Fundamentos de Geometria Plana

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
PROF. KLÉBER ALBANÊZ RANGEL
Aula 1.INTRODUÇÃO A GEOMETRIA PLANA 
1
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA
Significado: do grego “medir a terra”
Origens da Geometria: Partilhar terras férteis às margens dos rios. Construir casas,observar e prever os movimentos dos astros...
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA
Definir um conceito é expressar seu significado através de outras palavras ou símbolos já conhecidos.
As Noções Primitivas
Conceito primitivo: impossível de ser definido, visto que não existe nenhum outro anterior.
Noções primitivas ou entes primitivos são aceitos sem definição.
Noções primitivas da Geometria:
 PONTO
 RETA
 PLANO 
 O PONTO
É representado por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C , etc
Notação: B . (ponto B) 
 A.(ponto A) C . (ponto C)
O ponto é um lugar concebido sem extensão no espaço,logo, o ponto não tem dimensão, isto é, é um ente de DIMENSÃO ZERO.
A RETA
a mais simples de todas as linhas. 
Sua imagem está associada, por exemplo, a de um fio bem esticado
A RETA
representada por letras minúsculas do alfabeto latino: a , b , ...,r , s , etc
 
 r
A reta tem uma dimensão: o comprimento, logo é um ente de DIMENSÃO 1. 
A reta é infinita, não tem origem(começo) nem extremidade (fim).
Notação: r (reta r)
O PLANO
é a mais simples de todas as superfícies. 
Sua imagem está associada , por exemplo, a do tampo de uma mesa, ao quadro da sala de aula, a uma parede lisa, etc
representado por letras gregas minúsculas: α (alfa) , β (beta) , etc
O plano tem duas dimensões: o comprimento e a largura, logo o plano é um ente de DIMENSÃO DOIS.
 Plano α 
PONTO E RETA e PONTO E PLANO: utilizamos os símbolos  e 
RETA e PLANO: utilizamos os símbolos ,  , , 
FIGURA GEOMÉTRICA é qualquer representação de linhas, de superfícies ou de volumes.
PONTOS COLINEARES são pontos que pertencem a uma mesma reta.
AXIOMA – POSTULADO
É uma verdade evidente por si mesma.
Exemplos.:
a) Numa reta há infinitos pontos.
b) Num plano há infinitos pontos.
c) Por um ponto passam infinitas retas.
POSTULADOS DA EXISTÊNCIA.
Numa reta , bem como fora dela, há infinitos pontos.
Num plano há infinitos pontos.
 c
 D
 D
 A
 B
 C
POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO
I. DA RETA
 Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO
II. DO PLANO
Três pontos não colineares determinam um plano que passa por eles.
 A
 B
 C
POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO
III. DA INCLUSÂO
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmo plano
ESTUDO DA RETA
Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
 
 
A
POSIÇÕES RELATIVAS
 I. ENTRE PONTO E RETA
1ª) O ponto pertence à reta.
2ª) O ponto não pertence à reta.
POSIÇÕES RELATIVAS
II.ENTRE DUAS RETAS
1ª) Paralelas – quando não têm ponto comum.
2ª) Concorrentes – quando possuem apenas um ponto em comum.
3ª) Coincidentes – quando têm todos os pontos em comum.
POSIÇÕES RELATIVAS
II.ENTRE DUAS RETAS
1ª) Paralelas – quando não têm ponto comum.
POSIÇÕES RELATIVAS
II.ENTRE DUAS RETAS
2ª) Concorrentes – quando possuem apenas um ponto em comum.
POSIÇÕES RELATIVAS
II.ENTRE DUAS RETAS
3ª) Coincidentes – quando têm todos os pontos em comum.
RETAS COPLANARES OU COMPLANARES
São retas que estão contidas num mesmo plano.
RETAS REVERSAS
São retas que não estão contidas num mesmo plano.
SEMI-RETA
O ponto A é denominado origem das semi-retas opostas 
SEGMENTO DE RETA:
Observação:
SEGMENTOS COLINEARES
São segmentos contidos numa mesma reta. 
SEGMENTOS CONSECUTIVOS: 
São segmentos que possuem uma extremidade comum. 
SEGMENTOS ADJACENTES
São segmentos colineares e consecutivos ao mesmo tempo, que possuem em comum somente uma extremidade ( não têm pontos internos comuns) 
SEGMENTOS CONGRUENTES
São segmentos que têm a mesma medida em relação a uma mesma unidade. 
ESTUDO DO PLANO.
Como se determina um plano? 
Três pontos não colineares.
Uma reta e um ponto fora dela.
Duas retas concorrentes. 
Duas retas paralelas distintas. 
ESTUDO DO PLANO.
Como se determina um plano? 
Três pontos não colineares.
ESTUDO DO PLANO.
Como se determina um plano? 
Três pontos não colineares.
ESTUDO DO PLANO.
Como se determina um plano?
2. Uma reta e um ponto fora dela.
ESTUDO DO PLANO.
Como se determina um plano?
2. Uma reta e um ponto fora dela.
ESTUDO DO PLANO.
Como se determina um plano? 
3. Duas retas concorrentes. 
ESTUDO DO PLANO.
Como se determina um plano? 
3. Duas retas concorrentes. 
ESTUDO DO PLANO.
Como se determina um plano? 
4. Duas retas paralelas distintas. 
ESTUDO DO PLANO.
Como se determina um plano? 
4. Duas retas paralelas distintas. 
Posições relativas entre ponto e plano.
Podemos dizer que um ponto pertence ou não pertence a um plano.
Posições relativas entre ponto e plano.
Podemos dizer que um ponto pertence ou não pertence a um plano.
Posições relativas entre reta e plano
A reta está contida no plano.
A reta é paralela ao plano.
A reta é concorrente ou secante ao plano. 
Posições relativas entre reta e plano
A reta está contida no plano.
Posições relativas entre reta e plano
2. A reta é paralela ao plano.
 
Posições relativas entre reta e plano
3. A reta é concorrente ou secante ao plano. 
A reta “fura” o plano. 
Posições relativas entre dois planos
Paralelos
Coincidentes
Secantes ou concorrentes
Posições relativas entre dois planos
Paralelos
Posições relativas entre dois planos
2. Coincidentes
Posições relativas entre dois planos
3. Secantes ou concorrentes