Medidas de Tendência Central – Média Moda Mediana

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Marcos Crivelaro
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Estatística Aula 4
Medidas de Tendência Central – Média / Moda / Mediana
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto em torno do qual se concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados.
A seguir, são definidas as principais medidas de tendência central: 
média, mediana e moda.
A média aritmética (X) é a soma de todos os valores observados da variável dividida pelo número total de observações. Sob uma visão geométrica a média de uma distribuição é o centro de gravidade, representa o ponto de equilíbrio de um conjunto de dados. É a medida de tendência central mais utilizada para representar a massa de dados.
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Média Aritmética 
 
 
onde: 
Xi é o ponto médio da classe i;
fi é a freqüência absoluta da classe i.
Dados não tabelados
Dados tabelados
Citam-se a seguir, algumas propriedades da média aritmética:
1. a média é um valor calculado facilmente e depende de todas as observações; 
2. é única em um conjunto de dados e nem sempre tem existência real, ou seja, nem sempre é igual a um determinado valor observado;
3. a média é afetada por valores extremos observados;
4. por depender de todos os valores observados, qualquer modificação nos dados fará com que a média fique alterada. Isto quer dizer que somando-se, subtraindo-se, multiplicando-se ou dividindo-se uma constante a cada valor observado, a média ficará acrescida, diminuída, multiplicada ou dividida desse valor.
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Para ilustrar, considere o número de filhos, por família, para um grupo de 8 famílias: 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4. Neste caso, a média é x =1,875 filhos por família.
Entretanto, incluindo ao grupo uma nova família com 10 filhos, a média passa a ser x = 2,788, o que eleva em 48,16% o número médio de filhos por família. Assim, ao observar a média, pode-se pensar que a maior parte das famílias deste grupo tem três filhos quando, na verdade, apenas uma tem três filhos.
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1.2.2. Média aritmética para dados agrupados com classes intervalares
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Moda
Define-se moda como sendo o valor que surge com maior freqüência entre os dados observados  valor que representa a moda ou a classe modal (classe de maior freqüência).					 Estatura (x i) Freq (f i)
							1,60	 3
							1,62	 8
Dados agrupados: valor predominante			1,64	12
							1,70	20								1,73	10
							1,80 	 7								total	60					
Dados tabelados :
 
Linf: limite inferior da classe modal
hcm: amplitude da classe modal
fmo : freqüência simples absoluta na classe modal
fant : freqüência simples absoluta anterior à classe modal
fpost : freqüência simples absoluta posterior à classe modal
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Moda
Define-se moda como sendo o valor que surge com maior freqüência entre os dados observados  valor que representa a moda ou a classe modal (classe de maior freqüência).					
Dados tabelados (em classes):
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Moda
Define-se moda como sendo o valor que surge com maior freqüência entre os dados observados  valor que representa a moda ou a classe modal (classe de maior freqüência).					
Dados tabelados (em classes):
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Moda
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Mediana (Md ou )
 Dados não agrupados
Colocam-se os dados em 
 ordem (rol) e se o número 
 de elementos “n”;
 for ímpar, a Md será o elemento central do rol;
 for par, a Md será a média entre os dois elementos 
 centrais do rol.
A Md é o elemento que ocupa o valor central.
 50% Md 50%
  rol 	ordem crescente
 Xmín Xmáx
Dados tabelados
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Mediana
A mediana é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.
Dados isolados:
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.
Exemplo: 126, 164, 188, 198, 460. Md = 188
Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.
Exemplo: 68, 72, 78, 84, 87, 91. Md = (78+84)/2 = 81
Dados agrupados: x i	f i	f ac			 x i	f i	f ac
		 2	2	2			 3	5	5
		 4	5	7			 5	4	9
		 5	8	15			 6	6	15
		 7	6	21			 7	8	23
		 8	4	25			 9	3	26
			total	25			total	26
Em = (N+1)/2=
(25+1)/2 = 13
Em =[(N)+(N+2)]/4
= (26+28)/4 
= 13,5
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Mediana
Dados isolados:
Me = (n+1)/2 do valor na ordem de classificação
Regra 1  quantidade ímpar de valores: valor que está no meio
19;20,8;22,3;22,4;24,9;26;29,9 
Portanto Md= 22,4
Regra 2  quantidade par de valores: corresponde à media entre os dois valores centrais
29;31;35;39;39;40;43;44;44;52 
Portanto Md=(39+40)/2= 39,5
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Mediana
Dados tabelados (em classes): Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana.
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Mediana
Dados tabelados (em classes): Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana.
Linf: limite inferior da classe modal
hmd: amplitude da classe mediana
nMd : freqüência simples absoluta na classe mediana
Nant : freqüência acumulada absoluta anterior à classe mediana
Classe Mediana : Classe onde está o elemento mediano
Em = N/2 = 110/2 = 55
Me = 4 + 2 * [(55 - 43) / 34] = 4 + 0,7 = 4,7 
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Considerações a respeito de Média e Mediana
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados.
1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes. Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.
Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.
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Quando se acrescenta ao grupo uma outra família com 10 filhos o tamanho da amostra passa a ser n=9. Neste caso, a mediana é:
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Supondo a existência de uma distribuição aproximadamente simétrica:
Mop = 3 * Me – 2 * X
Exemplo: Mop = 3 * (4,7) – 2 * (4,62) = 4,86
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Respostas:
(6.1) Amodal 
(6.2) 5 
(6.3) 4 e 10 
(6.4) 18
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Respostas
(7.1) 8  1,2,3,7, 8, 9,14,14,21
(7.2) 0,015  -0,5;-0,30; (0,01+0,02)/2; 0,25;0,47
(7.3) 7/16  -4/5;-2/3;-1/5;(3/8+1/2)/2;4/7;3/4;5/4
		 -0,8;-0,66;-0,2;0,375; 0,5;0,57;0,75;1,25
 ((3+4)/8)/2 = 7/16
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Respostas
(14.1) 0,66 erros  (0.25+1.20+2.3+3.1+4.1)/50=(0+20+6+3+4)/50=33/50
(14.2) 0,50 erros  até 0 (25) e depois de 1 (20+3+1+1=25) (0+1)/2
= 0,5
(14.3) Zero erros  maior número de páginas
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Respostas
(17.1) 1,85 filhos 
(17.2) 2 filhos 
(17.3) 2 filhos
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(16.3) 33,50 casas		 	 Me=30+(14.(25-24)/4)=30+3,5
(16.4) 20,67 e 21,60 casas
Respostas:
(16.2) 41,76 casas (9.8+23.16+37.4+51.6+65.9+79.3+93.4)/50 =
(72+368+148+306+585+237+372)/50 = 2088/50 = 41,76
16+14.(4/(8+4))
16+14.(4/12)
16+4,67=20,67
16+14.(16-8)/(2.16-(8+4))
16+14.(8)/(32-12)
16+112/20=16+5,6=21,6
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MEDIANA
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	Onde
	Li = limite inferior da classe mediana
	fi = freqüência ou tamanho da amostra
	Fi = freqüência acumulada da classe anterior a classe mediana
	h = amplitude da classe mediana
MEDIANA – dados agrupados em classes
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Moda
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Moda
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Moda
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