Aula_07 (3)

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
AULA 7- RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
 PROF. KLÉBER ALBANÊZ RANGEL
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – AULA 7
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
Conteúdo Programático desta aula:
. Projeção Ortogonal
 1.De um ponto sobre uma reta
 2.De um segmento sobre uma reta
. Relações Métricas no Triângulo Retângulo
 - Teorema de Pitágoras
. Aplicações do Teorema de Pitágoras
 - Diagonal de um Quadrado
 - Altura de um Triângulo Equilátero
. Triângulos Pitagóricos
. Natureza de um Triângulo
.Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
. Exercícios
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO – AULA 7
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
PROJEÇÃO ORTOGONAL 1. DE UM PONTO SOBRE UMA RETA É o pé da perpendicular traçada do ponto em relação à reta.
O ponto A’ é a projeção ortogonal do ponto A sobre a reta r.
R
A’
A
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2.DE UM SEGMENTO SOBRE UMA RETA 
- Quando o segmento é paralelo à reta dizemos que ocorre a Verdadeira Grandeza (VG). - Quando o segmento é perpendicular à reta a projeção se reduz a um ponto.
A’
A’
B’
B’
A’
A
B’
A
A
A
B
B
B
B
A
 A’= B’
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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
3.RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 ΔABC ~ ΔAHB ~ ΔAH
 Das semelhanças dos triângulos acima, podemos concluir: 
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Qualquer cateto elevado ao quadrado é igual a hipotenusa vezes a sua projeção.
Teorema de Pitágoras
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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
Em qualquer triângulo retângulo:
1.Cada cateto é média geométrica (ou proporcional) entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela. 
b/a = m/b => b2 = a . m c/ a = n/c => c2 = a . n
2. A altura relativa à hipotenusa é média geométrica (ou proporcional) entre as projeções dos catetos sobe a hipotenusa.
h/ m = n/h => h2 = m . n
3. O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura a ela relativa.
a / c = b / h => b . c = a . h
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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
4.TEOREMA DE PITÁGORAS O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. b2 = a . m c2 = a . n b2 + c2 = a ( m + n) => b2 + c2 = a . a => a2 = b2 + c2 5. O inverso do quadrado da altura é igual à soma dos inversos dos quadrados dos catetos. b . c = a . h => b2 . c2 = a2 . h2 => => 1/h2 = a2 / b2 . c2 Mas a2 = b2 + c2 , logo: 1/h2 = 1/b2 + 1/c2
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APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS 1.DIAGONAL DE UM QUADRADO 
 =>
A
l
l
D
C
B
l
l
l
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2.ALTURA DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
 => 
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TRIÂNGULOS PITAGÓRICOS
 Quando três números inteiros são as medidas dos lados de um triângulo retângulo esses números são denominados NÚMEROS PITAGÓRICOS e os triângulos retângulos com essas medidas são denominados TRIÂNGULOS PITAGÓRICOS.
 	 São pitagóricos os triângulos retângulos de lados:
3 , 4 e 5 e seus múltiplos, 5 , 12 e 13 e seus múltiplos, dentre outros. 
	 Devemos à Escola Pitagórica a expressão geral que permite determinar os números pitagóricos x , x2 - 1 e
 
 x2 + 1 , onde “x é um número ímpar maior que 1”. 
2 
2 
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NATUREZA DE UM TRIÂNGULO
 Sendo a , b e c as medidas dos lados de um triângulo e, sendo m ”a” a maior delas , temos que:
1. a2 < b2 + c2 => o triângulo é ACUTÂNGULO
 2. a2 = b2 + c2 => o triângulo é RETÂNGULO
 3. a2 > b2 + c2 => o triângulo é OBTUSÂNGULO
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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I
OBSERVAÇÕES
Note que, quando dois ângulos são complementares (somam
90°):
O seno de um deles é igual ao co-seno do outro e vice-versa.
2) A tangente de um deles é igual ao inverso da tangente do outro.
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EXERCÍCIOS
1) As bases de um trapézio isósceles medem 7m e 13m e a altura 4m. Calcule o perímetro deste trapézio.
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2) A que altura uma escada de 13m toca em um muro, se o pé da escada está a 5m deste muro. 
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3) O lampião representado na figura suspensa por duas cordas está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo-se que estas cordas medem 1/2 e 6/5, calcule a distância do lâmpião ao teto. 
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Na aula de hoje estudamos:
. A Projeção Ortogonal
 - De um ponto e de um segmento sobre uma reta
. As Relações Métricas no Triângulo Retângulo
 - O Teorema de Pitágoras
 - As aplicações de Teorema de Pitágoras
. Os Triângulos Pitagóricos
.A Natureza de um Triângulo
. As Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
. Exercícios 
Fundamentos de Geometria I
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