Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Primeira Lista de Exerc´ıcios de SMA304-A´lgebra Linear 27.08.2008 1. Considere o conjunto V = { (x1, x2) | x1, x2 ∈ R }. Dados (x1, x2), (y1, y2) ∈ V e λ ∈ R, defina as seguintes operac¸o˜es: (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, 0) e λ · (x1, x2) = (λx1, λx2). (V,+, ·) e´ um espac¸o vetorial sobre R? Justifique sua resposta. 2. Considere o conjunto V = { (x1, x2) | x1, x2 ∈ R }. Mostre que (V,+, ·) na˜o e´ um espac¸o vetorial sobre R em relac¸a˜o a cada uma das seguintes operac¸o˜es + e · dadas por: (a) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) e λ · (x1, x2) = (λx1, x2). (b) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1, x2) e λ · (x1, x2) = (λx1, λx2). (c) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 − y1, x2 + y2) e λ · (x1, x2) = (λ2x1, λ2x2). 3. Discuta se R2 e´ um subespac¸o vetorial de R3. 4. Quais dos seguintes conjuntos W sa˜o subespac¸os vetoriais de Rn? Justifique sua resposta. (a) W = { (x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 ∈ Z }. (b) W = { (x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 = 0 }. (c) W = { (x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 e´ irracional }. 5. Quais dos seguintes conjuntos de func¸a˜o sa˜o subespac¸os de F(R)? Justifique sua resposta. (a) Todas as func¸o˜es f tais que f(x2) = f(x)2. (b) Todas as func¸o˜es f tais que f(0) = f(1). (c) Todas as func¸o˜es f tais que f(−3) = 2 + f(1). (d) W = { f : R→ R | f(x) > 0 para todo x ∈ R }. (e) W = { f : R→ R | f(1) = 2f(5) }. 6. Seja V o espac¸o vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem n. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em V sa˜o subespac¸os vetoriais de V ? Justifique sua resposta. (a) Todas as matrizes A invers´ıveis. (b) Todas as matrizes A na˜o invers´ıveis. (c) Todas as matrizes A de V tais que AB = BA, onde B ∈ V e´ uma matriz fixada. (d) Todas as matrizes A de V tais que A2 = A. (e) Todas as matrizes A diagonais. (f) Todas as matrizes A tais que det(A) = 0. 7. Defina Vp = { f : R→ R | f e´ uma func¸a˜o par } e Vi = { f : R→ R | f e´ uma func¸a˜o ı´mpar }. (a) Mostre que Vp e Vi sa˜o subespac¸os vetorias de F(R). (b) Mostre que F(R) = Vp ⊕ Vi. 8. Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre R. Considere o conjunto U×V . Dados (u1, v1), (u2, v2) ∈ U×V e λ ∈ R, defina as seguintes operac¸o˜es: (u1, v1) + (u2, v2) = (u1 + u2, v1 + v2) e λ · (u1, v1) = (λu1, λv1). Mostre que (U × V,+, ·) e´ um espac¸o vetorial sobre R. 9. Os polinoˆmios p1(x) = 5 + 9x+ 5x2 e p2(x) = 2 + 6x2 esta˜o no subespac¸o gerado pelos polinoˆmios 2 + x+ 4x2, 1− x+ 3x2, 3 + 2x+ 5x2? Justifique sua resposta. 10. Sejam U = { (x, y, z) ∈ R3 | x = z }, V = { (x, y, z) ∈ R3 | x = y = 0 } e W = { (x, y, z) ∈ R3 | x+ y + z = 0 }. (a) Mostre que U , V e W sa˜o subespac¸os de R3. (b) Mostre que U + V = R3, U +W = R3 e W + V = R3. Em algum caso a soma e´ direta? Justique sua resposta. 11. (a) Mostre que o subcojunto de Mn×n(R) formado pelas matrizes anti-sime´tricas e´ um subespac¸o vetorial de Mn×n(R). (b) Mostre que o subcojunto de Mn×n(R) formado pelas matrizes sime´tricas e´ um subespac¸o vetorial de Mn×n(R). (c) Mostre que Mn×n(R) e´ soma direta dos subespac¸os das matrizes sime´tricas e anti-sime´tricas. 12. Mostrar que os conjuntos { sen2 t, cos2 t, sen t cos t } e { 1, sen 2t, cos 2t } geram o mesmo subespac¸o vetorial de C(R). 13. (a) Mostre que o conjunto dos nu´meros complexos C com as operac¸o˜es usuais e´ um espac¸o vetorial sobre R. (b) Mostre que os nu´meros complexos 2 + 3i e 1− 2i geram o espac¸o vetorial C. 14. Verificar se as seguintes matrizes geram o espac¸o vetorial M2×2(R):( 1 0 0 1 ) , ( 1 1 0 0 ) , ( 0 0 1 1 ) , ( 0 1 2 1 ) . 15. Mostre que os polinoˆmios 1, 1− x, (1− x)2, (1− x)3 geram P3(R). 16. Considere os seguintes vetores de R3: (−1, 0, 1) e (3, 4,−2). Determine um sistema de equac¸o˜es lineares homogeˆneas para o qual o espac¸o soluc¸a˜o seja exatamente o subespac¸o gerado por esses vetores. 17. Determine os geradores para cada um dos seguintes subespac¸os de R3: (a) U = { (x, y, z) ∈ R3 | x− 2y = 0 }. Intreprete geometricamente. (b) V = { (x, y, z) ∈ R3 | x+ z = 0 e x− 2y = 0 }. Intreprete geometricamente. (c) W = { (x, y, z) ∈ R3 | x+ 2y − 3z = 0 }. Intreprete geometricamente. (d) U ∩ V . Intreprete geometricamente. (e) V +W . Intreprete geometricamente. 18. Consideremos uma mola (que supomos sem massa) suspensa verticalmente tendo sua extremidade superior presa num suporte r´ıgido. Fixamos um corpo de massa m na outra extremidade da mola. Suponha que este corpo seja deslocado verticalmente a par- tir da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio e, em seguida, liberado. O movi- mento y deste corpo, a partir da posic¸a˜o de equil´ıbrio, e´ dado por uma func¸a˜o da forma: y(t) = λ1 cosωt+ λ2 senωt, (?) onde ω ∈ R e´ uma constante que depende da mola e da massa do corpo. Mostre que para um ω ∈ R fixo, o conjunto de todas as func¸o˜es descritas em (?) e´ um espac¸o vetorial sobre R. y ? 19. Dado o circuito E I - R C ±°²¯ L onde R e´ a resisteˆncia, I e´ a corrente, L e´ a indutaˆncia, E e´ a forc¸a eletromotriz e C e´ a capacitaˆncia, sabe-se que a queda de potencial atrave´s da capacitaˆncia C e´ Q/C, onde Q e´ a carga no capacitor. Aplicando a Lei de Kirchhoff (a queda total de potencial no circuito deve ser contrabalanceada pela forc¸a eletromotriz apli- cada) e sabendo que I = dQ dt , pode ser mostrado que a corrente num instante t qualquer e´ dada pela equac¸a˜o diferencial: L d2Q dt2 +R dQ dt + 1 C Q = E. (?) (a) O conjunto das func¸o˜es que satisfazem a equac¸a˜o diferencial (?) e´ um espac¸o vetorial sobre R? Justifique sua resposta. (b) O conjunto das func¸o˜es que satisfazem a equac¸a˜o diferencial L d2Q dt2 +R dQ dt + 1 C Q = 0 e´ um espac¸o vetorial sobre R? Justifique sua resposta. Segunda Lista de Exerc´ıcios de SMA304-A´lgebra Linear 1. Sejam M 6= 0 uma matriz sime´trica e N 6= 0 uma matriz anti-sime´trica em M3(R). Mostre que M e N sa˜o l.i. 2. Determinar m e n para que os conjuntos de vetores dados abaixo sejam l.i. em R3. (a) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1,m, 3)} (b) {(1, 3, 5), (2,m+ 1, 10)} (c) {(m, 2, n), (3,m+ n,m− 1)} 3. Mostre que o conjunto de vetores A = {1, x, x2, 2 + x + 2x2} de P3(R) e´ l.d. e que qualquer subconjunto de A, com treˆs elementos e´ l.i.. 4. Mostrar que se o conjunto {u, v, w} de vetores de um espac¸o vetorial V for l.i., o mesmo acontecera´ com {u+ v, u+ w, v + w}. 5. Mostre que os subconjuntos do R3 W1 = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x− 3y + 4z = 0} W2 = {(x, y, z) ∈ R3 | 3x+ 2y − 5z = 0} Sa˜o subespac¸os vetoriais. Quais suas dimenso˜es? Ache um vetor v ∈W1 ∩W2, v 6= −→0 . 6. Sejam u1 = (1, 3, 5) e u2 = (2, 4,−3) vetores de R3. Determine os valores de k para os quais (2, 7, k) pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de u1 e u2. 7. Sejam A ∈ Mn(R) e u1, u2, . . . , ur vetores coluna n × 1. Mostre que se Au1, Au2, . . . , Aur sa˜o vetores l.i., enta˜o u1, u2, . . . , ur sa˜o l.i.. 8. Seja V o espac¸o das func¸o˜es de R em R. Mostre que f, g, h ∈ V sa˜o l.i., onde f(t) = sen(t), g(t) = cos(t) e h(t) = t. 9. Considere os seguintes subespac¸os de R3 S = [(1,−1, 2), (2, 1, 1)] T = [(0, 1,−1), (1, 2, 1)] U = {(x, y, z) | x+ y = 4x− z = 0} V = {(x, y, z) | 3x− y − z = 0} Determine as dimenso˜es de (a) S (b) T (c) U (d) V (e) S + T (f) S ∩ T (g) T + U (h) T ∩ U . 10. Determinar uma base e a dimensa˜o do espac¸o soluc¸a˜o de cada um dos sistemas lineares homogeˆneos (a) 2x− 2y + z = 0 3x− y + 3z = 0 3y + 4z = 0 (b) x− y = 0 2x− 3y = 0 3x− 12y = 0 11. Sejam U e W os seguintes subespac¸os de R4 U = {(a, b, c, d) | b− 2c+ d = 0} W = {(a, b, c, d) | a = d, b = 2c} Ache uma base e a dimensa˜o de (a) U (b) W (c) U ∩W (d) U +W . 12. Determinar uma base de R4 que contenha os vetores (1, 1, 1, 1), (2, 1, 2, 1). 13. Mostre que se V = W1 ⊕W2, α = {v1, v2, . . . , vk} e´ uma base de W1 e β = {w1, w2, . . . , wr} e´ uma base de W2, enta˜o γ = {v1, v2, . . . , vk, w1, w2, . . . , wr} e´ uma base de V . 14.Verifique que o espac¸o vetorial P(R) dos polinoˆmios com coeficientes em R, na˜o pode ser gerado por um nu´mero finito de elementos. 15. Ache uma base e a dimensa˜o do subespac¸o W de P(R) gerado pelos polinoˆmios (a) u = t3 + 2t2 − 2t+ 1, v = t3 + 3t2 − t+ 4, w = 2t3 + t2 − 7t− 7. (b) u = t3 + t2 − 3t+ 2, v = 2t3 + t2 + t− 4, w = 4t3 + 3t2 − 5t+ 2. 16. Se U e W sa˜o dois subespac¸os de V tais que U ⊕W = V , dizemos que U e´ suplementar (ou complementar) de W (ou W e´ suplementar de U). (a) Determinar um suplementar de { (x, y, z)) ∈ R3 | x− y = 0 }. (b) O mesmo para { (x, y, z, t)) ∈ R4 | x− y = z − t = 0 }. 17. Sejam U e W subespac¸os de R4 de dimensa˜o 2 e 3 respectivamente. Mostre que a dimensa˜o de U ∩W e´ pelo menos 1. O que ocorre se a dimensa˜o de U ∩W for 2? Pode ser 3? 18. Sejam U e W sa˜o dois subespac¸os de um espac¸o de dimensa˜o n. Suponha que dimU > n/2 e dimW > n/2. Mostre que U ∩W 6= ∅. 19. Seja V = {x ∈ R | x > 0 } e considere em V as seguintes operac¸o˜es: u+ v = uv e α · u = uα. (a) O conjunto B = {1} e´ uma base para V ? Justifique sua resposta. (b) Determine uma base e a dimensa˜o de V . 20. (a) Determinar as coordenadas de p(x) = x2 em relac¸a˜o a` base { 1, 2− x, 2 + x+ x2 } de P2(R). (b) Determinar as coordenadas de 1− 2i ∈ C em relac¸a˜o a` base C = { 1− i, 1 + i }. 21. Sejam B = { (1, 0), (0, 1) }, B1 = { (−1, 1), (1, 1) } e B2 = { ( √ 3, 1), ( √ 3,−1) } bases de R2. (a) Quais as coordenadas do vetor (3, 2) em relac¸a˜o a` base B? E em relac¸a˜o a B1 e a B2? (b) Encontre: a matriz de mudanc¸a da base B para a base B1; a matriz de mudanc¸a da base B1 para a base B2 e a matriz de mudanc¸a da base B para a base B2. (c) Existe alguma relac¸a˜ entre as matrizes encontradas em (b)? 22. Se B e´ uma base de um espac¸o vetorial V , qual e´ a matriz de mudanc¸a da base B para a base B? 23. Seja V o espac¸o das matrizes 2× 2 triangulares superiores. Sejam B = {( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 0 1 )} e C = {( 1 0 0 0 ) , ( 1 1 0 0 ) , ( 1 1 0 1 )} duas bases de V . (a) Encontre as coordenadas de ( 1 2 0 4 ) em relac¸a˜o a`s base B e a` base C. (b) Encontre: a matriz de mudanc¸a da base B para a base C e a matriz de mudanc¸a da base C para a base B. 24. A matriz de mudanc¸a de uma base B do R2 para a base { (1, 1), (0, 2) } desse mesmo espac¸o e´( 1 0 2 3 ) . Determine B. 25. A matriz de mudanc¸a da base { 1 + x, 1− x2 } para uma base C ambas do mesmo subespac¸o de P2(R) e´ ( 1 2 1 −1 ) . Determine C.
Compartilhar