AULA 2 Porcentagem e acumulação de capital

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Porcentagem e acumulação de 
capital 
Prof. Marco Arbex 
marco.arbex@live.estacio.br 
TRANSFORMAÇÃO DE PERCENTUAL 
EM DECIMAL E VICE-VERSA 
 
• Para transformar percentual em decimal: divide o valor 
por 100 
• Para transformar decimal em percentual: multiplica o 
valor por 100 
 
TRANSFORMAÇÃO DE PERCENTUAL 
EM DECIMAL E VICE-VERSA 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Transforme em decimal os 
seguinte percentuais: 
 
a) 40% 
b) 83% 
c) 2% 
d) 60,5% 
Percentual Decimal 
25% 0,25 
3% 0,03 
4,4% 0,044 
2) Transforme em percentual 
os seguintes números 
decimais: 
 
a) 0,76 
b) 0,03 
c) 0,1 
d) 0,045 
RELEMBRANDO A REGRA DE TRÊS 
• A regra de três é uma forma de se descobrir váriáveis 
desconhecidas a partir de outras variáveis conhecidas. 
• Normalmente os problemas de porcentagem poder ser 
resolvidos utlizando o seguinte padrão de regra de três: 
 
 
 
Onde: 
Per = percentual de um todo (em unidades) 
PV = valor principal, sobre o qual se calcula a porcentagem 
i = taxa percentual de um valor (expressa em %) 
 
 
 
per = i 
PV 100 
 Cálculo de percentual 
Exemplo 1: Calcule 20% de 
300 
 
 x = 20% = 60 
300 100 
 
OBS: Fórmula alternativa: 
x = (20/100) * 300 = 60 
 
 
 
Exemplo 2: Calcule quantos 
por cento que 50 representa 
em 200. 
 
 50 = x = 25 
200 100 
 
OBS: Fórmula alternativa: 
x = (50/200)*100 = 25 
 Cálculo de percentual 
Exemplo 3: Calcule a 
quantia da qual 35 
representa 20%. 
 
35 = 20 = 175 
 x 100 
 
OBS: Fórmula alternativa: 
x = (35/20) * 100 = 175 
 
 
 
Exercícios: 
1)Calcule: 
a) 9% de 50 
b) 0,4% de 550 
 
2) Calcule quantos por cento 
que: 
a) 912 representa em 73.000 
 
3) Calcule a quantia da qual: 
c) 33 representa 5,5% 
 
Variação percentual 
• Fórmula: Diferença nos valores (em módulo) x 100 
 Valor inicial 
 
 
Exemplo 1: O preço de uma mercadoria subiu de $420 para $560. 
Qual foi a variação percentual? 
 560 – 420 x 100 = 33,33% 
 420 
 
Exemplo 2: O preço de uma mercadoria caiu de $65 para $54. Qual 
foi a variação percentual? 
65 – 54 x 100 = 16,92% 
 65 
 
Exercícios: variação percentual 
1) Uma loja colocou seu estoque em liquidação, de forma que os 
preços das roupas sofreram as seguintes quedas nos preços: 
• Camisas: de R$ 40 por R$ 30; 
• Calças: de R$ 55 por R$ 40; 
• Bermudas: de R$ 50 por R$ 35. 
• Calcule: a queda percentual de cada produto e a queda 
percentual média. 
 
2) Você comprou uma mercadoria para revender e precificou com 
100% de margem sobre o custo. Ao vender o produto para um 
amigo, você dá 100% de desconto nessa mercadoria. Podemos 
afirmar que você não perdeu nem ganhou? 
Aumento e redução percentual 
a) Para calcular o valor em unidades monetárias de um 
aumento percentual dado, utiliza-se o fator de atualização. 
 
Exemplo: O meu salário de R$1.000,00 aumentou 12%. Qual 
é o novo salário? 
x = 1.000 x 1,12 = 1.120 
 
 
OBS: o fator de atualização é uma simplificação da fórmula: 
1000 + [ (12 / 100) x 1000 ] = 1.120 
 
Calcule o fator de atualização (FA) se o aumento for de: 
 
15%  100% + 15% = 115%  FA = 1,15 
19,21%  100% + 19,21% = 119,21%  FA = 1,1921 
70%  100% + 70% = 170%  FA = 1,7 
6%  100% + 6% = 106%  FA = 1,06 
300%  100% + 300% = 400%  FA = 4 
Aumento percentual 
 
Calcule o fator de atualização (FA) em caso de redução de: 
-20%  100% - 20% = 80%  FA = 0,8 
-19%  100% - 19% = 81%  FA = 0,81 
-70%  100% - 70% = 30%  FA = 0,3 
-6%  100% - 6% = 94%  FA = 0,94 
 
Se o FA for: 
1,32  132% - 100% = 32%  aumento 
0,95  95% - 100% = -5%  redução 
Redução percentual 
Exercícios 
1) O preço de uma mercadoria que custava R$ 20,00 sofreu 
aumento de 4,2%. Calcule o novo valor da mercadoria 
utilizando o fator de atualização. 
 
2) O preço de uma mercadoria que custava R$ 3,00 sofreu 
redução de 0,8%. Calcule o novo valor da mercadoria 
utilizando o fator de atualização. 
 
3) Em 1º de junho de 2016 apliquei R$1.000,00 na poupança. 
Considerando que o rendimento previsto é de 6,5% ao ano, 
qual será o saldo em 1° de junho de 2017? 
 
Aumentos percentuais sucessivos 
• É comum que alguns produtos sofram aumentos ou descontos 
sucessivos sobre seu valor base. Os aumentos sucessivos 
também são utilizados para cálculo da inflação acumulada. 
 
Exemplo: Sobre uma mercadoria de $180,00 incidem três 
aumentos sucessivos de 10%, 12% e 19%. 
 
a)Qual será o novo preço dessa mercadoria? 
Valor final = valor inicial (1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)..............(1 + in) 
Valor final = 180,00 (1,10) (1,12) (1,19) 
Valor final = $263,89 Fator de atualização 
Aumentos percentuais sucessivos 
 
b)Qual a taxa que substitui os três aumentos? 
 
i = (1 + i1)(1 + i2)(1 + i3).....................(1 + in) – 1 
i = (1 + 0,10)(1 + 0,12)(1 + 0,19) – 1 
i = 46,608% 
 
OBS: Para comprovar, aplique um aumento de 46,608% 
sobre o valor inicial. O resultado deve ser o valor final. 
 
Reduções percentuais sucessivas 
Exemplo: Sobre uma mercadoria de R$540,00 incidem três 
descontos sucessivos de 10%, 5% e 8%. 
 
a) Qual será o novo preço dessa mercadoria? 
a) Valor final = valor inicial (1 - i1)(1 - i2)(1 - i3)...............(1 - in) 
Valor final = 540,00(1 - 0,10)(1 - 0,05)(1 - 0,08) 
Valor final = 424,76 
 
b) Qual a taxa que substitui os três descontos? 
i = 1 - (1 - i1)(1 - i2)(1 - i3).....................(1 - in) 
i = 1 - (1 - 0,10)(1 - 0,05)(1 - 0,08) 
i = 21,34% 
 
 
Usando o fator de atualização para 
calcular inflação acumulada 
• Inflação é o aumento contínuo e generalizados dos 
preços. 
• Existem diversos índices de inflação, como IPCA, 
IGPM, INPC, entre outros. Cada índice agrupa 
determinadas categorias de mercadorias. 
 
Exemplo 1: Em certo trimestre a inflação foi de 6%, 
8% e 10% ao mês, respectivamente, qual a inflação 
acumulada no trimestre? 
 
 
 
 
Aplicando fatores de atualização 
1º mês: 6% 1,06 
2º mês: 8% 1,08 
3º mês: 10% 1,10 
 
-Fator acumulado: 1,06 x 1,08 x 1,10 = 1,25928 
-Índice de correção é: 25,928% 
 
Acumula %  multiplica fatores 
Aplicando fatores de atualização 
• Exemplo 2: Certa categoria profissional conseguiu para o 
mês 3 reajuste de 12,5% sobre o salário do mês 1, 
descontadas as antecipações. Como houve um 
adiantamento de 5% no mês 2, que percentual deve incidir 
sobre os salários do mês 3? 
 
OBS: Devo Incorporar o aumento e descontar o adiantamento 
(ao invés de multiplicar o fatores de atualização, devo dividir. 
 
= 1,125 / 1,05 = 1,0714 = 7,14% 
Ganho real e ganho nominal 
 
• A inflação corrói o poder aquisitivo das pessoas, principalmente 
assalariados e pessoas que não conseguem poupar parte da 
sua renda para se precaver dos aumentos de preços 
• A existência da inflação faz com que o valor real seja diferente 
do valor nominal da moeda. 
-Valor nominal: valor de face 
-valor real = poder de compra 
 
Quando falamos em ganho nominal (ou ganho aparente) de uma 
aplicação financeira, trata-se do rendimento informado pelainstituição. O rendimento real é o rendimento nominal 
descontando a inflação do período. 
 Ganho real e ganho nominal 
 
Um investimento foi realizado em um período com inflação 
de 30% e a taxa de rendimento de 56%. Qual o 
rendimento real deste investimento descontada a inflação? 
 
 
 
 
 
Ganho real = 1,56 / 1,30 
= 1,2 = 20% 
 
 
Fator de ganho real = 
InflaçãodeFator
AparenteGanhodeFator
O uso do mark up para precificação 
A determinação do preço de um produto pode ser 
realizados de diversas formas. A escolha vai depender do 
ramo de atuação da empresa, da capacidade de produção 
(escala) e do perfil do consumidor. As formas de 
precificação são: 
 
• Com base na concorrência: O preço é definido com base 
nos preços praticados pelas empresas do mesmo setor 
• Com base na demanda: O preço é definido com base no 
valor percebido pelos clientes (em quanto eles se dispõem a 
pagar) 
• Com base nos custos: O preço é definido a partir dos 
custos da empresa (detalhado a seguir). 
O uso do mark up para precificação 
• O método mais conhecido para determinação dos preços a 
partir dos custos é o “mark up”. 
• Este é um índice aplicado sobre o custo de um produto para 
obter o preço de venda. Para chegar até esse índice, é 
necessário levar em conta três itens: 
– custos fixos (CF): ocorrem independentemente de haver 
vendas/receita pela empresa 
– custos variáveis (CV): variam junto com as 
vendas/receita da empresa 
– margem de lucro: percentual do preço de venda do 
produto que representa um ganho para a empresa. 
 
Mark up: exemplo 
-Você tem uma loja e 
comprou uma blusa 
por R$ 100,00 para 
vender. 
-A tabela ao lado 
ilustra os valores que 
devem ser 
considerados 
para formar o 
custo total da 
venda 
(+) ICMS da venda (CV) = 18% 
(+) PIS e COFINS (CV) = 4,65% 
(+) Comissão do Vendedor 
(CV) 
= 2,5% 
(+) Despesas 
Administrativas (CF) 
= 6% 
(+) Lucro desejado = 20% 
(=) CTV (custo total da 
venda) 
= 51,15% 
Mark up: exemplo 
• Mark up divisor: 
 
 
 
 
 
• Preço de venda 
 
MKD = (PV – CTV) /100 
MKD = (100 – 51,15) /100 
MKD = 48,85 /100 
MKD = 0,4885 
Sempre considere 
100% para o preço 
de venda 
PV = PC /MKD 
PV = R$ 100,00 /0,4885 
PV = R$ 204,70 
Mark up: exemplo 
• Fórmula para conferência dos resultados do exemplo 
da venda da blusa: 
% Lucro = Lucro/PV x 100 
% Lucro = 41 /205 x 100 
% Lucro = 0,2 x 100 
% Lucro = 20 
Lucro = R$ 41 
(20% de R$ 205,00) 
Mark up: exemplo 
• Considerando que os custos fixos informados são 
aplicáveis aos demais produtos da loja e considerando 
que você deseja a mesma margem de lucro para os 
demais produtos, utilizamos o mark up multiplicador: 
 
 
 
 
 
 
 
MKM = 1 /MKD 
MKM = 1 /0,4885 
MKM = 2,047708 
PV = PC x MKM 
 
PV 
= R$ 15,00 x 2,047708 
 
PV 
= R$ 30,71 
Exemplo 
para um 
produto que 
tem o preço 
de custo de 
R$ 15,00. 
Textos base 
PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 2014. 
 
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de 
Investimentos. 5ª Edição, São Paulo, Pearson Education, 2010.