CAP 3 SISTEMA POR UNIDADE

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III - 1
Capítulo 33
Sistema Por Unidade
1. OBJETIVO
Este capítulo tem por objetivo descrever de forma preliminar a “ferra-
menta” do sistema por unidade ou sistema pu utilizada na análise dos sistemas
elétricos de potência.
O estudo do sistema pu será complementado durante os capítulos poste-
riores quando serão detalhadas as modelagens dos componentes dos siste-
mas elétricos com vistas aos estudos de fluxo de carga e curto circuito.
2. INTRODUÇÃO
Nos estudos em sistemas elétricos é usual o emprego do sistema por
unidade ou sistema pu. Usando o sistema pu, as grandezas e dados técnicos
não são expressas nos seus valores absolutos e sim como fração de grande-
zas escolhidas como referência denominados valores base.
Examinando de forma superficial o que foi dito no parágrafo anterior, o
sistema pu pode parecer simplesmente um método indireto de exprimir uma
grandeza, contudo, será demostrado, a seguir, que ele introduz uma série de
simplificações nos cálculos envolvendo sistemas elétricos que operam em dife-
rentes níveis de tensão.
Outro fato relevante da aplicação do sistema pu em sistemas elétricos
está em permitir uma avaliação dos valores obtidos para parâmetros e grande-
zas dos diversos componentes do sistema elétrico. Este fato permite identificar
valores irreais calculados, além de possibilitar estimar valores para uma gran-
deza ou variável desconhecida. Uma vez expressa em pu, tendo seus valores
nominais como base, as grandezas e variáveis de um dado componente não
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 2
variam numa faixa muito larga, mesmo para uma ampla faixa de valores nomi-
nais.
Nos sistemas elétricos, por exemplo, a corrente de excitação de um
transformador usualmente está entre 0,01 e 0,05 pu para uma larga faixa de
valores nominais. Sendo assim, quando expressamos a corrente de excitação
de um transformador de 50 KVA em 0,02 pu é relativamente simples identificar
se este valor está coerente com os valores nominais do transformador. Por
outro lado, o valor de corrente de excitação de 5,41 A para o mesmo transfor-
mador de 50 kVA não tem o mesmo significado do valor expresso em pu. Con-
cluindo, é importante salientar que identificar se ocorreu algum engano num
determinado valor de uma grandeza é bem mais simples quando ela é expres-
sa em pu, pois, usualmente, ela varia numa faixa bastante estreita para com-
ponentes com valores nominais muito diferentes.
3. DEFINIÇÃO
O valor por unidade ou valor pu de uma dada grandeza é definido como a
relação entre o valor desta grandeza (denominado valor real) e o valor base da
mesma grandeza, escolhido como referência, ou seja:
 baseValor 
 realValor 
 PU em Valor = [1]
Uma forma alternativa de se exprimir as grandezas de um sistema elé-
trico é o valor percentual, isto é:
100 PU emValor % em Valor ´= [2]
Os valores expressos em pu têm vantagens sobre os valores expressos
em percentuais porque o produto ou quociente de duas grandezas expressas
em pu resulta em outra grandeza também em pu, mas o produto ou quociente
de duas grandezas expressas em por cento deve ser dividida ou multiplicada
por 100 para produzir o resultado final.
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 3
Exemplo 1 : Obtenha as grandezas abaixo em pu e em percentual, assumin-
do como base os valores especificados.
a) V1 = 126 kV, assumindo como valor base 120 kV.
pu 1,05 
120
126
 V1 ==
% 105 100 1,05 V1 =´=
b) I1 = 10 A, assumindo como valor base 50 A.
 pu 2,0
50
10
I1 ==
% 20 100 2,0I1 =´=
4. SISTEMA PU PARA REDES EM REGIME PERMANENTE S E-
NOIDAL
Uma rede é dita em regime permanente senoidal quando todas as ten-
sões e correntes em qualquer ponto desta rede são senóides, podendo ser
assim representadas por fasores.
Será demostrado que tanto para redes monofásicas como para as trifá-
sicas, é suficiente definir apenas duas destas grandezas, ficando todos os de-
mais valores base perfeitamente definidos a partir das relações básicas entre
elas.
Numa rede monofásica em regime permanente senoidal vamos escolher
duas grandezas quaisquer como base: a tensão base VBase e a potência base
SBase . Os demais valores base para as grandezas desta rede podem ser cal-
culadas pelas seguintes equações:
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 4
A corrente base (IBASE) pela equação:
Base
Base
Base
V
S
= I [3]
a impedância base (ZBASE) pela seguinte equação:
Base
2
Base
Base
Base
Base
Base
Base
Base
S
V
 = 
V
S
V
 = 
I
V
 = Z
Base
Base
Base
S
V
Z
2
 = [4]
Finalmente a admitância base ( YBASE) é calculada pela seguinte equação:
2
Base
Base
Base
Base
Base
Base
V
S
V
I
Z
1
 Y ===
 
2
 
Base
Base
Base
V
S
Y = [5]
Numa rede trifásica em regime permanente senoidal existem duas
formas distintas de se definir valores base para empregar-se o sistema pu,
uma a partir da definição de valores por fase como valores base e outra defi-
nindo valores trifásicos como valores base.
Definindo para uma rede trifásica em regime permanente senoidal
como a tensão base uma tensão fase terra VBase e a potência aparente base
uma potência por fase SBase, podemos calcular a corrente base pela seguinte
expressão:
FN
Base
V
S
I
f
==
1
Base
Base
 
V
S
 [6]
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 5
e a impedância base (ZBase) pela seguinte equação :
Base
2
Base
Base
Base
Base
Base
Base
Base
S
V
 = 
V
S
V
 = 
I
V
 = Z
f
=
1
22
 = 
S
V
S
V
Z
FN
Base
Base
Base [7]
Similarmente a admitância base (YBase) pode ser obtida a partir da seguinte
equação:
2
Base
Base
Base
Base
Base
Base
V
S
V
I
Z
1
 Y ===
 
2
1
2
 
FNBase
Base
Base
V
S
V
S
Y
f
== [8]
De forma alternativa, os valores base para uma rede trifásica em re-
gime permanente senoidal podem ser escolhidos a partir de valores de linha.
Definindo a tensão base VBase como uma tensão de linha V3f e a potência
aparente base SBase como a potência trifásica S3f. Podemos calcular a cor-
rente base pela seguinte expressão:
FF
3
Base
Base
 
.V3
S
.V3
S
 
f
==BaseI [9]
A impedância base (ZBase) em ohms por fase é calculada pela se-
guinte equação:
f
f
f
f
f
f
f
=
3
2
3
3
3
3
3
3
Base
Base
 = 
 V3
S 3
V
 = 
I 3
V
 
I
V
= 
S
V
ZBase [10]
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 6
e a admitância base (YBase ) é calculada por :
2
3
3
3
3
Base
Base
V
S
V
I
Z
1
 Y
f
f
f
f
=== [11]
É interessante notar que os valores por unidade das grandezas por
fase são iguais aos valores por unidade das grandezas trifásicas de linha em
um determinado ponto do sistema, quando tomamos como base os respectivos
valores nominais monofásicos e trifásicos das grandezas consideradas. Sendo
assim, o valor por unidade da potência aparente trifásica é igual ao valor por
unidade da potência aparente monofásica em um determinado ponto do siste-
ma, quando tomamos como base o valor da potênciaaparente nominal mono-
fásica e trifásica. Logo, os módulos das grandezas de linha e de fase em pu é:
fpu
1
f
1
f
3
pu v
V
V
V3
V3
V
V
v ====
fff
 [12]
fpu
1
f
1
f
3
pu s
S
S
S3
S3
S
S
s ====
fff
 [13]
fpu
13
pu i
I
I
I
I
i ===
ff
 [14]
pu
13
pu z
Z
Z
Z
Z
z ===
ff
 [15]
É importante destacar que, como os valores base são escalares, o
sistema pu não impõe qualquer restrição às fases, isto é, as grandezas tem o
mesmo ângulo que os valores reais.
Portanto no caso de uma impedância, temos
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 7
jXRZ += [16]
BaseBaseBaseBase
pu
Z
jX
Z
R
Z
jXR
Z
Z
Z +=
+
== [17]
Como, Zpu = Rpu + jXpu , concluímos que
BaseBaseBase ZXR == [18]
Logo, para o sistema pu o valor base da impedância é o mesmo
para a resistência e a reatância.
Procedendo de forma similar, para a potência, temos
jQPS += [19]
pupu
BaseBaseBaseBase
pu jQP
S
jQ
S
P
S
jQP
S
S
S +=+=
+
== [20]
Como, Su = Ppu + jQpu concluímos que
 BaseBaseBase QPS == [21]
Portanto, para o sistema pu, o valor base de potência é o mesmo
para potência ativa, reativa e aparente.
Analisando as expressões [7] e [10], é importante destacar que es-
tas equações são distintas, pois a primeira expressão relaciona valores bases
monofásicos com tensão de fase e potência de fase, enquanto que a segunda
é válida para valores bases trifásicos com tensão de linha e potência total tri-
fásica.
Exemplo 2 : Para um sistema elétrico conhecido, adotando-se como valores
base 50 MVA e 200 W, determine as grandezas a seguir em pu:
a) 200 A, b) 80 mho, c) (20 + 40)j MVA, d) 65 MW, e) 40 MVAR, f)
50 W .
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
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Solução :
Cálculo da tensão base:
 
2
base
base
base
S
V
Z =
kV100101002001050 SZ V 36basebasebase =´=´´=´=
Cálculo da corrente base:
A 68,288
101003
1050
V3
S
I
3
6
base
base
base =
´´
´
==
Cálculo da admitância base:
mho 05,0
200
1
Z
1
Y
base
base ===
Determinação das grandezas dadas em pu :
a) Corrente I = 200 A em pu
pu 69,0
68,288
200
Ipu ==
b) Admitância Y = 80 mho em pu
pu 1600 
05,0
80
Ypu ==
c) Potência aparente S = (20+40j) MVA em pu
pu )8,0j4,0(
50
40j20
 Spu +=
+
=
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 9
d) Potência ativa P = 65 MW em pu
pu 3,1
50
65
Ppu ==
e) Potência reativa Q = 40 MVAR em pu
pu 8,0
50
40
Qpu ==
f) Impedância Z = 50 W em pu
pu 25,0
200
50
Zpu ==
5. EQUAÇÃO DE MUDANÇA DE BASE
Usualmente, os valores de impedância dos equipamentos elétricos são
expressos em pu usando como valores base os seus próprios valores nomi-
nais. Nos sistemas elétricos, a existência de diferentes circuitos com compo-
nentes e equipamentos de diferentes valores nominais, exige a definição de
um conjunto de valores base comuns para todo o sistema elétrico.
A escolha de um conjunto de valores base comuns para o sistema elé-
trico cria a necessidade de se expressar as impedâncias dos equipamentos em
pu neste novo conjunto de valores base através de expressões que realizem a
mudança de base.
De maneira genérica, o problema de mudança de base pode assim ser
descrito: Conhecida a impedância de um componente em pu numa base antiga
ZpuBA, associada aos valores de tensão VBA e potência SBA, podemos determi-
nar a impedância deste componente ZpuBN associados aos valores de base
nova de tensão VBN e potência SBN.
Na base antiga, tem-se:
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
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BA
Componente
puBA
Z
Z
Z = [22]
BApuBAComponente ZZZ ´= [23]
Na base nova, tem-se
BN
Componente
puBN
Z
Z
Z = [24]
BNpuBNComponente ZZZ ´= [25]
Igualando-se as equações [23] e [25], obtém-se
BNpuBNBApuBA ZZZZ ´=´ [26]
BN
2
BN
puBN
BA
2
BA
puBA
S
V
Z
S
V
Z = [27]
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ=
BA
BN
2
BN
BA
puBApuBN
S
S
V
V
ZZ [28]
Na prática, costuma-se usar a equação [28] para mudar a impedância em
por unidade de uma base antiga para uma impedância em por unidade em
uma base nova .
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ=
BaseVelha
nova Base
2
nova Base
velho Base
velho punovo pu
S
S
V
V
ZZ [29]
Exemplo 3 : A impedância de um dado componente, é de 0,25 por unidade
baseado nos dados de placa deste componente que são 13,8 kV,
50 MVA. Obtenha a impedância em pu deste componente nas
bases de 13,2 kV, 100 MVA.
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
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Solução :
î
í
ì
=
=
î
í
ì
=
=
MVA 100 S
kV 20 V
 base valoresNovos
 
 
MVA 50 S
kV 18 V
 oequipament do base Valores
bnova
bnova
bnominal
bnominal
pu 0405,0
500
100
20
18
 0,25 X
2
novo =÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ´=
6. SISTEMA PU PARA SISTEMAS ELÉTRICOS COM TRAN S-
FORMADORES DE POTÊNCIA
A principal vantagem de se empregar o sistema pu na solução de pro-
blemas de análise de sistema de potência está na possibilidade de se evitar
grandezas de um lado para outro de um transformador quando se utiliza o cir-
cuito equivalente em pu de um transformador real.
Os transformadores ideais são transformadores que não apresen-
tam perdas, já que as resistências dos enrolamentos e as perdas no núcleo
não existem. Como a permeabilidade do núcleo é infinita e o fluxo de disper-
são é desprezível, a corrente de excitação é nula.
 Para um transformador ideal, ao qual aplica-se uma tensão variável
no tempo V1 ao enrolamento primário com N1 espiras, devido a permeabilidade
infinita do núcleo, nenhuma corrente necessitará circular no primário para es-
tabelecer o fluxo j no mesmo. Este, por sua vez, deverá ser suficiente para
gerar uma tensão induzida E1 que iguala-se aquela aplicada, quando a resis-
tência do enrolamento é desprezível. Assim
dt
d
NEV 111
j
==
 [30]
Desde que nenhuma dispersão ocorre no núcleo de um transforma-
dor ideal, o mesmo fluxo estará concatenado com as N2 espiras do enrola-
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 12
mento secundário, produzindo neste uma tensão induzida E2, igual à tensão
nos terminais do secundário V2, dada por
dt
d
NEV 222
j
==
 [31]
Figura 1 - Transformador ideal em vazio
Da relação entre as equações [30] e [31], resulta
2
1
2
1
N
N
V
V
=
 [32]
Assim um transformador ideal transforma as tensões na relação di-
reta do número de espiras dos respectivos enrolamentos.
Na Figura 2 está apresentado o transformador ideal com uma carga
conectadanos seus terminais do enrolamento secundário, solicitando uma
corrente I2 , estabelecendo uma fmm N2.I2. Esta fmm produzira um fluxo j2 que
se oporá ao fluxo existente no núcleo. Assim o fluxo líquido no núcleo diminuí-
ra de valor e, com ele, também a tensão induzida E1, perturbando o equilíbrio
presente no circuito primário. Uma corrente será, então, originada neste enro-
lamento com o objetivo de restaurar o fluxo no núcleo ao seu valor original e,
deste modo, elevar a tensão induzida E1 até a equiparação com a tensão apli-
cada.
Este é o modo pelo qual o primário toma conhecimento da presença
de corrente no secundário. Logo, o valor da corrente no primário devera ser tal
que anule o efeito da corrente no secundário, ou seja, deverá produzir uma
fmm igual a aquela estabelecida no secundário
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 13
2211 ININ ·· = [33]
Figura 2 - Trafo ideal em carga
A fmm líquida agindo no núcleo é, portanto, nula, de acordo com a
suposição de que a corrente de excitação ideal é nula. Logo, da equação [33],
deduz–se que
2
1
2
1
N
N
I
I
=
 [34]
 Assim, um transformador ideal transforma as correntes na razão in-
versa do número de espiras nos respectivos enrolamentos.
Figura 3 - Circuito equivalente do trafo ideal em carga
O transformador ideal não exibe perdas, nem tampouco requer po-
tência reativa para magnetização do seu núcleo, portanto a potência de entra-
da no seu enrolamento primário é transferida integralmente para o secundário.
Se as relações de tensão e de corrente obtidas anteriormente são combina-
das, temos que:
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 14
2211 IVIV ·· = [35]
Conclui-se portanto que, num transformador ideal, a potência no
primário iguala-se à potência no secundário.
O circuito equivalente do transformador real apresentado na figura 4
é obtido a partir do modelo definido para o transformador ideal acrescentando-
se ao mesmo os efeitos da resistência e da dispersão dos enrolamentos, bem
como as exigências de potência do núcleo.
Figura 4 - Circuito equivalente de um transformador real
O circuito equivalente dos transformadores reais apresentado na
Figura 4, tem os seguintes parâmetros:
R1 - resistência do enrolamento primário
R2 - resistência do enrolamento secundário
X1 - reatância de dispersão do enrolamento primário
X2 - reatância de dispersão do enrolamento secundário
Bm - susceptância de magnetização
Gp - condutância.
Na Figura 4 estão também indicados as seguintes grandezas: I1 -
corrente do enrolamento primário , I2 - corrente do enrolamento secundário, I0
- corrente de excitação , V1 - tensão aplicada ao terminais do enrolamento pri-
mário e V2 - tensão aplicada nos terminais do secundário.
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 15
No caso dos transformadores de potência para cada um dos enro-
lamentos ou circuitos devemos escolher bases convenientes para evitar
termos que referir grandezas de um circuito para outro.
A escolha destas bases é realizada seguindo as seguintes especifi-
cações:
-- Todos os circuitos têm que ter a mesma potência base em VA,
isto é:
2B1B SS = [36]
SB1 - Potência base do enrolamento ou circuito primário.
SB2 - Potência base do enrolamento ou circuito secundário.
-- Todos os circuitos tem que ter a mesma base de força magnéto-
motriz base:
2B21B1 ININ ·· = [37]
IB1 - Corrente de base no circuito primário
IB2 - Corrente de base no circuito secundário
Da equação [37] temos:
12B
1B
N
N
I
I 2
=
 [38]
A equação [36], nos diz que:
2B1B SS = [39]
2B2B1B1B IV3 IV3 ···· = [40]
Portanto:
2
1
1B
2B
2B
1B
N
N
I
I
V
V
==
 [41]
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 16
Escolhendo os valores base a partir das especificações anteriores
para o transformador ideal, podemos exprimir a corrente no enrolamento pri-
mário em pu, pela seguinte equação:
2B
2
2B
2
1
1
2B
2
1
B1
1
pu1
I
I
I
N
1I
N
N
I
N
I
I
I
I ====
·
·
 [42]
Mas como:
2B
2
pu2
I
I
I =
 [43]
Concluímos que, as correntes primárias e secundárias em pu são
iguais.
pu2pu1 II = [44]
Procedendo de maneira similar, para a tensão no enrolamento primário
do trafo ideal, obtemos:
B2
2
B2
112
2B21
1
B1
1
1pu
V
E
V
NEN
NVN
E
V
E
E =
´
=
´
== [45]
Mas como:
B2
2
2pu
V
E
E = [46]
Concluímos que, as tensões primárias e secundárias em pu são iguais.
pu2pu1 EE = [47]
Para as impedâncias, temos que:
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 17
B1
2
B1
1
B1
1
1pu
S
V
Z
Z
Z
Z == [48]
B2
2
B2
2
B2
2
2pu
S
V
Z
 
Z
Z
 Z == [49]
Referindo Z1 para o lado de BT, usando a relação de transformação,
tem-se
1
2
B1
B2
2 Z
V
V
 Z ÷
ø
ö
ç
è
æ=
 [50]
Substituindo na equação [49], tem-se
1pu
B2
2
B1
1
B2
2
B2
1
2
B1
B2
2pu Z 
S
V
Z
 
S
V
Z
V
V
 Z ==÷
ø
ö
ç
è
æ= [51]
Tpu2pupu1Tpu Z Z ZZ === [52]
Examinando as equações [44], [47] e [52] verifica-se que a necessi-
dade de se referir impedâncias deixa de existir pois em pu o trafo ideal passa
a ter uma relação de transformação de 1:1 tornando dispensável sua repre-
sentação no circuito equivalente do trafo real.
Figura 5 - Circuito equivalente do trafo em pu
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 18
A Figura 5 apresenta o circuito equivalente em pu para o trafo real.
É usual se desprezar a corrente de excitação e o próprio ramo de magnetiza-
ção no circuito equivalente do trafo real pois esta corrente é da ordem de 1 a 2
% da corrente nominal como está apresentado na gfig.
Figura 6 - Circuito Equivalente de um Transformador em pu
Do circuito equivalente em pu apresentado na Figura 6 para o
transformador real, desprezando-se o ramo de magnetização, temos:
pu RRR 21qe += [53]
puX X X 21eq += [54]
Figura 7 - Circuito trafo em pu sem o ramo de magnetização
Finalmente, para transformadores de potência de alguns MVA em
diante, as resistências dos enrolamentos são muito pequenas quando compa-
radas com as reatâncias de curto circuito, sendo também aceitável se adotar
para transformadores nessas condições se utilizar o circuito equivalente apre-
sentado na Figura 8.
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 19
Figura 8 - Circuito equivalente reduzido em pu
A Tabela 1 mostrada abaixo apresenta valores típicos da impedân-
cia de curto circuito de transformador de dois enrolamentos separados.
Tabela 1 - Valores típicos de impedância de curto-circuito
Pnominal(KVA) Z %
P < 630 4,0
630 < P < 1250 5,0
1250 < P < 31506,0
3150 < P < 6300 7,0
6300 < P < 12500 8,0
12500 < P < 25000 10,0
25000 < P < 200000 12,8
Exemplo 4 : Para um transformador trifásico de 2 MVA de 69/230 kV, 5%, de-
termine a impedância no lado de AT e no lado de BT.
Solução
a) impedância no lado de BT
( )
W=
´
´
´=´= 03,119
102
1069
0,05 Z ZZ
6
23
baseBTTpuBT
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 20
b) impedância no lado de AT
( )
W=
´
´
´=Þ´= 1323
102
1023
0,05 Z 
6
23
ATbaseATTpuAT ZZZ
7. VANTAGENS DO SISTEMA PU
Em problemas envolvendo sistemas elétricos, a utilização dos valores por
unidade produz inúmeras vantagens. As mais significativas vantagens do mé-
todo por unidade estão apresentadas a seguir.
· A simplificação dos cálculos, especialmente para sistemas complexos, for-
mados por muitos transformadores, pois não haverá necessidade de pro-
mover a transferência de impedâncias de um lado para outro desses
transformadores, fato que, no cálculo tradicional, torna o procedimento en-
fadonho e sujeito a erros;
· As impedâncias dos transformadores e máquinas elétricas do mesmo tipo e
de valores nominais de tensão e potência muito diferentes, situam-se numa
faixa relativamente estreita, embora seus valores ôhmicos sejam grande-
mente diferentes, permitindo verificar se não foi cometido algum engano
nos parâmetros de um dado equipamento, como também estimar valores
razoavelmente corretos quando não se conhece os parâmetros de um dado
equipamento;
· Em um transformador, o valor da impedância em pu no lado de baixa ou de
alta tensão é o mesmo, ou seja, a impedância pu do transformador é a
mesma, independente do fato de ter sido obtido a partir dos valores ôhmi-
cos referidos nos lados de AT ou de BT do transformador. Assim, apresen-
ta-se um só valor na placa do transformador, evitando apresentar dois valo-
res em ohms. Esta é uma das vantagens da representação pu.
Capítulo 3 - Sistema Por Unidade
III - 21
8. BIBLIOGRAFIA
[1] Kinderman, G. - Curto Circuito
[2] Robba, E. J. – Introdução a Sistemas de Potência
[3] Stevenson, W. D. – Elementos de Analise de Sistemas de Potência
[4] Fitzgerald, A. E. - Máquinas Elétricas
[5] Elgerd, Olle – Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica
[6] Barthold, L. O. – Análise de Circuitos de Sistemas de Potência
[7] Weedy, A. - Sistemas Elétricos de Potência