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O cálculo da inversa de uma matriz quadrada ou triangular é importante para ajudar aO cálculo da inversa de uma matriz quadrada ou triangular é importante para ajudar a solucionar uma série problemas, por exemplo, a computação gráfica, na resolução de problemas de posicionamento de juntas articuladas e nas mesmas proposições algébricas já citadas no tópico de determinantesalgébricas já citadas no tópico de determinantes. Podemos utilizar o cálculo do determinante para nos auxiliar a encontrar a inversa de uma matriz, como veremos à seguir. Características das matrizes inversas Dada uma matriz quadrada A se existir outra matriz B da mesma ordem queDada uma matriz quadrada A, se existir outra matriz B da mesma ordem que verifique: A × B = B × A = I ( I é a matriz identidade )( I é a matriz identidade ). Dizemos que B é a matriz inversa de A e representamos por A-1. Portanto: A × A−1 = (A−1)×A = IA × A = (A )×A = I Algumas propriedades das matrizes inversas (A−1)−1 = A( (AB)−1 = B−1 A−1 (A inversa da multiplicação de duas matrizes inversíveis A e B = multiplicação das inversas de A e B (AT)−1 = (A−1)T •Nem toda matriz quadrada tem inversa•Nem toda matriz quadrada tem inversa. •Se existir a matriz inversa de A, dizemos que a matriz A é inversível ou regular ou não-singularnão singular. •Caso contrário, dizemos que a matriz A é singular. Podemos aplicar a regra 2 do cálculo do determinante de uma matriz (se det(A)≠0, então A é inversível).cálculo do determinante de uma matriz (se det(A)≠0, então A é inversível). Quando é que uma matriz A tem inversa? Uma matriz A de ordem mxn (m linhas e n colunas de mesma quantidade) tem inversa quando seu determinante é diferente de zero ou também quando seu posto é m, ou seja, quando o posto desta matriz coincide com a quantidade de linhas da matriz quadrada A. *** CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA NO SCILAB *** No SciLab, temos duas maneiras diretas de encontrar a inversa de uma matriz , quadrada: 1. Utilizando a função inv(matriz). Ex: inv(A) retorna o inverso da matriz A 2. Elevando a matriz original por -1. Ex: A^-1. Outra maneira (indireta) pode ser feita pela função rref(), utilizada no método das matrizes escalonadas, estudado no tópico “Sistemas de Equações Lineares”. Mais à frente veremos como aplicar tal método na resolução das matrizes inversas. Exercícios no SciLab: Dada as matrizes A e B: ⎤⎡⎤⎡− 5312 a) Verifique pelo determinante que as matriz são não singulares (possuem inversa) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 12 53 30 12 BA a) Verifique, pelo determinante, que as matriz são não-singulares (possuem inversa). b) Encontre a inversa das matrizes, pelas formas vistas nos tópicos 1 e 2 deste slide. c) Prove que: •A × A−1 = (A−1)×A = I. Faça o mesmo para a matriz B •(A−1)−1 = A Faça o mesmo para a matriz B(A ) A . Faça o mesmo para a matriz B (AB)−1 = B−1 A−1 (AT)−1 = (A−1)T . Faça o mesmo para a matriz B Regra para calcular a inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-Regra para calcular a inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss- Jordan 1º: Posiciona-se as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa escalonada E = [ A|I ]escalonada E [ A|I ] 2º: Aplica-se, agora, Gauss. Se necessário, continuamos aplicando Jordan. Ao final, a porção da matriz E, equivalente à matriz A deve gerar a matriz identidade (I) e a porção que antes era a matriz I será, então, a matriz inversa de A. Caso isso não tenha que antes era a matriz I será, então, a matriz inversa de A. Caso isso não tenha ocorrido, implica dizer que a matriz A é singular e, consequentemente, não possui inversa. DICA: Se achar mais fácil, verifique primeiro o determinante da matriz A. Se det(A)≠0, então a matriz A é inversível. ⎤⎡ 53Exemplo 1: Dada a matriz A: Encontre, se existir a inversa desta matriz. ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 12 53 A Resolução: Como a matriz A é não-singular (det(A) = -13), prosseguimos o cálculo de sua inversa: Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss- Jordan 1º: Posiciona-se as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa escalonada E = [ A|I ]:escalonada E [ A|I ]: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 1012 0153 E 2º: Aplica-se, agora, Gauss: ⎥⎤⎢⎡ 0153 E 11 l ll ↔ => >←⎥⎤⎢⎡ 2 033,067,11 lllE⎥⎦⎢⎣ − = 1012 E 3 1 1 ll ← => =>−←⎥⎦⎢⎣ − = 122 21012 lllE >←⎥⎤⎢⎡ 033,067,11 2llE GfiE ⎥⎤⎢⎡ 033,067,11 como ainda não zeramos todos os elementos acima dos pivôs, continuamos com =>−←⎥⎦⎢⎣ − = 34,41012 2 2lE GaussfimE ⎥⎦⎢⎣ − = 23,015,010 Jordan: =>−← 211 67,1 lll JordanfimE ⎥⎤⎢⎡= 38,008,001>← 211 67,1 lll JordanfimE ⎥⎦⎢⎣ − 23,015,010 Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss- Jordan Notamos que a porção de E, antes ocupada pela matriz A, gera a matriz identidade (I) e a porção que antes era a matriz I é então a matriz inversa de A:e a porção que antes era a matriz I é, então, a matriz inversa de A: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 23,015,010 38,008,001 E Então: ⎥⎤⎢⎡− 38,008,01A ⎥⎦⎢⎣ − = 23,015,0 1A Se quisermos comprovar, basta aplicarmos as regras de matrizes inversas, vistas anteriormente. Exemplo 2: Dada a matriz A:Exemplo 2: Dada a matriz A: ⎥⎥ ⎤ ⎢⎢ ⎡ = 212 321 A Encontre, se existir a inversa desta matriz. ⎥⎥⎦⎢ ⎢ ⎣ 210 Encontre, se existir a inversa desta matriz. Resolução: Como a matriz A é não-singular (det(A) = -2), prosseguimos o cálculo de sua inversa: 1º: Posiciona-se as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa escalonada E = [ A|I ]: ⎥⎤⎢⎡ 010212 001321 E ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ = 100210 010212E 2º: Aplica-se, agora, Gauss: =>←⎥⎥ ⎤ ⎢⎢ ⎡ = 001321 010212 1llE=>↔⎥⎥ ⎤ ⎢⎢ ⎡ = 010212 001321 llE =>← ⎥⎥⎦⎢ ⎢ ⎣ = 2 100210 001321 1lE=>↔ ⎥⎥⎦⎢ ⎢ ⎣ = 21 100210 010212 llE Exemplo 3 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-Exemplo 3 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss- Jordan (continuação) Continuação do passo 2: ⎤⎡ ⎤⎡ =>−← ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 122 100210 001321 05,0015,01 lllE ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 100210 05,0125,10 05,0015,01 E 5,1 2 2 22 ll ll ← ↔ => ⎥⎦⎢⎣ 100210 ⎥⎦⎢⎣ 100210 , >←⎥ ⎤⎢⎡ 033067033110 05,0015,01 lllE >←⎥ ⎤⎢⎡ 033067033110 05,0015,01 3llE=>−← ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ −= 233 100210 033,067,033,110 lllE =>← ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ − −= 67,0 133,067,067,000 033,067,033,110 33lE ⎤⎡ 05,0015,01 GaussfimE ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 5,15,01100 033,067,033,110 ,, como ainda não zeramos todos os elementos acima dos pivôs, continuamos com Jordan: ⎥⎤⎢⎡ 05,0015,01 331 lll ⎥⎤⎢⎡ − 5,10105,01 ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ − −= 5,15,01100 033,067,033,110E 311 322 33,1 lll lll −← −← => =>−← ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ − −−= 211 5,0 5,15,01100 212010 lllE Exemplo 2 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-Exemplo 2 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss- Jordan ⎥⎤⎢⎡ − 5,05,00001 JordanfimE ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣ − −−= 5,15,01100 212010 Então: ⎥⎤⎢⎡ − 5,05,00 ⎥⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢⎢ ⎣− −−=− 5,15,01 2121A Aplicar as regras de matrizes inversas, vistas anteriormente, para comprovação. OBS: Para o cálculo da inversa de matrizes de ordem superior a 3x3, o cálculo deverá ser feito pelo SciLab, visto que o esforço algébrico é mais complexo de ser feito manualmente. Para encontrar, no SciLab, a inversa de qualquer matriz quadrada, b t tili f ã i ( t i ) A^ 1 f(E) já it t i t Nbasta utilizar a função inv(matriz), A^-1 ou rref(E), já vistas anteriormente. Na multiplicação de A por A-1, o SciLab poderá dar um valor aproximado de 0 ou 1, o que deveremos entender tratar-se da matriz identidade (I). FIM DA PARTE 5 FAZER LISTA DE EXERCÍCIOS 5FIM DA PARTE 5 – FAZER LISTA DE EXERCÍCIOS 5 (PRÓXIMO SLIDE) Utilizar o SciLab para conferir as respostasUtilizar o SciLab para conferir as respostas 1 – Baseado nos itens da questão de 1 da lista de exercícios 4, calcule a inversa das matrizes não-singulares. 2 – Baseado nas matrizes da questão 3 da lista de exercícios 4, calcule a inversa das matrizes não-singulares 3 – Baseado na questão 2, utilize o SCILab para provar que: •C × C−1 = (C−1)×C = I. • (D−1)−1 = D . • (AC)−1 = C−1 A−1 (DT)−1 = (D−1)T . UNIDADE I Introdução – Matrizes FIM
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