TEXTO 08 - DERIVADAS DE FUNÇOES LOGARITMICAS

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Texto 08. Cálculo II 
Curso de Engenharia Prof. José Norberto Reinprecht 
 
 Livro texto PLT – seção 3.5 . - pág.110. 
 
 
8. DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
E 
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 
 
8.1 Derivada da função ƒ(x) = ln x. 
 
 Sabemos que: xe x =ln 
 
 Derivando-se ambos os membros da igualdade acima, em relação a x: 
 ]'[]'[ ln xe x = 
 Aplicando a regra da cadeia, temos: 
 1)'ln(ln =xe x 
 1)'ln(. =xx 
 
 Portanto, 
x
x
1)'ln( =
 
 
 No caso da função composta, temos: 
 
u
u
u
')'ln( =
 
 
 Exemplo 1. 
 )1(ln 2 321
u
xy += ( PLT - exemplo 1a – pág. 116 ) 
 
1
)'1(
' 2
2
+
+
=
x
xy 
 Portanto, 
1
2
' 2 +
=
x
xy 
 Exemplo 2. 
 {{
vu
tty ln.2= ( PLT - exemplo 1b – pág. 116 ) 
 
t
ttttttty 1.ln2)(lnln.)'(' 222 +=+= 
 Portanto, ttty += ln.2' 
 
8.2 Derivada da função ƒ(x) = arc sen x. 
 
 Sabemos que: xxsenarcsen =)( , 
22
pipi
<<− x 
 Derivando-se ambos os membros da igualdade acima, em relação a x: 
 ']['])([ xxsenarcsen = 
 Aplicando a regra da cadeia, temos: 
 ( ) 1')(cos =xsenarcxsenarc 
 ( ) )(cos
1
'
xsenarc
xsenarc = 
 Mas, 
 1cos22 =+ θθsen 
 Assim, 
 1)(cos)( 22 =+ xsenarcxsenarcsen 
 )(1)(cos 22 xsenarcsenxsenarc −= 
 )(1)(cos 2 xsenarcsenxsenarc −±= 
 )(1)(cos 2 xsenarcsenxsenarc −= , pois 
22
pipi
<<− x 
 
21)(cos xxsenarc −= 
 Logo, ( )
21
1
'
x
xsenarc
−
= 
 
 Portanto, ( )
21
1
'
x
xsenarc
−
=
 
 
 No caso da função composta, temos: 
 
 
( )
21
'
'
u
u
usenarc
−
=
 
 Exemplo 1. ( PLT - exercício 25 – pág. 117 ) 
 {
u
tsenarctr 2)( = 
 
2)2(1
)'2()('
t
t
tr
−
= 
 Portanto, 
241
2)('
t
tr
−
= 
 
 Exemplo 2. ( PLT - exercício 23 – pág. 117 ) 
 { 43421
v
u
wsenarcwwh .)( = 
 
21
1
..1)'(..)'()('
w
wwsenarcwsenarcwwsenarcwth
−
+=+= 
 Portanto, 
21
)('
w
w
wsenarcth
−
+= 
 
 
 Livro texto PLT – seção 3.6. - pág.116. 
8.3 Derivada da função ƒ(x) = arc tg x. 
 
 Sabemos que: xxtgarctg =)( , 
22
pipi
<<− x 
 
 Derivando-se ambos os membros da igualdade acima, em relação a x: 
 ']['])([ xxtgarctg = 
 Aplicando a regra da cadeia, temos: 
 
( ) 1')(sec2 =xtgarcxtgarc 
 
( ) )(sec
1
' 2 xtgarc
xtgarc = 
 Mas, 
 θθ 22 1)sec tg+= 
 Assim, 
 )(1)(sec 22 xtgarctgxtgarc += 
 Logo, 
 ( ) )(1
1
' 2 xtgarctg
xtgarc
+
= 
 
 Portanto, ( ) 21
1
'
x
xtgarc
+
=
 
 
 No caso da função composta, temos: 
 
( ) 21
'
'
u
u
utgarc
+
=
 
 
 
Exemplo 1. ( PLT - exercício 18 – pág. 117 ) 
 
 
321
u
ttgarctg )43()( −= 
 
162491
3
)43(1
)'43()(' 22 +−+=−+
−
=
ttt
t
tg 
 Portanto, 
17249
3)(' 2 +−= tttg 
 
Exemplo 2. ( PLT - exercício 20 – pág. 117 ) 
 
u
u
ttgarc eetg ==
876
)3( 2)( 
 22
2
)3(2)3(
)3(1
)'3(])3(['.)(' 22
t
t
ettgarceuetg ttgarcttgarcu
+
=== 4
)3(
91
62
t
t
e ttgarc
+
= 
 Portanto, 4
)3(
91
6)('
2
t
et
tg
ttgarc
+
= 
 
 Livro Texto – PLT – seção 3.6 – pág. 117 
8.4 Exercícios de aula 
 
Encontre as derivadas das funções dos exercícios abaixo: 
 
 1. )1(ln)( xxf −= 2. )1ln()( xexf −−= 
 3. )(ln)( αα senf = 4. )ln()( bexj ax += 
 5. 1)(ln)( += xexf 6. )()( αα senarcseng = 
 7. )cos(ln)( ttg = 
8.5 Exercícios Propostos 
 
Encontre as derivadas das funções dos exercícios abaixo: 
 
 1. )(cosln)( θθ =f 2. )1ln()( += xexf 
 3. )(ln)( 7 xexf = 4. )3(cos)( xtgarcxf = 
 5. )()( xsensenarcxg pi= 6. )cos(ln)( xxsenxf += 
 
 
 Respostas: 
 1. 
θ
θθ
cos
)(' senf −= 2. 
1
)('
+
=
x
x
e
e
xf 
 3. 7)(' =xf 4. 291
)3()(
x
xtgarcsen
xf
+
−
= 
 5. pi=)(' xg 6. 
xxsen
xsenx
xf
cos
cos)('
+
−
=