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CÁLCULO III Maj Reinaldo Teixeira DELFINO BIBLIOGRAFIA • “Calculus”, Tom M. Apostol, Vol. 1 e 2 • “Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno”, William E. Boyce & Richard C. DiPrima ASSUNTOS • Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) de 1a ordem, E.D.O. lineares de 2a ordem (Vol. 1, Cap. 8) e E.D.O. lineares de Ordem n (Vol. 2, Cap. 6); • Sequências Numéricas, Séries Infinitas e Integrais Impróprias (Vol. 1, Cap. 10); • Sequências e Séries de Funções, Séries de Potência (Vol. 1, Cap. 11); • Resolução de E.D.O. lineares por séries (Vol. 2, Cap. 6) Introdução às Equações Diferenciais: Definição e Terminologia • DEFINIÇÃO: uma equação diferencial é aquela cuja incógnita é uma função. Tal equação deve conter pelo menos uma derivada ou diferencial desta função. • Exemplos: f’(x) = f(x) (x-y’’’)2 –y.y” = (1+y(4))3, onde y=y(x) • Se a incógnita é uma função de apenas uma variável, as suas derivadas são ordinárias, e a equação é dita uma equação diferencial ordinária (E.D.O.). Caso a incógnita seja uma função de duas ou mais variáveis, as suas derivadas são parciais, e a equação é uma equação diferencial parcial (E.D.P.). • Exemplos de E.D.P.: a2.uxx = ut (equação do calor), onde u=u(x,t) a2.uxx = utt (equação da onda) • Ordem de uma equação diferencial: é dada pela derivada de mais alta ordem que aparece na equação. • Grau de uma equação diferencial: é o maior expoente a que está elevada a derivada de maior ordem. • Assim, F(x, u(x), u’(x), ..., u(n)(x)) = 0 representa genericamente uma E.D.O. de ordem n. Qualquer função y(x) que satisfaça esta relação é uma solução da E.D.O. • Exercício: Verifique se as funções sen x, cos x, tg x, sen x + cos x e sen x + tg x são soluções da equação y” + y = 0. RESOLUÇÃO (sen x)’’ + sen x = – sen x + sen x = 0 sen x é solução da E.D.O. (tg x)’’ + tg x = 2.sec2x.tg x + tg x 0 tg x não é solução da E.D.O. Analogamente para as outras funções. • Tipos de solução de uma equação diferencial: – SOLUÇÃO GERAL: é aquela que possui um número de constantes arbitrárias igual à ordem da equação. – SOLUÇÃO PARTICULAR: pode ser obtida a partir da solução geral atribuindo-se valores às constantes – SOLUÇÃO SINGULAR: é aquela que não pode ser deduzida a partir da solução geral (apenas algumas equações apresentam este tipo de solução). • Exemplo: f(x) = C1.cos x + C2.sen x é a solução geral da equação y” + y = 0 g(t) = 2.e-kt é uma solução particular da equação dy/dt = – k.y(t) • Algumas vezes, ao solucionar-se uma equação diferencial, obtém-se uma integral que não pode ser resolvida analiticamente. Mesmo assim, considera-se que a equação está resolvida, se a sua solução puder ser expressa em termos de integrais de funções conhecidas. • Exemplo: dxxeexeexCCy xx exex .21 é a solução geral de 2 1'2'' xe eeyyy x • A equação diferencial de ordem n F(x, y, y’, ..., y(n)) = 0 é dita linear se F for uma função linear das variáveis y, y’, y”, .., y(n). Caso contrário, a equação é não-linear. Uma E.D.O. linear pode ser genericamente representada por: an(x).y (n) + an-1(x).y (n-1) + ... + a1(x).y’ + a0(x).y = g(x) • Se g(x) 0, a equação é homogênea. • Exemplos: a) y” + y = 0 E.D.O. linear homogênea de 2a ordem e grau 1 b) y”’ + 2.ex.y” + y.y’ = x4 E.D.O. não-linear de 3a ordem e grau 1 c) (x – d3y/dx3)2 – y.d2y/dx2 = (1 + d4y/dx4)3 E.D.O. não-linear de 4a ordem e grau 3 d) (x – d3y/dx3)5 – y.d2y/dx2 = (1 + d4y/dx4)3 E.D.O. não-linear de 4a ordem e grau 3 • Em muitos problemas, deve-se escolher, dentre as soluções previstas na solução geral, aquela que satisfaça uma (ou mais) condição(ões). Para uma E.D.O. de 1a ordem, por exemplo, podemos desejar obter a solução particular que atenda à condição y(x0) = y0. Esta condição é denominada condição inicial, e o problema composto pela E.D.O. e pela condição inicial é conhecido como problema de condição (ou valor) inicial (ou problema de Cauchy). Para equações de ordem 2 ou superior, quando as condições se referem a mais de um valor da variável independente, tem-se um problema de valores de contorno. Equações Diferenciais de 1a Ordem • São equações do tipo f(x, y, y’) = 0. No caso mais simples, y’ = F(x); a solução geral desta equação é da forma y = F(x)dx + C. • Exemplo: y’ = sen 2x y = – (1/2).cos 2x + C • TEOREMA: Se C é um dado no real, então existe uma e somente uma função f que satisfaz a equação diferencial f’(x) = f(x) para todo x real, e que também satisfaz a condição inicial f(0) = C. Esta função é dada pela fórmula f(x) = C.ex (Teorema de Existência e Unicidade). • DEMONSTRAÇÃO: i) verifica-se diretamente que f(x) = C.ex é solução da E.D.O. dada e satisfaz a condição inicial. Falta demonstrar que esta é a única solução. ii) seja g(x) uma função qualquer tal que g(x) = g’(x) para todo x real, e g(0) = C. Seja ainda h(x) = g(x).e-x. Logo: h’(x) = g’(x).e-x – g(x).e-x = e-x.[g’(x) – g(x)] = = e-x.0 = 0 h(x) é constante. Porém: g(0) = C h(0) = g(0).e0 = C Como h(x) é constante: h(x) = g(x).e-x = C g(x)= =C.ex = f(x) Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem • São equações da forma y’ + P(x).y = Q(x), onde P(x) e Q(x) são funções contínuas em algum intervalo aberto I. Desejamos obter as soluções desta E.D.O. neste intervalo. • Ideia intuitiva: no caso particular em que Q(x) = 0: y’ + P(x).y = 0 Se y 0 em I: y’/y = - P(x) Supondo y > 0 em I: y’/y = D(ln y) = - P(x) y = e- A(x), onde A(x) = P(x)dx + C. Logo, se houver solução positiva para a E.D.O. homogêna considerada, ela terá esta forma. Porém: y = e - A(x) y’ = - e-A(x) .A’(x) = - P(x).e-A(x) = = - P(x).y toda função da forma y = e- A(x) é solução da E.D.O. homogêna. Assim, encontramos todas as soluções positivas da E.D.O. homogênea. Para determinar todas as soluções, demonstraremos o seguinte Teorema de Existência e Unicidade: • TEOREMA: Seja P(x) uma função contínua em um intervalo aberto I. Sejam a um ponto em I, e b um número real qualquer. Então há uma e somente uma função y = f(x) que satisfaz o problema de condição inicial y' + P(x).y = 0, com f(a) = b no intervalo I. Esta função é dada por: f(x) = b.e-A(x) , onde x a dttPxA )()( • DEMONSTRAÇÃO: (i) Seja f a função definida acima. Como A(a) = 0, f(a) = b. Além disto, como f(x) satisfaz a E.D.O. homogênea, constata-se que f é solução do problema de valor inicial. (ii) Sejam g(x) uma solução qualquer do problema de valor inicial, e h(x) = g(x).eA(x). h'(x) = g’(x).eA(x) + g(x).eA(x).A’(x) = eA(x).[g’(x) + +P(x).g(x)] = eA(x).0 = 0 h(x) é constante em I. Logo, h(x) = h(a) = g(a).eA(a) = g(a) = b g(x).eA(x) = b g(x) = b.e-A(x) = f(x). • TEOREMA: Sejam P(x) e Q(x) funções contínuas em um intervalo aberto I. Sejam a um ponto em I, e b um número real qualquer. Então há uma e somente uma função y = f(x) que satisfaz o problema de condição inicial y' + P(x).y = Q(x), com f(a) = b no intervalo I. Esta função é dada por: f(x) = b.e-A(x) + e-A(x) . , onde x a dttPxA )()( x a tA dtetQ )( )( • DEMONSTRAÇÃO: (i) Seja f a função definida acima. Como A(a) = 0, f(a) = b. Além disto: f’(x) + P(x).f(x) = -b.A’(x).e-A(x) + e-A(x) .Q(x).eA(x) - - A’(x).e-A(x).+ P(x)[b.e-A(x) + e-A(x) . ] = = Q(x) f é solução do problema de valor inicial. (ii) Sejam g(x) uma solução qualquer do problema de valor inicial, e h(x) = g(x).eA(x). Então: h’(x) = g’(x).eA(x) + g(x).eA(x).A’(x) = eA(x).[g’(x) + + P(x).g(x)] = eA(x).Q(x) h(x) = h(a) + x a tA dtetQ )()( x a tA dtetQ )( )( x a tA dtetQ )( )( Como h(a) = g(a).eA(a) = g(a), tem-se que: h(x).e-A(x) = g(x) = g(a).e-A(x) + e-A(x). Logo, todas as soluções da E.D.O. têm a forma da equação acima. APLICAÇÕES PRÁTICAS DE E.D.O. LINEARES DE 1ª ORDEM: Apostol, Vol. 1, Seção 8.6 x a tA dtetQ )()( E.D.O. NÃO-LINEARES DE 1a ORDEM • Não existe um teorema de existência e unicidade neste caso; problemas de valor inicial envolvendo E.D.O. não-lineares podem não ter solução, ou ter mais de uma solução. • Exemplo: 1) (y’)2 – xy’ + y + 1 = 0 , y(0) = 0, não tem solução. 2) y’ = 3y2/3, y(0) = 0, possui duas soluções: y1(x) = 0 e y2(x) = x 3. • Quando existem soluções, muitas vezes não é possível determiná-las explicitamente, sendo possível apenas chegar a uma relação entre y e x conhecida como fórmula implícita. • Exemplo: Todas as soluções da E.D.O. y’ = (y - x)/(y + x) satisfazem a relação: (1/2).ln(x2 + y2) + arctg (y/x) + C = 0. • Considere a relação implícita F(x,y,C) = 0. Para um dado C, esta relação expressa uma função cujo gráfico no sistema de coordenadas é conhecido como curva integral. A coleção de curvas integrais obtida variando-se o valor de C é denominada família de curvas a um parâmetro. Exemplo de família de curvas a um parâmetro: y = a.sen x, - x e 0 a 1 FONTE: http://diadematematica.diadematematica.com.br/modules/mastop_pub lish/print.php?tac=Winplot EQUAÇÕES SEPARÁVEIS • São equações que podem ser separadas em dois membros, um dos quais é função de y e o outro função de x, isto é, y’ = Q(x).R(y) • Exemplo: y’ = sen y . ln x • TEOREMA: Seja y = Y(x) uma solução qualquer da equação separável A(y).y’ = Q(x), tal que Y’ seja contínua em um intervalo aberto I. Considere que Q e a função composta A[Y(x)] sejam contínuas em I. Seja G uma primitiva de A, isto é, G’ = A. Então Y satisfaz a relação G(y) = Q(x)dx + C. Reciprocamente, se y satisfaz esta relação, então y é solução da equação separável. • DEMONSTRAÇÃO: (i) Y é solução da E.D.O. separável A[Y(x)].Y’(x) = = Q(x), x I G’= A G’[Y(x)].Y’(x) = Q(x) [G[Y(x)]]’ = Q(x) G[Y(x)] = Q(x)dx + C (ii) G[Y(x)] = Q(x)dx + C [G[Y(x)]]’ = A[Y(x)].Y’(x) = = Q(x) Y é solução da E.D.O. separável • Observação: Observe que a fórmula G(y) = = Q(x)dx + C pode ser reescrita como A[Y(x)].Y’(x)dx = Q(x)dx + C. Fazendo as substituições y = Y(x) e dy = Y’(x)dx, obtém-se A(y)dy = Q(x)dx + C. Fica assim justificado o procedimento usualmente empregado para a solução de equações separáveis. • Exemplo: Determine a solução geral da equação y’ = y/x kxy xCLnCLnxLnCxLnyLn C x dx y dy x dx y dy x y y 11 ' EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS • Diz-se que uma função é homogênea de grau k quando f(tx,ty) = tk.f(x,y). • Exemplo: f(x,y) = xy é homogênea de grau 2 f(x,y) = x2y + xy2 é homogênea de grau 3. • A E.D.O. M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é dita homogênea se M e N são homogêneas de mesmo grau. • Exemplos: (x + y)dx + (x – y)dy = 0 (x2 – y2)dx – 2xy.dy = 0. • Seja M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 uma E.D.O. homogênea, com grau de homogeneidade k. Logo: Seja y = u.x dy/dx = u + x.du/dx. Assim: (E.D.O. separável) )/,1( )/,1( )/,1( )/,1( )/,( )/,( ),( ),( xyN xyM xyNx xyMx xxyxN xxyxM yxN yxM dx dy k k x uuF dx du uF uN uM dx du xu )( )( ),1( ),1( • Exemplo: determine a solução geral da equação dy/dx = xy/(x2 + y2), x 0 e y 0. 2222 2 22 33 2 2 3 222 2 22 1 11)1( xKyyLny CyLn y x CxLnuLn u C x dx u du u du x dx du u u u u dx du x u u ux ux dx du xu x y u EQUAÇÕES EXATAS • A equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é dita exata se existe uma função diferenciável (x,y) tal que /x = M(x,y) e /y = = N(x,y). Assim, a E.D.O. exata pode ser representada por xdx + ydy = 0. O membro esquerdo desta equação é o diferencial total da função . Logo, (x,y) = constante = C. • TEOREMA: sejam M(x,y), N(x,y), My e Nx funções contínuas. Então a E.D.O. M(x,y)dx + + N(x,y)dy = 0 é exata se e somente se My = Nx. • Demonstração: (i) suponha que a E.D.O. seja exata. Então: My = 2/yx e Nx = 2/xy. Porém, My e Nx são contínuas, de modo que: 2/yx = 2/xy, ou seja, My = Nx (ii) Assuma que My = Nx, e considere a função: (x,y) = M(x,y)dx + h(y) Fazendo N(x,y) = y: h’(y) = N(x,y) - My(x,y)dx (*) Porém, [h’(y)]/x = Nx – My = 0 h’(y) é função apenas de y. Assim, basta integrar-se a equação (*) em relação a y para obter-se: h(y) = [N(x,y) - My(x,y)dx]dy. Logo: (x,y) = Mdx + h(y) = Mdx + [N - Mydx]dy onde x = M(x,y) e y = N(x,y) )(')(),( yhdxMyhdxyxM yy y • Exemplo: Determine a solução geral da E.D.O. (x2 – y2)dx – 2xydy = 0. Resolução: My = Nx = – 2y equação exata x = x 2 – y2 = x3/3 – xy2 + h(y) y = –2xy + h’(y) = –2xy h’(y) = 0 h(y) = C1 Logo: = x3/3 – xy2 + C1 = C x 3/3 – xy2 = K FATORES INTEGRANTES • Considere que a E.D.O. M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 não seja exata, isto é, My Nx. Para transformar esta equação em uma outra que seja exata, multipliquemos os seus membros por uma função u(x,y) que admita derivadas parciais contínuas: u(x,y).M(x,y)dx + u(x,y).N(x,y)dy = 0 • Para que esta equação seja exata, devemos ter: [u(x,y).M(x,y)]/y = [u(x,y).N(x,y)]/x u = (ux.N – uy.M)/(My – Nx) (1) • A E.D.P. (1) pode ter várias soluções, e qualquer uma delas pode ser usada como fator integrante. Entretanto, a resolução da E.D.P. (1) é geralmente tão ou mais difícil do que a resolução da E.D.O. original. Assim, na prática, os fatores integrantes só podem ser encontrados em casos especiais, como quando u for função apenas de x ou de y. • Se u = u(x): uy = 0 u = ux.N/(My – Nx) (My – Nx)/N = ux/u = h(x) du/u = h(x)dx u = exp(h(x)dx) • Se u = u(y), tem-se analogamente que: u = exp(h(y)dy), onde h(y) = (Nx – My)/M • Exemplo: determine a solução geral da equação (3xy + y2) + (x2 + xy)y’ = 0. My = 3x + 2y Nx = 2x + y (equação não-exata) (My - Nx)/N = (x + y)/[x(x + y)] = 1/x = h(x) u(x) = exp(dx/x) = x (3x2y + xy2)dx + (x3 + x2y)dy = 0 My = Nx = 3x 2 + 2xy (eq. exata) x = 3x 2y + xy2 = x3y + x2y2/2 + g(y) y = x 3 + x2y + g’(y) = x3 + x2y g’(y) = 0 g(y) = C1 = x 3y + x2y2/2 + C1 = C x 3y + x2y2/2 = K (solução geral) E.D.O. DE GRAU SUPERIOR A 1 EM RELAÇÃO A y Equação de Clairaut • Uma E.D.O. da forma y = x.y’ + f(y’) é chamada Equação de Clairaut. y = x.y’ + f(y’) y’= y’ + x.y” + f’(y’).y” y”.(x + f’(y’)) = 0 x + f'(y’)= 0 (solução singular) ou y” = 0 y = C1x + C2 • As soluções devem ser testadas na E.D.O.! • Exemplo: y = xy’ – ln y’ y’ = y’ + x.y’’ – y’’/y’ y’’(x – 1/y’) = 0 y’’ = 0 ou x – 1/y’ = 0 (i) y’’ = 0 y = A.x + B Testando na E.D.O.: A.x + B = A.x – ln A B = – ln A (ii) x – 1/y’ = 0 y’ = 1/x y = ln |x| + C Testando na E.D.O.: ln |x| + C = 1 – ln(1/x) C = 1 Solução geral: y = A.x – ln A Solução singular: y = ln x + 1, x > 0 Equação de Lagrange • Uma E.D.O. da forma y = x.f(y’) + g(y’) é denominada Equação de Lagrange. Ela pode ser resolvida fazendo-se y’ = P. y = x.f(P) + g(P) dy/dx = f(P) + x.f’(P).dP/dx + + g’(P).dP/dx P – f(P) – x.f’(P).dP/dx = = g’(P).dP/dx dx/dP – f’(P).x/(P – f(P)) = g’(P)/[P – f(P)] (E.D.O. linear de 1ª ordem) • A solução é escrita na forma parametrizada x = x(P) e y = y(P). Equações Lineares de 2a Ordem • São equações da forma y” + P1(x).y’ + P2(x).y = = R(x). Se R(x) 0, a equação é dita homogênea. • Exemplos: (1–x2)y” – 2xy’ + a(a+1)y = 0 (Equação de Legendre) x2.y” + xy’ + (x2 – a2)y = 0 (Equação de Bessel) • TEOREMA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE: sejam P1(x), P2(x) e R(x) funções contínuas em um intervalo aberto I. Então o problema de valor inicial y” + P1(x)y’ + P2(x)y = R(x), y(x0) = k1, y’(x0) = k2, possui uma única solução em I. • Princípio da Superposição: se y1 e y2 são soluções da E.D.O. homogênea y” + P1(x)y’ + + P2(x)y = 0, então a combinação linear c1y1 + + c2y2 também é solução da E.D.O., quaisquer que sejam os valores de c1 e c2. De fato: (c1y1 + c2y2)” + P1(x).(c1y1 + c2y2)’ + P2(x).(c1y1 + + c2y2) = c1(y1” + P1(x).y1’ + P2(x).y1) + c2(y2” + P1(x).y2’ + P2(x).y2) = 0. • Diz-se que y1 e y2 são soluções fundamentais da E.D.O. homogênea y” + P1(x).y’ + P2(x).y = 0 se qualquer outra solução desta equação puder ser escrita como combinação linear de y1 e y2. Logo, se (x) é uma solução qualquer da E.D.O., então (x) = c1y1 + c2y2 para determinados valores de c1 e c2. Diz-se ainda que {y1,y2} é um conjunto fundamental de soluções para a E.D.O. homogênea, ou uma base para o espaço das soluções da E.D.O. homogênea. • Seja (x) uma solução arbitrária da E.D.O. homogênea. Desejamos expressar (x) como uma combinação linear das soluções fundamentais y1 e y2. Em outras palavras, desejamos achar os valores das constantes c1 e c2 tais que (x) = c1y1(x) + c2y2(x), x I. Assim, seja x0 um ponto fixo de I. Temos o sistema: )(x' = )(x'yc + )(x'yc )(x = )(xyc + )(xyc 0022011 0022011 • Para que o sistema acima seja determinado (isto é, possua uma única solução), o valor do determinante principal deve ser diferente de zero, ou seja, y1(x0).y2’(x0) – y1’(x0).y2(x0) 0. Neste caso, o teorema da existência e unicidade permite concluir que (x) c1y1 + + c2y2, x I. Assim, se o determinante y1.y2’ – y1’.y2 for diferente de zero x I, poderemos garantir que qualquer solução da E.D.O. homogênea será combinação linear de y1 e y2. • O determinante y1y2’ – y1’y2 = W(y1,y2,x) é denominado determinante Wronskiano, ou simplesmente Wronskiano, em homenagem ao matemático polonês Jósef Maria Höené- Wronski. Concluímos que um conjunto {y1,y2} é fundamental de soluções da E.D.O. homogênea se e somente se W(y1,y2,x) 0, x I. • TEOREMA: sejam P1 e P2 funções contínuas em um intervalo I, e y1 e y2 duas soluções da equação y” + P1(x).y’ + P2(x).y = 0. Então, W(y1,y2,x) = 0 x I, ou W(y1,y2,x) 0 x I. • Demonstração: se y1 e y2 são soluções da E.D.O. dada, tem-se que: y1” + P1(x).y1’ + P2(x).y1 = 0 (1) y2” + P1(x).y2’ + P2(x).y2 = 0 (2) Multiplicando-se a eq. (1) por – y2 e a eq. (2) por + y1 e somando-se as duas: (y1.y2” – y1”.y2) +P1(x).(y1.y2’ – y1’.y2) = 0 (3) Porém, W’(y1,y2,x) = y1y2” – y1”.y2, de modo que a eq. (3) pode ser reescrita como: W’(y1,y2,x) + P1(x).W(y1,y2,x) = 0 W’(y1,y2,x)/W(y1,y2,x) = – P1(x) W(y1,y2,x) = K.exp[– P1(x)dx] Como exp[– P1(x)dx] 0, o membro direito da equação acima só será nulo se K = 0; neste caso, W(y1,y2,x) 0, x I. Por outro lado, se existir algum x0 I tal que W(y1(x0),y2(x0),x0) 0, então K 0, e W(y1,y2,x) 0 x I. Funções Linearmente Independentes • Duas funções f e g são linearmente independentes (L.I.) em um intervalo I se a1.f(x) + a2.g(x) = 0, x I a1 = a2 = 0. Caso contrário, elas são ditas linearmente dependentes (L.D.). • TEOREMA: sejam P1 e P2 duas funções contínuas em um intervalo aberto I, e y1(x) e y2(x) duas soluções da E.D.O. y” + P1(x).y’ + P2(x).y = 0 Então y1 e y2 são L.I. se e somente se W(y1,y2,x) 0 x I. • Demonstração: considere que W(y1,y2,x) 0 , e que c1y1 + c2y2 = 0 em I. Assim, tem-se as seguintes expressões para um ponto x0: c1y1(x0) + c2y2(x0) = 0 c1y1’(x0) + c2y2’(x0) = 0 O determinante principal do sistema é igual a W(y1,y2,x0), que é diferente de zero. Então, o sistema é determinado, e a única solução é c1 = c2 = 0, concluindo-se que y1 e y2 são L.I. O raciocínio inverso mostra que, se y1 e y2 são L.I., então W(y1,y2,x) 0. E.D.O. de 2a Ordem Homogêneas com Coeficientes Constantes • São equações da forma ay” + by’ +cy = 0, onde a, b e c são constantes (a 0). • Desejamos obter as soluções fundamentais para esta equação. Funções da forma erx parecem ser candidatas razoáveis. Assim: y = erx, y’ = r.erx e y” = r2.erx ar2.erx + br.erx + c.erx = 0 erx.(ar2 + br + c) = 0 ar2 + br + c = 0 • A equação ar2 + br + c = 0 é denominada equação característica associada à equação ay” + by’ +cy = 0. • 1o caso: b2 – 4ac > 0 _ a eq. característica possui duas raízes reais e distintas r1 e r2. Assim, duas soluções da E.D.O. dada são: y1 = exp(r1x) e y2 = exp(r2x) Como W(y1,y2) = (r2 – r1).exp[(r1 + r2)x] 0, x real, y1 e y2 são L.I. y(x) = C1.exp(r1x) + C2.exp(r2x) • Exemplo: y” – y = 0 Equação característica: r2 – 1 = 0 r = 1 Solução geral: y = C1e x + C2e -x • 2o caso: b2 – 4ac < 0 _ a eq. característica possui duas raízes complexas conjugadas. Seja Z = x + yi; define-se eZ = ex(cos y + i.sen y) Re(eZ) = excos y; Im(eZ) = exsen y • TEOREMA: Se f(x) = u(x) + i.v(x) é uma solução complexa da equação ay” + by’ + cy = 0, então as partes real u(x) e imaginária v(x) também são soluções reais da mesma equação. • Demonstração: f’(x) = u’ + iv’; f”(x) = u” + i.v” Substituindo na E.D.O.: a[u”+ iv”] + b[(u’ + iv’] + c[u + iv] = 0 [au” + bu’ + cu] + i[av” + bv’ + cv] = 0 = 0 + 0.i au” + bu’ + cu = 0 e av” + bv’ + cv = 0 (C.Q.D.) • Assim, se a equação característica associada à E.D.O. possuir raízes complexas, então uma solução da E.D.O é da forma y = k.exp(C + iD). Porém, pelo último teorema, verifica-se que y1 = e Cx.cos Dx e y2 = e Cx.sen Dx também são soluções da E.D.O. (soluções reais). Uma vez que W(y1,y2,x) 0, y1 e y2 são soluções fundamentais, e a solução geral da E.D.O. é dada por: y = C1.e Cx.cos Dx + C2e Cx.sen Dx. • Exemplo: 5y” – y’ + 3y = 0 Equação característica: 5r2 – r + 3 = 0 10 591 i r 10 59 10 59 cos)( 21 10 x senC x Cexy x • 3o caso: b2 – 4ac = 0 _ neste caso, a equação característica possui uma raiz real dupla r = –b/2a, de modo que uma solução é dada por y1 = exp(-bx/2a).Precisamos encontrar uma solução y2 que forme com y1 um conjunto fundamental de soluções. Suponha que y = v(x).y1(x), onde v(x) é uma função a ser determinada. Assim: y’= v’y1 + vy1’; y” = v”y1 + 2v’y1’ + vy1” • Substituindo na E.D.O.: a[v”.erx + 2rerx.v’ + r2. erx.v] + b[erx.v’ + r. erx.v] + + cv. erx = 0 a.v” + (2ar + b).v’ + (ar2 + br + c).v = 0 r é raiz da eq. característica ar2 + br + c = 0, e 2ar + b = 0. Logo: a.v” = 0 v” = 0 v = C1.x + C2 Portanto, a função y = erx.(C1.x + C2), onde r = -b/2a, também é solução da E.D.O. y é combinação linear das soluções y1 = e rx e y2 = = x.erx. Uma vez que W(y1,y2,x) 0, tem-se que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções, e a solução geral da E.D.O. é dada por y = e-bx/2a.(C1x + C2) • Exemplo: y” + 4y’ + 4y = 0 Equação característica: r2 + 4r + 4 = 0 r = – 2 (raiz dupla) y(x) = C1.e -2x + C2xe -2x Equações Lineares Não-homogêneas • São equações da forma: y” + p(x).y’ + q(x).y = g(x) • Seja L[y] = y” + p(x).y’ + q(x).y = 0 a E.D.O. homogênea associada à E.D.O. não- homogênea dada. Sejam y1 e y2 duas soluções L.I. da eq. L[y] = 0. Desejamos encontrar uma solução da equação L[y] = g(x) da forma yp = v1(x)y1 + v2(x)y2, onde v1 e v2 são funções a serem determinadas. yp’ = v1’y1 + v1y1’ + v2’y2 + v2y2’ Impondo a condição v1’y1 + v2’y2 = 0: (1) yp’ = v1y1’ + v2y2’ yp” = v1’.y1’ + v2’.y2’ + + v1.y1” + v2.y2” Substituindo os valores de yp e suas derivadas na eq. L[y] = g(x), obtém-se a equação: v1’.y1’ + v2’.y2’= g(x) (2) As equações (1) e (2) formam um sistema cuja solução é: v1’ = – g(x).y2/W(y1,y2,x) v2’ = y1.g(x)/W(y1,y2,x) A integração das equações acima fornece v1(x) e v2(x). Logo: Este método de obtenção de uma solução particular para a equação L[y] = g(x) é conhecido como Método de Lagrange ou Método da Variação de Parâmetros. dx yyW xgy ydx yyW xgy yyp ),( )(. ),( )(. 21 1 2 21 2 1 • TEOREMA: Se yp é uma solução particular da E.D.O. não-homogênea L[y] = g(x), então a solução geral desta equação é obtida somando-se yp à solução geral da equação homogênea L[y] = 0. • Demonstração: Sejam y1 e y2 duas soluções quaisquer da eq. L[y] = g(x). Assim: L[y1] = L[y2] = g(x) L[y1 – y2] = g(x) – g(x) = 0 Portanto, y1 – y2 é uma solução da eq. homogênea L[y] = 0, e pode ser expressa como uma combinação linear das soluções fundamentais da equação homogênea t1 e t2: y2 – y1 = c1.t1 + c2.t2 y2 = c1t1 + c2t2 + y1 A relação acima deve ser satisfeita por quaisquer pares de soluções y1 e y2 da E.D.O. não-homogênea L[y] = g(x). Por outro lado, toda função y2 que satisfaz esta relação é solução de L[y] = g(x). (C.Q.D.) • Exemplo: determine a solução geral da E.D.O. y” – 5y’ + 6y = 2.ex Solução da E.D.O. homogênea associada: h(x) = C1.e 3x + C2.e 2x y1 = e 3x e y2 = e 2x W(y1,y2) = -e 5x v1(x) = - e -2x e v2(x) = 2.e -x yp = e x y(x) = C1.e 3x + C2.e 2x + ex Métodos Especiais para a Obtenção de uma Solução Particular da Equação Não-homogênea y” + a.y’ +by = g(x), onde a e b são constantes: o Método dos Coeficientes Indeterminados • 1o caso: g(x) é um polinômio de grau n. – Se b 0, uma solução particular é um polinômio de grau n; – Se b = 0, uma solução particular é um polinômio de grau n + 1, desde que a 0; – Se a = b = 0, então y” = g(x), e a solução geral é obtida por duas integrações sucessivas. • 2o caso: g(x) = p(x).emx, onde p(x) é um polinômio de grau n, e m é constante. – A mudança de variável y = u(x).emx transforma a E.D.O. em uma nova equação em u(x), que recai no 1o caso. • 3o caso: g(x) = p(x).emx.cos(kx) ou, alternativamente, g(x) = p(x).emx. sen(kx), onde p(x) é um polinômio e m e k são constantes. – Há uma solução particular da forma yp = e mx.[q(x).cos(kx) + r(x).sen(kx)], onde q e r são polinômios. • Exemplo: determine uma solução particular da E.D.O. y” + y = x.e3x Resolução: yp = u(x).e 3x yp’’ = e 3x[u’’ + 6u’ + + 9u] e3x[u’’ + 6u’ + 9u] + e3xu = x.e3x u’’ + 6u’ + + 10u = x u(x) = Ax + B 6A + 10Ax + 10B = x A = = 1/10 e B = – 3/50 u(x) = (5x – 3)/50 yp = e 3x (5x – 3)/50 Equações Diferenciais Lineares de Ordem n (n 2) • São equações do tipo: P0(x)y (n)(x) + P1(x)y (n-1)(x) + ... + Pn-1(x)y’(x) + Pn(x).y(x) = G(x), onde P0(x) 0. • As funções Pi(x) são contínuas em um intervalo aberto I. • Como P0(x) 0, a equação pode ser reescrita como: y(n)(x) + p1(x)y (n-1)(x) + ... + pn-1(x)y’(x) + + pn(x).y(x) = g(x) ou L[y] = g(x), onde L = Dn + p1D n-1 + ... + pn-1D + pn. L é o operador diferencial linear de ordem n. • TEOREMA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE: considere a E.D.O. L[y] = g(x), onde p1, p2, ..., pn são contínuas em um intervalo aberto I. Então o problema: L[y] = g(x), y(x0) = c0, y’(x0) = c1,..., y (n-1)(x0) = = cn-1 (onde ci são números reais arbitrários) possui uma única solução em I. • TEOREMA DA DIMENSIONALIDADE: Seja L o operador diferencial linear de ordem n. Então o espaço de soluções da equação L[y] = 0 possui dimensão n. Teoria Geral das Equações Lineares de Ordem n • Seja a equação L[y] = 0. Sejam y1, y2, ... ,yn, n soluções desta equação. Então, (x) = c1y1 + + c2y2 + ... + cnyn, onde c1, ... ,cn são constantes reais, também é solução da E.D.O. (prove). • Se y1, y2, ..., yn são soluções L. I., então qualquer solução y = (x) da equação L[y] = 0 pode ser expressa como combinação linear destas soluções. • Wronskiano: )1()1( 2 )1( 1 21 21 21 ... ...................................... '.......'' ........ ),,...,,( n n nn n n n yyy yyy yyy xyyyW • Critério da Linearidade: Sejam y1, y2, ... , yn soluções da equação homogênea L[y] = 0. Então y1, ..., yn são L. I. se e somente se W(y1,y2,...,yn,x) 0 x I. • Como no caso n=2, W 0 ou W 0 em I. Logo, concluímos que, se W 0, então toda e qualquer solução da equação L[y] = 0 pode ser escrita como combinação linear de y1, y2, ..., yn. A Equação Não-Homogênea • TEOREMA: Sejam L o operador diferencial linear de ordem n, e y1, ..., yn soluções L. I. da equação homogênea L[y] = 0. Seja yp uma solução particular da equação L[y] = R(x). Então a solução geral da equação L[y] = R(x) é da forma y = yp + c1y1 + ... + cnyn (prova análoga a n = 2). • Método da variação de parâmetros: Apostol, Vol. 2, seção 6.11 Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes • São equações da forma: L[y] = a0y (n) + ... + an-1y’ + any = 0 Como antes, propomos uma solução da forma y = erx, obtendo-se a equação característica: a0r n + a1r n-1 + ... + an-1r + an = 0 • 1o caso: todas as raízes da equação característica são reais e distintas (r1, r2, ..., rn). y = C1exp(r1x) + C2exp(r2x) + ... + Cnexp(rnx) • 2o caso: há raízes complexas. e(a+bi)x = e ax cos (bx) + i.eaxsen(bx) y1 = e axcos(bx); y2 = e axsen(bx) • 3o caso: há raízes reais repetidas. Suponha que a raiz r tenha multiplicidade s n. Então as soluções referentes a esta raiz terão a forma: y1 = x 0.erx y2 = x 1.erx y3 = x 2.erx ..................... ys = x s-1.erx • 4o caso: há raízes complexas repetidas.Admita que Z = a + bi seja uma raiz com multiplicidade s < n. Então: y1 = e axcos(bx) y2 = e axsen(bx) y3 = x.e ax.cos(bx) y4 = xe axsen(bx) .................................. y2s-1 = x s-1.eax.cos(bx) y2s = x s-1.eaxsen(bx) • Exemplos: 1) y(4) – 4y” + 3y = 0 Equação característica: r4 – 4r2 + 3 = 0 r = 31/2 ou r = 1 y = C1e x + C2.e -x + C3exp(x.3 1/2) + C4.exp(-x3 1/2) 2) y(4) + y” –2y = 0 Equação característica: r4 + r2 – 2 = 0 r = i21/2 ou r = 1 y = C1e x + C2.e -x + C3cos(x.2 1/2) + C4.sen(x.2 1/2) 3) y(6) – 3y(4) + 3y” – y = 0 Eq. característica: r6 – 3r4 + 3r2 – 1 = 0 r = 1 ou r = – 1 (cada uma com multiplicidade 3) y = ex(C1 + C2x + C3x 2) + e-x(C4 + C5x + C6x 2) O Método do Aniquilador para achar soluções particulares de equações não-homogêneas com coeficientes constantes • Ex.: (D4 – 16)y = x4 + x + 1 O membro direito é aniquilado pelo operador D5. Qualquer solução da equação acima também é solução de: D5(D4 – 16)y = 0 Raízes da eq. característica: 0 (multiplicidade 5), 2, -2, 2i, -2i. Logo, a solução geral da E.D.O. acima é: y = c1 + c2x + c3x 2 + c4x 3 + c5x 4 + c6e 2x + c7e -2x + + c8.cos(2x) + c9.sen(2x). Queremos achar os ci tais que L[y] = x 4 + x + 1. Deste modo, encontra-se a solução particular yp = -x 4/16 – x/16 –5/32 • Tabela de aniquiladores: Apostol, Vol. 2, seção 6.14
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