TEXTO 06 - REGRA DA CADEIA _13 e 14-09-10_

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TEXT0 06 - MATEMATICA I - ENGENHARIA 
 
13 e 14 /09/2010 Prof. José Norberto Reinprecht 
 
 
 Livro texto PLT – seção 3.4 - pág.106 
 
 6. REGRA DA CADEIA 
 
6.1 Introdução 
 
 Uma das regras mais importantes do cálculo diferencial é a chamada “Regra da Cadeia”. Esta regra 
se aplica as funções compostas e aumenta aplicação das regras das derivadas vistas anteriormente. 
 
 
 Sem regra da cadeia 
 
 
com a regra da cadeia 
 
 12 += xy 32 )1( += xy 
 12 += xy 
 12 += xy 
 
 12 += xy 32 )1(
1
+
=
x
y 
 12 += xy 
 
12 +
=
xey 
 
 A função 12 += xy pode ser diferenciada utilizando as regras vistas até agora, enquanto que para 
as funções: 
 
32 )1( += xy , 12 += xy , 32 )1(
1
+
=
x
y ou 1
2 +
=
xey 
por se tratarem de funções compostas utilizaremos a “Regra da Cadeia” para diferenciá-las. 
 
 
3uy = e 12 += xu , então 32 )1( += xy 
 uy = e 12 += xu , então 12 += xy 
 3
1
u
y = e 12 += xu , então 32 )1(
1
+
=
x
y 
 
uey = e 12 += xu , então 1
2 +
=
xey 
 
 
6.2 Teorema ( Regra da Cadeia ) 
 
 Se )(ufy = é uma função diferenciável de u, e )(xgu = é uma função diferenciável de x, então 
a função composta ))(( xgfy = é uma função diferenciável de x, e 
 
 X
xd
ud
ud
yd
xd
yd
.= X 
 
ou equivalentemente, )('.))(('])(([ xgxgfxgf
xd
d
= 
 
Exemplos. ( Livro Texto – PLT - exemplo 2 – pág. 107 ) 
 
1. 72 )14( += xy 
 
 Solução: 
 14 2 += xu e 7uy = , então 
 x
xd
ud 8= e 67u
ud
yd
= 
 
xd
ud
ud
yd
xd
yd
= = 
66 568.7 uxxu = 
 Portanto, 62 )14(56' += xxy 
 
 
2. xey 3= 
 
 Solução: 
 xu 3= e uey = 
 3=
xd
ud
 e ue
ud
yd
= 
 
xd
ud
ud
yd
xd
yd
= = 3.ue 
 Portanto, xey 33' = 
 
 
 
 
3. 253 2 −+= xxy 
 
 Solução: 
 253 2 −+= xxu e uy = , então 
 56 += x
xd
ud
 e 
uud
yd
2
1
= 
 
xd
ud
ud
yd
xd
yd
= = )56(.
2
1
+x
u
 
 Portanto, 
2532
56
'
2
−+
+
=
xx
xy 
 
 
 
 
6.3 Generalizações das regras de derivadas para funções compostas 
 
 
 Sabemos que: 
 
 6.3.1 Se nxy = , então 1.' −= nxny 
 No caso da função composta nxuy ])([= , temos: 
 '.'
1 uun
xd
ud
ud
ydy n −== 
 
 Portanto, 
 
 Regra 11 x '.'][ 1 uunu nn −= x 
 
 
 Exemplos: 
 
 
1002 )1( += xy ( PLT - exemplo 3 a) -pág. 107 ) 
 
 Solução: 
 
1001002 )1( uxy
u
=+= 321 
 xxuuy 2.)1(100'.100' 99299 +== 
 Portanto, 992 )1(200' += xxy 
 
 
 
 6.3.2 Se n xy = , então 
1
1
'
−
=
nxn
y 
 No caso da função composta n uy = , temos: 
 '.
1
'
1
u
unxd
ud
ud
ydy
n −
== 
 
 Portanto, 
 
 Regra 12 x
1
'
'][
−
=
n
n
un
u
u x 
 
 
 Exemplo: 
 
 253 2 −+= xxy ( PLT - exemplo 3 b) -pág. 107 ) 
 
 Solução: 
 
 43421
u
xxy 253 2 −+= 
 
12
2
)253(2
')253(
'
−+
−+
=
xx
xxy 
 Portanto, 
2532
56
'
2
−+
+
=
xx
xxy 
 
 
 6.3.3 Se xey = , então xey =' 
 No caso da função composta uey = , temos: 
 '' ue
xd
ud
ud
ydy u== 
 Portanto, 
 
 Regra 13 x ''][ uee uu = x 
 
 Exemplo: 
 
2
xey = ( PLT - exemplo 3 e) -pág. 107 ) 
 
 Solução: 
 
}u
xey
2
= 
 ')('' 22 xeuey xu == 
 Portanto, 
2
2' xexy = 
 
 6.3.4 Se xay = , então aay x ln'= 
 No caso da função composta uay = , temos: 
 '' ue
xd
ud
ud
ydy a== 
 Portanto, 
 
 Regra 14 x 'ln'][ uaaa uu = x 
 
 Exemplo: 
 
352 −= tz ( PLT - exerc.19 - pág. 109 ) 
 
 Solução: 
 
876u
tz 352 −= 
 ')35(2ln2' 35 −= − tz t 
 Portanto, 2ln5.2' 35 −= tz 
 
 
 
 
 
 
 
6.4 Exercícios de Aula 
 Livro texto PLT – seção 3.4 - pág.109 
 Obter a derivada das funções abaixo: 
 
 1. 100)1( += tw 2. 54 )2()( wwwh −= 
 
 3. θθ −= 2)(f 4. )5()( 22 xx xexf += 
 
 5. tcettv −= 2)( 6. 32 )5.( xxw = 
 
 7. zezzf −=)( 8. 2
2
)
3
2( += xy 
 9. 
12
2
+
=
x
ey
x
 10. 42 )()( za
b
zh
+
= 
 
 11. bteatf =)( 12. bxeaxtf −=)( 
 
 
 
 
 
6.5 Exercícios Propostos 
 Livro texto PLT – seção 3.4 - pág.109 
 
 Encontre as derivadas das funções nos exercícios abaixo: 
 
 1. 99)1()( += xxf 2. 21)( xxf −= 3. 1002 )1( += tw 
 4. tetf 3)( = 5. 1)( 4 += rrw 6. )72(3)( += xxg 
 7. 43 )()( xexxk +=8. 2)31()( tetg += 9. 23wey = 
 
 
 Respostas. 
 1. 98)1(99)(' += xxf 2. 
21
)('
x
x
xf
−
−
= 3. 992 )1(200' += ttw 
 4. tetf 33)(' = 5. 
1
2)('
4
3
+
=
r
r
rw 6. 3ln2.3)(' )72( += xxg 
 7. 332 ))(3(4)(' xx exexxk ++= 8. )31(6.)(' 2)31( tetg t += + 9. 
2
3
'
2
3w
ey =