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Condução em regime transiente 
1 
 
1 Condução de calor em regime transiente 
 
1.1 Definição 
 
Em geral, a temperatura de um corpo que recebe ou transmite calor varia segundo 
o tempo e a posição no corpo, isto é: ������ � ��	, �, �, 
� 
 
Figura 1 – Variação da temperatura em corpos (a) esfriando e (b) aquecendo 
 
Até agora estudamos: 
- condução em regime permanente → não varia com o tempo; 
- condução unidimensional → não varia nas outras dimensões senão em x. 
 
1.2 Equação geral - coordenadas retangulares e tridimensional 
�
�	�	�����çã���	�����	��	, �, � � � �
�	�	�����çã������	��		 � ∆	,� � ∆�, � � ∆� � � �
�	�	!���çã������	��	"�
��"����	������
� � � �
�	�	�����ç�#���
"����	����!"���	������
� � 
$%&' �%( �' %)' * � $%'&+∆& � %'(+∆( � %')+∆)* � ,'-.� � ∆,∆
 									�1� 
Figura 2 – Condução em coordenadas cartesianas 
 
Considerando para o elemento infinitesimal representado na figura 2: ∀� ∆	 ∙ ∆� ∙ ∆� ∆, � �,2+∆2 � ,2� � �3���2+∆2 � �2� � 4∀3���2+∆2 � �2� � 43�∆	∆�∆���2+∆2 � �2� ,'-.� � �'-.� ∙ ∀� �'-.�∆	∆�∆� 
(a) (b) 
Condução em regime transiente 
2 
 
Sabendo que: 
- ,'-.� é a taxa total de geração de calor (W); 
- �'-.� é a taxa de geração de calor (W/m³). 
 
Então, substituindo em (1): 
$%&' � %'&+∆&* + $%(' − %'(+∆(* + $%)' − %')+∆)* + �'-.�∆	∆�∆� = 43�∆	∆�∆���2+∆2 − �2�∆
' 
 
Dividindo todos os termos pelo volume (5x·5y·5z): 
− 1∆�∆� 6
%'&+∆& − %&'∆	 7 −
1
∆	∆� 6
%'(+∆( − %('∆� 7 −
1
∆	∆� 6
%')+∆) − %)'∆� 7 + �'-.� =
43���2+∆2 − �2�∆
'
 
− 18& 6
%'&+∆& − %&'∆	 7 −
1
8( 6
%'(+∆( − %('∆� 7 −
1
8) 6
%')+∆) − %)'∆� 7 + �'-.� =
43���2+∆2 − �2�∆
'
 
 
Observando que: 
lim∆&→= >−
1
8& 6
%'&+∆& − %&'∆	 7? = −
1
8&
@%&@	 =
1
8&
@
@	 A−B8&
@�
@	C = −
@
@	 AB
@�
@	C 
 
Então: 
@
@	 AB
@�
@	C +
@
@� AB
@�
@�C +
@
@� AB
@�
@�C + �'-.� = 43�
@�
@
 												�2� 
Que é a equação geral de transferência de calor por condução. 
 
Simplificações possíveis: 
a) Se k é constante: 
6@E�@	E7 + 6
@E�
@�E7 + 6
@E�
@�E7 +
�'-.�B =
43�B
@�
@
 =
1
F	
@�
@
 												,#. ��	H���"�� − I"�
	 
 
b) Se o regime é permanente (não há variações no tempo): 
6@E�@	E7 + 6
@E�
@�E7 + 6
@E�
@�E7 +
�'-.�B = 0											,#. ��	K�"LL�� 
 
c) Se o regime é transiente mas não há geração de calor: 
6@E�@	E7 + 6
@E�
@�E7 + 6
@E�
@�E7 =
1
F	
@�
@
 										,#. ��	�"��Lã� 
 
d) Se o regime é permanente e não há geração de calor: 
6@E�@	E7 + 6
@E�
@�E7 + 6
@E�
@�E7 = 0											,#. ��	M�N���� 
Condução em regime transiente 
3 
 
e) Se o regime é permanente e unidimensional: 
6@E�@	E7 � 0						 
 
As análises devem ser feitas da mesma forma nas coordenadas cilíndricas e 
esféricas. 
 
Equações gerais para: 
 
- coordenadas cilíndricas: 	 � � ∙ ��LO; 								� = � ∙ L��O; 							� = � 
1
�
@
@� AB�
@�
@�C +
1
�E
@�
@O AB
@�
@OC +
@
@� AB
@�
@�C + �'-.� = 43�
@�
@
 												�3� 
 
- coordenadas esféricas: 
	 = � ∙ ��LO ∙ L��R; 					� = � ∙ L��O ∙ L��R; 					� = ��LR 
1
�E
@
@� AB�E
@�
@�C +
1
�E ∙ L��R
@
@O AB
@�
@OC +
1
�E ∙ L��R
@
@R AB ∙ L��R
@�
@RC + �'-.� = 43�
@�
@
 								�4� 
 
Obter soluções analíticas para estas equações diferenciais requer conhecimentos de 
técnicas de equações diferenciais parciais que não fazem parte do escopo da 
disciplina. 
Para trabalhar com o regime transiente, os estudos serão realizados seguindo uma 
simplificação: os sistemas concentrados. 
 
1.3 Sistemas concentrados 
 
É uma simplificação aceitável. 
Considera-se que a temperatura do corpo permanece uniforme em todo o corpo 
durante o processo de transferência de calor: 
������ = ��
� 
 
Exemplo: uma pequena peça fundida que sai de um forno: 
T diminui com o tempo 
mas 
T permanece igual em todo o corpo. 
 
Esta situação não é real, já que, se o corpo está esfriando, a parte mais interna 
deste corpo certamente estará mais quente do que a parte externa, que está em 
contato com o ambiente mais frio e, portanto, perdendo calor. Existe, portanto, um 
gradiente de temperatura da parte externa do corpo até a sua parte mais interna, 
Condução em regime transiente 
4 
 
sendo que esta é a última a esfriar. O contrário acontece na situação de 
aquecimento do corpo. 
 
a) Dedução 
Considere um corpo conforme a Figura 3, onde: 
- m: massa; 
- ∀: volume; 
- AS: área superficial; 
- 4: massa específica; 
- CP: calor específico a pressão constante; 
- TI: temperatura do corpo; 
- T∞: temperatura do ambiente. 
 
T∞>TI em t=0 
 
Figura 3 
 
Existe uma transferência de calor convectiva do ambiente para o corpo que segue a 
seguinte equação: 
%' = ℎ8U��V − �W� 
 
Mas a temperatura do corpo diminui com o passar do tempo, então: 
L�						
 ≠ 0				 ⇒ 			 ������ ≠ �W 
 
Então, para qualquer variação de tempo haverá uma variação da temperatura: 
�
 ⟹ �� 
[���	�	��	�����	N����	���N�	��	�
 \ = [�����
�	��	����!"���	���N�	��	�
 \ 
ℎ8U$�V − ������*�
 = �3���												�5� 
Considerando que: 
- T∞ é constante; 
- m=4∀; 
- dT=(T-T∞), e substituindo na equação (5): 
−ℎ8U�� − �V��
 = 4∀3��� − �V� 
 
Rearranjando: 
��� − �V��� − �V� = −
ℎ8U4∀3� �
													�6� 
 
Condução em regime transiente 
5 
 
Chamando (T-T∞)=x e integrando: �		 � 1	 �	 � � T8U4∀3� �
 
_ 1	 �	&`&a � �_
T8U4∀3� �
2
= 
��b��
� � �∞d � ����" � �∞� � � T8U4∀3� . 
 
�� >��
� � �∞�" � �∞ ? � � T8U4∀3� . 
													�7� 
 
Para eliminar o ln na equação (7): 
��
� � �∞�" � �∞ � �fA ghij∀klC.2 � �fm2												�8� 
 
Considerando que: 
o � T8U4∀3� 																								b1/L � Lfqd 
 
O gráfico que representa a variação da temperatura do corpo ao longo do tempo 
está representado na Figura 4 e na equação (9): 
 
 ��
� � �V � ��" � �∞� ∙ �fm2 �9� 
 
 
 
 
Figura 4 – Gráfico de temperatura versus tempo 
 
Observa-se que: 
- quanto maior o valor de b (b3>b2>b1), mais rapidamente a temperatura do 
corpo (T) se aproxima da temperatura do ambiente (T∞); 
- quanto maior a massa, maior é o tempo para se atingir o equilíbrio; 
- quanto maior o calor específico do material (CP), maior o tempo para se 
atingir o equilíbrio. 
 
A equação (9) nos permite determinar: 
- a temperatura do corpo em um instante qualquer t; 
- em quanto tempo (t) o corpo atinge a temperatura específica T. 
 
Condução em regime transiente 
6 
 
Verifique que: 
 
- velocidade da transferência de calor por convecção: %' � T8Ub��
� � �Vd															bs � t/Ld 
 
- quantidade de calor transferida entre o corpo e o meio circundante: % � �3�b��
� � �ud														b		t	d 
 
- quantidade máxima de calor transferida entre o corpo e o meio circundante: %vá& � �3�b�V � �ud														b		t	d 
 
 
Figura 5 – Quantidade máxima de calor transferido 
 
b) Análise 
Já que foi definida uma equação para ser usada em sistemas concentrados, quando 
podemos considerar um sistema como concentrado? 
Definindo: 
- comprimento característico do corpo– Lc (m): 
M� � ∀8U 
 
- número de Biot – Bi (adimensional) 
I" � T ∙ M�B 
 
Rearranjando: 
I" � T ∙ M�B ∙ 8U∆�8U∆� � T8U∆�xB8U M�y z∆�
� ���{��çã�	��	L�N���í�"�	��	���N������çã�	���
��	��	���N� 
Isto é, o número de Biot representa a razão entre a convecção que ocorre na 
superfície do corpo e a condução dentro do corpo. 
Condução em regime transiente 
7 
 
Ou ainda: 
I" � }M� By ~}1 Ty ~ �
��L"L
ê��"�	à	�����çã�	���
��	��	���N���L"L
ê��"�	à	���{��çã�	��	L�N���í�"�		��	���N�Isto é, o número de Biot representa a razão entre a resistência condutiva que ocorre 
dentro do corpo e a resistência convectiva que ocorre na superfície do corpo. 
 
Figura 6 – Representação do número de Biot 
Então: 
- se o número de Biot é pequeno: ⇒ há pouca resistência à 
condução de calor; ⇒ gradientes de temperatura 
pequenos dentro do corpo; ⇒ é um sistema concentrado. 
 
Análise exata: sistema é concentrado se 
Bi=0: ⇒ a resistência condutiva é zero; ⇒ a condutividade do corpo é 
infinita; ⇒ não há gradiente de 
temperatura dentro do corpo. 
 
 
- se Bi≤0,1: 
 ⇒ variação de temperatura dentro do corpo não ultrapassa 5%, o que faz com 
que se possa considerar a temperatura uniforme. 
 
Se a grande precisão não for uma preocupação importante, pode-se considerar o 
corpo como um sistema concentrado mesmo se Bi>0,1. 
 
Exemplos: corpos pequenos com alta condutividade térmica são bons “candidatos” 
para serem considerados “sistemas concentrados”.

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