Exercício 5 com gabarito

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5o exerc´ıcio a ser feito no LATEX
Caio Henrique de Paula Rodrigues 165443
Enunciado
Teorema. Sejam
∑
an e
∑
bn se´ries convergentes para A e B respectiva-
mente. Enta˜o:
∞∑
n=1
(an + bn) = A + B,
∞∑
n=1
c · an = c · A, c ∈ R
Demonstrac¸a˜o
Demonstrac¸a˜o. Sejam (sk) e (tk) as sequeˆncia de somas parciais de
∑
an e∑
bn, respectivamente, e (uk) a sequeˆncia de somas parciais de
∑
(an + bn)
da´ı:
sk + tk =
k∑
n=1
an +
k∑
n=1
bn =
k∑
n=1
(an + bn) = uk
Como lim
k→∞
sk = A e lim
k→∞
tk = B, temos:
lim
k→∞
uk = lim
k→∞
(sk + tk) = lim
k→∞
sk + lim
k→∞
tk = A + B
Como a sequeˆncia de somas parciais de
∑
(an + bn) converge para A + B,
temos que
∑∞
n=1(an + bn) = A + B.
Seja (sk) a sequeˆncia de somas parciais de
∑
an e (tk) a sequeˆncia de somas
parciais de
∑
c · an, c ∈ R, temos que:
c · sk = c ·
n∑
n=1
an =
n∑
n=1
c · an = tk
Como lim
k→∞
sk = A, temos:
lim
k→∞
tk = lim
k→∞
c · sk = c · lim
k→∞
sk = c · A
1
Assim
∑∞
k=1 c · an = c · A.
2