Fundamentos de Geometria I: Polígonos e seus Elementos

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
PROF. KLÉBER ALBANÊZ RANGEL
Aula 3: POLÍGONOS
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1.LINHA POLIGONAL
 É um conjunto finito de segmentos de reta consecutivos mas não colineares.
 A linha poligonal pode ser:
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a) ABERTA 
 Quando a origem do primeiro segmento não coincide com a extremidade do último segmento.
 b) FECHADA 
 Quando a origem do primeiro segmento coincide com a extremidade do último segmento.
 
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c) ENTRELAÇADA OU ENTRECRUZADA
 Quando há pontos de interseção.
d) NÃO ENTRELAÇADA OU NÃO ENTRECRUZADA
 Quando não há pontos de interseção.
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2. POLÍGONO
 É toda poligonal fechada entrelaçada ou não.
Exemplos.
 
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3.REGIÃO CONVEXA E REGIÃO CÔNCAVA
 Uma região é dita CONVEXA quando tomando-se dois quaisquer de seus pontos , o segmento de reta que os une fica inteiramente contido nessa região.
 Caso contrário ela é dita CÔNCAVA.
 Região Região
 Convexa Côncava 
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4.POLÍGONO CONVEXO
 
 É o polígono cujo interior é uma região convexa. Caso contrário é côncavo.
 
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5.ELEMENTOS DE UM POLÍGONO
 
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. PERÍMETRO (2p) – é a soma das medidas dos lados do polígono.
 No nosso exemplo, temos que:
 2p = AB + BC + CD + DE + EA
. GÊNERO (n) DE UM POLÍGONO – é o número de lados.
 No nosso caso, temos:
 n=5
 
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6. POLÍGONO EQUILÁTERO
 É o que tem os lados congruentes.
7. POLÍGONO EQUIÂNGULO 
 É o que tem os ângulos congruentes.
8. POLÍGONO REGULAR
 É o que é equilátero e equiângulo.
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9. CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS
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10.DIAGONAL DE UM POLÍGONO
 É o segmento que une dois vértices não consecutivos. 
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11.NÚMERO (d) DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO
 Seja um polígono que possua n lados. O número d de diagonais desse polígono é dado por: 
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 Temos então que:
 . Nº de diagonais de cada vértice: n – 3
 . Nº de diagonais de todos os vértices: n (n – 3)
 Logo o nº total de diagonais será dado por:
 
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12.POLÍGONOS INSCRITÍVEIS E CIRCUNSCRITÍVEIS
 Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.
 Sendo inscritível existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices e, sendo circunscritível , existe uma única circunferência nele inscrita. 
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OBSERVAÇÕES.:
As circunferências inscrita e circunscrita a um polígono regular são concêntricas; isto é. têm o mesmo centro.
2. O centro comum das circunferências inscrita e circunscrita é o CENTRO DO POLÍGONO REGULAR.
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13. SOMA (Si) DOS ÃNGULOS INTERNOS DE
 UM POLÍGONO CONVEXO
 Si = 180° (n – 2) , para n lados, n > 3
14. ÂNGULO INTERNO (ai) DE UM POLÍGONO
 REGULAR
 ai = Si / n = 180° (n – 2) / n
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15. SOMA (Se) DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE
 UM PLOÍGONO CONVEXO .
 Se = 360°
16. ÂNGULO EXTERNO (ae) DE UM POLÍGONO 
 REGULAR CONVEXO 
 ae = Se / n = 360° / n
Obs.: Note que: ai + ae = 180°
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EXERCÍCIOS
Dado um hexágono regular, pede-se calcular:
O nº de diagonais.
A soma dos ângulos internos.
A soma dos ângulos externos.
Qual é o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados?
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3. Qual é o polígono do qual de cada vértice:
Partem 7 diagonais.
Não partem diagonais.
O ângulo interno de um polígono regular convexo é o triplo de seu ângulo externo. Dizer quantos tem o polígono.
Num polígono regular sabe-se que a razão entre as medidas de um ângulo externo e um interno é 1/5.Calcule o número de diagonais desse polígono.
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