Lista_5Q - Derivadas

Prévia do material em texto

UFPB – CCE N – DEPART AMENT O DE MATEMÁTICA 
CÁL CUL O DIFERENCI AL I 
5 a L I S T A D E E X E R C Í C I O S – P E R Í O D O 2 0 0 7 . 1 
1 . N o s e x e r c í c i o s 1 a ) → 1 e ) , e n c o n t r e a d e r i v a d a d a f u n ç ã o d a d a , u s a n d o a d e f i n i ç ã o . 
1 a ) 1)( 2 += xxf . 1 b ) 32)( xxf = . 1 c ) 5)( 2 −= xxf . 1 d ) xxxf 32)( 2 −= . 
1 e ) 
1
1)( += xxf . 
2 . C o n s i d e r e f d e f i n i d a p o r 
⎩⎨
⎧
>
≤−=
0,2
0,
)(
xpara
xparax
xf . 
a ) C a l c u l e )1(−′f b ) E x i s t e m )0(−′f e )0(+′f ? c ) f é d e r i v á v e l e m 0=x ? 
3 . S e j a f a f u n ç ã o d a d a p o r xxxf +=)( . 
a ) E x i s t e )0(f ′ ? b ) E x i s t e )( xf ′ p a r a 0≠x ? c ) C o m o s e d e f i n e a f u n ç ã o f ′ ? 
4 . N o s e x e r c í c i o s 4 a ) → 4 c ) , i n v e s t i g u e a d e r i v a b i l i d a d e d a f u n ç ã o d a d a n o p o n t o 
i n d i c a d o . 
4 a ) ⎪⎩
⎪⎨⎧ >
≤=
0,
0,)(
2
xparax
xparaxxf ; 0=x . 4 b ) ⎪⎩
⎪⎨⎧ <≤−
<<=
21,12
10,
)(
xparax
xparax
xf ; 1=x . 
4 c ) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<≤+
<<
=
21,)1(
2
1
10,
)(
xparax
xparax
xf ; 1=x . 
5 . E x i s t e a l g u m p o n t o n o q u a l a f u n ç ã o xxy 42 −= n ã o é d e r i v á v e l ? 
6 . S u p o n h a q u e u m a f u n ç ã o f s e j a d e r i v á v e l e m 1=x e q u e ( ) 51lim
0
=+
h
hf
ha
. 
Q u a n t o v a l e m )1(f e )1(f ′ ? 
7 . S u p o n h a q u e f s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l e m R , s a t i s f a z e n d o =+ )( baf +)( af 
babf 5)( + , ∀ ∈ba , R . S e ( ) 3lim
0
=
h
hf
ha
, d e t e r m i n e )0(f e )( xf ′ . 
8 . E n c o n t r e o v a l o r d e a e o d e b , d e m o d o q u e a f u n ç ã o ⎪⎩
⎪⎨⎧ >+
≤=
1,
1,3)(
2
xsebxa
xsexxf s e j a 
d e r i v á v e l e m 1=x . 
9 . N o s e x e r c í c i o s 9 a ) → 9 c ) , d e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s t a n g e n t e e n o r m a l a o 
g r á f i c o d e f , n o p o n t o c u j a a b s c i s s a é f o r n e c i d a . 
9 a ) 3/2)( xxf = , 8=x . 9 b ) 4/3)( −= xxf , 16=x . 9 c ) xxf =)( , 3=x . 
1 0 . Q u a l é a e q u a ç ã o d a r e t a t a n g e n t e à p a r á b o l a 2xy = , c o m i n c l i n a ç ã o 8−=m ? 
 F a ç a u m g r á f i c o . 
 
1 1 . Q u a l é a e q u a ç ã o d a r e t a n o r m a l à c u r v a 
6
3xy −= , c o m i n c l i n a ç ã o 
9
8=m ? 
1 2 . S e y é a f u n ç ã o d a d a p o r 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−−
≥−=
2,2
2,2
xparax
xparax
y , e n c o n t r e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s 
t a n g e n t e e n o r m a l a o g r á f i c o d e y , n o p o n t o d e a b s c i s s a 2=x . 
1 3 . D e t e r m i n e a e q u a ç ã o d a r e t a q u e t a n g e n c i a o g r á f i c o d a f u n ç ã o 2xy = e é p a r a l e l a à 
r e t a 24 += xy . 
1 4 . V e r i f i q u e q u e a r e t a t a n g e n t e a o g r á f i c o d a f u n ç ã o 
x
xf 1)( = , n o p o n t o d e a b s c i s s a 
a , i n t e r c e p t a o e i x o X n o p o n t o )0,2( a . 
1 5 . D e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s h o r i z o n t a i s q u e s ã o t a n g e n t e s a o g r á f i c o d a f u n ç ã o 
12
23
)(
23
−−+= xxxxg . 
1 6 . C o n s i d e r e a f u n ç ã o f d e f i n i d a p o r ⎪⎩
⎪⎨⎧ >
≤=
1,2
1,)(
2
xpara
xparaxxf . 
 a ) E s b o c e o g r á f i c o d e f . b ) f é c o n t í n u a e m 1=x ? c ) f é d e r i v á v e l e m 1=x ? 
1 7 . R e p i t a o e x e r c í c i o a n t e r i o r , c o n s i d e r a n d o a g o r a a f u n ç ã o f d e f i n i d a c o m o 
⎪⎩
⎪⎨⎧ >
≤=
1,1
1,)(
2
xpara
xparaxxf . 
1 8 . C o n s i d e r e a f u n ç ã o xxxf =)( , d e f i n i d a p a r a t o d o x e m R . 
a ) E x i s t e )0(f ′ ? b ) D e t e r m i n e )( xf ′ p a r a 0<x e p a r a 0>x . 
c ) E s b o c e o g r á f i c o d e f e o d e f ′ . 
1 9 . S e 22 1 uxy +−= e 
1
1
−
+=
x
xu , c a l c u l e 
xd
yd . 
2 0 . S e 
1
1
−
+=
x
xy , v e r i f i q u e q u e 2)1(
2
2
=−
xd
ydx
xd
yd . 
2 1 . S u p o n h a q u e )( txx = s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l e m R . S e 
1
1
2 += xy , v e r i f i q u e q u e , 
∈∀ t R , t e m - s e 
td
xdyx
td
yd 22−= . 
2 2 . S u p o n h a q u e )( txx = s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l a t é a s e g u n d a o r d e m . S e 3xy = , 
v e r i f i q u e q u e 
2
2
2
2
2
2
36
td
xdx
td
xdx
td
yd +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= . 
2 3 . S a b e n d o - s e q u e 
3
1)1(,3)2(,2)1( −=−′−==− gfg e 6)2( =′f , d e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s 
d a s r e t a s t a n g e n t e e n o r m a l à c u r v a ))(()( xgfxh = , e m 1−=x . 
2 4 . S e [ ] )()()( 33 xfxfxh += , c a l c u l e )2(h′ , s a b e n d o q u e 7)2(,1)2( =′= ff e q u e 
3)8( −=′f . 
2 5 . U s e a R e g r a d a C a d e i a p a r a m o s t r a r q u e a d e r i v a d a d e u m a f u n ç ã o p a r é u m a f u n ç ã o 
í m p a r e q u e a d e r i v a d a d e u m a f u n ç ã o í m p a r é u m a f u n ç ã o p a r . 
2 6 . C a l c u l e a d e r i v a d a d e p r i m e i r a o r d e m d e c a d a u m a d a s f u n ç õ e s a b a i x o . 
2 6 a ) 2ln
x
y +π= 2 6 b ) 42 50
3
1
4
1 x,xxy −+−= 2 6 c ) 33 2
11
xxx
y −= 
2 6 d ) 
x
x
y −
+=
1
1
 2 6 e ) xarcsenxy = 2 6 f ) ( )
2
12 xarctgxx
y
−+= 
2 6 g ) xcosey x= 2 6 h ) 
x
xlnxln
x
y −+= 21 2 6 i ) ( ) 523 xseny −= 
2 6 j ) xcosxy 352 += 2 6 k ) 
5
23 xcosxseny −= 2 6 l ) xexy x += 
2 6 m ) ( )xearccosy = 2 6 n ) ( ) ( )xtgxcosxseny +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+= 53 2 6 o ) ( )( )xcos xcosy 21 21 −+= 
2 6 p ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+=
x
xarctgy
1
1
 2 6 q ) ( )xsenlny = 2 6 r ) ( )xlnlnxlny −= 2 
2 7 . V e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o xexy −= é s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o yxyx )1( −=′ . 
2 8 . V e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o 
xlnx
y
++
=
1
1 é s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o ( )1−=′ xlnyyyx . 
2 9 . S e a e b s ã o c o n s t a n t e s q u a i s q u e r , v e r i f i q u e q u e a f u n ç ã o xx ebeay 2−− += é 
s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o 023 =+′+′′ yyy . 
3 0 . S e n é u m n ú m e r o n a t u r a l , q u a l é a d e r i v a d a d e o r d e m n d a f u n ç ã o ( ) nbaxy += ? 
3 1 . N o s e x e r c í c i o s 3 1 a ) → 3 1 f ) , e n c o n t r e 
xd
yd e m c a d a u m a d a s e q u a ç õ e s q u e , 
i m p l i c i t a m e n t e , d e f i n e m y c o m o f u n ç ã o d e x . 
3 1 a ) yxy +=3 3 1 b ) 1+=+ yyx 3 1 c ) x
y
x
yx
y =+− 
3 1 d ) 14 =ysenxcos 3 1 e ) =yx cotg ( )yx 3 1 f ) yxyx 21 += 
3 2 . D e t e r m i n e a s e q u a ç õ e s d a s r e t a s t a n g e n t e e n o r m a l à c i r c u n f e r ê n c i a 2522 =+ yx , n o 
p o n t o ( )430 ,P = . 
3 3 . M e s m a q u e s t ã o a n t e r i o r , c o n s i d e r a n d o a g o r a a h i p é r b o l e 1
916
22
=− yx e ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
4
950 ,P . 
3 4 . S u p o n h a q u e f s e j a u m a f u n ç ã o d e r i v á v e l e m s e u d o m í n i o D e q u e , p a r a t o d o x e m 
D , s a t i s f a ç a ( ) ( )[ ] 4=+ xfsenxfx . 
S e ( )[ ] 0≠+ xfcosx , m o s t r e q u e ( ) ( ) ( )[ ]xfcosx
xf
xf
+
−=′ .