s2) = ( k 2 ,−k − 1 k ) , o sistema (c) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= −1, 23 , e a soluc¸a˜o e´ (s1, s2) = ( k2 − 4 (3k − 2)(k + 1) ,− k(k + 2) (3k − 2)(k + 1) ) . (2) o sistema (a) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= −1, e a soluc¸a˜o e´ (s1, s2, s3) = ( 1 k + 1 ,− 2 + k 3(k + 1) ,− k − 1 3(k + 1) ) , o sistema (b) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= 0, e a soluc¸a˜o e´ (s1, s2, s3) = ( 4k2 − 19k + 6 k2 , 5k − 3 k2 , 3 ) . (3) o sistema (a) possui soluc¸a˜o u´nica se k 6= −1, 0, e a soluc¸a˜o e´ (s1, s2, s3) = (0, 0, 0), o sistema (b) ns˜o possui soluc¸a˜o u´nica para nenhum valor de k ja´ que det 1 2 −11 3 −1 1 1 −1 = 0.
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