Teoremas de Stokes e de Gauss

Prévia do material em texto

UFRRJ - ICE - DEMAT
Prof.a Aline
Material para a aula de Ca´lculo III
Temas: “Teorema de Stokes e Teorema da Divergeˆncia de Gauss”
Parte I: Teorema de Stokes
Definic¸a˜o 1 Seja S uma superf´ıcie orientada por um campo de vetores normais unita´rios
−→n . Dizemos que a fronteira ∂S de S possui orientac¸a˜o positiva se a superf´ıcie S esta´
a` esquerda de uma pessoa que caminha ao longo de ∂S com o vetor −→n representando sua
posic¸a˜o vertical.
Teorema de Stokes Seja S uma superf´ıcie orientada, lisa por partes, cuja fronteira
e´ formada por uma curva C fechada, simples, lisa por partes, com orientac¸a˜o positiva.
Seja
−→
F um campo vetorial cujas func¸o˜es componentes teˆm derivadas parciais cont´ınuas
em uma regia˜o aberta de R3 que conte´m S. Enta˜o
∫
C
−→
F · d~r =
∫ ∫
S
rot
−→
F · d~S
Observac¸a˜o 1 Como
∫
C
−→
F · d~r =
∫
C
〈
−→
F ,
−→
T
〉
ds e
∫ ∫
S
rot
−→
F · d~S =
∫ ∫
S
〈
rot
−→
F ,−→n
〉
dS,
o Teorema de Stokes nos diz que, sob as condic¸o˜es dadas, a integral de linha em torno
da curva fronteira de S da componente tangencial de
−→
F e´ igual a integral de superf´ıcie
da componente normal do rotacional de
−→
F .
Como a curva fronteira, orientada positivamente, da superf´ıcie orientada S e´ fre-
quentemente denotada por ∂S, o Teorema de Stokes pode ser escrito como
∫ ∫
S
rot
−→
F · d~S =
∫
∂S
−→
F · d~r
Exemplo 1 Calcule
∫
C
−→
F · d~r, onde
−→
F (x, y, z) = (−y2, x, z2) e C e´ a curva de intersec¸a˜o
do plano y+ z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1. Oriente C no sentido anti-hora´rio quando
vista de cima.
1
Parte II: Teorema da Divergeˆncia de Gauss
Definic¸a˜o 2 Seja E uma regia˜o limitada do R3, tendo como fronteira uma superf´ıcie
S = ∂E. Dizemos que ∂E esta´ orientada positivamente se o vetor normal em cada
ponto de ∂E aponta para fora de E.
Por exemplo, se E e´ a regia˜o de R3 definida por
E = {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4},
sua fronteira ∂E e´ formada por duas esferas centradas na origem. ∂E esta´ orientada
positivamente se os vetores normais a` esfera exterior apontarem no sentido contra´rio a`
origem e os vetores normais a` esfera interior apontarem para a origem.
Definic¸a˜o 3 Considere
−→
F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo vetorial
com derivadas parciais definidas num subconjunto aberto de R3. O divergente de
−→
F
(ou a divergeˆncia de
−→
F ), denotado por div
−→
F , e´ definido por
div
−→
F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
Teorema de Gauss (Teorema da Divergeˆncia) Seja E uma regia˜o so´lida, fechada
e limitada de R3, cuja fronteira S = ∂E e´ uma superf´ıcie orientada positivamente (ou
seja, para fora). Seja
−→
F um campo vetorial cujas func¸o˜es componentes teˆm derivadas
parciais cont´ınuas em uma regia˜o aberta de R3 que conte´m E. Enta˜o
∫ ∫
S
−→
F · d~S =
∫ ∫
E
∫
div
−→
F dV,
ou seja, ∫ ∫
∂E
−→
F · d~S =
∫ ∫
E
∫
div
−→
F dV,
Observac¸a˜o 2 O Teorema da Divergeˆncia afirma que, sob as condic¸o˜es dadas, o fluxo
de
−→
F pela superf´ıcie fronteira de E e´ igual a` integral tripla do divergente de
−→
F em E.
Exemplo 2 Determine o fluxo do campo vetorial
−→
F (x, y, z) = (z, y, x) sobre a esfera
unita´ria x2 + y2 + z2 = 1.
2