Aula 2 Revisão das Medidas de Tendência Central e de Posição

Prévia do material em texto

ANÁLISE ESTATÍSTICA
PROF. CLAUDIO MACIEL
Aula 2- Medidas de Posição
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Conteúdo Programático desta aula
➢Entender como as medidas de posição 
central (média aritmética e ponderada, 
mediana e moda) são determinadas e como 
permitem uma melhor compreensão dos 
dados de uma análise estatística;
➢ Analisar as relações entre média, moda e 
mediana. 
➢Compreender as medidas de 
ordenamento quartis, decis e percentis.
➢Aplicação das medidas estatísticas em 
Microsoft Excel
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Médias 
MÉDIA ARITMÉTICA
 SIMPLES  a média aritmética, ou média, de um conjunto de N 
números X1, X2, ...., Xn é definido por:
_
X = X1 + X2 + ....... + Xn / n
EXEMPLO :
 {1, 1, 3, 4, 4} X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 = 13 = 2,6
 MÉDIA PONDERADA  Se os valores X1, X2, ...., Xn ocorrerem 
com freqüências f1, f2, ....., fn, então:
_
X = X1 f1 + X2 f2 + ..... + Xn fn =  Xi fi
----------------------------------- ----------
f1 + f2 + ..... + fn  fi
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA
Pode-se definir como moda o valor mas freqüente, quando 
comparada sua freqüência com a dos valores contíguos de um 
conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista, 
pode não ser única.
EXEMPLOS : 
 X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8
moda = 6 – valor mais freqüente – unimodal
 Y = 2, 3, 4, 5, 6
não tem moda – amodal
 Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9
tem duas modas 4 e 8 – bimodal
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MODA
FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS:
Mo =( l * + L * ) / 2 
Ou 
Mo = l* + h ( D1 / D1 + D2) 
Sendo:
l*  Limite Inferior da Classe Modal.
L*  Limite Inferior da Classe Modal.
h  intervalo de classe.
D1  Frequencia Simples – Frequencia Anterior.
D2  Frequencia Simples – Frequencia Posterior
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Mediana
Corresponde ao valor do elemento central de uma amostra.
FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS:
Md = l* + h ( Xm – F(Ant) / f*) 
Sendo:
l*  Limite Inferior da Classe Mediana.
f*  frequencia simples da classe mediana.
h  intervalo de classe.
Xm  Valor Mediano.
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de Assimetria
As medidas de assimetria complementam as informações dadas pelas 
medidas de posição, a fim de permitir uma melhor compreensão das 
distribuições de frequências. A mediana se localiza na posição central da 
distribuição, devendo estar entre os valores da média e moda e podendo 
até mesmo ser igual a ambas.
Nesta situação temos três casos possíveis:
1o Caso  Média = Mediana = Moda  a curva da distribuição é 
SIMÉTRICA
2 o Caso  Média < Mediana < Moda  a curva da distribuição 
tem ASSIMETRIA NEGATIVA
3 o Caso  Média > Mediana > Moda  a curva da distribuição tem 
ASSIMETRIA POSITIVA
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de Assimetria
O Coeficiente de Assimetria pode ser calculado pela fórmula do primeiro 
coeficiente de Pearson, tornando mais fácil determinar se a Assimetria da 
distribuição é positiva ou negativa:
AS = Coeficiente de Assimetria;
Me = Média
Mo = Moda
s = Desvio Padrão da amostra ( quando for população)
( Me – Mo ) / DP
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Medidas de Assimetria
No denominador da fórmula temos um símbolo que representa o desvio 
padrão da distribuição, quando for apresentado o estudo sobre as medidas 
de dispersão veremos mais detalhes sobre o cálculo do desvio padrão e 
seu significado. No momento podemos adiantar que terá sempre um valor 
positivo (ou seja, não é possível ocorrer desvio padrão negativo). Assim 
sendo o que vai determinar o sinal da fração é o sinal do numerador.
1o Caso  Média = Moda   ASSIMÉTRICA NULA =
SIMÉTRICA 
2 o Caso  Média < Moda   ASSIMETRIA NEGATIVA
3 o Caso  Média > Moda   ASSIMETRIA POSITIVA
Medidas de Posição
• Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de 
determinarmos qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, 
quatro partes iguais, dez partes iguais e cem partes iguais. A estes valores 
(separatrizes) chamaremos respectivamente de:
 Quartis
 Decis
 Percentis
• O interesse no conhecimento das separatrizes decorre do fato de a partir 
delas poderemos introduzir os índices de Pearson, de uso muito prático na 
descrição de uma variável X.
Medidas de Posição
• QUARTIS  dividem a distribuição em quatro 
partes iguais.
Qnq = X ( nqn / 4 + ½) 
Sendo:
• Qnq  primeiro, segundo e terceiro quartil ( i = 
1, 2 e 3)
• nq  número do quartil que se deseja obter
• X  elemento da série ordenada 
• n  tamanho da amostra
Medidas de Posição
DECIS – Dividem a distribuição ordenada em dez 
partes iguais.
• Qnq = X ( nqn / 10 + ½) 
• Sendo:
• Qnq  primeiro, segundo e terceiro decil ( i = 1, 
2 e 3)
• nq  número do quartil que se deseja obter
• X  elemento da série ordenada 
• n  tamanho da amostra
Medidas de Posição
• PERCENTIS : Dividem a distribuição ordenda em cem 
partes iguais.
• Qnq = X ( nqn / 100+ ½) 
• Sendo:
• Qnq  primeiro, segundo e terceiro centil ( i = 1, 2 e 3)
• nq  número do quartil que se deseja obter
• X  elemento da série ordenada 
• n  tamanho da amostra
EXCEL
✓Cálculo da média: utilizando a função 
MÉDIA(num1;num2;...) e marcando a relação de dados a 
serem calculados a média, teremos o resultado desejado;
✓Cálculo da mediana: utilizando a função 
MED(num1;num2;...) e marcando a relação de dados a 
serem calculados a mediana, teremos o resultado 
desejado;
✓Cálculo da moda: utilizando a função 
MODO(num1;num2;...) e marcando a relação de dados a 
serem calculados a mediana, teremos o resultado 
desejado;
EXCEL
4448 53 54 56 56
5657 60 60 62 63
6363 63 65 66 67
6868 69 69 70 71
7274 77 78 80 81
8286 90 93 95 95
97100 106 107
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Exercícios
1) Determine a Mediana para os dados (1, 5, 8, 9, 10):
a) 33
b) 8
c) 6,6
d) 5
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Exercícios
2) Determine a Média para os dados (2, 3, 10, 15, 15):
a) 10
b) 15 – 2 = 13
c) 15
d) 9
NOME DA AULA – AULA2
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Exercícios
3) A moda representa o elemento:
a) O elemento central da distribuição
b) Representa a diferença entre a média e a Mediana
c) O elemento de maior frequência na distribuição de valores
d) A soma de todos os valores dividido pela quantidade de dados