TEXTO 01 - INTEGRAL INDEFINIDA 2013 2

Prévia do material em texto

TEXTO 01 – CÁLCULO III - CURSO DE ENGENHARIA 
 Prof. José Norberto Reinprecht 
 
 
 
1. INTEGRAÇÃO E SUAS APLICAÇÕES 
 
1.1 INTEGRAIS INDEFINIDAS 
 
1.1.1 INTRODUÇÃO 
 
Até aqui preocupamos essencialmente com o problema: dada uma função, achar a sua 
derivada. Mas, em muitas aplicações importantes do cálculo envolvem o problema inverso: 
dada a derivada de uma função, determinar a função. Por exemplo, um físico que conhece a 
velocidade de um corpo em movimento e queira determinar a posição do corpo num dado 
instante; um pesquisador que conheça a taxa de aumento de uma determinada população e 
queira prever a população num instante futuro. 
O processo de obtermos uma função a partir de sua derivada é chamada de integral indefinida 
ou antiderivação. 
 
 
1.1.2 PRIMITIVA OU ANTI-DERIVADA 
 
Se F ’ ( x ) = ƒ ( x ) , então a função F( x ) é chamada de primitiva ou antiderivada da 
função ƒ (x) . 
 
Exemplo: 
 F (x) = 2x é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois ( 2x ) ’ = 2x 
 G (x) = 32 +x é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois ( 32 +x ) ’ = 2x 
 H (x) = 52 −x é uma primitiva de ƒ (x) = 2x , pois ( 52 −x ) ’ = 2x 
 
 
1.1.3 OBSERVAÇÕES 
1. Todas as primitivas de ƒ (x) = 2x são da forma: F (x) = Cx +2 , onde C é uma 
constante qualquer. 
2. Uma função ƒ (x) admite infinitas primitivas que diferem entre si por uma 
constante. Portanto, se F (x) é uma primitiva da função ƒ (x) , então qualquer 
outra primitiva de ƒ (x), tem a forma: G (x) = F (x)+C . 
 3. A interpretação geométrica para o fato de que as infinitas primitivas da mesma 
função contínua diferem por uma constante, é que os seus gráficos são 
translações verticais uma da outra, ou seja, as inclinações de todas as curvas são 
iguais para uma mesma abscissa x. 
 O gráfico abaixo (figura 1.1.1) apresenta quatro primitivas da função ƒ (x) = 2x . 
 
 
 ( Figura 1.1.1 ) 
 
 
 
1.1.4 INTEGRAL INDEFINIDA 
 
O conjunto das infinitas primitivas F (x) + C de uma função ƒ (x) é chamado de integral 
indefinida da função ƒ (x) , e denotado por dxxf )(∫ . 
Portanto, CxFdxxf +=∫ )()( <=> '])([ CxF + )( xf= 
Notações: ∫ : símbolo de integração 
 
)( xf : integrando 
 
dx
 : diferencial e indica que a primitiva é calculada em x. 
 
C
 : constante de integração 
Exemplos: 
 
a) Cxdxx +=∫
22
 , pois xCx 2')( 2 =+ 
b) Cxdxx +=∫
54
5
1
 , pois 
445 5.
5
1
')
5
1( xxCx ==+
 
c) Cedxe xx +=∫
33
3
1
, pois 
xx eCe 33 ')
3
1( =+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 REGRAS DE INTEGRAÇÃO 
 
2.2.1 REGRAS DE INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
As regras de integração que serão apresentadas a seguir, são deduzidas de uma regra 
de diferenciação correspondente. 
 
 REGRA 1 Cxkdxk +=∫ . ( k é constante) 
De fato, pois kCxk =+ ').( 
 
Portanto, Cxkdxk +=∫ . ( k é constante) 
 
Exemplos: 
 a) Cxdx +=∫ 33 
 b) Cxdx +−=−∫ 55 
 c) CxCxdxdx +=+== ∫∫ 11 
 
 
 REGRA 2 C
n
xdxx
n
n +
+
=
+
∫ 1
1
 , ( para n ≠ -1 ) 
De fato, pois 
n
nn
x
n
xnC
n
x
=
+
+
=+
+
−++
1
.)1(
')
1
(
111
 
 
Portanto, C
n
xdxx
n
n +
+
=
+
∫ 1
1
 , ( para n ≠ -1) 
 
 
Exemplos: 
a) C
xCxdxx +=+
+
=
+
∫ 413
413
3
 
b) C
x
CxCxdxxdx
x
+−=+
−
=+
+−
==
−+−
−
∫∫
1
112
1 1122
2 
c) C
xCxCxdxxdxx +=+=+
+
==
+
∫∫ 3
2
1
3
2
3
1
2
1
1 2
3
2
1
2
1
 
 
 
 REGRA 3 Cx
x
dxdx
x
dxx +=== ∫∫∫
− ||ln11
 
 
De fato, sabemos que: 



<−
>
=
0,
0,||
xsex
xsex
x
 . Logo, 
Para x > 0 ⇒ ')||ln( Cx + = ')ln( Cx + = 
x
1
 
Para x < 0 ⇒ ')||ln( Cx + = '])(ln[ Cx +− = 
x
x
−
− ')(
 = 
x−
− 1
 = 
x
1
 
 
Portanto, Cx
x
dxdx
x
dxx +=== ∫∫∫
− ||ln11
 
 
 
 
 REGRA 4 Cedxe xx +=∫ , 
 
 De fato, ')( Ce x + xe= 
 
Portanto, Cedxe xx +=∫ 
 
 
 
 REGRA 5 Cxsendxx +=∫ cos 
 
 De fato, ')( Cxsen + xcos= 
 
Portanto, Cxsendxx +=∫ cos 
 
 
 
 REGRA 6 Cxdxsenx +−=∫ cos , 
 
 De fato, ')cos( Cx +− senxxsen =−−= )( 
 
Portanto, Cxdxsenx +−=∫ cos 
 
 
 REGRA 7 C
a
adxa
x
x +=∫ ln 
 De fato, ')ln( Ca
a x
+ ==
a
aa x
ln
ln xa
 
 
 Portanto, C
a
adxa
x
x +=∫ ln 
 REGRA 8 Cxtgarc
x
dxdx
x
+=
+
=
+ ∫∫ 22 11
1
 
 De fato, ')( Cxtgarc + 21
1
x+
=
 
 
Portanto, Cxtgarc
x
dxdx
x
+=
+
=
+ ∫∫ 22 11
1
 
 
 
 
 
 REGRA 9 Cxsenarcdx
x
+=
−
∫ 21
1
 
 De fato, ')( Cxsenarc + 21
1
x−
=
 
 
Portanto, Cxsenarcdx
x
+=
−
∫ 21
1
 
 
 
 
 REGRA 10 Cxtgdxx +=∫
2sec
 
 De fato, xCxtg 2sec)'( =+ 
 
Portanto, Cxtgdxx +=∫
2sec
 
 
 
 
 REGRA 11 Cxtgcodxx +−=∫
2seccos
 
 De fato, )seccos()'( 2 xCxtgco −−=+− 
 
x2seccos=
 
Portanto, Cxtgcodxx +−=∫
2seccos
 
 
 
 
 
2.2.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS 
 
 
 PROPRIEDADE 1 
 
 
=∫ dxxfk )(. dxxfk )(.∫ ( k é uma constante ) 
 
 PROPRIEDADE 2 
 
=±∫ dxxgxf ])()([ dxxf )(∫ dxxg∫± )( 
 
Exemplo 1. Calcular: ∫ + dxxdxsenx )cos3( 
 
Solução: 
 
∫ + dxxdxsenx )cos3( = ∫ ∫+ dxxdxsenx cos3 
 ∫ ∫ =+= dxxdxsenx cos3 21 3cos CsenxCx +++− = 
 
)(3cos 21 CCsenxx +++−= Csenxx ++−= 3cos 
 
 
Exemplo 2. Calcular: dxxx∫ +− )23( 2 
 
Solução: 
 
=+−∫ dxxx )23( 2 =+−∫ ∫∫ dxdxxdxx 232 
 = )(2)2(33 32
2
1
3
CxCxCx +++−+
 = 
 = 32
2
1
3
223
2
3
3
CxCxCx ++−−+
 = 
 = )23(22
3
3 321
23
CCCxxx +−++−
 = Cx
xx
++− 2
2
3
3
23
 
 
 
Exemplo 3. Calcular: xd
x
x
∫
− 13
 
Solução: 
 
=
−
∫ xdx
x 13
 
=−∫ xdxx
x )1(
3
 
=−∫ xdxx )
1( 2
 
 = =− ∫∫ xdxxdx
12 Cxx +− ||ln
3
3
 
 
 
Exemplo 4. Calcular: tdt∫ +
2)3(
 
 
Solução: 
 
tdt∫ +
2)3( tdtt∫ ++= )96( 2 =++= ∫ ∫∫ dtdttdtt 962 
 
=++= ∫ ∫∫ dtdttdtt 96
2
 
=+++ Cttt 9
2
6
3
23Cttt +++= 93
3
2
3
 
 
Exemplo 5. Calcular: td
t
t∫ + )cos
1
cos( 2 
 
Solução: 
 
=+∫ tdtt )cos
1
cos( 2 =+∫ tdtt )seccos( 2 
 ] 
 
=+= ∫ ∫ tdttdt
2seccos ttgtsen +
 + C