Geometria Básica (CEDERJ)

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Pol´ıgonos regulares
MO´DULO 1 - AULA 13
Aula 13 – Pol´ıgonos regulares
Objetivos
• Determinar a a´rea de pol´ıgonos regulares.
Introduc¸a˜o
Um pol´ıgono e´ chamado equila´tero se todos os seus lados sa˜o congruen-
tes. E´ chamado equiaˆngulo se todos os seus aˆngulos internos sa˜o congruentes.
Um pol´ıgono que e´ ao mesmo tempo equila´tero e equiaˆngulo e´ chamado re-
gular. Veja na figura 253 alguns exemplos de pol´ıgonos regulares.
Fig. 253: Pol´ıgonos regulares.
Voceˆ pode estar se perguntando se as duas definic¸o˜es na˜o significam a
mesma coisa. Na verdade, se estivermos falando de triaˆngulos, as duas pro-
priedades sa˜o equivalentes. Isso acontece por causa da propriedade que teˆm
os triaˆngulos de o maior aˆngulo se opor ao maior lado, e vice-versa. Assim, se
um triaˆngulo e´ equila´tero, enta˜o, como consequ¨eˆncia, todos os seus aˆngulos
sa˜o iguais e ele e´ equiaˆngulo. Da mesma forma, se um triaˆngulo tem todos os
aˆngulos congruentes, prova-se que seus lados tambe´m sa˜o congruentes. Por-
tanto, para mostrar que um dado triaˆngulo e´ regular, basta mostrar que ele
e´ equila´tero ou que ele e´ equiaˆngulo, na˜o sendo necessa´rio verificar as duas
coisas.
No caso de pol´ıgonos com mais de treˆs lados isso na˜o e´ verdade, nem
mesmo para quadrila´teros. Um retaˆngulo com base e altura na˜o congruentes
e´ equiaˆngulo, pois todos os seus aˆngulos sa˜o retos, mas na˜o e´ equila´tero. Um
losango que na˜o seja quadrado e´ equila´tero, mas na˜o e´ equiaˆngulo (figura
254).
(a)
(b)
Fig. 254: (a)Equiaˆngulo mas na˜o equila´tero. (b) Equila´tero mas na˜o equiaˆngulo.
163 CEDERJ
Pol´ıgonos regulares
Quando acontece de existir um c´ırculo contendo todos os ve´rtices de
um pol´ıgono, dizemos que esse pol´ıgono esta´ inscrito em tal c´ırculo, ou que
ele e´ inscrit´ıvel. Quando ocorre de existir um c´ırculo que e´ tangente a todos
os lados de um pol´ıgono, dizemos que esse pol´ıgono esta´ circunscrito a tal
c´ırculo, ou que ele e´ circunscrit´ıvel. Veja a figura 255.
(a) (b) (c)
Fig. 255: a) Pol´ıgono inscrito (o pol´ıgono na˜o e´ regular)). b) Pol´ıgono circunscrito (o pol´ıgono na˜o e´
regular). c) Pol´ıgono regular inscrito.
Vamos provar que todo pol´ıgono regular e´ inscrit´ıvel e circunscrit´ıvel.
Para isso considere um pol´ıgono regular P = A1A2 . . . An qualquer. Tracemos
as mediatrizes dos lados A1A2 e A2A3, as quais encontram-se num ponto O.
A figura 256 mostra um caso particular em que P e´ um penta´gono.
o
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
Fig. 256: Penta´gono regular A1A2A3A4A5.
Como O esta´ na mediatriz do lado A1A2, enta˜o a distaˆncia de O aos
ve´rtices A1 e A2 e´ a mesma, que chamaremos r. Pelo mesmo motivo, a
distaˆncia de O a A3 e´ a mesma distaˆncia r de O a A2. Os triaˆngulos OA1A2
e OA2A3 sa˜o, assim, iso´sceles. Ale´m disso, OA1A2 ≡ OA2A3, por L.L.L.. Se-
gue que os aˆngulos OAˆ1A2, OAˆ2A1, OAˆ2A3 e OAˆ3A2 sa˜o todos congruentes.
CEDERJ 164
Pol´ıgonos regulares
MO´DULO 1 - AULA 13
Como A1Aˆ2A3 ≡ A2Aˆ3A4 (pois o pol´ıgono e´ equiaˆngulo), conclui-se que
OAˆ3A4 ≡ OAˆ3A2. Por L.A.L., os triaˆngulos OA3A4 e OA3A2 sa˜o congruen-
tes, donde se conclui que OA4 ≡ OA2. Assim, tem-se que a distaˆncia entre
O e A4 e´ tambe´m r. Da mesma forma se prova que a distaˆncia do ponto O
aos outros ve´rtices do pol´ıgono P e´ tambe´m r. Consequ¨entemente, o c´ırculo
de centro O e raio r passa por todos os ve´rtices do pol´ıgono P .
Ale´m disso, os triaˆngulos OA1A2, OA2A3, . . ., OAnA1 sa˜o todos con-
gruentes. Segue que os segmentos unindo o ponto O aos pontos me´dios
de cada lado sa˜o todos congruentes. Chamemos de a a medida desses seg-
mentos. Como esses segmentos sa˜o perpendiculares aos lados do pol´ıgono
P , conclu´ımos que o c´ırculo de centro O e raio a e´ tangente a todos os
lados de P .
Provamos, assim, que:
Todo pol´ıgono regular e´ inscrit´ıvel e circunscrit´ıvel
O ponto O considerado na demonstrac¸a˜o anterior e´ chamado centro do
pol´ıgono regular, e o nu´mero a e´ chamado apo´tema. Tambe´m chamaremos
de apo´tema a todo segmento ligando O ao ponto me´dio de um dos lados.
Veja na figura 257 um hexa´gono regular e os c´ırculos em que esta´ ins-
crito e circunscrito.
Fig. 257: C´ırculos inscrito e circunscrito a um hexa´gono regular.
Um pol´ıgono, contudo, pode ser inscrit´ıvel ou circunscrit´ıvel sem ser
regular, como mostra a figura 255. Por outro lado, existem pol´ıgonos que
na˜o sa˜o inscrit´ıveis, ou circunscrit´ıveis. Veja a figura 258.
(a)
 (b)
Fig. 258: a) Pol´ıgono na˜o inscrit´ıvel. b) Pol´ıgono na˜o circunscrit´ıvel.
165 CEDERJ
Pol´ıgonos regulares
Veremos a seguir um crite´rio que permite decidir se um quadrila´tero
qualquer e´ inscrit´ıvel ou na˜o. Primeiro consideremos um quadrila´tero ABCD
inscrito no c´ırculo Γ, como na figura 259.
A
B
C
D
G
Fig. 259: AˆQuadrila´tero inscrito.
Os aˆngulos ˆBAD e ˆBCD sa˜o aˆngulos inscritos em Γ, e os arcos de-
terminados por esses aˆngulos compo˜em o c´ırculo completo, intersectando-se
apenas nos extremos. Da´ı, conclui-se que 2 ˆBAD + 2 ˆBCD = 360o, ou seja,
ˆBAD + ˆBCD = 180o e esses aˆngulos sa˜o suplementares. Do mesmo modo,
sa˜o suplementares os aˆngulos ˆADC e ˆABC.
Reciprocamente, suponhamos que ABCD seja um quadrila´tero tal que
os aˆngulos opostos sa˜o suplementares. Tracemos o c´ırculo Γ que conte´m os
pontos A, B e C. Vamos mostrar que o ponto D tambe´m esta´ em Γ.
Suponhamos que o ponto D na˜o esteja no c´ırculo Γ. Nesse caso, ha´
duas possibilidades: D esta´ no interior de Γ ou D esta´ no exterior de Γ (veja
as duas possibilidades na figura 260).
A
B
C
D
(a)
 (b)
A
B
C
Γ
Γ
D
Fig. 260: (a) D no interior de Γ. (b) D no exterior de Γ.
Em qualquer das possibilidades, seja E o ponto em que a semi-reta
−−→
BD
intersecta Γ, como na figura 261.
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Pol´ıgonos regulares
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A
B
C
D
E
(a)
A
B
C
D
E
(b)
G G
Fig. 261: (a) D no interior de Γ. (b) D no exterior de Γ.
Se D esta´ no interior de Γ, temos ˆADB > ˆAEB e ˆCDB > ˆCEB,
donde se conclui que ˆADC > ˆAEC. Mas ˆADC e ˆABC sa˜o suplementares,
por hipo´tese, e ˆAEC e ˆABC sa˜o suplementares porque ABCE esta´ inscrito
em Γ. Logo ˆADC ≡ ˆAEC. Mas ja´ t´ınhamos conclu´ıdo que ˆADC > ˆAEC.
Essa contradic¸a˜o mostra que D na˜o pode estar no interior de Γ. Deixamos
como exerc´ıcio a prova de que D na˜o pode estar no exterior de Γ.
Com isso mostramos a seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 31
Um quadrila´tero e´ inscrit´ıvel num c´ırculo se e somente se seus aˆngulos inter-
nos opostos sa˜o suplementares.
Veja na proposic¸a˜o seguinte como fica a a´rea de um pol´ıgono regular.
Proposic¸a˜o 32
A a´rea de um pol´ıgono regular e´ a metade do produto do per´ımetro pelo
apo´tema.
Prova:
Se A1A2 . . . An e´ um pol´ıgono regular de n lados, ligando cada um
de seus ve´rtices ao centro O do pol´ıgono, ficam determinados n triaˆngulos
iso´sceles congruentes de base igual a m(A1A2) e altura igual ao apo´tema do
pol´ıgono, que denotaremos por a. A a´rea de cada um desses triaˆngulos e´
m(A1A2)a
2
. Pelas propriedades de a´rea, conclu´ımos que
AA1A2...An = n
(
m(A1A2)a
2
)
=
nm(A1A2)a
2
Como nm(A1A2) e´ justamente o per´ımetro do pol´ıgono, ja´ que seus n
lados sa˜o todos congruentes a A1A2, fica demonstrada a proposic¸a˜o.
C.Q.D.
167 CEDERJ
Pol´ıgonos regulares
Sejam Γ e Γ′ c´ırculos com o mesmo centro O (dizemos nesse caso que
sa˜o conceˆntricos) e seja P = A1A2 . . . An um pol´ıgono regular inscrito em Γ.
Definamos um pol´ıgono P ′ inscrito em Γ′ da seguinte forma: B1 =
−−→
OA1 ∩Γ′,
B2 =
−−→
OA2 ∩ Γ′ etc. O pol´ıgono assim definido e´ chamado projec¸a˜o radial de
P sobre Γ′. Veja nafigura 262 o caso particular em que P e´ um hexa´gono.
Nota: na figura 262, Γ′ e´ o
c´ırculo externo e Γ e´ o
c´ırculo interno.
Os apo´temas a e a′ sa˜o,
respectivamente, a distaˆncia
do centro O ate´ os lados dos
pol´ıgonos P e P ′.
B
1 B2
B
6
B
3
B
5
B
4
A
1
A
2
A
6
A
3
A
4
A
5
O
Fig. 262: Projec¸a˜o radial do hexa´gono.
Deixaremos como exerc´ıcio a prova de que P ′ tambe´m e´ regular. De-
terminaremos agora a relac¸a˜o entre as a´reas de P e P ′. Para isso, chamemos
de r e r′ os raios de Γ e Γ′, a e a′ os apo´temas, A e A′ as a´reas e p e
p′ os per´ımetros de P e P ′, respectivamente. Ja´ sabemos que A =
1
2
ap e
A′ =
1
2
a′p′. Considere os triaˆngulos A1OA2 e B1OB2. Como ambos sa˜o
iso´sceles e teˆm o aˆngulo central ˆA1OA2 em comum, podemos concluir que
sa˜o semelhantes. Como consequ¨eˆncia dessa semelhanc¸a, decorre que
r
r′
=
m(A1A2)
m(B1B2)
=
a
a′
(6)
onde a u´ltima igualdade vem do fato de a e a′ serem as alturas de A1OA2
e B1OB2 com respeito a`s bases A1A2 e B1B2. Como P e P
′ sa˜o regulares,
temos p = nm(A1A2), e p
′ = nm(B1B2), o que nos da´
p
p′
=
m(A1A2)
m(B1B2)
.
Substituindo na equac¸a˜o (6), obtemos
r
r′
=
p
p′
=
a
a′
.
CEDERJ 168
Pol´ıgonos regulares
MO´DULO 1 - AULA 13
Da´ı conclu´ımos que
A
A′
=
ap
a′p′
=
(
r
r′
)2
.
Um racioc´ınio ana´logo pode ser feito para os pol´ıgonos circunscritos. A
fo´rmula acima sera´ muito u´til na pro´xima aula, quando faremos o ca´lculo da
a´rea do c´ırculo.
Resumo
Nesta aula voceˆ aprendeu...
• O que sa˜o pol´ıgonos regulares.
• Que todo pol´ıgono regular e´ inscrit´ıvel e circunscrit´ıvel.
• Que um pol´ıgono pode ser inscrit´ıvel ou circunscrit´ıvel sem ser regular.
• Que existem pol´ıgonos que na˜o sa˜o inscrit´ıveis ou circunscrit´ıveis.
• Um crite´rio para verificar se um quadrila´tero e´ inscrit´ıvel ou na˜o.
• A fo´rmula para calcular a a´rea de um pol´ıgono regular.
Exerc´ıcios
1. Prove que todo triaˆngulo equiaˆngulo e´ tambe´m equila´tero.
2. Prove que um pol´ıgono regular circunscrito a um c´ırculo tangencia o
mesmo no ponto me´dio de cada lado.
3. Prove que a soma dos aˆngulos externos de um pol´ıgono convexo e´ 360o.
4. Na figura 263, ABP e´ um triaˆngulo equila´tero eABCDE e´ um penta´gono
regular.
A B
C
D
E
P
Fig. 263: Exerc´ıcio 4.
Determine DAˆP e BPˆC. 169 CEDERJ
Pol´ıgonos regulares
5. Determine os pol´ıgonos regulares para os quais os aˆngulos internos e
externos sa˜o iguais.
6. Determine o nu´mero de lados de um pol´ıgono regular, sabendo que seus
aˆngulos internos medem 144o.
7. Determine os raios dos c´ırculos inscrito e circunscrito em um hexa´gono
regular de 6 cm de lado.
8. Determine a medida do lado e o apo´tema de um hexa´gono regular
inscrito em um c´ırculo de raio 2
√
3 cm.
9. Prove que a a´rea de um triaˆngulo e´ dada pelo produto do semi-per´ımetro
pelo raio da circunfereˆncia inscrita.
10. Prove que a soma das distaˆncias de um ponto interno de um triaˆngulo
equila´tero aos lados na˜o depende do ponto interno considerado.
11. Determine a maior a´rea que um triaˆngulo pode ter se ele esta´ inscrito
em um c´ırculo de raio R.
12. Na figura 264, ABCDEF e´ um hexa´gono regular. Sobre seus lados
foram constru´ıdos quadrados.
A B
D
C
E
F
G H
I
J
K
L
MN
O
P
Q
R
Fig. 264: Exerc´ıcio 12.
Prove que o pol´ıgono GHIJKLMNOPQR e´ um dodeca´gono regular.
13. (EPUSP-1966) As bases de um trape´zio iso´sceles circunscrito a um
c´ırculo medem 9 cm e 6 cm. Cada um dos outros dois lados do trape´zio
mede:
(a) 4,5 cm (b) 6 cm (c) 7,5 cm (d) 8 cm (e) N.R.A.
CEDERJ 170
Pol´ıgonos regulares
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14. (FUVEST-1989) Os pontos A, B e C sa˜o ve´rtices consecutivos de um
hexa´gono regular de a´rea igual a 6. Qual a a´rea do triaˆngulo ABC ?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d)
√
2 (e)
√
3
15. (COVEST-1991) Se todos os lados de um hepta´gono regular forem
aumentados em 50%, em quanto aumenta a sua a´rea ?
(a) 50% (b) 75% (c) 100% (d) 125% (e) 150%
16. (U.C. SALVADOR-1991) Na figura 265, ABCD e´ um losango e A e´ o
centro do c´ırculo de raio 4 cm.
A
B
C
D
Fig. 265: Exerc´ıcio 16
A a´rea desse losango, em cent´ımetros quadrados, e´:
(a) 4
√
3 (b) 8 (c) 12 (d) 8
√
3 (e) 12
√
3
17. (FESP-1991) Um triaˆngulo equila´teroABC esta´ inscrito em um c´ırculo.
O triaˆngulo e´ interceptado por um diaˆmetro do c´ırculo, formando um
trape´zio, conforme a figura 266.
A
B C
M N
O
P Q
Fig. 266: Exerc´ıcio
A raza˜o entre a a´rea do triaˆngulo ABC e a do trape´zio e´ igual a:
a)
5
4
(b)
9
5
(c)
9
8
(d)
9
4
(e)
8
5
171 CEDERJ
Pol´ıgonos regulares
18. Prove que o pol´ıgono P ′ da f´ıgura 262 e´ regular.
19. Seja Q = A1A2 . . . An um pol´ıgono regular circunscrito a um c´ırculo Γ
e sejam T1, T2, . . . , Tn os pontos em que A1A2, A2A3, . . . , AnA1 tangen-
ciam Γ. Considere um c´ırculo Γ′ conceˆntrico a Γ e sejam T ′1 =
←−−
OT1∩Γ′,
etc. Por T ′1, T
′
2, . . . , T
′
n trace tangentes a Γ
′, obtendo um pol´ıgono
Q′ = B1B2 . . . Bn (veja figura 267).
A
B
A
B
A
B
1
1
 2
2
3
n
 n
A
B
O
1
T
'
2
T
2
T
'
1
T
3
n
T
n
T
'
Fig. 267: Exerc´ıcio
Prove que Q′ e´ tambe´m regular. Se r e r′ sa˜o os raios de Γ e Γ′,
respectivamente, prove que a raza˜o entre a a´rea A de Q e a a´rea de Q′
e´ dada por
A
A′
=
( r
r′
)2
.
Sugesta˜o: Prove que OT1A2 ≡ OT2A2 e OT ′1B2 ≡ OT ′2B2 e conclua
que O,A2, e B2 sa˜o colineares. Da mesma forma sa˜o colineares os
termos O,A3, B3, . . . , O,A1, B1. Use o exerc´ıcio 1 desta aula e a seme-
lhanc¸a entre os triaˆngulos OA1A2 e OB1B2, . . . , OAnA1 e OBnB1 para
provar que OT ′1B2 ≡ OT ′1B1, OT ′2B3 ≡ OT ′2B2, . . . , OT ′nB1 ≡ OT ′nBn.
Lembrando que ja´ sabemos que OT ′nB1 ≡ OT ′1B1, OT ′2B2 ≡ OT ′1B2,
etc, prove que Q′ e´ regular. Para provar que
A
A′
=
( r
r′
)2
, observe que
OA1A2 e´ semelhante a OB1B2, OA2A3 e´ semelhante a OB2B3, etc, com
raza˜o de semelhanc¸a igual a
r
r′
.
CEDERJ 172