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TEXTO 02 - DERIVADA

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Texto 02. Cálculo II 
Curso de Engenharia Prof. José Norberto Reinprecht 
 
DERIVADA 
 
 ( Livro texto PLT - pág. 67 - 70 – 71 - 92 e 93 ) 
2.1 FUNÇÃO DERIVADA 
 
 Dada uma função ƒ(x) chamamos de derivada de ƒ, e denotamos por ƒ’(x), como sendo a função 
 
x
xfxxf
xf
x
)()(
lim)('
0
 , 
definida para todo x para o qual exista este limite. 
 
 
Em todos os valores x para os quais existe este limite, isto é, em todos os pontos em que exista 
a derivada, dizemos que a função é diferenciável nesses pontos. 
 
A derivada de uma função y = ƒ(x), também pode ser representada por qualquer uma das 
notações abaixo: 
)(' xf
 ( lê-se: ƒ linha de x ) ; 
'y
( lê-se: y linha ) ; 
dx
dy ( lê-se: derivada de y em relação à x) 
ou 
dx
df ( lê-se: derivada de ƒ em relação à x) . 
 
 
Exemplo: 
 
 Dada a função 
2)( xxf
,determinar: 
a) a derivada da função ƒ. 
b) ƒ’(1) e ƒ’(0) e ƒ’(1/2) 
 
Solução: 
a) 
x
xfxxf
xf
x
)()(
lim)('
0 x
xxx
x
22
0
)(
lim
 
 
x
xxxxx
x
222
0
)(2
lim
x
xxx
x
2
0
)(2
lim
 
 
x
xxx
x
)2(
lim
0
xxx
x
2)2(lim
0
 
 
 Portanto, 
xxf 2)('
 
 
 
b) 
21.2)1('f
 
 
00.2)0('f
 
 
1.2)('
2
1
2
1f
 
 
 
 
2.2 REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Se toda vez que quiséssemos calcular a derivada de uma função tivéssemos que recorrer à sua 
definição, que envolve um limite, o processo de obtenção da derivada seria demasiadamente exaustivo. 
Neste tópico, mostraremos algumas regras práticas que permitirão obter a derivada das funções sem a 
necessidade da utilização da definição. 
 
 
2.2.1 Derivada da função constante ƒ(x) = k 
 
 Se ƒ(x) = k , então ƒ’(x) = 0 
 
 De fato, 
 
x
xfxxf
xf
x
)()(
lim)('
0 x
kk
x 0
lim
 
 
xx
0
lim
0
00lim
0x
 
 
 Portanto, 
0)(' xf
 
 
 
 Regra 1. R
0'][k
0 
 
 
 Graficamente, temos: 
 
Exemplos: 
a) Se 
3)(xf
 , então 
0)(' xf
 
b) Se 
5
2y
 , então 
0'y
 
c) Se 
)(xg
 , então 
0)(' xg
 
 
 
 
2.2.2 Derivada da função constante ƒ(x) = x 
 
 Se ƒ(x) = x , então ƒ’(x) = 1 
 
 De fato, 
 
x
xfxxf
xf
x
)()(
lim)('
0 x
xxx
x 0
lim
 
 
x
x
x 0
lim 11lim
0x
 
 Portanto, 
1)(' xf
 
 
 Regra 2. R
1'][ x
0 
 Graficamente, temos: 
 
 
 
 
2.2.3 Derivada da função constante ƒ(x) = x
n
 
 
 Se ƒ(x) = x
n
 , então ƒ’(x) = n x
n – 1
 , para todo número real n . 
 
 
 Regra 3. R
1'][ nn xnx
0 
 
 
Exemplos: 
 
Obter a derivada das funções abaixo: 
 
a) 
5)( xxf
 b) 
3
1
)(
x
xg
 c) 
xxr )(
 d) 
3 2
1
x
y
 
 
Solução: 
 a) 
415 55)(' xxxf
 
b) 
3
1
)(
x
xg
3x
, então 
4
413 333)('
x
xxxg
 
c) 
xxr )(
2
1
x
, então 
xx
xxxr
2
1
2
1
)('
2
1
2
1
2
1
2
11
2
1
 
d) 
3
2
3
2
11
3 2
x
xx
y
, então 
3 53
21
3
2
3
2
3
2
'
3
5
3
5
3
2
xx
xxy
 
 
 
 
2.2.4 Caso particular da regra da derivada da potência 
 Se 
n xxf )(
, então 
n nxn
xf
1
1
)('
 
 
 
 Regra 4. R
n nxn
n x
1
1]'[
0 
 
Exemplos: 
a) Se 
5)( xxf
 , então 
5 45
1
)('
x
xf
 
b) Se 
8)( xxg
 , então 
8 78
1
)('
x
xg
 
 
 
2.2.5 Derivada do produto de uma constante por uma função 
 
 Se 
)(xfcy
, então 
)(')(' xfcxy
 
 
 
 Regra 5. R
)(']')([ xfcxfc
0 
 
 
Exemplos: 
 
Obter a derivada das funções abaixo: 
a) 
43)( xxf
 b) 
2
5
)(
x
xg
 c) 
36)( xxr
 
 
Solução: 
 
a) 
33 124.3)(' xxxf
 
b) 
2
2
5
5
)( x
x
xg
 , então 
3
312 1010)2.(5)('
x
xxxg
 
 c) 
3 23 2
2
3
1
.6)('
xx
xr
 
 
 
2.2.6 Derivada da soma ou diferença de funções 
 
 Se 
)()( xgxfy
, então 
)(')(')(' xgxfxy
 
 
 Regra 6. R
)(')(')]'()([ xgxfxgxf
0 
 
 Esta regra pode ser generalizada para mais de duas funções. 
 
 “ A derivada da soma ou diferença de funções é a soma ou diferença de suas derivadas ” 
 
 
Exemplos: 
 
Obter a derivada das funções abaixo: 
a) 
152)( 3 xxxf
 b) 
327
4
3)( ax
x
xxg
 
 
Solução: 
 
a) 
5601.53.2)(' 22 xxxf
 
b) 
32132 7437
4
3)( axxxax
x
xxg
 , então 
 
x
xx
xx
x
xg 14
4
2
3
0144
2
1
3)('
2
2
 
 
 
2.3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
 
 
 Consideremos uma função contínua y = ƒ(x) , conforme o gráfico abaixo. 
 
 
2.3.1 Coeficiente angular 
sm
 da reta secante s . 
 
 
x
xfxxf
x
y
tgms
)()( 00
 , 
fornece a “ taxa de variação média da função no intervalo 
],[ 00 xxx
” . 
 
 
2.3.2 Coeficiente angular 
tm
 da reta tangente t . 
 
 
)('
)()(
limlim 0
00
00
xf
x
xfxxf
x
y
tgm
xx
t
 
fornece a “ taxa de variação instantânea da função no ponto 
0x
” ou simplesmente , “ taxa de 
variação da função no ponto 
0x
” 
 
 Assim, 
)(' 0xf
 representa o coeficiente angular ou declive da reta tangente à curva 
)( 0xf
 no ponto 
0xx
. 
 
 
 
2.4 EXERCÍCIOS 
 Livro texto PLT – seção 3.1 - pág. 97 
 
Encontre a derivada da função dada. Suponha a, b , c e k constantes. 
 
 1. 
11xy
 2. 
11xy
 3. 
2,3xy
 
 4. 
3
4
xy
 5. 
4
3
xy
 6. 
4
1
x
y
 
 7. 
4 xy
 8. 
exxf )(
 9. 
2
1
2
3
54 xxy
 
10. 
t
kt
tg
3
)(
 11. 
2
4 15)(
x
xxf
 12. 
wwwh 32)( 3
 
13. 
2
2 1123
tt
ty
 14. 
z
zy
2
12
 15. 
cxx
b
a
a
x
xj 2
3
)(
 
16. 
dr
dV
, se 
brV 2
3
4
 17. 
)92(
2
1
)( 5 xxxg.

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