PROCESSO DOS ESFORÇOS T.E C8

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PROCESSO DOS ESFORÇOS
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Processo dos Esforços
Aplicado à pórticos...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Processo dos esforços
Quando se tem um pórtico uma vez 
hiperestático...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
Processo dos esforços
Para uma estrutura uma vez hiperestática 
retirar apenas um vínculo incógnito:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
Estruturas isostáticas fundamentais possíveis...
Processo dos esforços
Escolheu-se retirar o momento fletor do 
apoio engastado que passa a ser chamada 
de incógnita hiperestática X1...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
≡
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Processo dos esforços
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0
X1 = - 
∆10
δ11
 
d
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Diagrama de momento fletor para problema(0)
P
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
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Diagrama de momento fletor para problema(1)
P
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s
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
Processo dos esforços
Os deslocamentos são calculados através 
do PTV aplicado aos corpos deformáveis 
pelo processo da carga unitária...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11
∆10 e δ11
Processo dos esforços
∆10 = 
1
EI ∙�M1 ∙ M0 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12
Processo dos esforços
Linha 1 * Coluna IV
G F
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
13
G F
Processo dos esforços
δ11 = 1EI ∙�M1 ∙ M1 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 14
δ11 = EI ∙�M1 ∙ M1 dx 
Processo dos esforços
δ11 = 1EI ∙� M1
4
0
∙ M1 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
15
Linha 0*Coluna II + Linha 0*Coluna I 
F F F F 
Processo dos esforços
Equação de 
compatibilidade de deslocamento:
X = - 
∆10
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16
X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Para obter os esforços finais do pórtico 
utiliza-se o momento fletor(incógnita 
hiperestática) encontrada...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17
Processo dos esforços
Quando se tem um pórtico duas vezes 
hiperestático...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18
Processo dos esforços
Para uma estrutura duas vezes hiperestática 
retirar dois vínculos incógnitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19
Estruturas isostáticas fundamentais possíveis...
Processo dos esforços
Escolheu-se retirar o momento fletor do 
apoio engastado que passa a ser chamada 
de incógnita hiperestática X1 e a força 
horizontal no apoio fixo que passa a ser 
chamada de incógnita hiperestática X2...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20
≡
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 21
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22
(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2)
Processo dos esforços
(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 23
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) e (2) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 24
δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10
δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20
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Diagrama de momento fletor para problema(0)
P
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25
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Diagrama de momento fletor para problema(1)
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 26
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Diagrama de momento fletor para problema(2)
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 27
Processo dos esforços
Os deslocamentos são calculados através 
do PTV aplicado aos corpos deformáveis 
pelo processo da carga unitária...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 28
∆10, ∆20, δ11, δ12, δ21 e δ22
Processo dos esforços
∆10 = 
1
EI ∙�M1 ∙ M0 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 29
Processo dos esforços
Linha 1 * Coluna II + Linha 1 * Coluna IV 
G F G F
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
30
G F G F
Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (0):
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 31
Processo dos esforços
Linha 1 * Coluna I + Linha 8 * Coluna I 
G F G F
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
32
G F G F
Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (0):
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 33
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
34
Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna I 
F F F F
Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (1) + 
Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (1):
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 35
Processo dos esforços
Linha 1 * Coluna I + Linha 1 * Coluna I 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 36
Linha 1 * Coluna I + Linha 1 * Coluna I 
G F G F
Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (2) + 
Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (2):
δ12 = δ21 = 
1
EI ∙ �L
1
2 ∙F∙G� +
1
2EI ∙ �L
1
2 ∙F∙G� 
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 37
Processo dos esforços
Linha 0 * Coluna I + Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna II
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
38
Linha 0 * Coluna I + Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna II
F F F F F F
Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (2) + 
Multiplicação da Barra AC do problema (2) com a Barra AC do problema (2) + 
Multiplicação da Barra DE do problema (2) com a Barra DE do problema (2):
Processo dos esforços
Equação de 
compatibilidade de deslocamento:
δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 39
δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10
δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20
Processo dos esforços
Para obter os esforços finais do pórtico utiliza-se 
o momento fletor (incógnita hiperestática X1) e 
força horizontal (incógnita hiperestática X2) 
encontradas...
Ou pode-se utilizar o Princípio de Superposição 
de Efeitos...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
de Efeitos...
40
Processo dos esforços
Generalizando...
Caso se tenha uma estruturas “n” vezes 
hiperestática, adota-se “n” incógnitas 
hiperestáticas X1, X2, ..., Xn definindo uma 
Estrutura Isostática Fundamental... 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 41
Estrutura Isostática Fundamental... 
A aplicação conveniente do Princípio de 
Superposição de Efeitos conduz à equação 
de superposição:
(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) +...+ Xn(n)
Processo dos esforços
Sistemade equações de compatibilidade de 
deslocamentos...
∆1,real = ∆10 + δ11 X1 + δ12 X2 +...+ δ1n Xn
∆ = ∆ + δ X + δ X +...+ δ X
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 42
∆2,real = ∆20 + δ21 X1 + δ22 X2 +...+ δ2n Xn
⋅
⋅
⋅
∆n,real = ∆n0 + δn1 X1 + δn2 X2 +...+ δnn Xn
Processo dos esforços
O sistema de equações de compatibilidade 
de deslocamentos usando a notação 
matricial pode ser escrito:
�δij�∙	Xi
=�∆i,real-∆i0� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 43
� � 	 
 � �
Obs → i indica a incógnita hiperestática
j indica qual o problema 
Processo dos esforços
Exemplo GH=2
δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10
δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20
� δ11 δ12
δ21 δ22
� �X1X2�= 
∆1,real-∆10
∆2,real-∆20
� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 44
�
δ21 δ22
� �X2� 
∆2,real-∆20�
Obs 1 → Os deslocamentos δij são denominados 
coeficientes de flexibilidade e [δij] é a matriz de 
flexibilidade.
Obs 2 → A matriz é simétrica δij = δji, 
portanto δ12 = δ21
Processo dos esforços
Exemplo 1 – Traçar os diagramas de esforço 
normal, esforço cortante e momento fletor.
GH=?
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 1
GH=?
GH=1
Processo dos esforços
Para uma estrutura uma vez hiperestática 
retirar apenas um vínculo incógnito:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Estruturas isostáticas fundamentais possíveis...
Processo dos esforços
Escolheu-se retirar o momento fletor do 
apoio engastado que passa a ser chamada 
de incógnita hiperestática X1...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
≡
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Processo dos esforços
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0
X1 = - 
∆10
δ11
 
d
o
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Diagrama de momento fletor para problema(0)
P
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
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Diagrama de momento fletor para problema(1)
P
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
Processo dos esforços
Os deslocamentos são calculados através 
do PTV aplicado aos corpos deformáveis 
pelo processo da carga unitária...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
∆10 e δ11
Processo dos esforços
∆10 = 
1
EI ·�M1 · M0 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11
Linha 1 * Coluna IV
G F
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
12
Processo dos esforços
δ11 = 1EI ·�M1 · M1 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13
δ11 = EI ·�M1 · M1 dx 
Processo dos esforços
δ11 = 1EI ·� M1
4
0
· M1 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 14
Linha 0*Coluna II + Linha 0*Coluna I 
F F F F 
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
15
Processo dos esforços
Equação de 
compatibilidade de deslocamento:
X1 = - 
∆10
δ11
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
16
Obs → O sinal negativo significa que o sentido adotado 
inicialmente para a incógnita esta errado...
Processo dos esforços
Para obter os esforços finais do pórtico 
utiliza-se o momento fletor(incógnita 
hiperestática) encontrada...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17
Processo dos esforços
Esforços finais
Reações de apoio e Esforço normal
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18
Processo dos esforços
Esforços finais
Esforço cortante
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19
Processo dos esforços
Esforços finais
Momento fletor
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20
Processo dos esforços
Exemplo 2 – Traçar os diagramas de esforço 
normal, esforço cortante e momento fletor.
GH=?
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 1
GH=?
GH=2
Processo dos esforços
Para uma estrutura duas vezes hiperestática 
retirar dois vínculos incógnitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Estruturas isostáticas fundamentais possíveis...
Processo dos esforços
Escolheu-se retirar o momento fletor do 
apoio engastado que passa a ser chamada 
de incógnita hiperestática X1 e a força 
horizontal no apoio fixo que passa a ser 
chamada de incógnita hiperestática X2...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
≡
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2)
Processo dos esforços
(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) e (2) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10
δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20
d
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Diagrama de momento fletor para problema(0)
P
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Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
d
o
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Diagrama de momento fletor para problema(1)
P
r
o
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s
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o
s
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
d
o
s
 
e
s
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o
s
Diagrama de momento fletor para problema(2)
P
r
o
c
e
s
s
o
d
o
s
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
Processo dos esforços
Os deslocamentos são calculados através 
do PTV aplicado aos corpos deformáveis 
pelo processo da carga unitária...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11
∆10, ∆20, δ11, δ12, δ21 e δ22
Processo dos esforços
∆10 = 
1
EI ·�M1 · M0 dx 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13
Linha 1 * Coluna II + Linha 1 * Coluna IV 
G F G F
Processo dos esforços
Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (0):
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
14
Obs 1 → O sinal negativo indica diagramas desenhados em lados 
contrários;
Obs 2 → A multiplicação das demais barras é igual a zero.
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 15
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16
Linha 1 * Coluna I + Linha 8 * Coluna I 
G F G F
Processo dos esforços
Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (0):
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
17
Obs 1 → O sinal negativo indica diagramas desenhados em lados 
contrários;
Obs 2 → A multiplicação das demais barras é igual a zero.
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19
Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna I 
F F F F
Processo dos esforços
Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (1) + 
Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (1):
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
20
Obs 1 → A multiplicação das demais barras é igual a zero.
Processo dos esforços
Profa. Dra.Rosilene de F. Vieira 21
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22
Linha 1 * Coluna I + Linha 1 * Coluna I 
G F G F
Processo dos esforços
Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (2) + 
Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (2):
δ12 = δ21 = 
1
EI · �L
1
2 ·F·G� +
1
2EI · �L
1
2 ·F·G� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
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Obs 1 → A multiplicação das demais barras é igual a zero.
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 24
Processo dos esforços
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25
Linha 0 * Coluna I + Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna II
F F F F F F
Processo dos esforços
Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (2) + 
Multiplicação da Barra AC do problema (2) com a Barra AC do problema (2) + 
Multiplicação da Barra DE do problema (2) com a Barra DE do problema (2):
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
26
Obs 1 → A multiplicação das demais barras é igual a zero.
Processo dos esforços
Equação de 
compatibilidade de deslocamento:
δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10
δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
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Processo dos esforços
Equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
28
Obs → O sinal negativo significa que o sentido adotado 
inicialmente para a incógnita esta errado...
Processo dos esforços
Para obter os esforços finais do pórtico 
utiliza-se o momento fletor (incógnita 
hiperestática X1) e força horizontal 
(incógnita hiperestática X2) encontradas...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 29
Processo dos esforços
Esforços finais
Reações de apoio e Esforço normal
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 30
Processo dos esforços
Esforços finais
Esforço cortante
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 31
Processo dos esforços
Esforços finais
Momento fletor
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 32
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
No processo dos esforços para se obter as estruturas isostáticas fundamentais possíveis quantos vínculos devem ser retirados da estrutura hiperestática:
A Equivalente ao número de apoio engastado;
B Equivalente ao número de apoios fixos;
C Equivalente ao número de apoios móveis;
D Equivalente ao grau de hiperestaticidade da estrutura;
E Nenhuma das anteriores.
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Os vínculos retirados da estrutura hiperestática para transformá­
la numa estrutura isostática fundamental no processo dos esforços passa a chamar­se:
A Incógnitas isostáticas;
B Parâmetro dos esforços;
C Incógnitas hiperestáticas;
D Parâmetro fundamental;
E Nenhuma das anteriores.
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Para a superposição dos efeitos no processo dos esforços é feito a divisão de um problema zero e os demais problemas equivalente ao grau de hiperestaticidade da estrutura. O problema zero representa:
A A estrutura isostática fundamental sem as incógnitas hiperestáticas, mas com o carregamento externo;
B A estrutura isostática fundamental com as incógnitas hiperestáticas, mas com o carregamento externo;
C A estrutura isostática fundamental sem as incógnitas hiperestáticas e sem o carregamento externo;
D A estrutura isostática fundamental com as incógnitas hiperestáticas e sem o carregamento externo;
E Nenhuma das anteriores.
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
No processo dos esforços após encontrado as incógnitas hiperestáticas através das equação de compatibilidade de deslocamento como deve se proceder para obter os esforços finais das estruturas hiperestáticas:
I ­ Para obter os esforços finais da estrutura hiperestática pode­se utilizar as incógnitas hiperestáticas encontradas aplicadas na estrutura isostática fundamental com o carregamento externo;
II ­ Para obter os esforços finais da estrutura hiperestática pode­se utilizar o principio de superposição dos efeitos para o esforço procurado.
III ­  Para obter os esforços finais da estrutura hiperestática pode­se utilizar as incógnitas hiperestáticas encontradas aplicadas na estrutura isostática fundamental sem o carregamento externo;
        
IV ­ Para obter os esforços finais da estrutura hiperestática pode­se utilizar o principio de superposição dos efeitos para o esforço procurado sem o carregamento externo;
A Apenas a I esta correta;
B Apenas a I e II estão corretas;
C A II, III e IV estão incorretas;
D Apenas a II e IV estão incorretas;
E Nenhuma das anteriores;
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
No processo dos esforços os deslocamento devido aos vínculos incógnito é designado por ij. Esses deslocamentos podem ser representado através de uma matriz [ij]. Como se chama essa matriz:
A Matriz de esforço;
B Matriz de deslocamento;
C Matriz de rigidez;
D Matriz de flexibilidade;
E Nenhuma das anteriores.
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Seja o pórtico abaixo:
  
Adotando como incógnita hiperestática o momento fletor no engaste no sentido horário, qual o valor de 10 e 11, respectivamente:
 
A ­50/EI  e  +4/3EI;
B +4/3EI  e  ­50/EI;
C ­4/3EI  e  ­50/EI;
D +50/EI  e  +4/3EI;
E Nenhuma das anteriores.
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Seja o pórtico abaixo:
  
Adotando como incógnita hiperestática o momento fletor no engaste no sentido horário, qual o valor da incógnita hiperestática:
 
A ­27,5kN.m;
B ­37,5kN.m;
C ­47,5kN.m;
D ­57,5kN.m;
E Nenhuma das anteriores.
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Seja o pórtico abaixo:
  
Adotando como incógnita hiperestática o momento fletor no engaste no sentido antihorário e o reação horizontal para direita no apoio fixo, qual o valor de 
 
A +54/EI  e  ­9/EI;
B +9/EI  e  +54/EI;
C ­9/EI  e  +45EI;
D +54/EI  e  +9/EI;
E Nenhuma das anteriores;