FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIAVEL REAL

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Curso de Cálculo 1 – Prof. Flaudio – 2017.1 – Lista 1 
1 – INTRODUÇÃO 
De um modo bem simples, podemos dizer que o cálculo estuda a variação das funções. E, sem exageros, que 
o cálculo encontra-se entre as maiores “descobertas”, “invenções” ou “criações” humana! Popularmente, sua 
invenção é atribuída ao inglês Isaac Newton. Mas, muito do cálculo se deve ao alemão G. W. Leibniz e outros 
cientistas dos séculos XVII, XVIII e XIX, tais como: o francês Fermat, os ingleses Wallis e Barrow. Hoje, suas 
aplicações abrangem, além da Matemática e da Física, praticamente todas as áreas de conhecimento, tais como: 
Administração, Biologia, Computação, Contabilidade, Economia, Engenharia, Finanças, Logística, Química, .... 
Este material é uma pequena introdução a um curso de cálculo que todo estudante da área de exatas e afins 
deve saber. 
A matéria prima do cálculo são as funções. No entanto, para entender este curso sem grandes dificuldades, é 
necessário que você saiba trabalhar com alguns tópicos de Matemática Elementar, tais como: operações básicas 
com números reais, simplificação de expressões algébricas, geometria analítica, trigonometria, ... 
Ao final desse curso, gostaríamos que você fosse capaz de resolver as principais questões do cálculo 
relacionadas a limites e derivadas. 
É importante ressaltar que esse material não dispensa o uso de um livro de cálculo. 
 
2 – DEFINIÇÕES PRELIMINARES 
2.1 Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B (f : A → B) é uma regra que associa a cada elemento 
x ∈ A um único elemento y ∈ B, denotado por y = f(x). 
 
2.2 Dada uma função f : A → B, o conjunto A é chamado de domínio e o conjunto B é chamado de contradomínio 
da função f. A imagem de f é o subconjunto de B formado por todos os y = f(x) tal que x ∈ A. 
 
ATENÇÃO! 
Neste curso, iremos trabalhar exclusivamente com funções reais. Ou seja, com funções cujo domínio e cujo 
contradomínio são subconjuntos dos números reais. 
 
Por exemplo, a função f :!→ ! dada por f(x) = 2x + 3 é uma função real. Para cada valor de x, real, podemos 
calcular sua imagem f(x), também real. 
Veja alguns valores: f(0) = 3, f(– 2) = –1 e 
 
f(3
2
) = 6. 
 
3 – TRABALHANDO COM FUNÇÕES – EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
EXEMPLO 1 
Sendo 
 
f(x) = x −1
x +1
, x ≠ −1 , determine o valor da expressão 
 
f(3)− f(2)
1+ f(3).f(2)
. 
 
SOLUÇÃO 
3 1 1f(3)
3 1 2
−= =
+
, 2 1 1f(2)
2 1 3
−= =
+
, e portanto 
 
f(3)− f(2)
1+ f(3).f(2)
=
1
2
− 1
3
1+ 1
2
.1
3
=
1
6
7
6
= 1
7
 
 
EXEMPLO 2 
Seja f uma função definida por f(x) = ax + b . Se f(–1) = – 6 e f(1) = – 4, calcule o valor de a2 – b2 . 
 
SOLUÇÃO 
f(–1) = –a + b = –6 
f(1) = a + b = –4 
Resolvendo esse sistema, encontramos a = 1 e b = –5. Assim, a2 – b2 = 1 – 25 = –24. 
 
EXEMPLO 3 
Dê o domínio da função f(x) = x −1 , sabendo que x é um número real. 
 
SOLUÇÃO 
Como x é real, x – 1 ≥ 0, e portanto x ≥ 1. 
Assim, Df = {x ∈ ! / x ≥ 1} = [1, +∞ [. 
 
 
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EXEMPLO 4 
Seja f(x) = ax2 + bx + c. Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = –2, determine o produto a.b.c. 
 
SOLUÇÃO 
f(1) = a + b + c = 4 
f(2) = 4a + 2b + c = 0 
f(3) = 9a + 3b + c = –2 
 
Resolvendo o sistema acima, obtemos a = 1, b = –7 e c = 10, e portanto abc = –70. 
 
4 – O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
O gráfico de uma função f : A → B é o conjunto formado pelos pontos (x, f(x)) onde x ∈ A. A figura a seguir 
ilustra o gráfico de uma certa função y = f(x), e como podemos encontrar o domínio e a imagem dessa função a partir 
do seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES 
1. O gráfico de uma função é intersectado, apenas uma vez, por qualquer reta vertical que passa por um ponto do 
seu domínio. 
2. No gráfico de uma função, o domínio é obtido quando projetamos este gráfico sobre o eixo dos x. 
3. No gráfico de uma função, a imagem é obtida quando projetamos este gráfico sobre o eixo dos y. 
 
5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Se 
 
f(x) = x +1
x − 2
 , então f(3)+ f(1)
f(4)+ f(6)
 é igual a: 
 
a) 1
17
b) 2
17
c) 4
17
d) 8
17
 
 
2. Uma função f é definida por f(x) = x2 + x + 1. O valor da expressão 
 
E = 2f(3)− f(−1)
2f(1)
 é: 
 
a) 23
3
b) 25
3
c) 23
6
d) 25
6
 
3. Se 
 
f(x) = x + 1
x
 , x ≠ 0 ,então 10. f(2)+ 1
f(2)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ é igual a: 
a) 23 b) 25 c) 27 d) 29 
 
DOMÍNIO 
I 
M 
A 
G 
E 
M 
y 
x 
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4. Se f(x) = x +2 , x ≥ – 2 , então 
 
f(126)+ f(30)
f(16)
 é igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
5. Seja f uma função real de variável real definida por: 
 
f(x) =
3x para -1< x ≤ 0
4 para 0 < x <1 
3x -1 para 1≤ x ≤ 3
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
. 
O valor de f(0) + f( 1
2
) + f(2) é : 
a) 6 b) 8 c)10 d)12 
 
6. Se 
11 
xf(x) 16
+
= , então f(–1) + f(– 2) + f(– 4) é igual a: 
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 
 
7. Se f(x) = 1+ (x −1)
2
3 , então f(9) + f(28) é igual a: 
a) 5 
b) 15 
c) 20 
d) 25 
 
8. Se 1f(x) 1 , x 0
x
= − ≠ , então o valor de 96.f(2).f(3).f(4). ... .f(14).f(15).f(16) é: 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
9. Se f(x) = 6 +2x , então f( 5).f(− 5) é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
10. Seja f: R → R definida por f(x) = kx2 , sendo k uma constante positiva. Se f( 2) = 3 , então f( 6) é igual a: 
a) 8
b) 12
c) 18
d) 27
 
 
11. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(1) = 7 e f(–1) = 1 . O valor de f(5) é: 
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 
 
12. Seja f : R → R definida por f(x) = x2 – 4 . Se f(k) = f(k +1), então k é igual a: 
a) 2
1b)
2
1c) 
2
d) 2
−
−
 
 
6 – GABARITO DE 5 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
d d d c c b b c d d d b 
 
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7 – PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES 
7.1. FUNÇÃO CONSTANTE 
É qualquer função do tipo f(x) = c, onde c é um número real que não varia com x. 
 
Atenção! 
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
É qualquer função do tipo f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. 
 
OBSERVAÇÕES 
O gráfico de uma função do 1º grau possui as seguintes características: 
1. é uma reta (para a sua construção são necessários apenas dois pontos). 
2. intersecta o eixo das abscissas no ponto (–b/a, 0). 
3. intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, b). 
4. se a > 0, então f é crescente. 
5. se a < 0, então f é decrescente. 
6. o conjunto imagem de uma função real do 1º grau é o conjunto dos números reais. 
 
7.3. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2o GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA 
É toda função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
 
OBSERVAÇÕES 
O gráfico de uma função quadrática possui as seguintes características: 
1. é uma curva chamada parábola. 
2. intersecta o eixo das abscissas nas raízes da equação f(x) = 0. 
3. intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, c). 
4. se a > 0, então a concavidade do gráfico fica voltada para cima (a função possui um ponto de mínimo). 
5. se a < 0, então a concavidade do gráfico fica voltada para baixo (a função possui um ponto de máximo). 
6. o vértice é o ponto de coordenadas 
 
−b
2a, −Δ
4a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
7. se a > 0, o conjunto imagem da função é o intervalo 
 
 −Δ
4a
, +∞ 
⎡
⎣
⎢
⎡
⎣
⎢ . 
 
8. se a < 0, o conjunto imagem da função é o intervalo 
 
 −∞, −Δ
4a
⎤
⎦
⎥
⎤
⎦
⎥ . 
 
8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Se f(x) = ax + b é uma função do 1o grau tal que f(1) = 2 e f(3) = –2, então a.b é igual a: 
 
a) –6 
b) –8 
c) –10 
d) –12 
e) –14 
 
2. Se f é uma função do primeiro grau tal que f(10) = 29 e f(40) = 89, então f(30) é igual a: 
 
a) 39 
b) 49 
c) 59 
d) 69 
e) 79 
 
 
y 
 c 
x 
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3. A figura abaixo representa a função f(x) = ax + b. O valor de 1f
3
−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
 é: 
a) 2,8 
b) 2,6 
c) 2,5 
d) 1,8 
e) 1,7 
 
 
 
 
 
 
 
4. Considere a função f de ! em ! , dada por f(x) = ax + b, onde a e b são constantes reais. Se os pontos A(–1, 3) 
e B(0, –1) pertencem ao gráfico de f, então: 
 
a) f é crescente, ∀x ∈ ! . 
b) 3
4
 é raiz da equação f(x) = 0. 
c) o ponto (–10, 41) pertence ao gráfico de f. 
d) f(x) < 0 se x < 1
4
 
e) f(x) ≤ 0 se x ≥ – 1
4
 
 
5.O gráfico da função f(x) = –x2 + mx + n passa pelos pontos (1, –3) e (3, 1). O valor de m – n é: 
a) 14 
b) –14 
c) 2 
d) –2 
e) 1 
 
6. Se a parábola y = ax2 + bx + c passa pelos pontos (–1, 3), (0, 5) e (2, – 3), então o valor de a + b + c é: 
a) 3 
b) 2 
c) –1 
d) –2 
e) 0 
 
7. Considere uma função do 2o grau dada por f(x) = ax2 + bx + c. Se f(–1) = 10 , f(1) = 0 e f(2) = 10, então o valor de 
a.b.c é: 
a) –5 
b) 5 
c) 0 
d) 25 
e) –25 
 
8. Seja a função quadrática f(x) = x2 – 2 . Se f(p + 4) = f(p) + 4 , então p é um número real compreendido entre: 
a) –3 e –2 
b) –2 e –1 
c) 1 e 2 
d) 2 e 3 
e) 3 e 4 
 
9. Se a representação gráfica da função f(x) = ax2 + bx é uma parábola cujo vértice é o ponto V(3, 18), então 
a) f(1) = 0 
b) f(1) = –10 
c) f(1) = 6 
d) f(6) = 10 
e) f(6) = 0 
 
 
 
y 
3 
–2 x 
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10. Seja a função quadrática definida por f(x) = ax2 + bx + c. Se (–1, 2) é um ponto de mínimo do gráfico de f e se 
f(1) = 6, a soma 2b + c é igual a 
a) 4 
b) 5 
c) 8 
d) 7 
e) 6 
 
11. Na parábola y = 2x2 – (m – 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
12. O conjunto Im = {y ∈ ! / y ≤ p} é a imagem da função f(x) = –x
2 – 2x + 6. O valor de p é: 
a) –7 
b) 7 
c) 6 
d) –6 
e) 5 
 
9 – GABARITO DE 8 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
b d c e a a c b e d a b