T.E CALCULO DE DESLOCAMENTO ATRAVES DO PVT C6

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CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS
ATRAVÉS DO PTV
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Um procedimento prático na aplicação do 
PTV para cálculo de deslocamento é adotar 
Processo da carga unitária para o cálculo de 
deslocamentos
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
PTV para cálculo de deslocamento é adotar 
no estado de carregamento uma “força” 
unitária que age sozinha na estrutura, que 
corresponde ao deslocamento procurado...
2
Para o estado de deslocamento causado 
por carregamento externo pode-se obter as 
deformações com as seguintes expressões:
dub=
Nb
∙dx → Deformação axial 
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
dub=E∙A ∙dx → Deformação axial 
dvb=
c∙Vb
G∙A ∙dx → Deformação transversal
dφb=
Mb
E∙I ∙dx → Deformação angular de flexão
Onde
E → Módulo de elasticidade longitudinal;
G → Módulo de elasticidade transversal;
I → Momento de inércia da seção transversal;
ν → Coeficiente de Poisson;
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
ν → Coeficiente de Poisson;
c → fator de forma;
4
G = E2∙(1+ν) Obs → c = 1,2 para seção transversal retangular
τext = � Na∙dub+� Va∙dvb+
Estr
� Ma∙dφb
EstrEstr
 
τext = τint Voltando na equação do PTV para corpo deformável
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
� �
Estr
� φ
EstrEstr
τext = � Na∙ NbEAdx+� Va∙
c∙Vb
GA dx+Estr
� Ma∙MbEI dxEstrEstr 
Quando a deformação angular de 
flexão existir ela será maior que a 
deformação axial e transversal, por 
isso a deformação axial e transversal 
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
isso a deformação axial e transversal 
poderão ser desprezadas para efeito 
de simplificação do cálculo no caso do 
cálculo manual.
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Quando a deformação angular de 
flexão existir ela será maior que a 
deformação axial e transversal, por 
isso a deformação axial e transversal 
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
isso a deformação axial e transversal 
poderão ser desprezadas para efeito 
de simplificação do cálculo no caso do 
cálculo manual.
7
Os cálculos dos deslocamentos podem 
ser facilitados com o uso da Tabela de 
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
ser facilitados com o uso da Tabela de 
integrais do produto de duas funções:
8
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
CALCULO DE DESLOCAMENTOS
ATRAVÉS DO PTV
Exercício 1
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Exercício 1– Determinar a flecha no meio do vão 
pelo PTV de corpo deformável
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Dados:
E = 2,5E+07 kN/m2
ν = 0,2
c = 1,2 (fator de forma)
Resolução:
A = 0,2⋅0,25 = 0,05 cm2
I=
b∙h3
12 =
0,20∙0,253
12 =2,60416666667E-04 m
4
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
G = 
E
2∙(1+ν) =
2,5E07
2∙(1+0,2) =10416666,666667kN/m
2
EA = 2,5E+07⋅0,05 = 1250000 kN
EI = 2,5E+07⋅2,60416666667E-04 = 6510,666667kNm2
GA = 10416666,666667⋅0,05 = 520833,33333kN
12 12
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
Ma= 0,5⋅x (horário positivo)
Va=+0,5 kN
0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ x ≤ 2
Mb= 40⋅x -10⋅x2 (horário positivo)
Vb = 40 - 20⋅x 
τext = τint 
0
τext = � Na∙ NbEAdx+� Va∙ c∙VbGA dx+
4
0
� Ma∙MbEI dx
4
0
4
0
 
�� 1,2∙0,5(40-20x)2 � 0,5x(40x-10∙x2)2 �
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
RA∙0+HA∙0+RB∙0+1∙f = 2∙ �� 1,2∙0,5(40-20x)GA ∙dx
2
0
+� 0,5x(40x-10∙x2)EI ∙dx
2
0
�
f=2∙ � 1GA� �24 - 12x�dx + 1EI
2
0
� (20x2 - 5x3)dx2
0
� 
f = 2GA� �24 - 12x�dx + 2EI
2
0
� (20x2 - 5x3)dx2
0
 
f = 2GA� �24 - 12x�dx + 2EI
2
0
� (20x2 - 5x3)dx2
0
 
f = 2GA �24x �20 � -12 x
2
2 �20 ��+ 2EI �20 x
3
3 �20 � - 5 x
4
4 �20 �� 
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
f =
2
GA 	24∙2-122
2
2 
+ 2EI 	202
3
3 - 5
24
4 
 
f =
2
GA �24�+ 2EI �33,3333333333� 
f =
2
520833,33333 �24�+ 26510,41666667 �33,3333333333� 
f = 0,00009216 + 0,01024 = 0,01033216m 
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
f = 0,00009216 + 0,01024 = 0,01033216m 
Contribuição 
da cortante
0,89%
Contribuição 
do momento
99,11%
Processo da carga unitária 
Resultado da 
flecha pelo 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
flecha pelo 
programa 
FTOOL
CALCULO DE DESLOCAMENTOS
ATRAVÉS DO PTV
Exercício 2
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Exercício 2 – Calculo da flecha com o uso da 
Tabela de integrais do produto de duas funções
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Dados:
E = 2,5E+07 kN/m2
ν = 0,2
c = 1,2 (fator de forma)
a) Estado de carregamento b) Estado de deslocamento
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
Ma Mb
τext = � Ma∙MbEI dx
4
0
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
Linha 9 * Coluna IV
Obs → Quando as duas figuras estão para o mesmo lado (no 
caso para baixo) o produto fica com sinal positivo.
→ Para lados contrários o produto fica com sinal negativo.
P r o c e s s o d a c a r g a u n i t á r i a 
P
rofa
.
 D
ra
.
 R
o
sile
n
e
 d
e
 F
.
 Vieira
5
P r o c e s s o d a c a r g a u n i t á r i a 
f = 1EI ∙ �L
5
12 ∙F∙G� 
f = 
1
6510,41666667 ∙ �4
5
12 ∙40∙1�=0,01024m 
Processo da carga unitária 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
f = 6510,41666667 ∙ �4 12 ∙40∙1�=0,01024m 
Resultado da flecha 
pelo programa 
FTOOL
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
O processo da carga unitária para o cálculo de deslocamento consiste em:
A adotar no estado de carregamento uma “força” unitária que age sozinha na estrutura, que corresponde ao deslocamento procurado;
B adotar no estado de deslocamento um “deslocamento” unitário que age sozinho na estrutura, que corresponde ao deslocamento procurado;
C adotar no estado de carregamento uma “força” unitária que age em conjunto com as demais cargas na estrutura;
D adotar no estado de deslocamento um “deslocamento” unitário que age em conjunto com as demais cargas na estrutura;
E Nenhuma das anteriores;
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Um procedimento prático na aplicação do PTV para cálculo de deslocamento é conhecido como:
A Processo dos esforços;
B Processo dos deslocamentos;
C Processo da carga unitária;
D Processo das deformações;
E Nenhuma das anteriores;
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Para o estado de deslocamento causado por carregamento externo pode­
se obter as deformações através das expressões da resistência dos materiais. Qual das expressões abaixo representa a deformação angular de flexão:
A (Nb/EA)dx;
B (cVb/GA)dx;
C (Mb/EI)dx;
D (E/2(1+)dx;
E Nenhuma das anteriores;
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Para o estado de deslocamento causado por carregamento externo pode­
se obter as deformaçõesatravés das expressões da resistência dos materiais. Qual das expressões abaixo representa a deformação axial:
A (Nb/EA)dx;
B (cVb/GA)dx;
C (Mb/EI)dx;
D (E/2(1+)dx;
E Nenhuma das anteriores;
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Para o estado de deslocamento causado por carregamento externo pode­
se obter as deformações através das expressões da resistência dos materiais. Qual das expressões abaixo representa a deformação transversal:
A (Nb/EA)dx;
B (cVb/GA)dx;
C (Mb/EI)dx;
D (E/2(1+)dx;
E Nenhuma das anteriores;
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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Analise as assertivas abaixo:
  
I ­ Quando a deformação angular de flexão existir ela será maior que a deformação axial e transversal;
  
II ­ Quando a deformação angular de flexão existir ela não será maior que a deformação axial e transversal;
  
III – Para as treliças a deformação axial será maior que a deformação angular de flexão e transversal;
  
IV ­ A deformação axial e transversal sempre poderão ser desprezadas para efeito de simplificação do cálculo no caso do cálculo manual;
A Apenas I e III estão corretas;
B Apenas a I esta correta;
C Todas as assertivas estão incorretas;
D Apenas I e IV estão corretas;
E Nenhuma das anteriores;
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Seja a tabela abaixo:
 
Para uma viga em balanço de comprimento L com uma carga concentrada P na extremidade livre qual dos produtos de funções abaixo representa o que resultaria na flecha máxima desta viga:
 
A Triângulo x Retângulo;
B Triângulo x Triângulo;
C Triângulo x Trapézio;
D Triângulo x Parábola;
E Nenhuma das anteriores;
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Seja a tabela abaixo:
  Para uma viga em balanço de comprimento L com uma carga concentrada P na extremidade livre qual o produto de funções abaixo que representa a flecha máxima desta viga:
A LFG/2EI;
B LFG/3EI;
C LF2/3EI;
D LG(2F1+F2)/6EI;
E Nenhuma das anteriores;