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Condução em regime transiente 1 1 Condução de calor em regime transiente 1.1 Definição Em geral, a temperatura de um corpo que recebe ou transmite calor varia segundo o tempo e a posição no corpo, isto é: ������ � �� , �, �, � Figura 1 – Variação da temperatura em corpos (a) esfriando e (b) aquecendo Até agora estudamos: - condução em regime permanente → não varia com o tempo; - condução unidimensional → não varia nas outras dimensões senão em x. 1.2 Equação geral - coordenadas retangulares e tridimensional � � � �����çã��� ����� �� , �, � � � � � � �����çã������ �� � ∆ ,� � ∆�, � � ∆� � � � � � !���çã������ �� "� ��"���� ������ � � � � � � �����ç�#��� "���� ����!"��� ������ � � $%&' �%( �' %)' * � $%'&+∆& � %'(+∆( � %')+∆)* � ,'-.� � ∆,∆ �1� Figura 2 – Condução em coordenadas cartesianas Considerando para o elemento infinitesimal representado na figura 2: ∀� ∆ ∙ ∆� ∙ ∆� ∆, � �,2+∆2 � ,2� � �3���2+∆2 � �2� � 4∀3���2+∆2 � �2� � 43�∆ ∆�∆���2+∆2 � �2� ,'-.� � �'-.� ∙ ∀� �'-.�∆ ∆�∆� (a) (b) Condução em regime transiente 2 Sabendo que: - ,'-.� é a taxa total de geração de calor (W); - �'-.� é a taxa de geração de calor (W/m³). Então, substituindo em (1): $%&' � %'&+∆&* + $%(' − %'(+∆(* + $%)' − %')+∆)* + �'-.�∆ ∆�∆� = 43�∆ ∆�∆���2+∆2 − �2�∆ ' Dividindo todos os termos pelo volume (5x·5y·5z): − 1∆�∆� 6 %'&+∆& − %&'∆ 7 − 1 ∆ ∆� 6 %'(+∆( − %('∆� 7 − 1 ∆ ∆� 6 %')+∆) − %)'∆� 7 + �'-.� = 43���2+∆2 − �2�∆ ' − 18& 6 %'&+∆& − %&'∆ 7 − 1 8( 6 %'(+∆( − %('∆� 7 − 1 8) 6 %')+∆) − %)'∆� 7 + �'-.� = 43���2+∆2 − �2�∆ ' Observando que: lim∆&→= >− 1 8& 6 %'&+∆& − %&'∆ 7? = − 1 8& @%&@ = 1 8& @ @ A−B8& @� @ C = − @ @ AB @� @ C Então: @ @ AB @� @ C + @ @� AB @� @�C + @ @� AB @� @�C + �'-.� = 43� @� @ �2� Que é a equação geral de transferência de calor por condução. Simplificações possíveis: a) Se k é constante: 6@E�@ E7 + 6 @E� @�E7 + 6 @E� @�E7 + �'-.�B = 43�B @� @ = 1 F @� @ ,#. �� H���"�� − I"� b) Se o regime é permanente (não há variações no tempo): 6@E�@ E7 + 6 @E� @�E7 + 6 @E� @�E7 + �'-.�B = 0 ,#. �� K�"LL�� c) Se o regime é transiente mas não há geração de calor: 6@E�@ E7 + 6 @E� @�E7 + 6 @E� @�E7 = 1 F @� @ ,#. �� �"��Lã� d) Se o regime é permanente e não há geração de calor: 6@E�@ E7 + 6 @E� @�E7 + 6 @E� @�E7 = 0 ,#. �� M�N���� Condução em regime transiente 3 e) Se o regime é permanente e unidimensional: 6@E�@ E7 � 0 As análises devem ser feitas da mesma forma nas coordenadas cilíndricas e esféricas. Equações gerais para: - coordenadas cilíndricas: � � ∙ ��LO; � = � ∙ L��O; � = � 1 � @ @� AB� @� @�C + 1 �E @� @O AB @� @OC + @ @� AB @� @�C + �'-.� = 43� @� @ �3� - coordenadas esféricas: = � ∙ ��LO ∙ L��R; � = � ∙ L��O ∙ L��R; � = ��LR 1 �E @ @� AB�E @� @�C + 1 �E ∙ L��R @ @O AB @� @OC + 1 �E ∙ L��R @ @R AB ∙ L��R @� @RC + �'-.� = 43� @� @ �4� Obter soluções analíticas para estas equações diferenciais requer conhecimentos de técnicas de equações diferenciais parciais que não fazem parte do escopo da disciplina. Para trabalhar com o regime transiente, os estudos serão realizados seguindo uma simplificação: os sistemas concentrados. 1.3 Sistemas concentrados É uma simplificação aceitável. Considera-se que a temperatura do corpo permanece uniforme em todo o corpo durante o processo de transferência de calor: ������ = �� � Exemplo: uma pequena peça fundida que sai de um forno: T diminui com o tempo mas T permanece igual em todo o corpo. Esta situação não é real, já que, se o corpo está esfriando, a parte mais interna deste corpo certamente estará mais quente do que a parte externa, que está em contato com o ambiente mais frio e, portanto, perdendo calor. Existe, portanto, um gradiente de temperatura da parte externa do corpo até a sua parte mais interna, Condução em regime transiente 4 sendo que esta é a última a esfriar. O contrário acontece na situação de aquecimento do corpo. a) Dedução Considere um corpo conforme a Figura 3, onde: - m: massa; - ∀: volume; - AS: área superficial; - 4: massa específica; - CP: calor específico a pressão constante; - TI: temperatura do corpo; - T∞: temperatura do ambiente. T∞>TI em t=0 Figura 3 Existe uma transferência de calor convectiva do ambiente para o corpo que segue a seguinte equação: %' = ℎ8U��V − �W� Mas a temperatura do corpo diminui com o passar do tempo, então: L� ≠ 0 ⇒ ������ ≠ �W Então, para qualquer variação de tempo haverá uma variação da temperatura: � ⟹ �� [��� � �� ����� N���� ���N� �� � \ = [����� � �� ����!"��� ���N� �� � \ ℎ8U$�V − ������*� = �3��� �5� Considerando que: - T∞ é constante; - m=4∀; - dT=(T-T∞), e substituindo na equação (5): −ℎ8U�� − �V�� = 4∀3��� − �V� Rearranjando: ��� − �V��� − �V� = − ℎ8U4∀3� � �6� Condução em regime transiente 5 Chamando (T-T∞)=x e integrando: � � 1 � � � T8U4∀3� � _ 1 � &`&a � �_ T8U4∀3� � 2 = ��b�� � � �∞d � ����" � �∞� � � T8U4∀3� . �� >�� � � �∞�" � �∞ ? � � T8U4∀3� . �7� Para eliminar o ln na equação (7): �� � � �∞�" � �∞ � �fA ghij∀klC.2 � �fm2 �8� Considerando que: o � T8U4∀3� b1/L � Lfqd O gráfico que representa a variação da temperatura do corpo ao longo do tempo está representado na Figura 4 e na equação (9): �� � � �V � ��" � �∞� ∙ �fm2 �9� Figura 4 – Gráfico de temperatura versus tempo Observa-se que: - quanto maior o valor de b (b3>b2>b1), mais rapidamente a temperatura do corpo (T) se aproxima da temperatura do ambiente (T∞); - quanto maior a massa, maior é o tempo para se atingir o equilíbrio; - quanto maior o calor específico do material (CP), maior o tempo para se atingir o equilíbrio. A equação (9) nos permite determinar: - a temperatura do corpo em um instante qualquer t; - em quanto tempo (t) o corpo atinge a temperatura específica T. Condução em regime transiente 6 Verifique que: - velocidade da transferência de calor por convecção: %' � T8Ub�� � � �Vd bs � t/Ld - quantidade de calor transferida entre o corpo e o meio circundante: % � �3�b�� � � �ud b t d - quantidade máxima de calor transferida entre o corpo e o meio circundante: %vá& � �3�b�V � �ud b t d Figura 5 – Quantidade máxima de calor transferido b) Análise Já que foi definida uma equação para ser usada em sistemas concentrados, quando podemos considerar um sistema como concentrado? Definindo: - comprimento característico do corpo– Lc (m): M� � ∀8U - número de Biot – Bi (adimensional) I" � T ∙ M�B Rearranjando: I" � T ∙ M�B ∙ 8U∆�8U∆� � T8U∆�xB8U M�y z∆� � ���{��çã� �� L�N���í�"� �� ���N������çã� ��� �� �� ���N� Isto é, o número de Biot representa a razão entre a convecção que ocorre na superfície do corpo e a condução dentro do corpo. Condução em regime transiente 7 Ou ainda: I" � }M� By ~}1 Ty ~ � ��L"L ê��"� à �����çã� ��� �� �� ���N���L"L ê��"� à ���{��çã� �� L�N���í�"� �� ���N�Isto é, o número de Biot representa a razão entre a resistência condutiva que ocorre dentro do corpo e a resistência convectiva que ocorre na superfície do corpo. Figura 6 – Representação do número de Biot Então: - se o número de Biot é pequeno: ⇒ há pouca resistência à condução de calor; ⇒ gradientes de temperatura pequenos dentro do corpo; ⇒ é um sistema concentrado. Análise exata: sistema é concentrado se Bi=0: ⇒ a resistência condutiva é zero; ⇒ a condutividade do corpo é infinita; ⇒ não há gradiente de temperatura dentro do corpo. - se Bi≤0,1: ⇒ variação de temperatura dentro do corpo não ultrapassa 5%, o que faz com que se possa considerar a temperatura uniforme. Se a grande precisão não for uma preocupação importante, pode-se considerar o corpo como um sistema concentrado mesmo se Bi>0,1. Exemplos: corpos pequenos com alta condutividade térmica são bons “candidatos” para serem considerados “sistemas concentrados”.
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