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Inversa da Matriz

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O cálculo da inversa de uma matriz quadrada ou triangular é importante para ajudar aO cálculo da inversa de uma matriz quadrada ou triangular é importante para ajudar a
solucionar uma série problemas, por exemplo, a computação gráfica, na resolução de
problemas de posicionamento de juntas articuladas e nas mesmas proposições
algébricas já citadas no tópico de determinantesalgébricas já citadas no tópico de determinantes.
Podemos utilizar o cálculo do determinante para nos auxiliar a encontrar a inversa de
uma matriz, como veremos à seguir.
Características das matrizes inversas
Dada uma matriz quadrada A se existir outra matriz B da mesma ordem queDada uma matriz quadrada A, se existir outra matriz B da mesma ordem que 
verifique:
A × B = B × A = I
( I é a matriz identidade )( I é a matriz identidade ). 
Dizemos que B é a matriz inversa de A e representamos por A-1. Portanto:
A × A−1 = (A−1)×A = IA × A = (A )×A = I
Algumas propriedades das matrizes inversas
(A−1)−1 = A(
(AB)−1 = B−1 A−1 (A inversa da multiplicação de duas matrizes inversíveis A e B = multiplicação das inversas de A e B
(AT)−1 = (A−1)T
•Nem toda matriz quadrada tem inversa•Nem toda matriz quadrada tem inversa. 
•Se existir a matriz inversa de A, dizemos que a matriz A é inversível ou regular ou 
não-singularnão singular. 
•Caso contrário, dizemos que a matriz A é singular. Podemos aplicar a regra 2 do 
cálculo do determinante de uma matriz (se det(A)≠0, então A é inversível).cálculo do determinante de uma matriz (se det(A)≠0, então A é inversível).
Quando é que uma matriz A tem inversa?
Uma matriz A de ordem mxn (m linhas e n colunas de mesma quantidade) tem 
inversa quando seu determinante é diferente de zero ou também quando seu posto
é m, ou seja, quando o posto desta matriz coincide com a quantidade de linhas da 
matriz quadrada A.
*** CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA NO SCILAB ***
No SciLab, temos duas maneiras diretas de encontrar a inversa de uma matriz ,
quadrada:
1. Utilizando a função inv(matriz). Ex: inv(A) retorna o inverso da matriz A
2. Elevando a matriz original por -1. Ex: A^-1.
Outra maneira (indireta) pode ser feita pela função rref(), utilizada no método das 
matrizes escalonadas, estudado no tópico “Sistemas de Equações Lineares”. Mais à 
frente veremos como aplicar tal método na resolução das matrizes inversas.
Exercícios no SciLab:
Dada as matrizes A e B: ⎤⎡⎤⎡− 5312
a) Verifique pelo determinante que as matriz são não singulares (possuem inversa)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
12
53
30
12
BA
a) Verifique, pelo determinante, que as matriz são não-singulares (possuem inversa).
b) Encontre a inversa das matrizes, pelas formas vistas nos tópicos 1 e 2 deste slide.
c) Prove que:
•A × A−1 = (A−1)×A = I. Faça o mesmo para a matriz B
•(A−1)−1 = A Faça o mesmo para a matriz B(A ) A . Faça o mesmo para a matriz B 
(AB)−1 = B−1 A−1
(AT)−1 = (A−1)T . Faça o mesmo para a matriz B
Regra para calcular a inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-Regra para calcular a inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-
Jordan
1º: Posiciona-se as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa 
escalonada E = [ A|I ]escalonada E [ A|I ]
2º: Aplica-se, agora, Gauss. Se necessário, continuamos aplicando Jordan. Ao final, a 
porção da matriz E, equivalente à matriz A deve gerar a matriz identidade (I) e a porção 
que antes era a matriz I será, então, a matriz inversa de A. Caso isso não tenha que antes era a matriz I será, então, a matriz inversa de A. Caso isso não tenha 
ocorrido, implica dizer que a matriz A é singular e, consequentemente, não possui 
inversa.
DICA: Se achar mais fácil, verifique primeiro o determinante da matriz A. Se det(A)≠0, 
então a matriz A é inversível.
⎤⎡ 53Exemplo 1: Dada a matriz A:
Encontre, se existir a inversa desta matriz.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= 12
53
A
Resolução: Como a matriz A é não-singular (det(A) = -13), prosseguimos o cálculo de 
sua inversa:
Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-
Jordan
1º: Posiciona-se as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa 
escalonada E = [ A|I ]:escalonada E [ A|I ]:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= 1012
0153
E
2º: Aplica-se, agora, Gauss:
⎥⎤⎢⎡
0153
E
11
l
ll ↔
=> >←⎥⎤⎢⎡ 2
033,067,11 lllE⎥⎦⎢⎣ −
=
1012
E
3
1
1
ll ← => =>−←⎥⎦⎢⎣ −
= 122 21012 lllE
>←⎥⎤⎢⎡
033,067,11 2llE GfiE ⎥⎤⎢⎡
033,067,11
como ainda não zeramos todos os elementos acima dos pivôs, continuamos com 
=>−←⎥⎦⎢⎣ −
=
34,41012
2
2lE GaussfimE ⎥⎦⎢⎣ −
=
23,015,010
Jordan:
=>−← 211 67,1 lll JordanfimE ⎥⎤⎢⎡=
38,008,001>← 211 67,1 lll JordanfimE ⎥⎦⎢⎣ − 23,015,010
Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-Exemplo 1 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-
Jordan
Notamos que a porção de E, antes ocupada pela matriz A, gera a matriz identidade (I) 
e a porção que antes era a matriz I é então a matriz inversa de A:e a porção que antes era a matriz I é, então, a matriz inversa de A:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= 23,015,010
38,008,001
E
Então:
⎥⎤⎢⎡−
38,008,01A ⎥⎦⎢⎣ −
=
23,015,0
1A
Se quisermos comprovar, basta aplicarmos as regras de matrizes inversas, vistas 
anteriormente.
Exemplo 2: Dada a matriz A:Exemplo 2: Dada a matriz A:
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
= 212
321
A
Encontre, se existir a inversa desta matriz.
⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣ 210
Encontre, se existir a inversa desta matriz.
Resolução: Como a matriz A é não-singular (det(A) = -2), prosseguimos o cálculo de 
sua inversa:
1º: Posiciona-se as matrizes A e I lado a lado, de modo a formar uma matriz completa 
escalonada E = [ A|I ]:
⎥⎤⎢⎡ 010212
001321
E
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣
=
100210
010212E
2º: Aplica-se, agora, Gauss:
=>←⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
= 001321
010212
1llE=>↔⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
= 010212
001321
llE =>←
⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣
=
2
100210
001321 1lE=>↔
⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣
= 21
100210
010212 llE
Exemplo 3 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-Exemplo 3 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-
Jordan (continuação)
Continuação do passo 2:
⎤⎡ ⎤⎡
=>−←
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
= 122
100210
001321
05,0015,01
lllE
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100210
05,0125,10
05,0015,01
E
5,1
2
2
22
ll
ll
←
↔
=>
⎥⎦⎢⎣ 100210 ⎥⎦⎢⎣ 100210 ,
>←⎥
⎤⎢⎡ 033067033110
05,0015,01
lllE >←⎥
⎤⎢⎡ 033067033110
05,0015,01
3llE=>−←
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣
−= 233
100210
033,067,033,110 lllE =>←
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣ −
−=
67,0
133,067,067,000
033,067,033,110 33lE
⎤⎡ 05,0015,01
GaussfimE
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
5,15,01100
033,067,033,110
,,
como ainda não zeramos todos os elementos acima dos pivôs, continuamos com 
Jordan:
⎥⎤⎢⎡
05,0015,01
331 lll ⎥⎤⎢⎡
− 5,10105,01
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣ −
−=
5,15,01100
033,067,033,110E
311
322 33,1
lll
lll
−←
−←
=> =>−←
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣ −
−−= 211 5,0
5,15,01100
212010 lllE
Exemplo 2 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-Exemplo 2 do calculo da inversa de uma matriz quadrada pelo método de Gauss-
Jordan
⎥⎤⎢⎡
− 5,05,00001
JordanfimE
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣ −
−−=
5,15,01100
212010
Então:
⎥⎤⎢⎡
− 5,05,00
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣−
−−=−
5,15,01
2121A
Aplicar as regras de matrizes inversas, vistas anteriormente, para comprovação.
OBS: Para o cálculo da inversa de matrizes de ordem superior a 3x3, o cálculo deverá 
ser feito pelo SciLab, visto que o esforço algébrico é mais complexo de ser feito 
manualmente. Para encontrar, no SciLab, a inversa de qualquer matriz quadrada, 
b t tili f ã i ( t i ) A^ 1 f(E) já it t i t Nbasta utilizar a função inv(matriz), A^-1 ou rref(E), já vistas anteriormente. Na 
multiplicação de A por A-1, o SciLab poderá dar um valor aproximado de 0 ou 1, o que 
deveremos entender tratar-se da matriz identidade (I).
FIM DA PARTE 5 FAZER LISTA DE EXERCÍCIOS 5FIM DA PARTE 5 – FAZER LISTA DE EXERCÍCIOS 5 
(PRÓXIMO SLIDE)
Utilizar o SciLab para conferir as respostasUtilizar o SciLab para conferir as respostas
1 – Baseado nos itens da questão de 1 da lista de exercícios 4, calcule a inversa das 
matrizes não-singulares.
2 – Baseado nas matrizes da questão 3 da lista de exercícios 4, calcule a inversa das 
matrizes não-singulares
3 – Baseado na questão 2, utilize o SCILab para provar que:
•C × C−1 = (C−1)×C = I.
• (D−1)−1 = D .
• (AC)−1 = C−1 A−1
(DT)−1 = (D−1)T . 
UNIDADE I
Introdução – Matrizes
FIM

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