Resumo das aulas calculo diferencial integral uma variavel

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Conteúdo da Disciplina 
Estudaremos: conceito e cálculo de limites, limites fundamentais e 
continuidade de funções. 
 
1. Indeterminação de limites: 
0/0; ∞/∞; ∞-∞; 0x∞; 00; ∞0; 1∞ 
 
Então quando na substituição direta der um valor de indeterminação, o 
problema deve ser trabalhado para eliminar a indeterminação. Uma 
indeterminação ocorre quando, em meio a um cálculo de limites, nos 
deparamos com um resultado inconclusivo. 
0/0 – use o método Briof-Ruffini, fatorar o polinômio. 
∞/∞ - se a indeterminação for infinitos, use a evidência do termo (inteiro – 
letra e multiplicador) com expoente de mais alto grau. 
 
Determinação de limites: 
∞+∞=∞ 
Como eliminar indeterminação: 
- quadrado de uma diferença (a2 – b2) 
Matematicamente falando, só podemos trabalhar isso porque estamos 
trabalhando com limites. 
- forma fatorada do Dispositivo Prático Briot-Ruffini, quando já temos uma raíz. 
O próprio valor que causou a indeterminação é a raiz da equação. 
 
Continuidade: 
Segundo Stewart “uma função f é contínua em um número a se limxaf(x)=f(a)”. 
Esta definição nos traz três implicações: 
 
I- f(a) é definida – existe um valor no ponto da função que queremos, se 
o ponto tem imagem. 
II- limxaf(x) existe – o limite aproximando-se deste a existe, limites 
laterais. 
III- limxaf(x)=f(a) – tanto os limites (laterais) como o próprio valor da 
substituição são iguais. 
Se os limites estão chegando e tem o valor de a, então existe a função. 
 
Determine cada um dos seguintes limites, dada a função f:IR  IR, definida 
por: 
 8+x, se x ≤ -2 1 
f(x) = 1+2x, se -2<x≤2 2 
 x+1, se x>2 3 
Neste caso temos uma função que têm intervalos, e o valor de x muda em cada 
intervalo. 
É interessante encontrar em qual destas faixas de valores está o número que 
estamos trabalhando. 
 faixa 1 faixa 2 faixa 3 
____________o_____________o__________________ 
 -2 2 
 
a) limx-2- f(x)= 8+x = 8+(-2)= 8-2= 6 
b) limx2- f(x)= 1+2x = 1+2(2)= 1+4= 5 
c) limx-2+ f(x)= 1+2x =1+2(-2) = 1-0 = 1 
d) limx2+ f(x)= x+1 = 2+1= 3 
 
1- Limites no infinito. 
 
Na decisão de Stewart, seja f uma função definida em algum intervalo (a,∞), 
então: limx∞ f(x)=L. 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a função está indicando o infinito e dá um valor numérico, este valor 
será a assíntota horizontal. 
A assíntota horizontal podemos simplificar que é o valor do limite da função 
quando o x tende ao ∞, ou até mesmo, ao -∞. 
 
Método - quadrado de uma diferença (a2 – b2) 
 
Calcule: limx∞ [x
2-1]/[x-1]. 
limx∞ [x
2-1]/[x-1]= (∞)2-1/(∞)-1= ∞/∞ (indeterminação). 
Saindo da indeterminação, 
limx∞ [x
2-1]/[x-1]= 
limx∞ [(x+1)(x-1)]/[(x-1)]= 
limx∞ [x+1] 
= ∞+1 = ∞ 
 
Trabalhar com infinito é quase a mesma idéia de trabalhar com valores 
numéricos. 
 
 
 
Método da evidência do mais alto grau. 
Outra técnica é evidenciar o valor de mais alto grau: 
 
Calcule: limx∞ [x
2-1]/[x-1]. 
limx∞ [x
2-1]/[x-1]= 
limx∞ [x
2(1-1/x2)]/[x(1-1/x)]= (simplifica os x) 
limx∞ [x(1-1/x
2)]/[(1-1/x)]= 
= ∞.(1-1/∞2)/(1-1/∞) 
Conceitualmente limx∞ [1/x] = 0  1/∞ =0 
Portanto: 
= ∞.(1-1/∞2)/(1-1/∞) 
= ∞.(1-0)/(1-0) 
= ∞.(1)/(1) 
= ∞ 
2- Assíntotas horizontais 
Determine a assíntota horizontal da função f(x)=2x2-x+2/x2-1 
Para calcular uma assíntota horizontal temos que calcular o valor de x 
tendendo ao infinito: limx∞ . 
Quando temos uma indeterminação do tipo 0/0 já teríamos uma raíz, e 
poderíamos fazer por fatoração. Não temos neste caso, temos ∞/∞. Temos 
que usar outra técnica, a da evidência do termo de maior grau, tanto no 
numerador como no denominador. 
 
limx∞ [2x
2-x+2/x2-1]= colocando em evidência o maior grau x2 
limx∞ x
2(2-1/x+2/x2)/x2(1-1/x2)= 
limx∞ (2-1/x+2/x
2)/(1-1/x2)= 
= (2-1/∞+2/∞2)/(1-1/∞2)= 
 
=(2-0+0)/(1-0)= 
=2/1 
=2 
Logo a assíntota horizontal é y = 2. 
 
4- Limites do infinito no infinito 
 
Encontre limx∞ [x
2-x]/[1-x] 
limx∞ [x
2(1-1/x)]/[x(1/x-1)]= (simplifica o x) 
limx∞ [x(1-1/x)]/[(1/x-1)]= (substitui x por ∞) 
 = ∞.(1-1/∞)/(1/∞ -1) 
= ∞.(1-0)/(0 -1) 
= ∞.(1)/(-1) 
= -∞ 
Encontre o limite e demonstre que ele não existe: 
Calcule: limx∞ [1-e
x]/[1+2ex]. 
Método de colocar o termo de mais alto grau em evidência: 
 
limx∞ [1-e
x]/[1+2ex]= (colocar o ex em evidência) 
limx∞ e
x [1/ex-1] / ex [1/ex+2]= (simplifica ex) 
limx∞ [1/e
x-1] / [1/ex+2]= (substitui x por ∞) 
limx∞ [1/e
x-1] / [1/ex+2]= ( propriedades limx∞ e
x=∞ porque e é um 
número 2, ....) 
 [1/∞-1] / [1/∞+2]= (propriedades 1/∞=0) 
 [ 0-1] / [ 0+2]= 
 [ -1] / [ +2]= 
 -1/2 
 
 
Resumo: 
Importante lembrar que o resultado de um limite é, acima de tudo, uma 
tendência de valor. Portanto, não necessariamente uma resposta exata. 
Pela definição de limite temos: limxa f(x)=L. 
Limites laterais 
limxa f(x)=L 
se, e somente se, 
limxa +f(x)=L (vindo pela direita) 
limxa -f(x)=L (vindo pela esquerda) 
 
Estabelecemos o valor, vindo pela direita e vindo pela direita dá o valor a, 
então é o limite. Se os limites laterais resultam no mesmo valor, então a função 
tem o limite neste valor. 
Cálculo usando propriedades de limites: 
Propriedades dos Limites 
1ª) 
O limite da soma é a soma dos limites. 
 
O limite da diferença é a diferença dos limites. 
 Exemplo: 
 
 
2ª) 
 O limite do produto é o produto dos limites. 
 Exemplo: 
 
 
3ª) 
 
 O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o 
denominador não seja zero. 
 Exemplo: 
 
 
 
4ª) O limite da potência. 
 
 
 Exemplo: 
 
 
5ª) Limite da raíz. 
 
 Exemplo: 
 
 
6ª) Limite do logaritmo natural. 
 
 Exemplo: 
 
 
7ª) Limite de função trigonométrica. 
 
 Exemplo: 
 
 
8ª) Limite de e. 
 
 Exemplo: 
 
 
9- Uma constante multiplicando uma função, você pode exteriorizar. 
 
limxa[cf(x)] = c [limxaf(x)] 
10- limite de uma constante. 
limxa c=c 
11- Limite do próprio x. 
limxa x=a 
12- Limite de x elevado a n. 
limxa x
n=an 
13- Propriedade da substituição direta. 
O uso dessa propriedade, basicamente consiste em substituir o valor de 
tendência diretamente na incógnita da função. 
limx2 [2x-1/x-1]= 
 =[2.2-1/2-1]= 3 
 
 
4- Limites infinitos e assíntota vertical. 
limx0 [1/x
2]=∞ 
Vamos observar o gráfico da f numa vizinhança de 0 : 
 
 
 
 
 
O gráfico ao lado sugere que o valor da função fica cada vez menor 
quando quando x  0 , isto é , 
 
limx0 [-1/x
2]=∞ 
 
Vamos observar o gráfico da f numa vizinhança de 0 : 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 3 
Derivadas 
A derivada de uma função é um ponto fundamental na disciplina, bem como 
dentro do curso superior da área exata. Para melhor esclarecer a importância 
desse conteúdo, vamos utilizar um gráfico: 
f(x)-f(x0)/x-x0= ∆y/∆x 
Incremento de uma função = ∆y 
Incremento da variável= ∆x 
 
 
Fazemos variação de Y sobre a variação de X para trabalharmos com uma 
tangente. 
Portanto, segundo Silva(2009), podemos dizer que uma função é derivável em 
um ponto x0 se o limite darazão incremental: 
f’(x0)= limx0 f(x)-f(x0)/x-x0= lim∆x0 ∆y/∆x existir e for finito. 
A idéia é aproximar os valores de x até o valor de x0, isto é o x tendendo ao x0, 
aproximar os valores de modo que sejam cada vez menor o espaço ou 
diferença entre eles. 
Calcular a derivada da função f(x)=x2 no ponto x0=2. 
f’(x0)= limxx0 f(x)-f(x0)/x-x0 
f’(2)= limx2 f(x)-f(2)/x-2 
f’(2)= limx2 (x
2)-(4)/x-2 (elevando ao quadrado porque f(x)=x2. 
f’(2)= limx2 (x
2-4)/x-2 ( indeterminação aplica o quadrado da soma pela 
diferença para sair da indeterminação). 
f’(2)= limx2 (x-2)(x+2)/(x-2) (simplifica (x-2)) 
f’(2)= limx2 (x+2)= 
f’(2)= (2+2)= 4 
Achou o valor 4, então a função é diferenciavel no ponto x0. 
 
Tabelas de derivadas: 
Olha o exercício, procura na tabela e ver o que se encaixa melhor. 
Cuidado com os detalhes. 
Derivadas de funções elementares: 
1- Constante f(x)=a logo f’(x)=0 
2- Afim f(x)=ax+b logo f’(x)=a (função afim ou função do primeiro grau) 
3- Identidade f(x)=1.x logo f’(x)=1 
4- Potência f(x)=xn condição (x E R*+ e n E R) logo f’(x)=n.xn-1 
 
Nota: R*+ representa os reais positivos excluindo o zero. 
Teoria de Libnitz. 
 
 
 
Calcule as derivadas das funções a seguir: 
1) f(x)=x+2 Usando a tabela das derivas (função afim), temos que 
f’(x)=1. 
2) f(x)=4x3 Usando a tabela das derivas (função Potência), temos 
que f’(x)=12x2. 
3) f(x)=log4 x Usando a tabela das derivas (função logarítmica), 
temos que f’(x)= 1/x.ln 4. 
4) f(x)=2x Usando a tabela das derivas (função exponencial), 
temos que f’(x)= 2x . ln2 (Cuidado!!!) f(x)=ax . 
5) f(x)=cosx Usando a tabela das derivas (função seno), temos 
que f’(x)= -senx. (cuidado com o sinal). 
 
Regras de derivadas 
Derivada da soma das . 
f(x)=u(x) +v(x) 
f’(x)=u’(x) +v’(x) 
Quando calcula a derivada da soma de duas funções, as derivadas 
também será a soma das derivadas. 
f(x)=u(x) -v(x) 
f’(x)=u’(x) -v’(x) 
Vale também para a subtração. 
Para operadores geométricos, multiplicação e divisão é diferente. 
 
Derivada do produto de funções: 
f(x)=u(x) .v(x) 
f’(x)=u(x) .v’(x) + u’(x) +v(x) 
 
 
Derivada da divisão de funções: 
f’(x)=u(x) /v(x) 
f(x)=[u’(x) .v(x) - u(x) +v’(x)]/(v(x))2 
 
Exemplos: 
Calcule as derivadas das funções a seguir. 
1) f(x)=x+x2 usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, 
temos que f’(x)=1+2x 
2) f(x)=x2- x3 usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, 
temos que f’(x)=2x – 3x2 
3) f(x)=(x2 – 2).( x4 +2) usando a tabela de derivadas e as regras de 
derivação, temos que f(x)=(u).(v) então f’(x)= u . v’ + u’ . v que fica: 
f’(x)= (x2 – 2).(4.x3)+ (2x).(x4+2) 
f’(x)= 6x5-8x3+4x 
4) f(x)= x2/(x3-1) usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, 
temos que 
f(x)= u/v 
f’(x)= [u’.v-u.v’]/v2 
f’(x)= [(2x)(x3 – 1)- ( x2 )(3x2)]/(x3-1)2 
f’(x)= -x4-2x/(x3-1)2 
 
R 
 
Regra da cadeia ou Derivação de Função Composta 
A derivação de função composta, também conhecida como Regra da 
Cadeia, é uma das mais poderosas ferramentas que temos para calcular 
as derivadas. 
Se g for derivável em x e f for derivável em g(x), etnão a função 
composta F=fºg definida por F(x)=f(g(x)) é derivável em x e F’ é dada pelo 
produto 
F’(x)= f’(g(x)). g’(x) 
Na notação de Leibniz, se y=f(x) e u=g(x), teremos funções deriváveis, 
então 
dy/dx=dy/du . du/dx 
 
Derivada da função externa, deixando a derivada da função interna sem 
mexer, vezes a derivada interna. Isto é deriva externamente, depois 
deriva internamente. 
1. Calcule a derivada da função composta 
f(x)=√(1+2e3x) 
f(x)=(1+2e3x)1/2 
Para efeito de cálculo consideraremos u=1+2e3x 
Portanto teremos 
f(x)=(u)1/2 
E nesse caso, seguindo a fórmula dy/dx=dy/du . du/dx, ficamos com: 
dy/du=1/2 (u)(1/2) -1 
du/dx= 2.3.e3x 
Assim, 
f’(x)=1/2(u) (1/2) -1.( 2.3.e3x)= 
f’(x)=( 2.3.e3x)/2√u 
 
Substituindo o valor de u=1+2e3x 
f’(x)=( 2.3.e3x)/2√(1+2e3x ) 
f’(x)=3.e3x/√(1+2e3x ) 
 
2. Calcule a devida função 
3. f(x)=(x-1/x)3 
4. Aplicando u=(x-1/x) =( x- x-1) 
f(x)=(u)3 
Aplicando dy/dx=dy/du . du/dx 
 
dy/du=3(u)2 
du/dx=(1-x-2) 
Portanto 
dy/du=3(u)2 . (1-x-2) 
dy/du=3(x-1/x)2 . (1-x-2) 
dy/du=3(x-1/x)2 . (1- 1/x2) 
 
Derivada Implícita 
A derivação implícita, em vias gerais, é uma derivação comum, com o 
detalhe que não conseguimos explicitar a variável y como nos casos 
anteriores. 
 
1. Calcule dy/dx (lê-se derivação de y em relação a x) da função x3+y3=1, 
por derivação implícita. Aplicando a derivação em relação à x, ( a 
função y é somente x3+y3) ( a segunda parcela é o 1, também deriva 
em relação a x) 
d/dx(x3+y3)=d/dx (1) 
 
d/dx(x3+y3)= é a derivada de uma soma, pelas regras é a soma das 
derivadas: 
d/dx(x3) + [d/dx (y3)]= d/dx (1) 
 
d/dx(x3) é uma derivação direta de x em relação a x = 3x2 fácil. 
[d/dx (y3)] é uma derivação de y em relação a x, epa, não tem o x para 
derivar. Temos que apelar para uma regra da cadeia, derivar em 
relação a y [d/dy (y3)] multiplicando por derivada simples de y em 
relação a x que é [dy/dx] que é y’. 
 
*d/dx(y3) = [d/dy (y3) . dy/dx)]= 3y2 . dy/dx = 3y2 . y’ 
3x2 + 3y2 . y’=0 
 
Agora é só isolar y’ que é a própria derivada: 
 
y’= - 3x2 / 3y2 
y’= - x2 / y2 
 
2. Calcule dy/dx da função ey . senx = x + xy, por derivação implícita. 
d/dx (ey . senx) = d/dx (x + xy) 
d/dx (ey . senx) = d/dx (x) + d/dx ( xy) 
Nesse ponto identificamos duas derivadas de produto. Utilizar as 
regras de derivação de produto. 
(ey ). cosx +( ey . y’) senx = 1 + ( xy’) + (1y) 
 
Separando os termos com y’, 
( ey . y’) senx - ( xy’) = 1 + (1y) - (ey ) . cosx 
 
 
Evidenciando y’, 
y’( ey . y’ senx - x) = 1 + (1y) - (ey ) . cosx 
 
Isolando o y’, 
y’= [1 + (1y) - (ey ) . cosx] / ( ey . y’ senx - x) 
 
Derivação logarítmica 
Calcule a derivada a seguir por derivação logarítmica: 
(para que serve logaritmo- para derrubar expoente) 
f(x) = (x2-2). (x4+2) 
y = (x2-2). (x4+2) ( a função é igual a y – imagem) 
Aplicando o logaritmo natural (ln) da função (pode usar qualquer 
logaritmo, optou por usar o ln) 
ln (y) = ln[ (x2-2) . (x4+2)] 
Aplicando as propriedades operatórias de logarítmo 
ln (y) = ln (x2-2) + ln (x4+2) 
Derivando implicitamente: da tabela derivada de ln = 1/(x2-2) e 
1/(x4+2) que são a parte de fora das funções implícitas. 
(1/y) y’ = [1/(x2-2)].(2x-0) + [1/(x4+2)].(4x3+0) 
(1/y) y’ = [2x/(x2-2)] + [4x3/(x4+2)] (tira o mínimo) 
(1/y) y’ = [2x.(x4+2) + 4x3.(x2-2)] / [(x2-2) .(x4+2)] 
y’ = y{ [2x.(x4+2) + 4x3.(x2-2)] / [(x2-2) .(x4+2)]} 
y’= (x2-2) .(x4+2){ [2x.(x4+2) + 4x3.(x2-2)] / [(x2-2) .(x4+2)]} (simplifica) 
y’= 2x(x4+2) + 4x3.(x2-2) 
f’(x)= 6x5 – 8x3 + 4x 
 
 
 
 
 
 
Interpretação geométrica da derivada 
 
1. Calcule a reta tangente a reta normal à função y=x2+2 no ponto x0= 
1. 
1º passo 
Por se tratar de um ponto, precisamos calcular a ordenada y0. 
y0= (x0)2+2 
y0= 12+2 
y0= 3 
 
A tangente em um pondo é uma reta que passa pelo ponto, já a 
normal é outra reta perpendicular a reta tangente que passa pelo 
ponto. 
Então o ponto é ( 1; 3 ). 
2º passo 
Derivar a função 
y=x2+2 
y’=2x 
Significa que a derivada da função dará o coeficiente angular da 
reta no ponto ou a tangente da reta no ponto. 
3º passo 
Calcular o coeficiente angular da reta tangente substituindo o 
valor de x0 = 1 na derivada da função. 
 
y’=2x 
y’= 2.1 
y’=2 
Esse é o valor do coeficiente angular (mt=2) da reta tangenteno 
ponto (1,3). 
 
4º passo 
Calcular a reta tangente pelo feixe de retas. 
y-y0=m(x-x0) - ***regra do yoyo mixixo 
y-3=2(x-1) 
y-3=2x-2 
y=2x+1 
Reta tangente ao ponto. 
 
5º passo 
Cálculo da reta normal 
Como a reta normal é perpendicular à reta tangente, podemos 
definir que (mn= -1/mt). Portanto, mn=-1/2. 
Aplicando o feixe de retas, para calcular a normal, temos: 
y-y0=m(x-x0) - ***regra do yoyo mixixo 
y-3=-1/2(x-1) 
y= (-x+7)/2 
y=-x/2 + 7/2 
Reta normal ao ponto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA – Derivadas, Integrais e Identidades Trigonométricas 
 
 Derivadas: Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante. 
1. ny u 1' 'ny nu u  . 
2. y u v ' ' 'y u v v u   . 
3. 
uy
v
 2
' '' u v v uy
v
  . 
4. uy a  ' (ln ) ', 0, 1uy a a u a a    . 
5. uy e ' 'uy e u  . 
6. logay u 
'' loga
uy e
u
  . 
7. lny u 1' 'y u
u
  . 
8. vy u 1' ' (ln ) 'v vy v u u u u v   . 
9. seny u ' ' cosy u u  . 
10. cosy u ' ' seny u u   . 
11. tgy u 2' ' secy u u  . 
12. cotgy u 2' ' cosecy u u   . 
13. secy u ' ' sec tgy u u u  . 
14. cosecy u ' ' cosec cotgy u u u   . 
15. seny arc u 
2
''
1
uy
u
 

. 
16. cosy arc u 
2
''
1
uy
u
 

. 
 
17. tgy arc u 2
''
1
uy
u
 

. 
18. coty arc g u 2
'
1
u
u


. 
19. sec , 1y arc u u  
2
'' , 1
1
uy u
u u
  

. 
20. cosec , 1y arc u u 
2
'' , 1
1
uy u
u u
  

. 
 Identidades Trigonométricas 
 
1. 2 2sen cos 1x x  . 2. 2 21 tg secx x  . 
3. 2 21 cotg cosecx x  . 4. 2 1 cos 2sen
2
xx  . 
5. 2
1 cos 2cos
2
xx  . 6. sen 2 2 sen cosx x x . 
7.    2 sen cos senx y x y sen x y    . 
8.    2 sen sen cos cosx y x y x y    . 
9.    2 cos cos cos cosx y x y x y    . 
10. 1 sen 1 cos
2
x x      
. 
 Integrais 
 
1. du u c  . 2. 
1
, 1
1
n
n uu du c n
n

   
 . 
3. lndu u c
u
  . 4. , 0, 1ln
u
u aa du c a a
a
    . 
5. u ue du e c  . 6. sen cosu du u c   . 
7. cos senu du u c  . 8. tg ln secu du u c  . 
9. cotg ln senu du u c  . 10, sec ln sec tgu du u u c   . 
11. cosec ln cosec cotgu du u u c   . 12. sec tg secu u du u c  . 
13. cosec cotg cosecu u du u c   . 14. 2sec tgu du u c  . 
 
15. 2cosec cotgu du u c   . 16. 2 2 1 tgdu uarc cu a a a  . 
17. 2 22 2
1 ln ,
2
du u a c u a
u a a u a
  
  . 18. 
2 2
2 2
lndu u u a c
u a
   
 . 
19. 
2 2
1 secdu uarc c
a au u a
 
 . 20. 
2 2
2 2
lndu u u a c
u a
   
 . 
21. 2 2
2 2
sen ,du uarc c u a
aa u
  
 . 
 
 Fórmulas de Recorrências 
 
1. 
1
2sen cos 1sen sen
n
n nau au nau du au du
an n

        . 
2. 
1
2sen cos 1cos cos
n
n nau au nau du au du
an n

       . 
3. 
1
2tg tg
( 1)
n
n ntg auau du au du
a n

 
  . 
4. 
1
2cotgcotg cotg
( 1)
n
n nauau du au du
a n

  
  . 
5. 
2
2sec 2sec sec
( 1) 1
n
n nau tg au nau du au du
a n n

        . 
6. 
2
2cosec cotg 2cosec cosec
( 1) 1
n
n nau au nau du au du
a n n

         . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 4 
Taxas Relacionadas 
Uma boa prática das derivadas está na aplicação das taxas 
relacionadas. 
1. Achar uma equação que relacione grandezas envolvidas. 
2. Considerar que as taxas de variação são derivadas em relação ao 
tempo. 
 
Suponha um reservatório de água com formato de cone invertido (fig 
1). Esse reservatório está sendo alimentado a taxa de 3m3/h. 
Qual a taxa de aumento no seu nível de água quando a altura contida 
no reservatório for de 2 metros? 
 
 2m 
 
 
 6m 
 
 h 
 fig.1 
 
dV/dt= ? 
(h=2 metros) 
V=1/3(π.r2.h) 
 
dV/dt=3 m3/h 
dh/dt= ? (h=2 metros) 
 
Onde: 6/2=h/r  r=h/3 
Portanto, 
V=1/3 .π.(h/3)2 . h 
V=1/3. π.(h2/9) . h 
V=(1/3).(1/9). (π.h3) 
V= 1/27 (π.h3) 
d/dt(V)=d/dt [1/27 (π.h3)] 
dV/dt= 3/27. (π.h2).dh/dt ( derivando e simplificando, derivada 
implícita) 
dV/dt= 1/9. (π.h2).dh/dt ( se, dV/dt=3 m3/h, então) 
3= 1/9. (π.h2).dh/dt ( h=2metros) 
dh/dt= (3.9)/π.22 
dh/dt= 27/12,56 
dh/dt= 2,15 m/s 
 
Exemplo 2 
Uma escada está apoiada em uma parede vertical, como demonstra a 
figura (fig. 2). 
 
 
 
 
 
 ESCADA 
y 5m 
 
 x 
 fig.2 
Sabendo-se que o pé da escada está escorregando a taxa de 0,5m/s, 
qual a taxa de deslizamento do topo da escada quando o pé estiver a 
3 metros de distância da parede? 
dx/dy=0,5 m/s 
dy/dt=? ( x= 3 metros) 
x2+y2=52 
x2+y2=25 (logo 9+y2 =25  y=√16 = 4) 
 
d/dt(x2+y2)= d/dt (25) 
d/dt(x2) + d/dt(y2)= d/dt (25) (derivada de constante é zero) 
2x.dx/dt + 2y. dy/dt= 0 
2.3.0,5+2.4. dy/dt=0 
dy/dt= -3/8 
dy/dt= -0,37m/s (negativo porque o y está descendo) 
 
Resumo: 
1º Considerar que as taxas são avaliações 
2º As variações são derivadas 
3º Achar o elo de ligação 
 
 
Exemplo 3 
Dois veículos esão se aproximando de um cruzamento como 
demonstra a figura (fig. 3). 
Qual a taxa de aproximação destes veículos, quando os veículos A e B 
estão a 30 metros e 40 metros, respectivamente do cruzamento? 
 
 
 y 30m A 
 C 80km/h x 
 40m x=? 
 50m 
 
 B 90km/h 
 Fig. 3 
dx/dt= - 80km/h (x=30 metros  0,03km) (tudo em Km) 
dy/dt= - 90km/h (y= 40 metros  0,04km) 
dz/dt= ? (z=50 metros  0,05 km) 
x2+y2=z2 
d/dt(z2)= d/dt(x2+y2) 
(como não temos o t, temos que fazer uma derivada implícita, então 
fica dz/dt ao invés de permanecer d/dt , e o mesmo para y e x) 
 
dz/dt(z2)= dx/dt .(x2) + dy/dt . (y2) 
2z.dz/dt= 2x.dx/dt + 2y. dy/dt 
(2) . 0,05 . dz/dt= (2) . 0,03.dx/dt + (2) . 0,04. dy/dt 
(2) . 0,05 . dz/dt= (2) . 0,03.(-80) + (2) . 0,04. (-90) 
 d/dt= -120 km/h 
 
O raio de uma esfera (fig. 4) está aumentando à taxa de 1 cm/min. 
Qual é a taxa de aumento do volume quando o diâmetro da esfera for 
12 cm? 
 
 
 Rr r 
 
 d=12cm  r=6cm 
 fig. 4 
Volume da esfera: 
V=4/3( π.r3) 
dv/dt=? 
dr/dt= 1 cm/min 
d/dt (V)= d/dt [4/3( π.r3)] 
Como não temos o tempo, fazemos uma derivada implícita, 
derivamos o volume e o raio em relação ao tempo. 
d/dt (V1)= d/dt [4/3( π.r3)] 
 
dv/dt(V1-1)= dr/dt [3. 4/3( π.r3-1)] (deriva, diminui 1 dos expoentes) 
dv/dt= dr/dt [4( π.r2)] (podemos simplificar o 3) 
dv/dt= 1 [4( π.62)] (substitui os valores do raio = 6 e dr/dt= 1 ) 
dv/dt= 144 cm3/min 
 
Quando reunir os dados, tome cuidado com as unidades. 
- ordena os dados do exercício 
- leia novamente o exercício- busque uma equação, fórmula que relaciona os dados que estão 
sendo cobrados. 
- deriva em relação ao tempo 
- não tendo os dados do tempo aplique a derivada implícita 
- substitui os dados 
 
Exemplo 5 
Um tanque de formato cilíndrico tem geometria representada na 
figura (fig. 5). 
Supondo que esse tanque é alimentado à taxa de 4m3/h, qual a taxa 
de aumento da altura do nível da água? 
 
 
 
 h 
 
 
 
 5m 
 Fig. 5 
V=Ab.h 
V=π.r2.h 
dV/dt=4m3/h (diferença de volume/diferença de tempo) 
dh/dt=? (diferença de altura/diferença de tempo) 
Não precisamos nos preocupar com o r porque ele é fixo e dado 
valendo 5. 
d/dt(V) = d/dt (π.r2.h) 
 
dV/dt(V1-1))= dh/dt (π.r2.h1-1) 
dV/dt= dh/dt (π.r2) (substituindo o valor de r por 5) 
dV/dt= dh/dt (π.52) (substituindo o valor de dV/dt ) 
4= dh/dt (π.25) 
dh/dt = 4/ (π.25) 
dh/dt = 0,051 m/h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Crescentes 
Uma função é chamada de crescente em certo intervalo se f(x1)<f(x2), 
quando x1<x2 desde que no intervalo estabelecido. 
 
Fuções Decrescentes 
Uma função é chamada de decrescente em certo intervalo se 
f(x1)>f(x2), quando x1<x2 desde que no intervalo estabelecido. 
 
Exemplo 6 
O gráfico de uma função f é dado (figura 6) 
 3 y 
 
 
 x 
 -1 0 1 f 
a) f(1)=3 
b) f(-1)= 1,5 
c) Qual o intervalo f(x) é crecente e qual intervalo f(x) é decrescente? 
Resposta: se x<1 f(x) é crescente e x> 1 f(x) é decrescente. 
 
Exemplo 7 
Uma caixa sem tampa deve ser construída de uma pedaço retangular 
de papelão com dimensões 12 cm por 20 cm. 
Para isso, devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto e 
depois dobrar, conforme mostra a figura. 
Expresse o volume V da caixa como uma função de x. 
 
 
 x x 
 x x 
 12-2x 12cm 
 x x 
 x 20-2x x 
 20cm 
 Fig. 7 
Volume de um sólido retangular é: 
V=área da base [(20-2x)(12-2x)] . altura ( x ). 
V= [(20-2x)(12-2x)] . (x) 
V= [4x2-64x+240].(x) 
V=4x3-64x2+240x 
Para saber se a função é crescente ou decrescente, insira valores para 
x na função. Um pequeno e um grande para ver o comportamento do 
resultado. 
 
 
Formas alternativas desta equação: 
 ou 
 ou 
 
 
 
 
 
 Exemplo 8 
 
Dados os gráficos a seguir é possível considerar que: 
 y g(x)=10x f(x)=2x 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
A base 10 tem um crescimento muito mais acentuado que a base 2. 
I. A função g(x) é sempre crescente? Sim 
II. A função g(x) é exclusivamente crescente? Sim 
III. As funções possuem valores que as tornam decrescentes? Não 
IV. f(2) ≥ g(-1)? Sim 
 
Exemplo 9 
O gráfico a seguir representa o número de alunos matriculados por 
série nas escolas brasileiras no ano de 1993. Com base em uma 
análise do gráfico, conclua com verdadeiro ou falso as questões: 
 y 8 8,4 matrículas 
 6 5,8 5,1 4,3 4,2 
 4 3 2,3 1,7 
 2 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 série 
( ) Essa função é crescente. (não) 
 
( x ) Essa função é decrescente. (sim) 
( x ) A maior queda de matrículas ocorre entre a 1ª série e a 2ª serie. 
(sim) 
( x ) Quanto mais se avança a série menor é o número de matrículas. 
(sim) 
 
Pensando nas derivadas temos que: 
- se f’(x) > 0 em um intervalo, então f é crescente neste intervalo. 
- se f’(x) < 0 em um intervalo, então f é decrescente neste intervalo. 
 
Claro que, assim, lembramos que o resultado de uma derivada de 
primeira ordem, quando calculado em valor numérico de domínio 
pertencente à função, obtém-se o valor do coeficiente angular da reta 
tangente no ponto. 
 
 
 P 
 ϴ 
 
 
Derivando a função no ponto P, temos ϴ. 
Se o coeficiente angular é positivo a reta é crescente. 
Se o coeficiente angular é negativo a reta é decrescente. 
 
Quando temos uma função, a construção de um gráfico pode se tornar 
difícil. Então ao fazermos a derivada, tendo o coefiente angular podemos 
dizer se a função é crescente ou não sem precisar construir o gráfico. 
 
Pega-se então uma função qualquer de complexidade, deriva-se, depois 
substitui os valores. Se der positivo é crescente, se der negativo é 
decrescente. 
 
Máximo e Mínimo 
 
Máximo absoluto, o ponto mais alto de uma função. 
Mínimo absoluto, o ponto mais baixo de uma função. 
Máximo local, o máximo mais alto de um intervalo da função. 
Mínimo local, o mínimo mais baixo de um intervalo da função. 
 
Na acepção de Stewart, seja c um número no domínio D de uma função 
f, então f(c ) é o: 
- valor máximo absoluto de f em D se f(c) ≥ f(x) para todo x em D. 
- valor mínimo absoluto de f em D se f(c) ≤ f(x) para todo x em D. 
 
Entretanto, se limitarmos a funao a um intervalo seguindo a mesma 
analogia anterior, somente com o detalhe de um intervalo de análise no 
domínio da função e, consequentemente, na imagem, podemos nos 
deparar com Valor Máximo Local e Valor Mínimo Local. 
 
Análise de Valores Máximo e Mínimo 
1- Calcular a primeira derivada 
- f’(x) 
2- Igualar a zero a primeira derivada 
- f’(x)=0, pontos críticos. Calculo de candidatos a valores de máximo e 
de mínimo. 
 
3- Calcular a segunda derivada 
- f’’(x) 
- E verificar na segunda derivada os pontos críticos 
 
Exemplo 10 
Qual é o valor de x para se obter a área máxima da figura destacada? 
 
 x x 
 x x 
 6-2x 6cm 
 x x 
 x 12-2x x 
 12cm 
A=(12-2x).x + (6-2x).x 
A=(12x-2x2)+(6x-2x2) 
A= -4x2 + 18x 
1º passo: Derivar a função 
A’= -8x+18 
2º passo: Calcular os pontos críticos 
A’= -8x+18=0 
-8x+18=0 
8x=18 
x=9/4 ( candidato a extremo) 
Root plot: 
 
 
 
 
 
3º passo: Derivar a derivada segunda, verificação do candidato a 
extremo 
A’= -8x+18 
A’’= -8 
- Nesse caso o resultado é negativo, logo, o candidato a extremo é um 
ponto de máximo. 
- Enfim, x=9/4 trata-se do valor que se obtém, o valor máximo da área 
desejada. 
 
Exemplo 11 
O perímetro de um quadrilátero regular é 82 metros.Determine os 
lados desse quadrilátero para que a área seja máxima. Faça o gráfico 
da função quadrática. 
 a 
 b b 
 a 
 a 
p=2 a + 2 b 
82= 2 a + 2 b 
 
2 a + 2 b=82  b=(82-2.a)/2 b=41-a 
Área = a.b 
Logo, 
Área= a.(41-a) = - a2+ 41.a 
1º passo: Derivar a função 
A= - a2+ 41.a 
A’= -2.a + 41 
2º passo: Calcular os pontos críticos 
-2.a+41=0 
a = 41/2 
3º passo: Derivada segunda, verificação do candidato a extremo 
A’= -2.a + 41 
A’’= -2 (valor negativo, indica Máximo) 
Portanto, a=41/2 metros é o valor de que a que corresponde à área 
máxima. 
 
Quando você pegar a função na derivada segunda: 
+ é máximo 
- é mínimo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concavidade 
 
- Se o gráfico estiver acima de f e estiver acima de todas a suas 
tangentes no intervalo f, então f é chamada de côncava para cima em 
I. y 
 
 x 
 
Se o gráfico estiver abaixo de f e estiver acima de todas a suas 
tangentes no intervalo f, então f é chamada de côncava para baixo em 
I. y 
 
 x 
 
 
- se f’’(x)>0 para todo o x em L, então o gráfico f é côncavo para cima 
em I. 
- se f’’(x)<0 para todo x em L, então o gráfico f é côncavo para baixo 
em I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto de Inflexão 
- Um ponto P na curva y-f(x) é chamado ponto de inflexão se f 
continuar no ponto e a curva mudar de côncavo para cima para 
côncavo para baixo ou vice-versa em P. 
 
Neste caso no ponto de valor 6 em x temos o ponto de inflexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 12 
Determine o ponto de inflexão da função: 
f(x)=x3 – 6x2 + 9x -1 
1º passo: Derivada primeira 
f’(x)=3x2 – 12x + 9=0 raízes, pontos críticos candidatos a máximo e 
mínimo: 1 e 3. 
2º passo: Derivada segunda 
f’(x)=3x2 – 12x + 9 
f’’(x)=6x-12 
Portanto: 
6x-12=0  x=12/6  x=2 
f’’(x)=6x-12  6 . 2 – 12=0 ( portanto x=2 é ponto de inflexão) 
Então y= x3 – 6x2 + 9x -1 y= 23-6.22+9.2 -1y=8-24+18-1y=1 
Portanto: ponto de inflexão (2;1) 
Root plot: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 5 
Integrais Indefinidas 
Cálculo integral como antiderivada 
Anteriormente consideramos o calculo de uma derivada, isto é, 
procuramos derivar uma função. 
Exemplo: 
Calcule a derivada de primeira ordem da função: 
f(x)=x2+3x-5. 
Nesse caso, utilizando as técnicas de derivação, temos que: 
f’(x)=2x+3 
Nesta aula estudaremos, inicialmente, o caso contrário disso, isto é, 
estudaremos a antiderivada. 
Enfim, veremos a volta de uma função derivada para uma função 
primária. 
 
 Integrais 
 
1. du u c  . 2. 
1
, 1
1
n
n uu du c n
n

   
 . 
3. lndu u c
u
  . 4. , 0, 1ln
u
u aa du c a a
a
    . 
5. u ue du e c  . 6. sen cosu du u c   . 
7. cos senu du u c  . 8. tg ln secu du u c  . 
9. cotg ln senu du u c  . 10, sec ln sec tgu du u u c   . 
11. cosec ln cosec cotgu du u u c   . 12. sec tg secu u du u c  . 
13. cosec cotg cosecu u du u c   . 14. 2sec tgu du u c  . 
15. 2cosec cotgu du u c   . 16. 2 2 1 tgdu uarc cu a a a  . 
 
17. 2 22 2
1 ln ,
2
du u a c u a
u a a u a
  
  . 18. 
2 2
2 2
lndu u u a c
u a
   
 . 
19. 
2 2
1 secdu uarc c
a au u a
 
 . 20. 
2 2
2 2
lndu u u a c
u a
   
 . 
21. 2 2
2 2
sen ,du uarc c u a
aa u
  
 . 
 
 Fórmulas de Recorrências 
 
1. 
1
2sen cos 1sen sen
n
n nau au nau du au du
an n

        . 
2. 
1
2sen cos 1cos cos
n
n nau au nau du au du
an n

       . 
3. 
1
2tg tg
( 1)
n
n ntg auau du au du
a n

 
  . 
4. 
1
2cotgcotg cotg
( 1)
n
n nauau du au du
a n

  
  . 
5. 
2
2sec 2sec sec
( 1) 1
n
n nau tg au nau du au du
a n n

        . 
6. 
2
2cosec cotg 2cosec cosec
( 1) 1
n
n nau au nau du au du
a n n

         . 
 
 
Não basta somente imaginar, é interessante ter uma memória de 
cálculo, depois fazermos a prova real que é a derivação. 
Exemplo 1 
Calcule a função primária de f(x)=x+2. 
Primeiramente precisamos pensar que uma função primária tem como 
resultado de uma derivação f(x)=x+2. Nós temos uma família de funções 
que poderiam resultar nesta função derivada. 
Nesse caso, para efeito de ordenação do cálculo, definiremos que a 
função primária será F(x). 
 
Portanto, F’(x)= f(x). Na literatura considera-se a função primária como 
um F maúsculo, e em outras literaturas pode aparecer em negrito. 
Seguindo essa idéia, ao calcularmos a primária de f(x)=x+2, estaremos 
buscando uma função que tenha esse f(x) como resultado de sua 
derivação. 
Nesse contexto é tranquilo de se pensar o caminho de volta da 
derivação, ou melhor, da antiderivada. 
Se f(x)=x+2, então sua antiderivada será f(x)=(x2/2)+2x+C 
Mas o que é esse C? 
Chama-se “constante de derivação” e representa um valor que, ao ser 
derivado, simplesmente terá valor zero. Enfim, uma constante, um 
número. 
Formalizando 
∫f(x)dx=F(x)+C ( o símbolo ∫ sempre virá acompanhado de dx) 
Em que F’(x)=f(x) e C é uma constante arbitrária; denota a família de 
todas as antiderivadas de f(x) em um intervalo I. 
∫f(x)dx=F(x)+C 
∫ = sinal de integração (símbolo somus) 
f(x) = integrando 
d(x)= variável de integração 
C= constante de integração 
∫f(x)dx= Integral indefinida de f(x) 
 
Voltando ao exemplo 1 
Exemplo 1 
Calcule a função primária de f(x)=x+2. 
 
Podemos dizer que a “família” de funções cuja derivada é f(x) é 
composta por todas as funções do tipo 
F(x)=(x2/2)+2x+C 
Recapitulando 
F(x)=x2 é uma antiderivada de f(x)= 2x porque F’(x)=Dx(x2)=2x=f(x) 
Exemplo 2 
Calcule ∫f(2x)dx. 
∫f(2x)dx= x2+ C 
Integral indefinida porque aparece somente o símbolo ∫ e a letra C. 
Exemplo 3 
Calcule ∫f(x)dx. (lê-se: calcule a integral indefinida de x em relação a dx) 
∫f(x)dx= (x2/2) + C 
Regra da Potência para Integral Indefinida 
∫(xn)dx= (xn+1/n+1) + C 
Exemplo 4 
Calcule ∫f(x-1)2dx. 
∫(xn)dx= (xn+1/n+1) + C 
∫f(x-1)2dx= ( desenvolve o produto notável antes de integrar) 
∫f(x2-2x+1)dx= (aplica a integração em cada membro) 
(x3/3)- (2x2/2)+x+C= 
(x3/3)- x2+x+C = Resposta 
Exemplo 5 
Calcule ∫[(x3+2x2+1)/x2]dx. 
∫[(x3+2x2+1)/x2]= (divide todos membros pelo denominador) 
∫[(x3/ x2)+(2x2/x2)+ (1/x2)]dx= (simplificando) 
∫[(x)+(2)+ (x-2)]dx= 
∫(x+2+x-2)dx= (agora pode trabalhar com cada membro) 
 
 
∫(x+2+x-2)dx= 
(x1+1/1+1)+(2x0+1)+(x-2+1)= (x-1 é igual a 1/x) 
x2/2+2x+(1/x)+C= 
Lembre-se: 
Existe um formulário para se resolver integrais, por isso não é necessário 
desenvolver técnicas todas as vezes. Contudo, é fundamental ter 
habilidade no manuseio do formulário. 
 
∫(cosx)dx= senx+C 
∫(senx)dx= -cosx+C 
∫(ex)dx= ex+C 
∫(ax)dx= ax. (1/ln.a)+C (número “a” na base elevado a “x”) 
Exemplo 6 
Calcule ∫(tgx/secx)dx. 
O caminho é fazer uma separação. 
∫[tgx. (1/secx)]dx= (tabalha os elementos internos tgx=senx/cosx e 
secx=cosx) 
∫[(senx/cosx. (cosx)]dx= (agora simplifica e sobra só o senx)∫(senx)dx= - cosx + C 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais 
Resolva a equação diferencial f’(x)=6x2+x-5 sujeita à condição inicial 
f(0)=2. 
dy/dx=6x2+x-5 (de Libniz dy/dx, dx passa multiplicando) 
∫dy=∫(6x2+x-5)dx 
∫1.dy=∫(6x2+x-5)dx (aplica a regra da integral ∫(xn)dx= (xn+1/n+1) + C ) 
y=(6x3/3) + (x2/2) -5x +C 
y=(2x3) + (x2/2) -5x +C (chegamos na primária) 
f(0)=2. 
y= f(0)=2. (substitui x por 0 e iguala a 2) 
y=(2x3) + (x2/2) -5x +C 
logo, 2=(2.03) + (02/2) -5.0 +C 
2=C 
Portanto, y=(2x3) + (x2/2) -5x +2 (temos um valor para C na primária no 
ponto) 
 
Regra da Substituição em Integrais Indefinidadas 
Se F é uma antiderivada de f então: 
∫f[g(x)]g’(x)dx=F[g(x)]+C 
Se u = g(x) e du = g’(x)dx, então 
∫f(u)du=F(u)+C 
 
Exemplo 7 
Calcule ∫(√2x+5)dx. 
Fazendo substituição: 
u=2x+5 
du/dx=2, du=2dx 
 
Dessa forma, 1/2∫(√2x+5)2dx, integrando (quando integramos e isolamos 
o du=2dx, colocamos o inverso do multiplicador multiplicando toda 
integração.) 
1/2∫(√u)du=1/2∫(u1/2)du (aplica regra da integral ∫(xn)dx=(xn+1/n+1) + C ) 
=1/2. [(u)(1/2)+1/(1/2 +1)]+C 
=1/2. [(u)(3/2)/(3/2)]+C 
=1/2.2/3 [(u)(3/2)]+C 
=1/3 [(u)(3/2)]+C 
=1/3(√(2x+5)3 + C 
 
Exemplo 8 
“outra técnica” 
Calcule ∫│(x2 – 1) / (x3-3x+1)6 │dx 
∫│[1 / (x3-3x+1)6 ].( x2 – 1)│dx (separando as equações) 
u= x3-3x+1 
du= (3x2-3)dx 
du=3(x2-1)dx  1/3.du=(x2-1)dx 
Temos que: 
∫ (1/u6).(1/3)du= 
1/3∫(1/u6)du= 
1/3∫(u-6)du= 
1/3.(u-5/-5)+C= 
-1/15.(u-5)+C = 
-1/15(x3-3x+1)-5 +C 
 
 
 
 
Exemplo 9 
Calcule ∫ x3cos(x4-1)dx. 
∫ cos(x4-1). x3dx 
u= x4-1  du=4x3 . dx (truque é igualar o termo de fora ao valor de du, 
para isso) 
Temos que 
1/4 . ∫ cos(x4-1) 4x3. dx 
(acrescenta o 4 multiplicando x3 para ficar igual ao du calculado, mas 
para acrescentar este 4 insere o 1/4 fora multiplicando o ∫. 
1/4 . ∫ cos(u) du (colocamos o u dentro e du fora porque du=4x3 . dx) 
1/4 . sen(u) + C= (integral do cosx = senx) 
1/4 . sen(x4-1) + C 
A constante 1/4 é o valor mais importante, porque é ele que valida a 
derivada da função que cai na própria função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 6 
Exemplo 6 
Calcule ∫π0 [tgx/secx]dx. 
∫π0 [(tgx) . (1/secx)]dx= (primeiro separa) 
∫π0 [(senx/cosx. (cosx)]dx = (pode simplificar cosx) 
∫π0 [(senx)]dx = (integral de senx é –cosx) 
-[cosx] │ π0 = ( substituir o limite superior que é o π e o limite inferior que é 0) 
-[cosπ – cos0]= 
-[-1-1]= 
= 2 
 
Exemplo 7 
Técnica Por Substituição 
Calcule ∫2-2 [√2x+5]dx. 
∫2-2 [√2x+5]dx= 
Fazendo a substituição: 
u=2x+5 
du/dx=2 (derivando a função interna) 
du=2dx (isolando o du) 
Detalhe importante ( ∫2-2, limites superior e inferior devem ser trocados pelos 
limites de u) 
x=2  u=2x+5  u=2.2+5  u=9 
x=-2  u=2x+5  u=2.(-2)+5  u=1 
Dessa forma, 
1/2 . ∫2-2 [√2x+5]2dx= (substitui o dx pelo equivalente du=2dx, porque vamos 
continuar com a derivação de u) 
1/2 . ∫91 [√u]du= 
 
1/2 . ∫91 [u1/2]du= (Integra aplicando a regra da integração) 
1/2 . [(u)1/2 + 1]. 1/(1/2) +1│91= (tira o mínimo embaixo, e soma 1/2+2/2=3/2) 
1/2 . [(u)3/2]. 1/(3/2)│91= (o denominador passa a multiplicar invertendo 
fração) 
1/2.2/3(√u3 ) │91= 
1/3(√u3 ) │91= 
1/3(√93 -1)= (opa de onde veio esse -1, não explicado) 
 
Exemplo 8 
Método da substituição 
Calcule ∫10 [e5x]dx. (no formulário tem ex ou eu) 
 
∫10 [e5x]dx 
u=5x 
du/dx=5  du=5dx 
x=1  u= 5 (alterando limite de derivação superior u=5x) 
x=0  u=0 (alterando limite de derivação inferior u=5x) 
Temos que: 
1/5. ∫50 [e5x].5dx= 
1/5. ∫50 [e5x].du= (trocando 5dx por du) 
1/5. ∫50 [eu].du= (da propriedade u ue du e c  ) 
1/5. eu │50= 
1/5. (e5 -1)