Material da aula 3 1

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Universidade Estadual de Santa Cruz
Departamento de Cieˆncias Exatas
Disciplina Geometria Anal´ıtica
Curso de Engenharia
Professores Pryscilla Silva e Paulo Gala˜o
Notas de Aula
Aula 3
1 Matriz Inversa
Resolva a seguinte equac¸a˜o matricial:
A ·X = B,
onde
A =
(
3 4
2 3
)
, B =
(
−1
−1
)
e X e´ uma matriz de ordem 2× 1.
E´ claro que podemos resolver o problema anterior utilizando o produto e a
definic¸a˜o de igualdade de matrizes. Mas, se tive´ssemos uma equac¸a˜o no conjunto dos
nu´meros reais, o natural seria isolar X multiplicando o inverso de A em ambos os membros
da igualdade. Desse modo, sera´ que e´ poss´ıvel resolvermos a equac¸a˜o anterior utilizando
um recurso semelhante?
Para isso vamos considerar a definic¸a˜o a seguir e algumas observac¸o˜es.
Definic¸a˜o 1 Uma matriz quadrada A de ordem n e´ dita invers´ıvel se existir uma matriz
quadrada B de ordem n talque
A ·B = B · A = I,
onde I e´ a matriz identidade de ordem n. Tal matriz B chama-se inversa de A e e´
denotada por A−1.
Observac¸a˜o 1 Prova-se que se A e B sa˜o matrizes quadradas de ordem n, tal que AB =
I, onde I e´ a matriz identidade de ordem n, enta˜o BA tambe´m e´ igual a I.
Observac¸a˜o 2 E´ poss´ıvel provar que se I e´ a matriz identidade de ordem p e A e´ uma
matriz de ordem p × k enta˜o I · A = A. Isto e´, em determinadas situac¸o˜es a matriz
identidade funciona como um elemento neutro do produto de matrizes.
Voltemos a` situac¸a˜o vista no in´ıcio:
1
Considere a matriz (
3 −4
−2 3
)
.
Note que (
3 −4
−2 3
)
·
(
3 4
2 3
)
=
(
1 0
0 1
)
.
Assim, utilizando a Observac¸a˜o 1, temos que A e´ inversivel e sua inversa e´
A−1 =
(
3 −4
−2 3
)
e desse modo:
(A−1 · A) ·X = A−1 ·B
I ·X = A−1 ·B
onde I e´ a matriz identidade de ordem 2. Logo, utilizando a Observac¸a˜o 2, temos
X = A−1 ·B
X =
(
3 −4
−2 3
)
·
(
−1
−1
)
=
(
1
−1
)
.
Exemplo 1 Sejam A =
(
2 5
1 3
)
e B =
(
3 −5
−1 2
)
. Vamos verificar que A e´ in-
vers´ıvel mostrando que B e´ a sua inversa, ou seja A ·B = B · A = I.
De fato:
A ·B =
(
2 5
1 3
)
·
(
3 −5
−1 2
)
=
(
2− 1 −10 + 10
3− 3 −5 + 6
)
=
(
1 0
0 1
)
Pela Observac¸a˜o 1, temos que BA = I. Logo, A e´ invers´ıvel e sua inversa e´
A−1 = B.
Na questa˜o no in´ıco do texto e no exemplo anterior ja´ tinhamos uma candidata
a matriz inversa de A. O problema e´ que nem sempre estaremos em uma situac¸a˜o ta˜o
conforta´vel. Desse modo existem dois problemas a serem resolvidos quando se trata de
matriz inversa:
1. Dada uma matriz invers´ıvel A como calcular a matriz inversa de A?
2
2. Toda matriz quadrada e´ invers´ıvel? Caso na˜o seja, como determinar se uma matriz
quadrada e´ ou na˜o invers´ıvel?
Para resolver o primeiro problema, vamos utilizar um precesso semelhante ao
escalonamento que vimos para sistema lineares. Ja´ o segundo problema requer um pouco
mais de teoria e sera´ resolvido quando apresentarmos a definic¸a˜o de Determinantes.
Exemplo 2 Seja A a matriz do Exemplo 1. Vejamos como funciona o me´todo men-
cionado anteriormente:
1. Escreva a matriz A ao lado da matriz identidade; 2 5 ... 1 0
1 3
... 0 1

2. Apo´s isso vamos utilizar operac¸o˜es com as linhas de ambas as matrizes para obter-
mos no lado esquerdo a matriz identidade;
L1 ↔ 1/2L1  1 5/2 ... 1/2 0
1 3
... 0 1

L2 ↔ L2 − L1  1 5/2 ... 1/2 0
0 1/2
... −1/2 1

L1 ↔ L1 ↔ L1 − 5L2  1 0 ... 3 −5
0 1/2
... −1/2 1

L2 ↔ 2L2  1 0 ... 3 −5
0 1
... −1 2

3. Note que a matriz do lado direito e´ a inversa da matriz A. 1
Exemplo 3 Dada a matriz
A =
 2 1 34 2 2
2 5 3
 ,
considerando que a matriz A e´ invers´ıvel utilizando o me´todo anterior, vamos obter a
matriz inversa de A.
1O processo que fizemos anteriomente, que serve tanto para escalonar sistemas, quanto para determinar
a inversa de uma matriz tambe´m pode ser feito utilizando as colunas ao inve´s das linhas.
3

2 1 3
... 1 0 0
4 2 2
... 0 1 0
2 5 3
... 0 0 1

L2 ↔ 1/2L2
L1 ↔ 1/2L1 
1 1/2 3/2
... 1/2 0 0
2 1 1
... 0 1/2 0
2 5 3
... 0 0 1

L2 ↔ L2 − 2L1
L3 ↔ L3 − 2L1 
1 1/2 3/2
... 1/2 0 0
0 0 −2 ... −1 1/2 0
0 4 0
... −1 0 1

L2 ↔ L3 
1 1/2 3/2
... 1/2 0 0
0 4 0
... −1 0 1
0 0 −2 ... −1 1/2 0

L2 ↔ 1/4L2
L3 ↔ −1/2L3 
1 1/2 3/2
... 1/2 0 0
0 1 0
... −1/4 0 1/4
0 0 1
... 1/2 −1/4 0

L1 ↔ L1 − 1/2L2 
1 0 3/2
... 5/8 0 −1/8
0 1 0
... −1/4 0 1/4
0 0 1
... 1/2 −1/4 0

L1 ↔ L1 − 3/2L3 
1 0 0
... −1/8 3/8 −1/8
0 1 0
... −1/4 0 1/4
0 0 1
... 1/2 −1/4 0
 .
Refereˆncias
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matema´tica elementar: sequeˆncias,
matrizes, determinantes, sistemas. 7 ed. Sa˜o Paulo: Atual, 2004.
LIPSCHUTZ, Seymour. A´lgebra Linear. Sa˜o Paulo: Makron Books, 1994.
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