CAP 9 COMPONENTES SIMÉTRICOS

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IX - 1
Capítulo 99
Método das Componentes
Simétricas
1. OBJETIVO
Este capítulo se destina a apresentar a ferramenta das componentes
simétricas, essencial na solução dos problemas envolvendo desequilíbrio em
sistemas elétricos. O método das Componentes Simétricas foi descoberto por
C. L. Fortescue para solução de circuitos polifásicos desequilibrados e publi-
cado num artigo publicado no AIEE (American Institute of Electrical Engineers)
em 1918 com o título: “ Method of Symmetrical Coordinates Applied to the So-
lution of Polyphase Networks ”.
R. D. Evans empregou em 1925 pela primeira vez o método das com-
ponentes simétricas para solução de problemas de curto circuito em sistemas
elétricos.
Em 1926, R. D. Evans e C. F. Wagner utilizaram pela primeira vez o
método para solução de problemas de estabilidade em sistemas elétricos. No
mesmo ano A. P. Mackerras apresentou em dois artigos a aplicação do método
para cálculo do curto circuito monofásico em sistemas elétricos.
O método das componentes simétricas hoje tem uma extensa lista de
aplicações que vão desde problemas de desequilíbrio envolvendo transforma-
dores de potência até faltas desequilibradas nos terminais de máquinas elétri-
cas. As aplicações do método das componentes simétricas se tornaram tão
usuais que equipamentos foram desenvolvidos baseadas na sua teoria, como
os relés de corrente de seqüência negativa para proteção de máquinas elétri-
cas.
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 2
2. INTRODUÇÃO
O método das componentes simétricas desenvolvido por C. L. Fortes-
cue para solução de circuitos polifásicos desequilibrados, tem o seguinte
enunciado geral:
“Um conjunto de n fasores desequilibrados de uma rede de n-fásica
pode ser substituída por n conjuntos de fasores equilibrados denominados se-
qüência. Cada seqüência é formada por n fasores equilibrados, uma dessas
seqüências é denominada seqüência zero e é formada por n fasores de mes-
mo módulo, direção e sentido. As n -1 seqüências restantes é formada por n
fasores equilibrados defasados do ângulo característico 2p/n numa seqüência
de fase distinta”.
De uma forma algébrica, este enunciado pode ser expresso pelo se-
guinte conjunto de equações:
1nnn3n2n1n0n
1cnc3c2c1c0c
1bnb3b2b1b0b
1ana3a2a1a0a
...FFFFFF
.............................................
...FFFFFF
...FFFFFF
...FFFFFF
-
-
-
-
++++=
=
++++=
++++=
++++=
 [1]
onde, por definição, o fasor Fij é o componente simétrico da seqüência j do fa-
sor Fi.
A escolha das diferentes seqüências de fase é efetuada escolhendo
uma fase como referência e definindo os demais vetores numa dada ordem
cíclica. Os demais fasores componentes de cada seqüência são obtidos giran-
do o fasor de referência do ângulo característico de cada seqüência. Os ân-
gulos característicos para cada seqüência são escolhidos a partir de múltiplos
incrementos do ângulo característico do sistema.
Portanto, a equação [1], rescrita a partir do fasor de referência assume
o seguinte formato:
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 3
1nn
1)è1)(nj(n
n2
1)èj2(n
n1
1)èj(n
n0
j0
n
1dn
2)èj(n
d3
j9è
d2
j6è
d1
j3è
d0
j0
d
1cn
1)èj(n
c3
j6è
c2
j4è
c1
j2è
c0
j0
c
1bn
1)èj(n
b3
j3è
b2
j2è
b1
jè
b0
j0
b
1an
j0
a3
j0
a2
j0
a1
j0
a0
j0
a
.Fe......Fe.Fe.FeF
....................................................................................
.Fe.....Fe.Fe.Fe.FeF
.Fe.......Fe.Fe.Fe.FeF
.Fe.......Fe.Fe.Fe.FeF
.Fe...................Fe.Fe.Fe.FeF
-
-------
-
+----
-
+----
-
-----
-
++++=
=
+++++=
+++++=
+++++=
+++++=
 [2]
O caso particular do enunciado geral de maior utilização é o caso das
redes trifásicas. Para uma rede trifásica, três fasores desequilibrados podem
ser substituídos por três conjuntos de fasores equilibrados denominados se-
qüências. Cada seqüência é formada por três fasores equilibrados. Uma des-
sas seqüências denominada seqüência zero é formada por três fases de mes-
mo módulo, direção e sentido. As duas seqüências restantes são formadas por
três fasores equilibrados defasados de 120o, cada seqüência numa seqüência
de fase distinta. Uma delas, denominada seqüência positiva, tem a mesma se-
qüência de fase dos fasores originais, a outra com seqüência de fase distinta
dos fasores originais é denominada seqüência negativa.
210
210
210
cccc
Bbbb
aaaa
FFFF
FFFF
FFFF
++=
++=
++=
 [3]
A Figura 1 mostra as três seqüências e os componentes simétricos de
cada seqüência .
 == + +
Fa
Fb
Fc
Sequência zero Sequência Positiva Sequência Negativa
Fa0
Fb0
Fc0
Fa1
Fb1Fc1
Fb2
Fc2
Fa2
Figura 1 - Componentes simétricos de um sistema trifásico
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 4
Para o sistema trifásico da Figura 1 os fasores Fa0, Fa1 e Fa2 são os
componentes simétricos dos fasores Fa.
A partir da Figura 1 podemos escrever as seguintes equações, utili-
zando operador a (a = 1 Ð1200 ) descrito no Anexo I:
000 cba FFF == [4]
1
2
1 . ab FaF = [5]
11 . ac FaF = [6]
22 . ab FaF = [7]
2
2
2 . ac FaF = [8]
Substituindo as equações acima na equação [3], teremos:
2
2
10
21
2
0
210
aac
aab
aaaa
.Faa.FFaF
a.F.FaFaF
FFFF
++=
++=
++=
 [9]
Na forma matricial a equação [9] passa a ser rescrita da seguinte for-
ma:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
2
1
0
2
2 .
1
1
111
a
a
a
c
b
a
F
F
F
aa
aa
F
F
F
 [10]
ou ainda numa forma mais compacta:
[ ] [ ][ ]012. FTFABC = [11]
onde [T] é denominada a matriz de Transformação Direta.
Pré-multiplicando ambos os membros pelo inverso da matriz de trans-
formação teremos:
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]01211 ... FTTFT ABC -- = [12]
[ ] [ ] ].[1012 ABCFTF -= [13]
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 5
Expandindo a equação [13], obtemos:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
c
b
a
a
a
a
F
F
F
aa
aa
F
F
F
.
1
1
111
.
3
1
2
2
2
1
0
 [14]
onde a matriz de Transformação Inversa [T]-1 é:
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=-
aa
aaT
2
21
1
1
111
.
3
1
 [15]
3. COMPONENTES SIMÉTRICOS DA TENSÃO
Aplicando o Método dos Componentes Simétricos a um conjunto de
três tensões fase neutro desequilibradas de um sistema elétrico trifásico, ob-
temos:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
c
b
a
a
a
a
V
V
V
aa
aa
V
V
V
.
1
1
111
.
3
1
2
2
2
1
0
 [16]
onde Va0, Va1, Va2 são os componentes simétricosdos fasores desequilibrados.
Analisando a equação [14] e [16] podemos concluir; que sendo a soma
dos fasores tensão de linha num sistema trifásico equilibrado sempre igual a
zero, os componentes de seqüência zero nunca estarão presentes nas tensões
de linha, qualquer que seja o desequilíbrio. Contudo, como a soma dos três
fasores tensão de fase não será necessariamente zero, essas tensões podem
conter componentes de seqüência zero.
4. COMPONENTES SIMÉTRICOS DE CORRENTE
Aplicando o Método dos Componentes Simétricos a um conjunto de
três correntes de linha desequilibradas de um sistema elétrico trifásico, obte-
mos:
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 6
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
c
b
a
a
a
a
I
I
I
aa
aa
I
I
I
.
1
1
111
.
3
1
2
2
2
1
0
 [17]
onde Ia0, Ia1, Ia2 são os componentes simétricos dos fasores desequilibrados.
Analisando a primeira equação do sistema de equações [17] verifica-
mos que:
( )
3
.
3
1
0
neutro
cbaa
I
IIII =++= [18]
Portanto, podemos concluir que, quando não há retorno pelo neutro
num sistema trifásico, In é zero, as correntes de linha não possuirão compo-
nentes de seqüência zero. Uma carga ligada em delta (D) não tem retorno pelo
neutro e, portanto, as correntes que vão para esse tipo de carga não possuem
componentes de seqüência zero.
5. POTÊNCIA EM TERMOS DE COMPONENTES SIMÉTRICOS
Considere um sistema elétrico sendo suprido por tensões e correntes
desequilibradas como está esquematicamente representado na Figura 2.
Sistema
Elétrico
IA
IC
IB
VA
VB
VC
Figura 2 – Sistema elétrico alimentado por correntes e tensões desequili-
bradas
Nesta seção mostraremos que, se forem conhecidos os componentes
simétricos das correntes e tensões que alimentam este sistema elétrico, a po-
tência suprida poderá ser calculada diretamente a partir dos componentes
simétricos.
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 7
A potência complexa total transmitida ao sistema elétrico é expressa
pela seguinte equação:
*.*.*.3 CCBBAA IVIVIVS ++=f [19]
onde VA, VB e VC são tensões em relação ao neutro nos terminais e IA, IB e IC
são as correntes de linha que alimentam o sistema elétrico da Figura 2. O neu-
tro poderá ou não existir.
Em notação matricial, a potência complexa pode ser expressa pela se-
guinte equação:
[ ]
*
A
*
3 ..
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=f
C
B
A
t
C
B
C
B
A
CBA
I
I
I
V
V
V
I
I
I
VVVS [20]
Numa forma compacta, a equação [20] pode ser reescrita como:
[ ] [ ]*3 . ABCtABC IVS =f [21]
Substituindo na equação [21] as expressões para os vetores tensão e
corrente aplicando a equação [10], obtemos:
[ ][ ]{ } [ ][ ]{ }*0120123 ... ITVTS t=f [22]
Da Álgebra Linear conhecemos que a matriz transposta do produto de
duas matrizes A e B é igual ao produto das transpostas das mesmas com or-
dem invertida, isto é: (A.B)t = Bt. At ; analisando a matriz [T]* verificamos que é
igual a 3.[T]-1 , portanto:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]*012012*012*0123 ..3... IVITTVS ttt ==f [23]
Expandindo a equação [23], obtemos:
*).*.*..(3 2211003 IVIVIVS ++=f [24]
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 8
6. IMPEDÂNCIA EM TERMOS DE COMPONENTE SIMÉTRICOS
Considere a rede trifásica passiva apresentada na Figura 3, aplicando
a lei das tensões de Kirchhoff em cada uma das fases, encontramos:
In
ZBB
ZAA
ZCC
ZAB
ZBA
ZCB
ZBC
ZAC
ZCA
ZN
VB
VC
IC
IB
VA
IA IA
IB
IC
In
Figura 3 – Rede trifásica passiva
VA = ZAAIA + ZABIB + ZACIC + ZN(IA + IB + IC)
VB = ZBAIA + ZBBIB + ZBCIC + ZN(IA + IB + IC)
VC = ZCAIA + ZCBIB + ZCCIC + ZN(IA + IB + IC)
Expressando as equações que resultam da aplicação da lei de Kir-
chhoff numa forma matricial, obtemos:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+++
+++
+++
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
C
B
A
NCCNCBNCA
NBCNBBNBA
NACNABNAA
C
B
A
I
I
I
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
V
V
V
. [25]
Reescrevendo a equação [25] numa forma compacta, obtemos:
]].[[][ ABCABCABC IZV = [26]
Aplicando a equação [11] na equação [26] para ambos vetores tensão
e corrente, encontramos:
]].[].[[]].[[ 012012 ITZVT ABC= [27]
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 9
Pré multiplicando ambos os membros da equação [27] pela matriz in-
versa de transformação, resulta em:
]].[].[.[][]].[[][ 01210121 ITZTVTT ABC-- = [28]
ou:
]].[[]]}.[].[.[]{[][ 0120120121012 IZITZTV ABC == - [29]
A matriz [Z012] é denominada matriz interseqüencial, que relaciona as
correntes de seqüência que circulam por um conjunto de impedâncias quando
submetidas a tensões de seqüência. Os termos da diagonal da matriz interse-
qüencial são, respectivamente, as impedâncias próprias de seqüência zero,
positiva e negativa enquanto os termos fora da diagonal principal são as impe-
dâncias mútuas interseqüenciais.
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
222120
121110
020100
012
ZZZ
ZZZ
ZZZ
Z [30]
Realizando o produto de matrizes do segundo membro da equação
[29] obtemos as expressões de todos os componentes da matriz interseqüen-
cial.
[ ]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+++
+++
+++
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
2
2
2
2
012
1
1
111
..
1
1
111
3
1
aa
aa
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
aa
aaZ
NCCNCBNCA
NBCNBBNBA
NACNABNAA
 [31]
Efetuando a multiplicação obtemos:
[ ] [ ] NCABCABCCBBAA ZZZZZZZZ 3.
3
2
.
3
1
00 ++++++= [32]
[ ] [ ]CABCABCCBBAA ZZZZZZZ ++-++= .
3
1
.
3
1
11 [33]
[ ] [ ]CABCABCCBBAA ZZZZZZZ ++-++= .
3
1
.
3
1
22 [34]
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 10
[ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ...
3
1
...
3
1 22
01 ++-++= [35]
[ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ...
3
1
...
3
1 22
10 ++-++= [36]
[ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ...
3
1
...
3
1 22
02 ++-++= [37]
[ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ...
3
1
...
3
1 22
20 ++-++= [38]
[ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ...
3
2
...
3
1 22
12 +++++= [39]
[ ] [ ]CABCABCCBBAA ZaZZaZaZaZZ ...
3
2
...
3
1 22
21 +++++= [40]
Onde:
Z00 - impedância de seqüência zero da rede.
Z11 - impedância de seqüência positiva da rede.
Z22 - impedância de seqüência negativa da rede.
Z10 - impedância mútua entre os circuito de seqüência zero e se-
qüência positiva.
Z01 - impedância mútua entre os circuitos de seqüência positiva e
seqüência zero.
Z20 - impedância mútua entre os circuitos de seqüência zero e
seqüência negativa.
Z02 - impedância mútua entre os circuitos de seqüência negativa e
seqüência zero.
Z12- impedância mútua entre os circuitos de seqüência negativa e
seqüência positiva.
Z21 - impedância mútua entre os circuitos de seqüência positiva e
seqüência negativa.
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 11
Analisando as equações para Z00, Z11 e Z22, podemos concluir que:
1. Independente dos valores das impedâncias da rede passiva apresentada
na Figura 3 (ZAA, ZBB, ZCC, ZBC, ZAB e ZCA), observamos que a impedância
de seqüência positiva é sempre igual à impedância de seqüência negativa.
2211 ZZ = [41]
2. Independente dos valores das impedâncias da rede passiva apresentada
na Figura 3 (ZAA, ZBB, ZCC, ZBC, ZAB e ZCA) observamos que a impedância de
seqüência zero é sempre maior ou igual às impedâncias de seqüência po-
sitiva e negativa.
221100 ZZZ =³ [42]
3. Uma impedância conectada no neutro dos sistemas elétricos não tem influ-
ência nas impedâncias dos circuitos de seqüência positiva e negativa. A
impedância ZN que está no neutro da rede passiva da Figura 3 não está
presente nas equações das impedâncias de seqüência positiva e negativa
(Z11 e Z22).
4. Uma impedância colocada no neutro dos sistemas elétricos é multiplicada
por três e adicionada a impedância de seqüência zero , como pode ser ob-
servado na equação da impedância de seqüência zero Z00 da rede trifásica
passiva da Figura 3.
5. Se a rede trifásica é simétrica, isto é tem impedâncias próprias e mútuas
iguais ZAA = ZBB = ZCC = ZS e ZAB = ZBC = ZCA = ZM, então as impedâncias
mútuas intersequenciais são todas nulas. Portanto, se a rede trifásica é si-
métrica, os circuitos de seqüência são todos desacoplados.
MS ZZZZ -== 2211 [43]
MS ZZZ .200 += [44]
0122120021001 ====== ZZZZZZ [45]
Substituindo as equações [43], [44] e [45] na equação [29], obtemos:
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 12
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
2
1
0
22
11
00
2
1
0
.
00
00
00
A
A
A
A
A
A
I
I
I
Z
Z
Z
V
V
V
 [46]
onde se pode verificar que corrente de seqüência positiva (IA1) só gera ten-
são de seqüência positiva (VA1), corrente de seqüência negativa (IA2) só gera
tensão de seqüência negativa (VA2) e corrente de seqüência zero (Ia0) só
gera tensão de seqüência zero (VA0).
COMPONENTE
VA1
VB1
VC1
IA1
IB1
IC1
Figura 4 - Impedância de seqüência positiva
6. Numa rede passiva simétrica, em qualquer componente, a queda de tensão
provocada por uma corrente de uma dada seqüência depende da impedân-
cia daquele componente naquela seqüência. A impedância de um compo-
nente vista por uma corrente de uma dada seqüência pode ser diferente da
impedância vista por uma corrente de outra seqüência. Definimos impedân-
cia de seqüência positiva de um componente como sendo a relação entre a
tensão de seqüência positiva aplicada a este componente pela corrente de
seqüência positiva que circula por ele com seus terminais curto circuitados,
como está representado esquematicamente na Figura 4 .
1
1
11
A
A
I
V
Z = [47]
7. Da mesma forma, a impedância de seqüência negativa de um componente
é definida como sendo a relação entre a tensão de seqüência negativa
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 13
aplicada a este componente pela corrente de seqüência negativa que cir-
cula por ele com seus terminais curto circuitados, como está representado
esquematicamente na Figura 5 .
COMPONENTE
VA2
VB2
VC2
IA2
IB2
IC2
Figura 5 – Impedância de seqüência negativa
2
2
22
A
A
I
V
Z = [48]
8. Definimos impedância de seqüência zero de um componente como sendo a
relação entre a tensão de seqüência zero aplicada a este componente pela
corrente de seqüência zero que circula por ele com seus terminais curto
circuitados como está representado esquematicamente na Figura 6 .
0
0
00
A
A
I
V
Z = [49]
COMPONENTE
V0
IA0
IB0
IC0
Figura 6 – Impedância de seqüência zero
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 14
As impedâncias de seqüência positiva e negativa de redes simétricas e
passivas são idênticas, porque as impedâncias, de tais circuitos são indepen-
dentes da ordem das fases, desde que as tensões aplicadas sejam equilibra-
das.
Exemplo 1:
Considere a rede passiva apresentada na Figura 7, obtenha as correntes em
cada uma das fases da rede.
1 0o
1 10o
1 20o
2+j3
2+j3
2+j3
1+j2
1+j2
1+j2
j3
Figura 7 - Rede simétrica
Como a rede trifásica é simétrica, os circuitos de seqüência são desa-
coplados, isto é, não existem impedâncias mútuas interseqüenciais. Utilizando
o Método das Componentes Simétricas, a rede passiva pode ser substituída
por três circuitos de seqüência equilibrados mostrados na Figura 8 , na Figura 9
e na Figura 10. As impedâncias de cada circuito de seqüência são obtidas utili-
zando as equações [43] e [44],
Z11
I11
V11
Figura 8 - Circuito de seqüência positiva
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 15
Z22
I22
V22
Figura 9 - Circuito de seqüência negativa
Z00
I00
V00
Figura 10 -- Circuito de seqüência zero
Z11 = (1 + j2) + (2 + j3) = 3 + j5
Z22 = (1 + j2) + (2 + j3) = 3 + j5
Z00 = (3 + j5) + 3.x j3 = 3 + j14
Determinando os componente simétricos dos fasores tensão desequili-
brados, empregando a equação [16], obtemos:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
Ð
Ð
Ð
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
0
0
0
2
2
2
1
0
201
101
01
.
1
1
111
.
3
1
aa
aa
V
V
V
A
A
A
 [50]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-Ð
-Ð
Ð
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
--
-
+
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
0
0
0
2
1
0
110105,0
50095,0
10990,0
099,0036,0
073,0061,0
172,0975,0
.
j
j
j
V
V
V
A
A
A
 [51]
Conhecidas as componentes simétricas das tensões desequilibradas,
as componentes simétricas das correntes podem ser calculadas a partir dos
circuitos equivalentes apresentados na Figura 8, na Figura 9 e na Figura 10
0
0
11
1
1 04,109016,0
53
50095,0
-Ð=
+
-Ð
==
jZ
V
I
A
A [52]
Capítulo 9 - Método das Componentes Simétricas
IX - 16
0
0
22
2
2 04,169018,0
53
50095,0
-Ð=
+
-Ð
==
jZ
V
I
A
A [53]
0
0
00
0
0 9,67069,0
143
10990,0
-Ð=
+
Ð
==
jZ
V
I
A
A [54]
Finalmente, as correntes desequilibradas na rede da Figura 7 podem
ser determinadas utilizando a equação [10]
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-Ð
+Ð
-Ð
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-Ð
-Ð
-Ð
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
0
0
0
0
0
0
2
2
55.162065,0
54,52071,0
92,87082,0
9,67069,0
04,169018,0
04,109016,0
.
1
1
111
aa
aa
I
I
I
C
B
A
 [55]
9. BIBLIOGRAFIA
1. Kinderman, G. - Curto Circuito
2. Wagner, C. F. e R. D.Evans - Symmetrical Components
3. Robba, E. J. - Introdução a Sistemas Elétricos de Potência
4. Clarke Edith – Circuit Analysis of A.C. Power Systems
5. Wildi – Electrical Machines, Drives and Power Systems
6. Stevenson, W. D. – Elementos de Analise de Sistemas de Potência
7. Fitzgerald, A. E. - Máquinas Elétricas
8. Elgerd, Olle – Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica
9. Barthold, L. O. – Análise de Circuitos de Sistemas de Potência