curso geometria analitica

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CURSO
DE
GEOMETRIA ANALI´TICA
por
Jose´ Adonai Pereira Seixas
Maceio´-2009
Conteu´do
1 Vetores no Plano e no Espac¸o 1
1.1 Segmentos Orientados no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Segmentos Orientados no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Vetores no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Produtos Escalar e Vetorial 21
2.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Retas e Planos 33
3.1 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Distaˆncia de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Coˆnicas 41
4.1 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Transladando uma Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.2 Rotacionando uma Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Hipe´rboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Para´bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Qua´dricas 57
5.1 Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Elipso´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Parabolo´ides Hiperbo´licos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Parabolo´ides El´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Cilindros Sobre Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.7 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Refereˆncias Bibliogra´ficas 65
Parte 1
Vetores no Plano e no Espac¸o
Os vetores sa˜o objetos matema´ticos que prove´m da F´ısica. Nesta cieˆncia, tem-se as gran-
dezas escalares, que se caracterizam por nu´meros reais, por exemplo, a massa ou a temperatura
de um corpo, e aquelas vetoriais que se expressam atrave´s de uma magnitude e um sentido, como,
por exemplo, uma forc¸a arrastando um objeto. Sa˜o essas grandezas vetoriais que motivam a
construc¸a˜o do que chamamos de vetor.
1.1 Segmentos Orientados no Plano
A interpretac¸a˜o geome´trica mostrada na figura 1, que descreve o conjunto dos nu´meros
reais R como uma reta orientada, sobre a qual se escolhe um ponto O, o qual corresponde ao
nu´mero zero e uma unidade de medida, que corresponde ao nu´mero 1, pode ser aplicada ao plano
e ao espac¸o, produzindo o que chamaremos de plano e espac¸o cartesiano, e que denotaremos por
R2 e R3, respectivamente.
Figura 1: Os Nu´meros Reais R
r
0
r
1
r√
3
r
pi +∞−∞
r
−√2
Para construir o R2, tomamos duas co´pias
de R, as quais chamamos de eixos coordenados.
Estes eixos sa˜o denotados por eixo-x e eixo-y.
O passo seguinte consiste em dispor os eixos
coordenados em um plano euclidiano de modo
que eles se interceptem ortogonalmente em suas
origens, o que produz o ponto O, que sera´
associado a` dupla (2-upla) nula (0, 0), conforme
figura ao lado. Feito isso, dado um outro ponto
A do plano, associamos a` A a dupla (a1, a2),
que e´ constru´ıda assim: a1 e´ a projec¸a˜o de A
sobre o eixo-x, e a2 e´ aquela sobre o eixo-y. Em
O
s -
6
x
y
Figura 2: Plano Cartesiano R2
sBb2 r
b1
r
sAa2 r
a1
r
outras palavras: trac¸ando-se por A, uma reta perpendicular ao eixo-x determinamos a1, e com
uma reta perpendicular ao eixo-y, determinamos a2. Agora escreveremos A = (a1, a2), e fica
estabelecida uma bijec¸a˜o entre o plano euclidiano que fixamos e o conjunto
R2 = {(a1, a2), a1 ∈ R, a2 ∈ R} = {(x, y), x ∈ R, y ∈ R},
1
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 2
que chamaremos plano cartesiano R2. Chamaremos a1 e a2 de coordenadas de A. As expresso˜es
abscissa de A e ordenada de A tambe´m sa˜o usadas para a1 e a2, respectivamente. Conve´m
observar que em R2, duas duplas A = (a1, a2) e B = (b1, b2) sa˜o iguais se a1 = b1 e a2 = b2.
Exemplo 1.1. Neste exemplo, vamos marcar no plano cartesiano R2 os pontos A = (1, 0),
B = (
√
2, 1), C = (0, 1), D = (0, 2) e E = (−1, 2).
√
2 x-1
A
C = (0, 1) B = (
√
2, 1)
E = (−1, 2) D = (0, 2)
y
1-1 Exerc´ıcio
Resposta
Represente os pontos A = (3,−4), B = (3,−1), C = (−5, 1), D =
(−3,−2), E = (0, 4), F = (−4, 0), G = (√5, 3) e encontre as coordena-
das
(a) Das projec¸o˜es dos pontos dados sobre o eixo-x;
(b) Idem, sobre o eixo-y;
(c) Dos pontos sime´tricos dos pontos dados em relac¸a˜o ao eixo-x;
(d) Idem, com relac¸a˜o ao eixo-y;
(e) Idem, com relac¸a˜o a` or´ıgem;
(f) Idem, com relac¸a˜o a` bissetriz y = x.
Em R2, podemos somar duplas e multiplicar uma dupla por um nu´mero real.
Definic¸a˜o 1.2. Se A = (a1, a2) e B = (b1, b2), a soma de A com B, indicada por A + B, e´ a
dupla
A+B = (a1 + b1, a2 + b2).
Definic¸a˜o 1.3. Se A = (a1, a2) e a ∈ R, o produto de A pelo nu´mero real a, indicado por
aA, e´ a dupla
aA = (aa1, aa2).
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 3
Exemplo 1.4. Dados os pontos A = (1, 0), B = (
√
2, 1), C = (0, 1), D = (0, 2) e E = (−1, 2),
temos que:
(i) A+ C = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1), A+B = (1, 0) + (
√
2, 1) = (1 +
√
2, 1).
(ii) 2E = 2(−1, 2) = (−2, 4), √2B = √2(√2, 1) = (2,√2).
(iii) E −D = (−1, 2)− (0, 2) = (−1− 0, 2− 2) = (−1, 0).
1-2 Exerc´ıcio
Resposta
Dados os pontos A = (3,−4), B = (3,−1), C = (−5, 1), D = (−3,−2),
E = (0, 4), F = (−4, 0), G = (√5, 3), calcule
(a) A− A+B −B;
(b) −A−B − C −D − E − F +G.
Temos as seguintes propriedades destas operac¸o˜es.
Proposic¸a˜o 1.5. Se A,B,C ∈ R2 e a, b ∈ R, enta˜o valem as seguintes propriedades:
(i) [Comutatividade] A+B = B + A;
(ii) [Associatividade] (A+B) + C = A+ (B + C);
(iii) [Elemento Neutro] a n-upla O = (0, 0), chamada dupla nula (ou zero), e´ a u´nica dupla
tal que A+O = A;
(iv) [Sime´trico] a dupla −A = (−a1,−a2), chamada sime´trico da dupla A, e´ a u´nica dupla
tal que A+ (−A) = O.
(v) [Distributividade] a(A+B) = aA+ aB;
(vi) [Distributividade] (a+ b)A = aA+ bA;
(vii) [Associatividade] (ab)A = a(bA);
(vii) 1A = A.
Demonstrac¸a˜o. Vejamos a demonstrac¸a˜o de (ii). Temos que
(A+B) + C = (a1 + b1, a2 + b2) + (c1, c2)
= ((a1 + b1) + c1, (a2 + b2) + c2))
= (a1 + (b1 + c1), a2 + (b2 + c2))
= A+ (B + C).
O importante aqui e´ que, em R, vale a propriedade associativa. As demais propriedades sa˜o
igualmente simples, e sera˜o deixadas como exerc´ıcio para o leitor.
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 4
Dados dois pontos no plano R2, digamos A = (a1, a2) e B = (b1, b2), o segmento orientado
AB e´ o segmento de reta ligando A e B, nesta ordem. Como conjunto de pontos, os segmentos
orientados AB e BA sa˜o iguais. Entretanto, eles
representam segmento orientados diferentes: BA
sera´ chamado segmento orientado oposto de AB.
Dado um segmento orientado AB, A 6= B,
consideraremos treˆs objetos importantes para o
seu estudo, a saber: a reta l que o conte´m, a dife-
renc¸a
B − A = (b1, b2)− (a1, a2) = (b1 − a1, b2 − a2)
e a inclinac¸a˜o (declividade) de l dada por Figura 4: O Segmento Orientado AB
b1a1 x
α
X = (b1, a2)
Aa2
b1 − a1
b2 − a2
b2
B
y l
m(l) = tgα =
b2 − a2
b1 − a1 ,
que esta´ bem definida para b1 − a1 6= 0. Aqui α e´ o aˆngulo que l (ou AB) faz com eixo-x.No
caso em que na˜o podemos definir m, isto e´, quando b1 = a1, diremos que AB e´ vertical (isto e´
razoa´vel?).
A partir da figura 4 , vamos definir o comprimento de AB, o que sera´ indicado por
∥∥AB∥∥,
e que coincidira´ com a distaˆncia entre os pontos A e B, que indicamos por d(A,B). Aplicando
o teorema de Pita´goras ao triaˆngulo retaˆngulo (em X) 4ABX, vem que∥∥AB∥∥ = d(A,B) = √(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2.
Dizemos que dois segmentos orientados AB e CD teˆm a mesma direc¸a˜o se as retas que os
conte´m sa˜o paralelas. Em outras palavras, se l e´ a reta que conte´m AB e r e´ aquela que conte´m
CD, os segmentos teˆm a mesma direc¸a˜o, se m(l) = m(s), ou ambos os segmentos sa˜o verticais.
O c1 d1a1 xb1
c2
C
a2
A
b2
B
d2
D
y
Agora vamos formalizar a noc¸a˜o de mesmo sentido entre dois segmentos orientados. Na
figura acima, vemos segmentos AB e CD com a mesma direc¸a˜o. Entretanto, o nosso sentimento
percebe mais alguma coisa comum entre eles: o sentido. Em cada caso, saindo da extremidade
inicial (A num caso, C no outro) chegamos na extremidade final, se subimos e, ao mesmo tempo,
caminhamos para a direita. Como formalizar esta noc¸a˜o? E´ simples. Olhamos as diferenc¸as
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 5
associadas a eles, a saber:
B − A = (b1 − a1, b2 − a2) e D − C = (d1 − c1, d2 − c2).
Agora observamos que as coordenadas b1 − a1 e d1 − c1 devem ter o mesmo sinal (no caso da
figura, positivo). Observe que b1 − a1 e d1 − c1 ter o mesmo sinal obriga que o mesmo ocorra
com as ordenadas b2 − a2 e d2 − c2. Portanto, temos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.6. Diremos que AB e CD teˆm o mesmo sentido se
m(l) = m(s), (b1 − a1)(d1 − c1) > 0, e (portanto) (b2 − a2)(d2 − c2) > 0
ou, no caso que os segmentos sa˜o verticais, exigimos apenas que
(b2 − a2)(d2 − c2) > 0.
Observac¸a˜o 1.7. Em particular, os segmentos
AB e BA teˆm a mesma direc¸a˜o, mas na˜o teˆm o
mesmo sentido. De fato, B−A = (b1−a1, b2−a2)
e A − B = (a1 − b1, a2 − b2) e o produto de suas
abscissas e´
(b1 − a1)(a1 − b1) = −(b1 − a1)2 < 0.
Note tambe´m que AB tem o mesmo sentido e
comprimento que o segmento orientado ligado a
origem dado por OX, onde X = B − A.
O xO xb1 − a1b1 − a1a1a1 b1b1
b2 − a2b2 − a2
XXAA
a2a2
b2b2
BB
yy
Exemplo 1.8. Vamos considerar, no plano cartesiano R2, os pontos A = (1, 0), B = (0, 2),
C = (2, 1), D = (1, 3) e E = (5,−2) e F = (3, 2). Vamos olhar as coordenadas de B−A, D−C
e F − E. Temos que
(i) B − A = (0, 2)− (1, 0) = (−1, 2).
(ii) D − C = (1, 3)− (2, 1) = (−1, 2).
(iii) F − E = (3, 2)− (5,−2) = (−2, 4).
As inclinac¸o˜es das retas suportes de AB, CD e EF sa˜o iguais a−2, como e´ fa´cil de ver. Portanto,
os treˆs segmentos teˆm a mesma direc¸a˜o. Ale´m disto as razo˜es entre as abscissas de (i), (ii) e (iii)
sa˜o sempre positivas, ora 1, ora 1/2. Isto significa que o treˆs segmentos teˆm o mesmo sentido.
Para finalizar, observamos que
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 6
d(A,B) =
∥∥AB∥∥ = √(−1)2 + 22 = √5,
d(C,D) =
∥∥CD∥∥ = √(−1)2 + 22 = √5
e
d(E,F ) =
∥∥EF∥∥ = √(−2)2 + 44 = 2√5.
Portanto, os segmentos AB e CD teˆm compri-
mentos iguais. Os segmentos orientados com o
mesmo comprimento e mesmo sentido desempe-
nhara˜o papel fundamental no nosso estudo, como
veremos a seguir.
−2 E
32 xA
5
1 C
B
F
3
D
y
1-3 Exerc´ıcio
Resposta
Dados A = (0, 0), B = (3,−4), C = (−3, 4), D = (−2, 2) e E = (10,−3),
calcule as distaˆncias d(A,B), d(B,C), d(A,C), d(C,D), d(A,D), d(D,E).
1-4 Exerc´ıcio
Resposta
Os pontos A = (3,−7) e B = (−1, 4) sa˜o ve´rtices consecutivos de um
quadrado. Calcule a a´rea do quadrado.
1-5 Exerc´ıcio
Resposta
Os pontos P = (3, 5) e Q = (1,−3) sa˜o ve´rtices opostos de um quadrado.
Calcule a a´rea do quadrado.
1-6 Exerc´ıcio
Resposta
Ache a a´rea do triaˆngulo equila´tero do qual A = (−3, 2) e B = (1, 6) sa˜o
ve´rtices.
1.2 Vetores no Plano
Seja AB o segmento orientado determinado pelos pontos A = (a1, a2) e B = (b1, b2).
Agora imagine todos os outros segmentos que teˆm o mesmo comprimento e sentido que AB.
Na˜o tente desenhar isto: o plano ficaria repleto de segmentos e na˜o haveria espac¸o para mais
nada. O que fazemos, para visualizar tal situac¸a˜o, e´ desenhar alguns, como na figura abaixo, onde
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 7
Figura 8: Vetor AB
O a1 b1 xb1 − a1
X
b2 − a2
Aa2
b1 − a1
b2 − a2U
R
b2 s1 − r1
B
s2 − r2P
V q1 − p1
Sq2 − p2
Qy
introduzimos, agora, uma nova forma de ver o sentido de um segmento orientado: uma seta
ligando o ponto inicial ao ponto final de cada segmento orientado. Bem, e´ a` essa colec¸a˜o de
segmentos orientados “parecidos” que chamaremos de vetor AB, e que indicaremos por
−→
AB.
Na˜o esquec¸a:
−→
AB e´ um conjunto de segmentos orientado, um para cada ponto do plano. Devido
a sua importaˆncia no estudo dos vetores, o par (b1 − a1, b2 − a2) sera´ chamado coordenadas
do vetor
−→
AB. Onde esta´ a importaˆncia destes nu´meros? E´ simples: Olhe a figura 8 . Veja o
representante na origem. Ele e´ o segmento OX, onde X = B − A = (b1 − a1, b2 − a2). Olhe
outro representante, digamos o localizado em P = (p1, p2) e que termina em Q = (q1, q2). Note
que Q− P = (q1 − p1, q2 − p2) deve coincidir com (b1 − a1, b2 − a2). Percebeu? Agora olhe para
R e S. O que acontece com S −R = (s1 − r1, s2 − r2)? Isto nos da´ uma nova maneira de ver o
vetor
−→
AB:
−→
AB = {PQ, Q = (q1, q2), P = (p1, p2); q1 − p1 = b1 − a1 e q2 − p2 = b2 − a2},
ou, alternativamente,
−→
AB = {PQ, Q = (q1, q2), P = (p1, p2); Q−P = B−A}.
De agora em diante vamos indicar o vetor−→
AB, tambe´m, por
−−−−−−→
O(B − A), ou −−−−→B − A, ou−−−−−−−−−−−→
(b1 − a1, b2 − a2) ou, mais simplesmente, por
(b1 − a1, b2 − a2).
Neste ponto, duas coisas devem ser observadas
com atenc¸a˜o: a primeira e´ que se PQ ∈ −→AB,
O u1 x
−→
u
u2
U
P
−→
u
Q
y
enta˜o
−→
PQ =
−→
AB; a outra e´ que quando escrevemos
−→
u = (u1, u2), estamos pensando no vetor
cujo representante (elemento -lembre que
−→
u e´ um conjunto) localizado (comec¸ando) na origem
termina no ponto (u1, u2). E´ um bom exerc´ıcio para o leitor adivinhar o ponto Q onde terminara´
o representante de
−→
u localizado em P = (p1, p2). Note que, na figura, usamos
−→
u nos dois
segmentos. Isto poderia ser feito em qualquer outro representante.
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 8
Definic¸a˜o 1.9. Como os representantes de um vetor
−→
u =
−→
AB teˆm o mesmo comprimento, a
saber a distaˆncia de A a B (‖B − A‖), este valor comum sera´ chamado comprimento ou norma
do vetor
−→
u =
−→
AB, o que indicaremos por
∥∥∥−→u ∥∥∥. Em particular, se tomamos o representante
−→
OU , U = (u1, u2), temos
∥∥∥−→u ∥∥∥ = √u21 + u22.
Exemplo 1.10. Consideremos os dois vetores−→
u = (3, 2) e
−→
v = (1, 3). Vamos localiza´-los
em O = (0, 0) e em P = (4, 1). Na pra´tica,
estando em um ponto qualquer P , para dese-
nhar
−→
u , devemos caminhar 3 unidades para a
direita e 2 para cima. E para desenhar
−→
v , o
que devemos fazer? Quando localizamos
−→
u na
origem, a outra extremidade e´ U = (3, 2), e
quando localizamos
−→
u em P = (4, 1), a outra
extremidade deve ser Q = (7, 3), porque deve-
mos caminhar 3 unidades para a direita e 2 para
cima, isto e´, Q = P+U . Neste ponto, o leitor deve
O 31 4 x75
−→
u
1
−→
u
−→
v
2
U
−→
v
3
V Q
y
fazer uma discussa˜o ana´loga para o vetor
−→
v . Quanto a`s normas destes vetores, temos que∥∥∥−→u ∥∥∥ = √32 + 22 = √13 e ∥∥∥−→v ∥∥∥ = √12 + 32 = √10. Agora vamos imaginar que −→u e −→v sa˜o
duas forc¸as de intensidades (medidas em Newtons)
√
13 N e
√
10 N , respectivamente. Qual a
resultante
−→
r ? Bem, sabemos que a resultante aparece na diagonal do paralelogramo formadocom os vetores
−→
u e
−→
v , constru´ıdo como mostra a figura abaixo: aplicamos as forc¸as em um
ponto e, a seguir, colocamos na extremidade final de cada um deles, um representante do outro.
O x751 83 4
−→
u
1
−→
v
−→
u
2
U
−→
r
−→
v
3
−→
vV
5
−→
r
−→
u
−→
v
−→
u
R
y
Vamos olhar atentamente a figura. Note que, nos dois paralelogramos, a projec¸a˜o na horizontal
do vetor
−→
r sempre mede 4, enquanto sua projec¸a˜o na vertical mede 5. Em particular, no
paralelogramo constru´ıdo na origem,
−→
r termina em R = (4, 5), que e´ exatamente a soma das
extremidades de
−→
u com aquela de
−→
v , isto e´, R = U + V . Concorda? Portanto a intensidade
da resultante e´
∥∥∥−→r ∥∥∥ = √42 + 52 = √41 Newtons. Este exemplo motiva a seguinte definic¸a˜o.
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 9
Definic¸a˜o 1.11. [Soma de Vetores] Sejam
−→
u = (u1, u2) e
−→
v = (v1, v2) dois vetores (que
localizados na origem terminam em U = (u1, u2) e V = (v1, v2)). A soma de
−→
u com
−→
v e´
definida como sendo o vetor (de coordenadas)
−→
u +
−→
v = (u1 + v1, u2 + v2) = U + V.
Figura 12: Soma de Vetores
O xu1 + v1u1v1
−→
u
−→
vu2
U
−→
u +
−→
v
−→
vv2
V
−→
u
u2 + v2
R
y
Definic¸a˜o 1.12. [Produto por Escalar] Sejam
−→
v = (v1, v2) = V um vetor e a ∈ R um
nu´mero real. O produto de a por
−→
v e´ definido como sendo o vetor a
−→
v = (av1, av2) = aV.
Portanto, se a > 0, os representantes de a
−→
v teˆm todos o mesmo sentido que os representantes
de
−→
v . Se a < 0, os representantes de a
−→
v teˆm todos o sentido contra´rio ao de
−→
v .
A figura 13 -(a) mostra o vetor a
−→
v , para o caso a > 1. Ja´ a figura 13 -(b) mostra o vetor
a
−→
v , para o caso −1 < a < 0. Observe que o comprimento de a−→v e´ |a| vezes o comprimento
de
−→
v . Isto e´ um fato geral,
∥∥∥a−→v ∥∥∥ = √(av1)2 + (av2)2 = √a2v21 + a2v22 = |a|√v21 + v22 = |a|∥∥∥−→v ∥∥∥ .
Figura 13 (a): O vetor a
−→
v , a > 1
O v1 xav1
−→
v
v2
V
av2
aV
y
Figura 13 (b): O vetor a
−→
v , − 1 < a < 0
aV
av2
v1 x
Oav1
−→
v
v2
V
y
Neste ponto o leitor deve ter observado que as operac¸o˜es com vetores se reduzem a`quelas
operac¸o˜es que fizemos com duplas (reveja as definic¸o˜es 1.2 e 1.3 ). Portanto, suas propriedades
devem valer tambe´m para vetores.
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 10
Proposic¸a˜o 1.13. Se
−→
u ,
−→
v ,
−→
w sa˜o vetores no plano e a, b ∈ R, enta˜o valem as seguintes
propriedades:
(i) [comutatividade]
−→
u +
−→
v =
−→
v +
−→
u ;
(ii) [Associatividade] (
−→
u +
−→
v ) +
−→
w =
−→
u + (
−→
v +
−→
w );
(iii) [Elemento Neutro] o vetor O = (0, 0), chamada vetor nulo e´ a u´nica vetor tal que−→
u +O =
−→
u ;
(iv) [Sime´trico] o vetor −−→u = (−1)−→u , chamada sime´trico de −→u , e´ o u´nico vetor tal que−→
u + (−−→u ) = O.
(v) [Distributividade] a(
−→
u +
−→
v ) = a
−→
u + a
−→
v ;
(vi) [Distributividade] (a+ b)
−→
u = a
−→
u + b
−→
u ;
(vii) [Associatividade] (ab)
−→
u = a(b
−→
u );
(vii) 1
−→
u =
−→
u .
Retomando a figura onde constru´ımos a soma de dois vetores
−→
u e
−→
v , vemos que o pa-
ralelogramo pode ser omitido, e a soma obtida simplesmente colocando um deles, digamos
−→
u ,
ligando P a Q, seguido de
−→
v localizado em Q, o que atingira´ o ponto R. O vetor soma enta˜o de-
ve ser
−→
PR. A pergunta que se faz agora e´: e
a diferenc¸a
−→
v − −→u como aparece? Bem, para
respondeˆ-la vamos usar algumas das propriedades
acima. Temos que
−→
u + (
−→
v − −→u ) = −→v . Logo a
diferenc¸a
−→
v −−→u e´ o vetor que localizado no final
de
−→
u termina no final de
−→
v . Isto e´ exatamente a
outra diagonal do paralelogramo.
Ainda considerando o aspecto geome´trico
da soma de vetores, gostar´ıamos de observar que P
−→
u
−→
v
Q
−→
v
−→
u
−→
v −−→u
R
−→
u +
−→
v
as propriedades comutativa e associativa mostram que se queremos somar va´rios vetores, preci-
samos apenas coloca´-los, em qualquer ordem, seguidos um do outro e a sua soma estara´ ligando
a extremidade inicial do primeiro a` extremidade final do u´ltimo. Na figura abaixo, vemos a
soma de nove vetores.
9∑
i=1
−→
vi
−→
v5
−→
v1
−→
v4
−→
v9
−→
v2
−→
v3
−→
v6
−→
v7
−→
v8
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 11
Agora, fixemos um ponto P = (p1, p2) no
plano e um vetor
−→
v de coordenadas (v1, v2). Lem-
bre, outra vez, que isto significa que
−→
v =
−−→
OV e
V = (v1, v2). Localizando
−→
v em P , obteremos
o representante PQ, que, claro, termina em Q.
Quem e´ Q? Ja´ hav´ıamos proposto este problema,
mas agora vamos resolveˆ-lo. Note que a soma
−→
OP +
−→
PQ =
−→
OP +
−→
v = (p1 + v1, p2 + v2),
Figura 16: Soma de um ponto com um Vetor
O v1 q1 xp1
−→
v
v2 V
−−→
OP +
−→
v
p2
P
−→
v
q2
Q
y
que, pelo que fizemos acima, sa˜o as coordenadas do vetor
−→
OQ. Portanto, Q = (p1 + v1, p2 + v2),
e obtemos o seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 1.14. Sejam P = (p1, p2) um ponto no plano e
−→
v =
−−→
OV um vetor de coordenadas
(v1, v2). Se
−→
v =
−→
PQ, enta˜o Q = (p1 +v1, p2 +v2) = P +V . Em outras palavras, o representante
de
−→
v que comec¸a em P , termina em Q = P+V . Portanto, V = Q−P determina as coordenadas
do vetor
−→
v =
−→
PQ.
Observac¸a˜o 1.15. Em muitos textos de Geometria Anal´ıtica, o ponto Q acima e´ chamado
soma do ponto P com o vetor
−→
v .
Exemplo 1.16. Sejam P,Q dois pontos arbitra´rios
do plano. Enta˜o
−→
v =
−→
PQ = Q − P e −→u = 1
2
−→
v e´
o vetor que tem o mesmo sentido que
−→
v e mede a
metade de
−→
v . Logo, se somamos P a
−→
u atingiremos
o ponto me´dio M do segmento PQ. Portanto,
M = P +
−→
u = P +
1
2
−→
v = P +
1
2
(Q− P ) = P +Q
2
e´ o ponto me´dio de PQ.
Figura 17: Ponto Me´dio
q1p1O x
p2
P
−→
u
M
q2
Q
y
Exemplo 1.17. Sejam A,B,C os ve´rtices de um
triaˆngulo. Considere P e Q como sendo os pontos
me´dios dos lados AB e BC. Enta˜o P = A+B
2
e
Q = B+C
2
. Temos que
−→
PQ = Q− P = B + C
2
− A+B
2
=
C − A
2
=
1
2
−→
AC.
Note que isto confirma o fato, da Geometria Euclidi-
ana, que diz que o segmento que une os pontos me´dios
de dois lados de um triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro
lado e mede metade deste.
C
A
−→
v
Q
1
2
−→
v
P
B
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 12
Exemplo 1.18. Dados A = (1, 1), B = (5, 5) e
C = (6,−1), considere o triaˆngulo 4ABC. Vamos
calcular o tamanho da mediana relativa ao lado AB,
isto e´, a distaˆncia de C ao ponto me´dio do lado AB,
que indicaremos por M . Assim, M = A+B
2
= (3, 3).
Logo a mediana vale
‖M − C‖ = ‖(−3, 4)‖ = 3
√
2.
C = (6,−1)
O x
A = (1, 1)
M = (3, 3)
B = (5, 5)
y
Existem dois vetores especiais no plano, que
sa˜o conhecidos como base canoˆnica. Eles sa˜o indi-
cados por
−→
i e
−→
j , ou alternativamente, sem usar se-
tas acima, e1 e e2. Eles sa˜o os vetores dados por
e1 =
−→
i = (1, 0) e e2 =
−→
j = (0, 1).
Proposic¸a˜o 1.19. Se
−→
v = (v1, v2), enta˜o
−→
v = v1
−→
i + v2
−→
j .
Figura 20: Base Canoˆnica
O v1(1, 0) x
−→
i
−→
j
(0, 1)
−→
v
v2
V
y
Demonstrac¸a˜o. De fato, v1
−→
i + v2
−→
j = v1(1, 0) + v2(0, 1) = (v1, 0) + (0, v2) = (v1, v2) =
−→
v .
1.3 Segmentos Orientados no Espac¸o
A construc¸a˜o do plano R2 e´ feita a partir de duas co´pias de R, como vimos. A construc¸a˜o
do espac¸o cartesiano de treˆs dimenso˜es, o R3, e´ feita de forma semelhante, so´ que a partir de
treˆs co´pias de R, as quais, tambe´m, chamamosde eixos coordenados. Estes eixos sa˜o denotados
por eixo-x, eixo-y e eixo-z. Eles determinam o que chamamos de planos coordenados (veja a
figura 21 a seguir), que sa˜o treˆs, a saber:
(i) o plano plano-xy determinado pelos eixos eixo-x e eixo-y;
(ii) o plano plano-xz determinado pelos eixos eixo-x e eixo-z;
(iii) o plano plano-yz determinado pelos eixos eixo-y e eixo-z.
O passo seguinte consiste em dispor tais eixos no espac¸o (como este em que vivemos) de
modo que eles se interceptem ortogonalmente em suas origens, o que produz o ponto O, que
sera´ associado a` tripla de nu´meros reais (3-upla) nula (0, 0, 0). Feito isso, dado um outro ponto
A do espac¸o, associamos a ele a tripla (a1, a2, a3), que e´ constru´ıda assim: (a1, a2) e´ a projec¸a˜o
de A sobre o plano plano-xy, e a3 e´ aquela sobre o eixo-z. Em outras palavras: trac¸ando-se por
A uma reta perpendicular ao plano-xy determinamos a1 e a2, e com uma reta perpendicular ao
eixo-z, determinamos a3. Outra forma de ver esta construc¸a˜o consiste simplesmente em marcar
a dupla (a1, a2) no plano-xy e, partir dele subir a3 unidades (ou descer, se a3 < 0). Agora
escreveremos A = (a1, a2, a3), e fica estabelecida uma bijec¸a˜o entre o espac¸o e o conjunto
R3 = {(a1, a2, a3), a1 ∈ R, a2 ∈ R, a3 ∈ R} = {(x, y, z), x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R},
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 13
que chamaremos espac¸o cartesiano R3. Chamaremos a1 e a2 e a3 de coordenadas de A. As
expresso˜es abscissa de A, ordenada e altura de A tambe´m sa˜o usadas para a1, a2 e a3, respecti-
vamente.
x
plano-xy
(a1, a2, 0)
a1
y
a2
plano-xz Figura 21:
{
O Espac¸o Cartesiano
e seu Planos Coordenados
A
plano-yz
a3
z
Exemplo 1.20. Neste exemplo, vamos marcar no espac¸o cartesiano R3 os pontos A = (1, 0, 0),
B = (2,−1, 4), C = (0, 3, 2).
x
(2,−1, 0) 2
A = (1, 0, 0)
y3
−1
2
B C
4
z
1-7 Exerc´ıcio
Resposta
Represente os pontos A = (3, 4, 6), B = (5,−3, 1), C = (−3, 2,−1),
D = (−1,−5,−3) e encontre as coordenadas
(a) das projec¸o˜es dos pontos dados sobre o plano-xy;
(b) idem, sobre o plano-yz;
(c) idem, sobre o plano-xz.
1-8 Exerc´ıcio
Resposta
Mostre que o triaˆngulo 4ABC, onde A = (3, 1,−2), B = (0,−4, 2) e
C = (−3, 2, 1), e´ iso´sceles. Esboce o triaˆngulo.
Em R3, duas tripla A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) sa˜o iguais se a1 = b1, a2 = b2 e a3 = b3
e como fizemos para o R2, podemos somar triplas e multiplicar uma tripla por um nu´mero real.
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 14
Definic¸a˜o 1.21. Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), a soma de A com B, indicada por
A+B, e´ a tripla
A+B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).
Definic¸a˜o 1.22. Se A = (a1, a2, a3) e a ∈ R, o produto de A pelo nu´mero real a, indicado
por aA, e´ a tripla
aA = (aa1, aa2, aa3).
Exemplo 1.23. Dados os pontos A = (1, 0, 0), B = (
√
2, 1,−1), C = (0, 1, 2), D = (0, 2, pi) e
E = (−1, 2, 3), temos que:
(i) A+ C = (1, 0, 0) + (0, 1, 2) = (1, 1, 2).
(ii) A+B = (1, 0, 0) + (
√
2, 1,−1) = (1 +√2, 1,−1).
(iii) 2E = 2(−1, 2, 3) = (−2, 4, 6).
(iv)
√
2B =
√
2(
√
2, 1,−1) = (2,√2,−√2).
(vi) E −D = (−1, 2, 3)− (0, 2, pi) = (−1− 0, 2− 2, 3− pi) = (−1, 0, 3− pi).
Como para R2, vale a seguinte proposic¸a˜o.
Proposic¸a˜o 1.24. Se A,B,C ∈ R3 e a, b ∈ R, enta˜o valem as seguintes propriedades:
(i) [Comutatividade] A+B = B + A;
(ii) [Associatividade] (A+B) + C = A+ (B + C);
(iii) [Elemento Neutro] a n-upla O = (0, 0, 0), chamada tripla nula (ou zero), e´ a u´nica dupla
tal que A+O = A;
(iv) [Sime´trico] a dupla −A = (−a1,−a2,−a3), chamada sime´trico da tripla A, e´ a u´nica
tripla tal que A+ (−A) = O.
(v) [Distributividade] a(A+B) = aA+ aB;
(vi) [Distributividade] (a+ b)A = aA+ bA;
(vii) [Associatividade] (ab)A = a(bA);
(vii) 1A = A.
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 15
As noc¸o˜es de segmentos orientados e vetores no plano que estudamos pode ser facilmente
estendida para o espac¸o. So´ precisamos ajustar a noc¸a˜o de segmentos com o mesmo sentido.
Dados dois pontos do espac¸o R3, digamos A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), o segmento
orientado AB e´ o segmento de reta ligando A e B, nesta ordem. Como conjunto de pontos, os
segmentos orientados AB e BA sa˜o iguais. Entretanto, eles representam segmento orientados
diferentes: BA sera´ chamado segmento orientado oposto de AB. Foi exatamente isto que fizemos
no caso plano. Lembra?
Dado um segmento orientado AB, A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), a diferenc¸a
B − A = (b1, b2, b3)− (a1, a2, a3) = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
sera´ fundamental para o que faremos a seguir.
Inicialmente, definimos o comprimento de AB, que coincide com a distaˆncia de A a B,
indicado por
∥∥AB∥∥ ou por d(A,B), e´ dado por∥∥AB∥∥ = d(A,B) = √(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2.
Para ver que de fato tal distaˆncia e´ dada
por esta expressa˜o, na figura ao lado vemos um
triaˆngulo retaˆngulo de ve´rtices A, B e X, onde
X = (b1, b2, a3), e com hipotenusa AB. Os catetos
do triaˆngulo medem b3 − a3 e l. Logo,∥∥AB∥∥ = √l2 + (b3 − a3)2.
Por outro lado, l e´ a hipotenusa do triaˆngulo de
x b2 − a2
b1
b3 − a3l
a1
X y
a2 b2
Aa3
B
b3
z
catetos b1 − a1 e b2 − a2. Donde, l2 = (b1 − a1)2 + (b2 − a2)2. Portanto,∥∥AB∥∥ = √l2 + (b3 − a3)2 = √(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2.
Dois segmentos orientados AB e CD teˆm
a mesma direc¸a˜o se sa˜o paralelos, isto e´, se
esta˜o contidos em retas paralelas. (Observe
que aqui duas retas r e s sa˜o paralelas se
sa˜o coplanares e na˜o se cruzam.) Em termos
das diferenc¸as B − A e D − C, isto significa
que existe um nu´mero real na˜o-nulo a tal que
B − A = a(D − C). Agora, se tal nu´mero a e´
positivo, diremos que os segmentos AB e CD
teˆm o mesmo sentido. O leitor atento, neste
momento, deveria verificar que esta forma de
definir mesmo sentido tambe´m funcionaria para o
caso plano (definic¸a˜o 1.6 ). A figura 24 mostra
treˆs segmentos orientados (AB, CD e EF ) com
F ′Figura 24: Mesmo Sentido em R3
x
E′
B′
b1
A′
a1 E
b2 y
a2
Aa3
B
C
F
b3
Dz
o mesmo sentido. (Observe que as projec¸o˜es de segmentos com o mesmo sentido nos planos
coordenados teˆm o mesmo sentido, conforme a definic¸a˜o 1.6 . Os segmentos A′B′ e E ′F ′ teˆm o
mesmo sentido como segmentos do plano-xy.)
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 16
1.4 Vetores no Espac¸o
Seguindo as mesmas ide´ias do caso plano, vamos definir vetor, agora no R3. Sejam AB e
CD, segmentos orientados dados pelos pontos A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3) e
D = (d1, d2, d3). Vamos supor que eles teˆm o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Logo,
B − A = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3) = a(d1 − c1, d2 − c2, d3 − c3) = a(D − C), a > 0 (∗)
e √
(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2 =
√
(d1 − c1)2 + (d2 − c2)2 + (d3 − c3)2. (∗∗)
Substituindo (∗) em (∗∗), vem que a = 1 e, portanto, B −A = D − C. Isto nos leva a` seguinte
definic¸a˜o, que poderia ser adotada em qualquer caso, plano ou na˜o.
Definic¸a˜o 1.25. [Vetor] Dado o segmento orientado AB, o vetor
−→
AB e´ definido como sendo
o conjunto de todos os segmentos orientados que teˆm o mesmo sentido e comprimento que AB.
Em outras palavras, −→
AB = {PQ; Q− P = B − A}.
Figura 25: Vetor
−→
u =
−→
AB no Espac¸o
x q1 − p1
P
q2 − p2
−→
u
q3 − p3
Q
u1
yO
u2
−→
u
u3
U
b1 − a1
A
b2 − a2
−→
u
−→
u
b3 − a3
B
y
Na figura 25 , vemos va´rios representantes do vetor
−→
u =
−→
AB. Dentre eles destacam-se,
os segmentos AB, PQ e OV , este u´ltimo ligado a origem. Observe que
B − A = Q− P = V −O = V.
Em particular, V = (v1, v2, v3) = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3) = B − A.
Se
−→
u =
−→
AB, a tripla B − A = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)) sera´ chamada coordenadas do
vetor
−→
u . Como fizemos antes, vamos indicar o vetor−→
u =
−→
AB, por
−−−−−−→
O(B − A), ou −−−−→B − A, ou−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
(b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3) ou, mais simplesmente, por
−→
u = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3).
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 17
Definic¸a˜o 1.26. Como os representantes de um vetor
−→
u =
−→
AB teˆm o mesmo comprimento, a
saber a distaˆncia de A a B (‖B − A‖), este valor comum sera´ chamado comprimento ou norma
do vetor
−→
u =
−→
AB, o que indicaremos por
∥∥∥−→u ∥∥∥. Em particular, se tomamos o representante
−→
OU , U = (u1, u2, u3), temos
∥∥∥−→u ∥∥∥ = √u21 + u22 + u23.
1-9 Exerc´ıcio
Resposta
Na figura do exemplo 1.29 , vemos os vetores
−→
u = (4, 4, 3) e
−→
v =
(3, 2,−1). Calcule suas normas.
1-10 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Dados dois nu´meros reais s e t, calcule a normas de
−→
u = (cos t, sen t),
que e´ do plano, e de
−→
v = (cos s sen t, sen s sen t, cos t).
Quanto a`s operac¸o˜es com vetores as definic¸o˜es e interpretac¸o˜es geome´tricas funcionam do
mesmo modo que no caso plano. Por exemplo, para somar dois vetores no espac¸o, desenhamos
o paralelogramo no plano que conte´m os vetores e a soma sera´, portanto, obtida na diagonal
principal. Repetindo as definic¸o˜es, temos
Definic¸a˜o 1.27. [Soma de Vetores no Espac¸o] Sejam
−→
u = (u1, u2, u3) e
−→
v = (v1, v2, v3)
dois vetores (que localizados na origem terminam em U = (u1, u2, u3) e V = (v1, v2, v3)). A
soma de
−→
u com
−→
v e´ definida como sendo o vetor (de coordenadas)
−→
u +
−→
v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = U + V.
x Figura 26: Soma de Vetores no Espac¸o
u1 + v1
v1
u1
yu2
v2 u2 + v2
−→
v V
−→
u
−→
u +
−→
v
v3
U
u3
u3 + v3
z
Vetores no Plano e no Espac¸o (J. Adonai) - 18
Definic¸a˜o 1.28. [Produto por Escalar] Sejam
−→
v = (v1, v2, v3) = V um vetor e a ∈ R um
nu´mero real. O produto de a por
−→
v e´ definido como sendo o vetor
a
−→
v = (av1, av2, av3) = aV.
Exemplo 1.29. Consideremos os dois vetores−→
u = (4, 4, 3) e
−→
v = (3, 2,−1). Vamos localizar
estes vetores em O = (0, 0, 0) e em P = (1, 5, 2).
Estando em um ponto qualquer P , para desenhar−→
u , devemos caminhar quatro unidades ao longo
do eixo-x, quatro paralelamente ao eixo-y,e depois
subimos treˆs unidades. A soma
−→
u +
−→
v vale
−→
u +
−→
v = (4, 4, 3) + (3, 2,−1) = (7, 6, 2).
Agora observe que o segmento orientado de
−→
u
localizado em P deve terminar em
x
V
4
R
3
−→
v
S1
y
94
−→
u
−→
u +
−→
v
U
P
2
Q
3
5
z
Q = P +
−→
u = (1, 5, 2) + (4, 4, 3) = (5, 9, 5).
Enquanto o de
−→
v , termina em
R = P +
−→
v = (1, 5, 2) + (3, 2,−1) = (4, 7, 1).
Como exerc´ıcio, o leitor deve calcular o ponto S, onde termina o representante de
−→
u +
−→
v
localizado em P .
A base canoˆnica do R3 tem treˆs vetores. Eles sa˜o os vetores dados por e1 =
−→
i = (1, 0, 0),
e2 =
−→
j = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1).
Proposic¸a˜o 1.30. Se
−→
v = (v1, v2, v3), enta˜o
−→
v = v1
−→
i + v2
−→
j + v3
−→
k .
1-11 Exerc´ıcio
Como exerc´ıcio, prove a proposic¸a˜o acima e se inspire na figura 20
para esboc¸ar
−→
v ,
−→
i ,
−→
j e
−→
k .
1-12 Exerc´ıcio
Soluc¸a˜o
[Aplicac¸a˜o a F´ısica] De-
termine a resultante das
forc¸as
−→
F1, de intensidade 10 N, e
−→
F2, de intensi-
dade 15N , que atuam sobre um corpo localizado
na origem, como mostra a figura ao lado. x
V
4
R3
−→
v
−→
F2
S1 y
4 9−300
−→
u
−→
u +
−→
vO x
U
P
2
450
Q3
−→
F1
5
y z
Parte 1
Sugesto˜es & Respostas
1-1 Voltar
(c) A′ = (3, 4), B′ = (3, 1), C ′ = (−5,−1) e D′ = (−3, 2).
(f) A′ = (−4, 3), B′ = (−1, 3), C ′ = (1,−5) e D′ = (−2,−3).
1-2 Voltar
(a) (0, 0).
(b) (6 +
√
5, 5).
1-3 Voltar d(A,B) = 5, d(B,C) = 10, d(A,C) = 5, d(C,D) =
√
5, d(A,D) = 2
√
2, d(D,E) =
13.
1-4 Voltar O lado do quadrado mede d(A,B) =
√
137. Logo, a a´rea pedida vale 137 unidades
de a´rea. Por queˆ?
1-5 Voltar A diagonal do quadrado mede d(A,B) = 2
√
17. Logo, o lado do quadrado vale
2
√
17 cos 45o =
√
34. Portanto, a a´rea do quadrado mede 34 unidades de a´rea.
1-6 Voltar A a´rea de um triaˆngulo equila´tero de lado x e´ A = x
2
√
3
4
. No nosso caso, temos
x = d(A,B) = 4
√
2. Logo A = 8
√
3.
1-7 Voltar
(a) A′ = (3, 4, 0), B′ = (5,−3, 0), C ′ = (−3, 2, 0), D′ = (−1,−5, 0).
(b) A′′ = (0, 4, 6), B′′ = (0,−3, 1), C ′′ = (0, 2,−1), D′′ = (0,−5,−3).
1-8 Voltar Mostre que d(A,C) = d(B,C) =
√
42.
1-9 Voltar Temos que
∥∥∥−→u ∥∥∥ = √42 + 42 + 32 = √√41 e ∥∥∥−→v ∥∥∥ = √32 + 32 + (−1)2√√19.
1-10 Voltar Temos que
∥∥∥−→u ∥∥∥ = √cos2 t+ sen2 t = 1. Agora verifique que ∥∥∥−→v ∥∥∥ tambe´m e´ igual
a 1.
19
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 20
1-12 Voltar Olhe a figura 29 e note que se
−→
v faz um aˆngulo θ com o eixo-x, enta˜o
v1 = ‖v‖ cos θ e v2 = ‖v‖ sen θ.
Portanto, podemos escrever
−→
v = (v1, v2) = v1
−→
i + v2
−→
j
= (‖v‖ cos θ)−→i + (‖v‖ sen θ)−→j .
No nosso exerc´ıcio, ficamos com
−→
F1 = (10 cos
pi
4
)
−→
i + (10 sen
pi
4
)
−→
j = 5
√
2
−→
i + 5
√
2
−→
j .
e
−→
F2 = (15 cos
pi
6
)
−→
i − (15 sen pi
6
)
−→
j = 15
√
3
2
−→
i − 15
2
−→
j .
Figura 29: Base Canoˆnica
O v1(1, 0) x
−→
i
−→
j
θ
(0, 1)
−→
v
v2
V
y
Logo,
−→
F1 +
−→
F1 = (5
√
2 +
15
√
3
2
)
−→
i +−15
2
+ 5
√
2)
−→
j .
A intensidade da resultante e´
∥∥∥−→F1 +−→F2∥∥∥ = 5√13− 3√2 + 3√6 Newtons.
Parte 2
Produtos Escalar e Vetorial
Nesta parte estudaremos outra noc¸a˜o geome´trica importante na geometria: o aˆngulo entre
dois vetores. Com este objetivo, introduziremos os produto escalar (ou interno) e vetorial entre
dois vetores. Antes, vamos combinar uma coisa: toda definic¸a˜o estabelecida para vetores no
espac¸o, que fac¸a uso das treˆs coordenadas, sera´ automaticamente considerada tambe´m va´lida
para o plano, considerando-se, neste caso, a terceira coordenada nula. Em outras palavras, dado−→
u = (u1, u2) no plano, escreveremos
−→
u = (u1, u2, 0) e consideraremos
−→
u como um vetor no
espac¸o.
2.1 Produto Escalar
Definic¸a˜o 2.1. Dados vetores
−→
u = (u1, u2, u3),
−→
v = (v1, v2, v3). O produto escalar (ou
interno) de
−→
u por
−→
v , indicado por
−→
u · −→v , e´ o nu´mero real dado por
−→
u · −→v = u1v1 + u2v2 + u3v3.
Exemplo 2.2. Se
−→
u = (1, 2) e
−→
v = (3, 1) e
−→
w = (−2, 1), enta˜o −→u · −→v = 5 e −→u · −→w = 0.
Agora, se
−→
U = (1, 2,−1) e −→V = (0,−2,−1), temos que −→U · −→V = (1, 2,−1) · (0,−2,−1) = −3.
2-1 Exerc´ıcio
Resposta
Se
−→
u = (1, 2) e
−→
v = (3,−1), −→w = (−2, 1, 0) e −→s = (1, 2,−1), calcule−→
u · −→v e −→w · −→s .
A seguinte proposic¸a˜o descreve as propriedades deste produto.
Proposic¸a˜o 2.3. Se
−→
u ,
−→
v ,
−→
w e a ∈ R sa˜o arbitra´rios, enta˜o valem as seguintes propriedades:
(i) [Positividade]
−→
u · −→u ≥ 0, e −→u · −→u = 0 se, e somente se, −→u = (0, 0);
(ii) [Comutatividade]
−→
u · −→v = −→v · −→u ;
(iii) [Distributividade]
−→
u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w ;
21
Produtos Escalar e Vetorial (J. Adonai) - 22
(iv) [Homogeneidade] (a
−→
u ) · −→v = −→u · (a−→v ) = a(−→u · −→v ).
Demonstrac¸a˜o. Com
−→
u = (u1, u2),
−→
v = (v1, v2) e
−→
w = (w1, w2), temos que
−→
u · (−→v +−→w ) = u1(v1 + w1) + u2(v2 + w2)
= u1v1 + u1w1 + u2v2 + u2w2
= (u1v1 + u2v2) + (u1w1 + u2w2)
=
−→
u · −→v +−→u · −→w .
Assim, fica provado (iii).
Retomando aqui as definic¸o˜es 1.9 e 1.26 , vemos que dado um vetor
−→
u , na˜o importando
se no plano ou no espac¸o, temos que
∥∥∥−→u ∥∥∥ = √−→u · −→u .
De fato, se
−→
u = (u1, u2, u3) e´ um vetor do espac¸o, enta˜o
−→
u · −→u = u1u1 + u2u2+ u3u3 = ‖u‖2 ,
donde segue-se a nossa afirmac¸a˜o.
Destacamos aqui mais algumas propriedades envolvendo a ‖ ‖ e do produto escalar.
Proposic¸a˜o 2.4. Dados
−→
u ,
−→
v ∈ Rn e a ∈ R, temos que
(i)
∥∥∥−→u ∥∥∥ ≥ 0, e ∥∥∥−→u ∥∥∥ = 0 se, e somente se, −→u = O;
(ii)
∥∥∥a−→u ∥∥∥ = |a| ∥∥∥−→u ∥∥∥, onde |a| e´ o valor absoluto de a;
(iii) se
−→
u 6= O, o vetor −→ωu = −→u /
∥∥∥−→u ∥∥∥ e´ unita´rio. (Este vetor e´ conhecido como vetor unita´rio
na direc¸a˜o de
−→
u );
(iv)
∥∥∥−→u +−→v ∥∥∥2 = ∥∥∥−→u ∥∥∥2 + 2−→u · −→v + ∥∥∥−→v ∥∥∥2 = ∥∥∥−→u ∥∥∥2 + 2−→v · −→u + ∥∥∥−→v ∥∥∥2;
(v)
∥∥∥−→v −−→u ∥∥∥2 = ∥∥∥−→v ∥∥∥2 − 2−→v · −→u + ∥∥∥−→u ∥∥∥2 = ∥∥∥−→v ∥∥∥2 − 2−→u · −→v + ∥∥∥−→u ∥∥∥2.
Produtos Escalar e Vetorial (J. Adonai) - 23
Demonstrac¸a˜o. Temos que
∥∥∥a−→u ∥∥∥ = √(a−→u ) · (a−→u ) = √a2(−→u · −→u ) = |a| ∥∥∥−→u ∥∥∥ , o que prova
(ii). Agora, usando (ii), vem que
∥∥∥−→ωu∥∥∥ =
∥∥∥∥∥∥
−→
u∥∥∥−→u ∥∥∥
∥∥∥∥∥∥ = 1∥∥∥−→u ∥∥∥
∥∥∥−→u ∥∥∥ = 1,
e segue-se (iii). Para (iv), simplesmente expandimos
∥∥∥−→u +−→v ∥∥∥2, usando a distributividade e a
comutatividade do produto escalar.∥∥∥−→u +−→v ∥∥∥2 = (−→u +−→v ) · (−→u +−→v ) = −→u ·−→u +−→u ·−→v +−→v ·−→u +−→v ·−→v = ∥∥∥−→u ∥∥∥2 +2−→u ·−→v +∥∥∥−→v ∥∥∥2 .
Os demais itens sa˜o, tambe´m, de prova simples, e sera˜o deixados como exerc´ıcios.
Definic¸a˜o 2.5. Um vetor
−→
u e´ dito unita´rio se
∥∥∥−→u ∥∥∥ = 1.
Exemplo 2.6. O vetor
−→
u = (
√
3
2
, 1
2
) e´, claramente, unita´rio. Mais geralmente, dado um nu´mero
real θ, o vetor
−→
u = (cos θ, sen θ) e´ unita´rio, porque cos2 θ + sen2 θ = 1.
2-2 Exerc´ıcio
Soluc¸a˜o
Dados dois nu´meros reais u, v, verifique que o vetor
−→
u = (cosu sen v, senu sen v, cos v)
e´ unita´rio.
Tomemos agora
−→
u ,
−→
v dois vetores no plano que fazem entre si um aˆngulo θ, como
mostra a figura ao lado, onde
−→
u e
−→
v aparecem localiza-
dos em P . Note o vetor
−→
v −−→u , esboc¸ado conforme dis-
cussa˜o anterior. Aplicando a lei dos cossenos ao triaˆngulo
4PQR, obtemos que∥∥∥−→v −−→u ∥∥∥2 = ∥∥∥−→u ∥∥∥2 + ∥∥∥−→v ∥∥∥2 − 2∥∥∥−→u ∥∥∥∥∥∥−→v ∥∥∥ cos θ,
o que comparado com (v) da proposic¸a˜o 2.4 da´ que
−→
u · −→v =
∥∥∥−→u ∥∥∥∥∥∥−→v ∥∥∥ cos θ.
P
−→
uθ
−→
v
R
−→
v −−→u
Q
Produtos Escalar e Vetorial (J. Adonai) - 24
Assim vemos que a noc¸a˜o de produto interno esta´ bem ligada a` noc¸a˜o de aˆngulo entre
vetores, e obtemos o seguinte belo resultado.
Proposic¸a˜o 2.7. Dados
−→
u e
−→
v fazendo um aˆngulo θ entre si, vale
−→
u · −→v =
∥∥∥−→u ∥∥∥∥∥∥−→v ∥∥∥ cos θ.
Em particular, eles sa˜o ortogonais se, e somente se,
−→
u · −→v = 0.
Exemplo 2.8. Consideremos a base canoˆnica
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) e
−→
k = (0, 0, 1).
Temos que
−→
i ·−→j = 0, −→i ·−→k = 0 e −→j ·−→k = 0. Tambe´m temos
∥∥∥−→i ∥∥∥ = 1, ∥∥∥−→j ∥∥∥ = 1 e ∥∥∥−→k ∥∥∥ = 1.
Logo, eles sa˜o unita´rios e perpendiculares entre si. Por esta raza˜o, em A´lgebra Linear, dizemos
que estes treˆs vetores formam uma base ortonormal.
2-3 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Sejam M = (3,−1, 6), N = (−1, 7,−2) e P = (1,−3, 2). Mostre que
4MNP e´ retaˆngulo em P . Esboce o triaˆngulo.
2-4 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Seja4ABC ⊂ R2 um triaˆngulo escaleno tal que a altura relativa ao lado
BC, hBC , tenha comprimento igual a` metade do comprimento de BC.
Mostre que o aˆngulo interno  e´ agudo.
2-5 Exerc´ıcio
Soluc¸a˜o
[Aplicac¸a˜o a F´ısica] Calcule o trabalho W realizado pela forc¸a
−→
F =−→
i + 2
−→
j − 3−→k , medida em Newtons, para deslocar uma part´ıcula de
A = (1, 0, 1) ate´ B = (2, 3, 0), ao longo do segmento de reta AB. (A unidade de medida
adotada aqui e´ metros.
Exemplo 2.9. Seja
−→
u = (u1, u2) (pense u1 > 0 e u2 > 0), e considere o vetor
−→
v = (−u2, u1).
Vamos fazer algumas contas com estes vetores. Primeiro vamos calcular os seus comprimentos.
Temos que 
∥∥∥−→u ∥∥∥ = √u21 + u22∥∥∥−→v ∥∥∥ = √(−u2)2 + u21 = √u21 + u22 = ∥∥∥−→u ∥∥∥ .
Produtos Escalar e Vetorial (J. Adonai) - 25
Logo, eles teˆm a mesma norma. Agora vamos cal-
cular o aˆngulo entre eles. Temos que
−→
u ·−→v = (u1, u2) · (−u2, u1) = u1(−u2)+u2u1 = 0.
Usando a proposic¸a˜o 2.7 , vem que
−→
u e
−→
v sa˜o ve-
tores ortogonais, isto e´, o aˆngulo entre eles mede
90o. Na verdade,
−→
v e´ a rotac¸a˜o de 90o, no sen-
tido anti-hora´rio, do vetor
−→
u . Por exemplo, se−→
u = (3, 4), enta˜o
−→
v = (−4, 3) teˆm norma 5 e sa˜o
ortogonais. O−u2 u1 x
−→
u
u2
−→
v
u1
y
Continuando com a nossa discussa˜o geome´-
trica construiremos, agora, o que chamamos de
projec¸a˜o ortogonal de um vetor na direc¸a˜o de ou-
tro na˜o-nulo dado. Sejam, enta˜o,
−→
u 6= O e −→v
como na figura 32 , onde usamos
−→
wu =
−→
u∥∥∥−→u ∥∥∥
para indicar o vetor unita´rio na direc¸a˜o de
−→
u , θ
e´ o aˆngulo entre
−→
u e
−→
v e P−→
u
−→
v e´ o vetor obtido
pela projec¸a˜o ortogonal de
−→
v sobre
−→
u . Assim
P−→
u
−→
v = a
−→
wu, onde
a =
∥∥∥−→v ∥∥∥ cos θ = −→wu · −→v = −→v · −→u∥∥∥−→u ∥∥∥ .
Figura 32: Projec¸a˜ode
−→
v sobre
−→
u
a
P−→
u
−→
v
θ
−→
wu
−→
u
−→
v
v − P−→
u
−→
v
Logo,
P−→
u
−→
v = a
−→
wu =
−→v · −→u∥∥∥−→u ∥∥∥
 −→u∥∥∥−→u ∥∥∥ =
−→v · −→u∥∥∥−→u ∥∥∥2
−→u .
Da construc¸a˜o de P−→
u
−→
v decorre facilmente que o vetor
−→
v − P−→
u
−→
v e´ ortogonal a
−→
u , o que pode
ser verificado, tambe´m, analiticamente. De fato,
−→
u · (−→v − P−→
u
−→
v ) =
−→
u ·
−→v −
−→v · −→u∥∥∥−→u ∥∥∥2
−→u
 = −→u · −→v −−→v · −→u = 0.
Exemplo 2.10. Consideremos os pontos A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 1) e C = (0, 0, 2). Usando a
noc¸a˜o de projec¸a˜o que introduzimos ha´ pouco, vamos calcular a altura relativa ao lado AC do
Produtos Escalar e Vetorial (J. Adonai) - 26
triaˆngulo4ABC. Vamos, portanto, definir −→u = C−A, −→v = B−A, projetar −→v sobre −→u e obter
o vetor altura dado por
−→
h = v − P−→
u
−→
v . Temos
que
−→
u = (−2, 0, 2), −→v = (−2, 2, 1). Portanto,
−→
h = v − P−→
u
−→
v = v −
−→v · −→u∥∥∥−→u ∥∥∥2
−→u
= (−2, 2, 1)− 3
4
(−2, 0, 2) = (−1
2
, 2− 1
2
).
Em particular, a altura que queremos calcular e´
dada por
h =
∥∥∥−→h ∥∥∥ = ∥∥∥∥(−12 , 2− 12)
∥∥∥∥ = 3√22 . x
A
y
−→
v
−→
u
−→
h
B
C
z
Para terminar exemplo, vamos calcular a a´rea do triaˆngulo:
a´rea(4ABC) = 1
2
∥∥∥−→u ∥∥∥∥∥∥−→h ∥∥∥ = 1
2
2
√
2 3
√
2
2
= 3.
Finalizamos esta sec¸a˜o com um corola´rio da proposic¸a˜o 2.7 . Este corola´rio constitui a
famosa desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Corola´rio 2.11. Dados vetores
−→
u e
−→
v , enta˜o
|−→u · −→v | ≤
∥∥∥−→u ∥∥∥∥∥∥−→v ∥∥∥ ,
e a igualdade ocorre se, somente se, os vetores sa˜o colineares, isto e´, sa˜o paralelos.
Demonstrac¸a˜o. Segue-se da proposic¸a˜o 2.7 , observando que | cos θ| ≤ 1 e que −→u e −→v sa˜o
colineares se, somente se, o aˆngulo entre eles mede 0o ou 180o, casos onde o cosseno vale 1.
Exemplo 2.12. [O Problema dos Piratas] Dois piratas decidem esconder um tesouro rou
bado a`s margens de um rio, onde ha´ uma ve-
lha a´rvore de eucalipto situada em um ponto
que denotam por B, que esta´ diretamente ao
oeste de uma outra a´rvore de pinho denotada
por ponto P . No banco do rio, pro´ximo as
a´rvores, eles fincam uma estaca em um ponto
que denotam por S. Para enterrar o tesouro,
um dos piratas parte de S, anda ate´ B e a´ı
gira 90o a` esquerda e anda um trecho igual a`
distaˆncia de S a B, onde marca o ponto Q,
isto e´, d(S,B) = d(B,Q). O segundo pirata
agora parte de S e anda para P , onde gira 90o
a` direita e anda um trecho igual a` distaˆncia de S a
Rio
S
BP
Q
T
R
Produtos Escalar e Vetorial (J. Adonai) - 27
P onde marca R, ou d(S, P ) = d(P,R). Os dois piratas agora avanc¸amum de encontro ao outro
e enterram o tesouro no ponto onde se encontram, isto e´, no ponto me´dio de RQ, indicado por
T . Alguns anos depois os dois piratas retornam em busca do tesouro e teˆm uma desagrada´vel
surpresa ao descobrir a estaca S havia sido levada pela correnteza. Os piratas pensaram que
nunca encontrariam o tesouro ate´ que um deles pensou em usar Geometria Anal´ıtica para tentar
descobrir a posic¸a˜o onde devia estar a estaca S. E, de fato, isto ocorreu. Vejamos a soluc¸a˜o.
Vamos introduzir o nosso referencial carte-
siano (R2) considerando sua origem O no ponto
me´dio entre as a´rvores P e B. Assim, B = (a, 0)
e P = (−a, 0), onde a = d(P,B) e´ a distaˆncia en-
tre as a´rvores. Vamos indicar a estaca perdida por
S = (x, y), onde x e y na˜o sa˜o conhecidos, posto
que a estaca foi perdida. Agora considere os veto-
res
−→
u ,
−→
v ,
−→
z e
−→
w como na figura ao lado. Note
que
−→
v e´ a rotac¸a˜o de 90o no sentido hora´rio de
−→
u
e
−→
w e´ a rotac¸a˜o de 900 no sentido anti-hora´rio de−→
z . Temos que
S = (x, y)
−→
u
−→
z
x
P B
−→
w
−→
v Q
(0, a)
R
y
−→
u = P − S = (−a, 0)− (x, y) = (−a− x,−y)
−→
z = B − S = (a, 0)− (x, y) = (a− x,−y).
Agora, de acordo com o exemplo 2.9 , obtemos que
−→
v = −(−(−y), (−a− x)) = (−y, a+ x)
−→
w = (−(−y), a− x) = (y, a− x).
Usando as ide´ias da proposic¸a˜o 1.14 (soma de ponto com vetor), vem que
R = S + (
−→
u +
−→
v ) = (x, y) + (−a− x,−y) + (−y, a+ x) = (y − a, a+ x)
Q = S + (
−→
z +
−→
w ) = (x, y) + (a− x,−y) + (y, a− x) = (a− y, a− x).
Portanto, T , que e´ o ponto me´dio de RQ, e´ dado por
T =
R +Q
2
=
1
2
((y − a, 2y + a+ x) + (a− y, 2y + a− x)) = 1
2
(0, 2a) = (0, a),
e o tesouro se encontrava a uma distaˆncia a acima da origem.
2.2 Produto Vetorial
Em muita situac¸o˜es em Geometria Anal´ıtica, precisamos construir um vetor perpendicular
a dois outros vetores dados. Dentre as va´rias formas poss´ıveis de se fazer isto, existe uma especial,
conhecida como produto vetorial, que abordaremos a seguir.
Produtos Escalar e Vetorial (J. Adonai) - 28
Definic¸a˜o 2.13. Sejam
−→
u = (u1, u2, u3) e
−→
v = (v1, v2, v3) dois vetores no espac¸o. O produto
vetorial de
−→
u por
−→
v , denotado por
−→
u ×−→v (ou −→u ∧ −→v ), e´ definido por
−→
u ×−→v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1),
que pode ser facilmente lembrado expandindo o determinante abaixo ao longo da primeira linha:
−→
u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣ = (u2v3 − u3v2)
−→
i + (u3v1 − u1v3)−→j + (u1v2 − u2v1)−→k ,
onde {−→i ,−→j ,−→k } e´ a base canoˆnica do R3.
Exemplo 2.14. Sejam
−→
u = (1, 1, 2) e
−→
v = (3,−1, 1). O produto vetorial de −→u por −→v e´ o
vetor
−→
u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
1 1 2
3 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 3
−→
i + 5
−→
j − 4−→k = (3, 5,−4).
Note que (
−→
u × −→v ) · −→u = (3, 5,−4) · (1, 1, 2) = 0. Tambe´m (−→u × −→v ) · −→v = 0, o que diz que−→
u ×−→v e´ perpendicular a −→u e a −→v . Esta propriedade e´ verdadeira em geral, como veremos.
Proposic¸a˜o 2.15. Sejam
−→
u ,
−→
v ,
−→
w ∈ R3 e a ∈ R. As seguintes propriedades sa˜o verificadas.
(i)
−→
u ×−→v = −(−→v ×−→u );
(ii) a(
−→
u ×−→v ) = (a−→u )×−→v = −→u × (a−→v );
(iii)
−→
u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w ;
(iv) (
−→
u ×−→v ) · −→w = det (−→u ,−→v ,−→w );
(v)
−→
u ×−→v e´ perpendicular a −→u e a −→v , isto e´, (−→u ×−→v ) · −→u = (−→u ×−→v ) · −→v = 0;
(vi)
∥∥∥−→u ×−→v ∥∥∥2 = ∥∥∥−→u ∥∥∥2 ∥∥∥−→v ∥∥∥2 − (−→u · −→v )2.
Em (iv), (
−→
u ,
−→
v ,
−→
w ) indica a matriz cujas colunas (ou linhas) sa˜o as coordenadas de
−→
u ,
−→
v e
−→
w .
Assim,
det (
−→
u ,
−→
v ,
−→
w ) =
∣∣∣∣∣∣
u1 v1 w1
u2 v2 w2
u3 v3 w3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ .
Produtos Escalar e Vetorial (J. Adonai) - 29
Demonstrac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o destas propriedades e´ feita via computac¸a˜o direta, usando
a definic¸a˜o 2.13 . Note que (v) segue-se facilmente de (iv).
2-6 Exerc´ıcio
Soluc¸a˜o
Calcule um vetor perpendicular aos vetores
−→
u = (1, 0, 2) e
−→
v = (3,−1, 1).
2-7 Exerc´ıcio
Soluc¸a˜o
[Aplicac¸a˜o a F´ısica] Calcule o momento da forc¸a
−→
F = (
−→
i + 2
−→
k )N ,
relativamente a` origem, aplicada sobre um objeto, situado no ponto, com
coordenadas medidas em metro, P = (3,−1, 1).
Corola´rio 2.16. Se
−→
u ,
−→
v ∈ R3, enta˜o
∥∥∥−→u ×−→v ∥∥∥ = ∥∥∥−→u ∥∥∥∥∥∥−→v ∥∥∥ sen θ, onde θ e´ o aˆngulo entre
−→
u e
−→
v . Em particular,
(i) a a´rea do paralelogramo formado por
−→
u e
−→
v e´
∥∥∥−→u ×−→v ∥∥∥;
(ii)
−→
u e
−→
v sa˜o paralelos se, e somente se, o seu produto vetorial e´ nulo.
Demonstrac¸a˜o. O item (vi) da proposic¸a˜o 2.15 ,
junto com a equac¸a˜o da proposic¸a˜o 2.7 , implica que
∥∥∥−→u ×−→v ∥∥∥ = √∥∥∥−→u ∥∥∥2 ∥∥∥−→v ∥∥∥2 − (−→u · −→v )2
=
√∥∥∥−→u ∥∥∥2 ∥∥∥−→v ∥∥∥2 (1− cos2 θ)
=
∥∥∥−→u ∥∥∥∥∥∥−→v ∥∥∥ sen θ.
−→
u
θ
−→
v h
Com relac¸a˜o a` afirmac¸a˜o feita sobre a a´rea do paralelogramo, observe que h, a altura do
paralelogramo, relativamente ao lado determinado por
−→
u , e´ h =
∥∥∥−→v ∥∥∥ sen θ. Logo sua a´rea, que
e´ dada pelo produto da base pela altura, e´
∥∥∥−→u ∥∥∥∥∥∥−→v ∥∥∥ sen θ, o que prova (i). Para (ii), observe
que os vetores sa˜o paralelos se, e somente se, o aˆngulo entre eles e´ zero ou 1800, casos nos quais
o seno e´ nulo, como quer´ıamos.
Sejam
−→
u e
−→
v dois vetores na˜o-paralelos. Portanto,
−→
u ×−→v 6= O. Ate´ aqui sabemos que−→
u × −→v e´ perpendicular a −→u e a −→v e que o seu comprimento e´
∥∥∥−→u ∥∥∥∥∥∥−→v ∥∥∥ sen θ, onde θ e´ o
(menor) aˆngulo entre
−→
u e
−→
v , aˆngulo este que pode variar entre zero e 180o (ou entre zero e pi
radianos). Para completar a geometria deste produto precisamos saber como desenha´-lo, posto
Produtos Escalar e Vetorial (J. Adonai) - 30
que ele pode apontar para um dos dois semi-espac¸os determinados pelo plano que conte´m os
vetores. Como fazer? Bem, inicialmente considere a base canoˆnica {−→i ,−→j ,−→k }. Um ca´lculo
direto, mostra que
−→
k =
−→
i ×−→j (fac¸a as contas). Portanto, neste caso, facilmente esboc¸amos o
triedro {−→i ,−→j ,−→i ×−→j }, o qual dizemos que obedece a regra da ma˜o direita: com a ma˜o direita
com o gesto “OK”, estique o dedo indicador na direc¸a˜o de
−→
u e o dedo me´dio na direc¸a˜o de−→
v . O vetor
−→
u × −→v deve ficar ao longo do polegar. Voceˆ pode dizer, tambe´m, que o vetor−→
k =
−→
i ×−→j veˆ −→i (o primeiro fator) a` sua direita e −→j (o segundo fator) a` sua esquerda.
Para o caso geral, procedemos de modo ana´logo: o triedro {−→u ,−→v ,−→u ×−→v } deve, tambe´m,
obedecer a regra citada, que funciona assim: voceˆ desenha
−→
u e
−→
v e o (menor) aˆngulo entre eles.
Ha´ agora duas possibilidades para desenhar o produto vetorial
−→
u ×−→v . Voceˆ escolhe aquela que
fac¸a “parecer” {−→u ,−→v ,−→u ×−→v } com {−→i ,−→j ,−→k }. Isto e´ o mesmo que exigir que −→u ×−→v veja −→u
a` sua direita e, portanto,
−→
v a` sua esquerda.
−→
v ×−→u = −(−→u ×−→v )
esquerda
x
direita
−→
i
−→
u
y
−→
j Figura 37: Produto Vetorialθ
−→
k
−→
v
direita
z
esquerda
−→
u ×−→v
Corola´rio 2.17. Dados treˆs pontos A,B,C ∈ R3, a a´rea do triaˆngulo 4ABC e´ dada por
a´rea(4ABC) = 1
2
‖(C − A)× (B − A)‖ .
Em particular, os pontos esta˜o alinhados se, e somente se, o vetor (C − A)× (B − A) e´ nulo.
Demonstrac¸a˜o. Sera´ deixada como exerc´ıcio. Sugerimos apenas que o leitor fac¸a uma figura,
considere os vetores
−→
u = C − A, −→v = B − A e use a proposic¸a˜o anterior.
Exemplo 2.18. Vamos recalcular, agora usando o resultado acima, a a´rea do triaˆngulo 4ABC
do exemplo 2.10 . Temos que A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 1) e C = (0, 0, 2) e
a´rea(4ABC) = 1
2
‖(C − A)×(B − A)‖
=
1
2
‖(−2, 0, 2)× (−2, 2, 1)‖ = 1
2
‖
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
−2 0 2
−2 2 1
∣∣∣∣∣∣ ‖
=
1
2
‖(4,−2, 4)‖ = ‖(2,−1, 2)‖ = √9 = 3.
Produtos Escalar e Vetorial (J. Adonai) - 31
A expressa˜o (
−→
u ×−→v ) · −→w = det (−→u ,−→v ,−→w ) dada no item (iv) da proposic¸a˜o 2.15 e´
comumente chamada produto misto. Ele tem uma
aplicac¸a˜o pra´tica muito u´til. Ele (na verdade o
seu valor absoluto) coincide com o volume do que
chamamos paralelep´ıpedo gerado pelos vetores
−→
u ,−→
v e
−→
w , como vemos ao lado. Vejamos o ca´lculo do
volume do paralelep´ıpedo, que vamos indicar por
Ω. Antes observe que sua altura h, relativamente
a` base gerada por
−→
u e
−→
v , e´
h =
∥∥∥−→w∥∥∥ cosα,
onde α e´ o aˆngulo entre
−→
w e
−→
u ×−→v . Logo,
−→
v
−→
u
θ
−→
w
αh
−→
u ×−→v
vol(Ω) = a´rea(base) altura =
∥∥∥−→u ×−→v ∥∥∥∥∥∥−→w∥∥∥ cosα = (−→u ×−→v ) · −→w .
Se α tem medida maior do que 90o, devemos por o valor absoluto nesta fo´rmula:
vol(Ω) = |(−→u ×−→v ) · −→w | = | det(−→u ,−→v ,−→w )|.
Exemplo 2.19. Vamos calcular o volume do te-
traedro T , de ve´rtices O = (0, 0, 0), A = (3, 2, 1),
B = (0, 2, 1) e C = (0, 0, 2). Como sabemos, este
tetraedro e´ a sexta parte do paralelep´ıpedo gerado
pelos vetores que comec¸am no ponto O e termi-
nam em A, B e C. Chamemos
−→
u = A− O = A,−→
v = B−O = B e −→w = C−O = C, estes vetores.
Logo,
vol(T ) = 1
6
(| det(−→u ,−→v ,−→w )|)
= 1
6
| det
 3 2 10 2 1
0 0 2
 |
= 1
6
|12| = 2.
x
A
−→
u
y
O
−→
v
B
C
z
−→
u ×−→v
2-8 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Calcule o volume do tetraedro T , de ve´rtices D = (3, 4, 2), A = (3, 2, 1),
B = (0, 2, 1) e C = (0, 0, 2).
Parte 2
Sugesto˜es & Respostas
2-1 Voltar
−→
u · −→v = 1 e −→w · −→s = 0.
2-2 Voltar De fato
−→
u · −→u = (cosu sen v)2 + (senu sen v)2 + (cos v)2
= (cos2 u+ sen2 u) sen2 v + cos2 v = sen2 v + cos2 v = 1.
2-3 Voltar Considere
−→
u = M − P e −→v = N − P , e mostre que −→u · −→v = 0.
2-4 Voltar Ponha A = (0, h), B = (−a, 0) e C = (b, 0), onde 2h = a + b. Agora mostre que−→
u · −→v > 0, onde −→u = B −A e −→v = C −A. A condic¸a˜o −→u · −→v > 0 implica que o aˆngulo Â
e´ agudo. Por queˆ?
2-5 Voltar W e´ definido por
W =
−→
F · −→AB = −→F · (B − A) = (1, 2,−3) · (1, 3,−1) = 9 J,
onde J significa Joules (ou Newtons vezes metros).
2-6 Voltar O produto vetorial de
−→
u por
−→
v e´ um tal vetor.
−→
u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
1 0 2
3 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 2
−→
i + 5
−→
j − 1−→k = (2, 5,−1).
2-7 Voltar O vetor momento e´ definido pelo produto
−→
M =
−→
F ×−→OP . Logo −→M = (−→i + 2−→k )×
(3
−→
i −−→j +−→k ) = (2−→i + 5−→j −−→k ) Nm.
2-8 Voltar Considere a sexta parte do paralelep´ıpedo gerado por
−−→
DA,
−−→
DB e
−−→
DC o volume
pedido e´ vol(T ) = 2.
32
Parte 3
Retas e Planos
A partir de agora sempre que quisermos produzir um conceito que cabe em R2 e R3,
escreveremos Rn, n = 2, 3.
3.1 Retas
A figura 40 ao lado mostra um ponto P ,
os vetores
−→
v 6= O e −→n (perpendicular a −→v ) e a
reta l que passa por P e e´ paralela a
−→
v . Se X e´
um ponto qualquer de l, enta˜o o vetor
−→
u = X−P
deve ser um mu´ltiplo de
−→
v , isto e´, existe t ∈ R
tal que −→
u = X − P = t−→v ,
ou
X = P + t
−→
v ,
equac¸a˜o que descreve os pontos de l, e motiva a
seguinte definic¸a˜o.
O
s -
6
x
y
Figura 40: Reta passando por P
e paralela a
−→
v
s�����
��
��
�
��
��
��
��
��
��
��
�
��
�*
��
��
�*s
X
�����
P
−→
u = X − P
��
�*
A
A
AK
−→
v
−→
n
l = (P,
−→
v )
l(O,
−→
v )
Definic¸a˜o 3.1. Dados P,
−→
v ∈ Rn, n = 2, 3, −→v 6= O, o subconjunto
l(P,
−→
v ) = {X ∈ Rn; X = P + t−→v , t ∈ R}.
e´ chamado reta que passa por P e e´ paralela ao vetor
−→
v . A equac¸a˜o X = P + t
−→
v e´ a equac¸a˜o
parame´trica de l.
Exemplo 3.2. [Reta por dois pontos] Dados
P,Q ∈ Rn, P 6= Q, a reta l(P,−→v ) = l(Q,−→v ) que
passa por P (ou Q) e e´ paralela ao vetor
−→
v =
Q− P coincide com a reta que passa pelos pontos
P e Q (indicaremos esta reta, tambe´m, por lPQ).
Com efeito, para t = 1, obtemos
X = P + t(Q− P ) = Q.
Figura 41: Reta Passando por P e Q
O xq1p1
p2
MP
−→
vq2
Q
lPQ = l(P,
−→
v )
y
33
Retas e Planos (J. Adonai) - 34
Logo, Q ∈ l(P,−→v ). Deixando t percorrer o intervalo fechado [0, 1], obtemos o segmento de reta
PQ. Assim,
PQ = {X = P + t(Q− P ); 0 ≤ t ≤ 1}.
Para t = 1/2, reobtemos
M = P +
1
2
(Q− P ) = P +Q
2
∈ PQ,
o ponto me´dio de PQ (veja o exemplo 1.16 ). Observe que
d(M,P ) = d(M,Q) = ‖M − P‖ = ‖M −Q‖ = d(P,Q)/2.
3-1 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Encontre a equac¸a˜o parame´trica da reta em R3 que passa pelo ponto
P = (3,−1, 2) e e´ paralela ao vetor −→u = −→i +−→j − 2−→k . Ache, tambe´m,
o ponto onde a reta fura o plano-xy.
3-2 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Dado o triaˆngulo 4ABC, de ve´rtices A = (3,−1,−1), B = (1, 2,−7) e
C = (−5, 14,−3).
(a) Encontre a equac¸a˜o parame´trica da mediana que passa por A.
(b) Encontre a equac¸a˜o parame´trica da mediana que passa por B.
(c) Mostre que as medianas obtidas interceptam-se no baricentro do triaˆngulo.
Exemplo 3.3. Tomemos, em R2, P = (x0, y0) e
−→
v = (v1, v2) 6= (0, 0). Se
X = (x, y) ∈ l(P,−→v ) = {X = (x, y) = (x0, y0) + t(v1, v2), t ∈ R}
e´ um ponto qualquer de l, enta˜o x = x0 + tv1 e y = y0 + tv2, t ∈ R. Donde
v2x = v2x0 + tv2v1 e v1y = v1y0 + tv1v2
e, portanto,
ax+ by = c,
onde a = −v2, b = v1 e c = ax0 + by0. Esta e´ a equac¸a˜o cartesiana de l(P,−→v ), forma usual nos
textos elementares de Geometria Anal´ıtica, e que pode ser reescrita como
(X − P ) · −→n = 0,
onde
−→
n = (a, b) = (−v2, v1) e´ o vetor perpendicular a −→v (veja o exemplo 2.9 ) e, portanto, a
l(P,
−→
v ).
Observac¸a˜o 3.4. Uma reta l(P,
−→
v ) na˜o determina unicamente P e
−→
v . De fato, se Q ∈ l e´
um ponto qualquer de l e
−→
w = λ
−→
v , λ 6= 0, enta˜o l(P,−→v ) = l(Q,−→w ).
Retas e Planos (J. Adonai) - 35
Exemplo 3.5. Sejam l1 = l(P,
−→
v ) e l2 = l(q,
−→
w ) duas retas no R2 que na˜o sa˜o paralelas.
Logo, l1 e l2 devem se tocar num u´nico ponto R (o que pode na˜o ocorrer no R3, como mostra o
exemplo 3.6 ). Este ponto e´ tal que existem t1, t2 ∈ R tais que R = P + t1−→v = Q+ t2−→w .
Exemplo 3.6. Consideremos as retas l1 = l(P,
−→
i ) e l2 = l(O,
−→
j ), onde P = (0, 0, 1), Note que
l2 e´ o eixo-y. E´ claro que os vetores
−→
i e
−→
j na˜o sa˜o paralelos. Assim, l1 e l2 na˜o sa˜o paralelas.
Entretanto, ao contra´rio do que ocorre no plano
(exemplo 3.5 ), l1 e l2 na˜o se interceptam. De
fato, se R e´ um ponto onde estas retas se inter-
ceptam, enta˜o
R = P + t1
−→
v = (t1, 0, 1)
e
R = O + t2
−→
w = (0, t2, 0),
para alguns t1, t2 ∈ R. Isto implica que
(t1, 0, 1) = (0, t2, 0).
Donde, obtemos que 1 = 0, um absurdo. Por-
tanto, devemos mesmo ter l1 ∩ l2 = ∅.
x
−→
i
y
−→
j l(O,
−→
j )
P
l(P,
−→
i )
z
3.2 Planos
Nosso objetivo agora e´ construir planos no R3. Sejam
−→
u e
−→
v dois vetores na˜o-colineares,
isto e´, na˜o-paralelos. Em cada ponto P do espac¸o, estes vetores determinam um plano que passa
por P e e´ paralelo a
−→
u e
−→
v , como mostra a figura 42 a seguir. Seja pi(P,
−→
u ,
−→
v ) este plano.
Dados dois nu´meros reais quaisquer s, t, o vetor (que chamamos de combinac¸a˜o linear de
−→
u e
−→
v )
s
−→
u + t
−→
v localizado em P termina em um ponto
X do plano pi(P,
−→
u ,
−→
v ), isto e´,
X = P + s
−→
u + t
−→
v ∈ pi(P,−→u ,−→v ).
Agora imagine todas as possibilidades para os es-
calares s e t. Com certeza os pontos
X = P + s
−→
u + t
−→
v
esgotara˜o o plano pi(P,
−→
u ,
−→
v ). A equac¸a˜oX = P + s
−→
u + t
−→
v
e´ chamada equac¸a˜o parame´trica de pi(P,
−→
u ,
−→
v ).
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6
z
-
y
pi(P,
−→
u ,
−→
v )
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XXXXXXXXz
@
@
@R
−→
u
s
−→
u
−→
v
t
−→
v
sXX − Pss
P
O s
Figura 43: Plano que passa por P
e e´ paralelo a
−→
u e
−→
v
Exemplo 3.7. Sejam P,Q,R ∈ R3 treˆs pontos tais que o triaˆngulo4PQR seja na˜o-degenerado,
Retas e Planos (J. Adonai) - 36
isto e´, os vetores
−→
u = Q− P e −→v = R− P na˜o sa˜o paralelos. Enta˜o, o plano
pi(P,
−→
u ,
−→
v ) = {X ∈ R3; X = P + s(Q− P ) + t(R− P ), s, t ∈ R}
conte´m os pontos Q e R. Para ver isto, ponha s = 1
e t = 0, para obter Q, e s = 0 e t = 1, para encontrar
R. Este e´ o plano que passa pelos pontos P,Q,R,
que indicaremos por piPQR. Como caso particular, to-
memos, em R3, os pontos P = (0, 0, 2), Q = (4, 1, 0) e
R = (1, 1, 1). Enta˜o,
−→
u = (4, 1,−2) e −→v = (1, 1,−1),
e piPQR fica
piPQR = {(x, y, z) = (0, 0, 2) + s(4, 1,−2) + t(1, 1,−1)}
= {(x, y, z) = (4s+ t, s+ t, 2− 2s− t), s, t ∈ R},
s, t ∈ R. Eliminando s e t na equac¸a˜o parame´trica
obtida, obtemos que
piPQR = {(x, y, z); x+ 2y + 3z = 6},
x
Q
y
−→
u
R
x + 2y + 3z = 6
−→
v
P
−→
n =
−→
u ×−→v
z
que e´ a forma cartesiana de piPQR. Note que os coeficientes desta u´ltima equac¸a˜o, a saber, 1, 2
e 3, da˜o origem ao vetor
−→
n = (1, 2, 3) que, como e´ fa´cil de ver, e´ perpendicular aos vetores
−→
u e−→
v e coincide com
−→
u ×−→v . Portanto, −→n e´ tambe´m perpendicular a piPQR. A seguinte proposic¸a˜o
generaliza esta situac¸a˜o.
Proposic¸a˜o 3.8. Seja pi(P,
−→
u ,
−→
v ) um plano do R3. Enta˜o,
−→
n =
−→
u × −→v = (a, b, c) e´ per-
pendicular a
−→
u e
−→
v (e portanto perpendicular a pi) e podemos escrever pi(P,
−→
u ,
−→
v ) na forma
cartesiana
pi = {X ∈ R3; (X − P ) · −→n = 0} = {(x, y, z); ax+ by + cz = d},
onde d =
−→
n · P .
Observac¸a˜o 3.9. A equac¸a˜o (X − P ) · −→n = 0, obtida para planos no R3, serve, como vimos
no exemplo 3.3 , tambe´m para retas em R2.
3-3 Exerc´ıcio
Soluc¸a˜o
Encontre uma equac¸a˜o parame´trica do plano pi de equac¸a˜o cartesiana
dada por x+ y + z.
3.2.1 Distaˆncia de um Ponto a um Plano
Seja pi o plano do R3 que e´ perpendicular a
−→
n e passa por P , conforme mostra a figura 45 .
Dado Q ∈ R3, a distaˆncia de Q a pi, d(Q, pi), e´ definida como sendo o mı´nimo das distaˆncias de
Q a pontos de pi, isto e´,
d(Q, pi) = min{d(Q,X); X ∈ pi}.
Retas e Planos (J. Adonai) - 37
Seja l a reta que passa por Q e e´ paralela a
−→
n . Temos que l intercepta (ortogonalmente) pi no
ponto
Q′ = Q− P−→
n
(Q− P ) = Q− (Q− P ) ·
−→
n∥∥∥−→n ∥∥∥2
−→
n ,
onde P−→
n
(Q− P ) e´ a projec¸a˜o de Q− P sobre −→n . Fixemos X ∈ pi um ponto arbitra´rio. Como
Q−Q′ e´ perpendicular a pi, ele e´ perpendicular a X −Q′. Usando o teorema de Pita´goras, vem
que
‖X −Q‖2 = ‖X −Q′‖2 + ‖Q−Q′‖2
≥ ‖Q−Q′‖2
e, portanto, obtemos
‖Q−Q′‖ ≤ ‖X −Q‖ , ∀X ∈ pi.
Segue-se, enta˜o, que d(Q, pi) e´ atingida em Q′ e
d(Q, pi) = ‖Q−Q′‖ =
∥∥∥∥∥∥∥
(Q− P ) · −→n∥∥∥−→n ∥∥∥2
−→
n
∥∥∥∥∥∥∥ =
|(Q− P ) · −→n |∥∥∥−→n ∥∥∥ .
Isto prova a seguinte proposic¸a˜o.
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XXXXXXXX
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C
C
C
C
C
C
C
C
Q
d(Q, pi) d(Q,X)
Q′
pi
Q− P6
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
−→
n
P
s sXs
Figura 45: Distaˆncia de um Ponto a um Plano
Proposic¸a˜o 3.10. Seja H uma reta no R2 ou um plano do R3 que e´ perpendicular a
−→
n e passa
por P . Dado Q ∈ Rn, n = 2, 3, a distaˆncia de Q a H e´ dada por
d(Q,H) =
|(Q− P ) · −→n |∥∥∥−→n ∥∥∥ .
Mais ainda, d(Q,H) e´ atingida no ponto de H
Q′ = Q− (Q− P ) ·
−→
n∥∥∥−→n ∥∥∥2
−→
n .
Em particular, se n = 3, Q = (x0, y0, z0),
−→
n = (a, b, c) e d =
−→
n