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Texto 02. Cálculo II Curso de Engenharia Prof. José Norberto Reinprecht DERIVADA ( Livro texto PLT - pág. 67 - 70 – 71 - 92 e 93 ) 2.1 FUNÇÃO DERIVADA Dada uma função ƒ(x) chamamos de derivada de ƒ, e denotamos por ƒ’(x), como sendo a função x xfxxf xf x )()( lim)(' 0 , definida para todo x para o qual exista este limite. Em todos os valores x para os quais existe este limite, isto é, em todos os pontos em que exista a derivada, dizemos que a função é diferenciável nesses pontos. A derivada de uma função y = ƒ(x), também pode ser representada por qualquer uma das notações abaixo: )(' xf ( lê-se: ƒ linha de x ) ; 'y ( lê-se: y linha ) ; dx dy ( lê-se: derivada de y em relação à x) ou dx df ( lê-se: derivada de ƒ em relação à x) . Exemplo: Dada a função 2)( xxf ,determinar: a) a derivada da função ƒ. b) ƒ’(1) e ƒ’(0) e ƒ’(1/2) Solução: a) x xfxxf xf x )()( lim)(' 0 x xxx x 22 0 )( lim x xxxxx x 222 0 )(2 lim x xxx x 2 0 )(2 lim x xxx x )2( lim 0 xxx x 2)2(lim 0 Portanto, xxf 2)(' b) 21.2)1('f 00.2)0('f 1.2)(' 2 1 2 1f 2.2 REGRAS DE DERIVAÇÃO Se toda vez que quiséssemos calcular a derivada de uma função tivéssemos que recorrer à sua definição, que envolve um limite, o processo de obtenção da derivada seria demasiadamente exaustivo. Neste tópico, mostraremos algumas regras práticas que permitirão obter a derivada das funções sem a necessidade da utilização da definição. 2.2.1 Derivada da função constante ƒ(x) = k Se ƒ(x) = k , então ƒ’(x) = 0 De fato, x xfxxf xf x )()( lim)(' 0 x kk x 0 lim xx 0 lim 0 00lim 0x Portanto, 0)(' xf Regra 1. R 0'][k 0 Graficamente, temos: Exemplos: a) Se 3)(xf , então 0)(' xf b) Se 5 2y , então 0'y c) Se )(xg , então 0)(' xg 2.2.2 Derivada da função constante ƒ(x) = x Se ƒ(x) = x , então ƒ’(x) = 1 De fato, x xfxxf xf x )()( lim)(' 0 x xxx x 0 lim x x x 0 lim 11lim 0x Portanto, 1)(' xf Regra 2. R 1'][ x 0 Graficamente, temos: 2.2.3 Derivada da função constante ƒ(x) = x n Se ƒ(x) = x n , então ƒ’(x) = n x n – 1 , para todo número real n . Regra 3. R 1'][ nn xnx 0 Exemplos: Obter a derivada das funções abaixo: a) 5)( xxf b) 3 1 )( x xg c) xxr )( d) 3 2 1 x y Solução: a) 415 55)(' xxxf b) 3 1 )( x xg 3x , então 4 413 333)(' x xxxg c) xxr )( 2 1 x , então xx xxxr 2 1 2 1 )(' 2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 d) 3 2 3 2 11 3 2 x xx y , então 3 53 21 3 2 3 2 3 2 ' 3 5 3 5 3 2 xx xxy 2.2.4 Caso particular da regra da derivada da potência Se n xxf )( , então n nxn xf 1 1 )(' Regra 4. R n nxn n x 1 1]'[ 0 Exemplos: a) Se 5)( xxf , então 5 45 1 )(' x xf b) Se 8)( xxg , então 8 78 1 )(' x xg 2.2.5 Derivada do produto de uma constante por uma função Se )(xfcy , então )(')(' xfcxy Regra 5. R )(']')([ xfcxfc 0 Exemplos: Obter a derivada das funções abaixo: a) 43)( xxf b) 2 5 )( x xg c) 36)( xxr Solução: a) 33 124.3)(' xxxf b) 2 2 5 5 )( x x xg , então 3 312 1010)2.(5)(' x xxxg c) 3 23 2 2 3 1 .6)(' xx xr 2.2.6 Derivada da soma ou diferença de funções Se )()( xgxfy , então )(')(')(' xgxfxy Regra 6. R )(')(')]'()([ xgxfxgxf 0 Esta regra pode ser generalizada para mais de duas funções. “ A derivada da soma ou diferença de funções é a soma ou diferença de suas derivadas ” Exemplos: Obter a derivada das funções abaixo: a) 152)( 3 xxxf b) 327 4 3)( ax x xxg Solução: a) 5601.53.2)(' 22 xxxf b) 32132 7437 4 3)( axxxax x xxg , então x xx xx x xg 14 4 2 3 0144 2 1 3)(' 2 2 2.3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Consideremos uma função contínua y = ƒ(x) , conforme o gráfico abaixo. 2.3.1 Coeficiente angular sm da reta secante s . x xfxxf x y tgms )()( 00 , fornece a “ taxa de variação média da função no intervalo ],[ 00 xxx ” . 2.3.2 Coeficiente angular tm da reta tangente t . )(' )()( limlim 0 00 00 xf x xfxxf x y tgm xx t fornece a “ taxa de variação instantânea da função no ponto 0x ” ou simplesmente , “ taxa de variação da função no ponto 0x ” Assim, )(' 0xf representa o coeficiente angular ou declive da reta tangente à curva )( 0xf no ponto 0xx . 2.4 EXERCÍCIOS Livro texto PLT – seção 3.1 - pág. 97 Encontre a derivada da função dada. Suponha a, b , c e k constantes. 1. 11xy 2. 11xy 3. 2,3xy 4. 3 4 xy 5. 4 3 xy 6. 4 1 x y 7. 4 xy 8. exxf )( 9. 2 1 2 3 54 xxy 10. t kt tg 3 )( 11. 2 4 15)( x xxf 12. wwwh 32)( 3 13. 2 2 1123 tt ty 14. z zy 2 12 15. cxx b a a x xj 2 3 )( 16. dr dV , se brV 2 3 4 17. )92( 2 1 )( 5 xxxg.
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