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Texto 03. Cálculo II Curso de Engenharia Prof. José Norberto Reinprecht 3. FUNÇÕES EXPONENCIAIS 3.1 Definição A função exponencial de base a, ( a>0 e a 1 ), como sendo xaxf )( Graficamente, 3.2 Propriedades das potências P1. 10a P2. nmnm aaa . P3. nm n m a a a P4. nmnm aa )( P5. nnn baba )( P6. n n n b a b a )( P7. n n a a 1 P8. n mnm aa Exemplos: a) 64242 555.5 ( prop. P2 ) b) 335 3 5 22 2 2 ( prop. P3 ) c) 82.424 33.)3( ( prop. P4 ) d) 4444 15)5.3(5.3 ( prop. P5 ) e) 55 5 5 3) 2 6 ( 2 6 ( prop. P6 ) f) 8 1 2 1 2 3 3 ( prop. P7 ) g) 93) 1 3 () 3 1 ( 222 ( prop. P7 ) h) 33 232 2555 ( prop. P8 ) i) 4 3 4 3 22 ( prop. P8 ) 3.3 Limite fundamental exponencial. ( PLT - Seção 3.2 - pág.100 ) ex x x 1 0 )1(lim Sendo e um número irracional, denominado número de Euler, e seu valor decimal aproximado é de 2,7182818 . A demonstração da obtenção deste limite requer conhecimentos de cálculo avançado. Mostraremos, através das tabelas abaixo, que o comportamento da função xxxf 1 )1()( é de se aproximar do número e, quando os valores de x estiverem próximos do 0 . Tabela dos valores de x se aproximando de 0 pela esquerda (valores menores que 0 ) x - 0,5 - 0,1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 ... x 0 xxxf 1 )1()( 4 2,86797 2,73199 2,71964 2,71814 ... e 2,71828 Logo, ex x x 1 0 )1(lim Tabela de valores de x se aproximando de 0 pela direita. x 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 ... x 0 xxxf 1 )1()( 2,25 2,59374 2,70481 2,71692 2,71814 ... E 2,71828 Logo, ex x x 1 0 )1(lim E portanto, a ex x x 1 0 )1(lim x Podemos dizer que para valores “pequenos” de x, temos ex x 1 )1( Assim, x x x ex 1 )1( xex 1)1( Logo, xe x 1 3.4 Derivada da função exponencial ƒ(x) = e x A derivada de uma função ƒ(x) é definida como sendo a função x xfxxf xf x )()( lim)(' 0 . Assim, para xexf )( , temos: x eee x ee xf xxx x xxx x 00 limlim)(' x e e x ee x x x xx x 1 lim )1( lim 00 x x e x x e x x x x 00 lim 11 lim 1lim 0x xe xx ee 1. Portanto, Regra 7 x xx ee )'( xx 3.5 Cálculo do x a x x 1 lim 0 Para determinarmos o valor desse limite, inicialmente vamos considerar, por exemplo, a função x xf x 12 )( . E através de tabelas verifiquemos o comportamento da função ƒ nas vizinhanças do 0, do mesmo modo utilizado no limite fundamental exponencial. Tabela dos valores de x se aproximando de 0 pela esquerda (valores menores que 0 ) x - 1 - 0,5 - 0,1 - 0,01 - 0,001 ... X 0 x y x 12 0,5 0,5857 0,6696 0,6907 0,6929 ... y ln 2 0,6931 Tabela de valores de x se aproximando de 0 pela direita. x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 ... x 0 x y x 12 1 0,8284 0,7177 0,6955 0,6933 ... y ln 2 0,6931 Logo, 2ln 12 lim 0 x x x Agora, considerando a função x xf x 13 )( e procedendo da mesma forma da função anterior, teremos: Tabela dos valores de x se aproximando de 0 pela esquerda (valores menores que 0 ) x - 1 - 0,5 - 0,1 - 0,01 - 0,001 ... X 0 x y x 12 0,6666 0,8452 1,0404 1,0925 1,0980 ... y ln 3 1,0986 Tabela de valores de x se aproximando de 0 pela direita. x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 ... x 0 x y x 12 2 1,4641 1,1612 1,1046 1,0992 ... y ln 3 1,0986 Logo, 3ln 13 lim 0 x x x Portanto, parece razoável supo que: xx a x a x x ln 1 lim 0 xx 3.6 Derivada da função ƒ(x) = a x Como a derivada de ƒ(x) é definida como sendo a função x xfxxf xf x )()( lim)(' 0 . No caso de xaxf )( , temos: x aaa x aa xf xxx x xxx x 00 limlim)(' x aa xx x )1( lim 0 aa x a a x a x x x ln 1 lim ln 0 Portanto, Regra 8 x aaa xx ln)'( xx Exemplos: a) xxf 2)( b) xxg 3)( 2ln2)(' xxf 3ln3)(' xxg c) xx exg 53.2)( d) 25 35)( exxxg ex xx exg 53ln3.2)(' 14 355ln5)(' ex xexxg 3.7 Exercícios 1. 22)( xexf x 3. 25xy 5. 325 2 xxy 7. 3104 xyx 9. x y x 33 3 3 11. xexf 1)( 13. 1ey 15. xz 4)4ln( 17. xxxf 3)( 3 19. xy 2 21. xxexf )( 23. ax xaxy )( 24. xxxf )()( 2 2 2. tety 45 2 3. xxxf 3.22)( 6. xxey 1112 8. xxy 4.23 10. exexf 2)( 14. zez )4ln( 16. ttf )3ln()( 20. zzh )2ln()( 22. xxf x)( 25. zezzf )4(ln)3(ln)( 2
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