Introdução à Analise Funcional

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Introduc¸a˜o a` Ana´lise Funcional
Espac¸os com produto interno e o problema de Sturm-Liouville
Hamilton Prado Bueno
Universidade Federal de Minas Gerais
Departamento de Matema´tica
A
minhas filhas
Franciele e Lilian
Suma´rio
1 Espac¸os de Banach 1
1.1 Normas e espac¸os normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Aplicac¸o˜es lineares contı´nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Espac¸os localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 O completamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Alguns espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1 Espac¸os de aplicac¸o˜es lineares contı´nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Espac¸o de func¸o˜es integra´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.3 Espac¸os Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.4 Espac¸os `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Somabilidade em espac¸os normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Espac¸os com produto interno 17
2.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Geometria dos espac¸os pre´-hilbertianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Projec¸o˜es ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Bases em espac¸os pre´-hilbertianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Base de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 O teorema de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Se´ries de Fourier em L2([0,1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Operadores lineares compactos 37
3.1 Definic¸o˜es e propriedades ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 O operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 O espectro dos operadores hermitianos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 A alternativa de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Operadores de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 O problema de Sturm-Liouville 53
4.1 Definic¸o˜es e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 A func¸a˜o de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Autovalores do problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
i
ii SUMA´RIO
4.4 Desenvolvimento em autofunc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 A func¸a˜o de Green generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Capı´tulo 1
Espac¸os de Banach
Nesse Capı´tulo introduzimos a noc¸a˜o de espac¸o de Banach e estudamos algumas propriedades elemen-
tares de espac¸os normados. Nosso objetivo na˜o e´ o estudo da teoria de espac¸os de Banach - o que e´
feito nos cursos de Ana´lise Funcional - mas sim contrastar esses espac¸os com os espac¸os de Hilbert,
que sera˜o apresentados no pro´ximo Capı´tulo.
1.1 Normas e espac¸os normados
Denotaremos por R+ o intervalo [0,∞) ⊂ R e por K o corpo dos reais ou o dos complexos.
Exemplo 1.1.1 Seja X um conjunto arbitra´rio (voceˆ pode supor que X 6= ∅). Denotamos por FK o
conjunto de todas as func¸o˜es f : X → K. Esse conjunto e´ um espac¸o vetorial com as definic¸o˜es
habituais da soma f + g e do produto por escalar λf , sendo f, g ∈ FK e λ ∈ K. Esse espac¸o tem
dimensa˜o infinita quando X for um conjunto infinito (veja o exercı´cio 1). �
Exemplo 1.1.2 Seja ` o conjunto de todas as sequ¨eˆncias (xn) de elementos do corpo K. Esse espac¸o
vetorial de dimensa˜o infinita e´ um caso particular do exemplo anterior, uma vez que uma sequ¨eˆncia
nada mais e´ do que uma func¸a˜o com domı´nio N. �
Exemplo 1.1.3 Se X e´ um conjunto arbitra´rio, seja
B(X,K) := {f : X → K : f(X) e´ limitado}.
Esse conjunto e´ um subespac¸o do espac¸o vetorial FK. No caso particular em que X = N (estamos
assim no exemplo 1.1.2) temos o espac¸o `∞ de todas as sequ¨eˆncias limitadas. �
Exemplo 1.1.4 Seja P o conjunto de todos os polinoˆmios com coeficientes em K. Esse e´ um espac¸o
vetorial de dimensa˜o infinita com a soma de polinoˆmios e a multiplicac¸a˜o de um polinoˆmio por um
escalar definidas como habitualmente. �
Definic¸a˜o 1.1.5 Seja X um espac¸o vetorial sobre o corpo K. Uma norma sobre X e´ uma aplicac¸a˜o
‖ · ‖ : X → R+ que satisfaz
(i) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ para todo x ∈ X e todo λ ∈ K;
1
2 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS DE BANACH
(ii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para quaisquer x, y ∈ X (desigualdade triangular).
(iii) ‖x‖ = 0⇒ x = 0,
Dizemos enta˜o que o espac¸o X e´ um espac¸o normado. Quando considerarmos diversas normas no
mesmo espac¸o X , denotaremos (X, ‖ · ‖j) para especificarmos que estamos munindo X com a norma
‖ · ‖j .
Exemplo 1.1.6 Consideremos o espac¸o vetorial B(X,K), apresentado no exemplo 1.1.3. Se X 6= ∅,
defina
‖f‖∞ = sup
x∈X
|f(x)|.
´E fa´cil verificar que ‖ · ‖∞ e´ uma norma nesse espac¸o. Em particular, se X = N (veja exemplo 1.1.2)
temos o espac¸o `∞ de todas as sequ¨eˆncias limitadas:
‖(xn)‖∞ = sup
n∈N
|xn|.
�
Exemplo 1.1.7 Seja a, b ∈ R, com a < b. Denotaremos I = [a, b]. Consideremos o espac¸o vetorial de
dimensa˜o infinita
C1(I,R) = {f : [a, b]→ R : f ∈ C1}.
Nesse espac¸o podemos considerar a norma
‖f‖C1 = max
t∈[a,b]
|f(t)|+ max
t∈[a,b]
|f ′(t)| = ‖f‖∞ + ‖f ′‖∞.
Voceˆ seria capaz de definir outra norma nesse espac¸o?
Podemos facilmente generalizar esse exemplo e considerar o espac¸o normado Ck(I,R) (qual e´ a
adaptac¸a˜o da norma ‖ · ‖C1 para esse espac¸o?). �
1.2 Aplicac¸o˜es lineares contı´nuas
Se X e Y sa˜o espac¸os vetoriais arbitra´rios, nem toda aplicac¸a˜o linear T : X → Y e´ contı´nua. Para
mostrarmos esse fato, comec¸amos com a caracterizac¸a˜o das aplicac¸o˜es lineares contı´nuas:
Teorema 1.2.1 SejamX e Y espac¸os normados e T : X → Y uma aplicac¸a˜o linear. Sa˜o equivalentes
as propriedades:
(i) T e´ contı´nua na origem;
(ii) sup
|x|=1
‖Tx‖ = M <∞ (T e´ limitada);
(iii) existe C > 0 tal que ‖Tx‖ ≤ C‖x‖ para todo x ∈ X;
(iv) T e´ contı´nua.
1.3. ESPAC¸OS LOCALMENTE COMPACTOS 3
Demonstrac¸a˜o: A linearidade de T imediatamente nos garante que (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i). Para mostrar
(i) ⇒ (ii), suponhamos (ii) falsa. Enta˜o, para cada n ∈ N∗, existe yn ∈ X tal que ‖yn‖ = 1 e
‖Tyn‖ ≥ n. Definindo xn = yn/n, temos que xn → 0, enquanto ‖Txn‖ ≥ 1, contradizendo (i).
Finalmente, (ii) ⇒ (iii), pois, se x 6= 0, enta˜o x/‖x‖ tem norma 1 e, portanto ‖T (x/‖x‖)‖ ≤ M .
Mas enta˜o ‖Tx‖ ≤M‖x‖. 2
Exemplo 1.2.2 SejaK[t] o espac¸o vetorial de todos os polinoˆmios (com coeficientes emK) na varia´vel
t. Para p ∈ K[t], definimos
‖p‖ = sup
t∈[0,1]
|p(t)|.
O Teorema Fundamental da ´Algebra garante que ‖ · ‖ e´ uma norma em K[t]. Definimos agora T :
K[t] → R por T (p) = p(2). Claramente T e´ linear. Mostraremos que T e´ descontı´nua no polinoˆmio
p = 0. De fato, tomando � = 1/2, consideremos o polinoˆmio pn := (t/2)n. Claramente ‖pn − 0‖ =
1/2n, mas |T (pn)− 0| = |T (pn)| = 1. �
1.3 Espac¸os localmente compactos
Definic¸a˜o 1.3.1 Suponhamos que‖ · ‖0 e ‖ · ‖1 sejam duas normas sobre o espac¸o X . Dizemos que
‖ · ‖0 e´ mais fina que a norma ‖ · ‖1 e escrevemos ‖ · ‖0 � ‖ · ‖1 toda vez que a aplicac¸a˜o identidade
I : (X, ‖ · ‖0)→ (X, ‖ · ‖1)
e´ contı´nua. Dizemos que duas normas ‖ ·‖0 e ‖ ·‖1 sa˜o equivalentes se, simultaneamente, sa˜o va´lidas
‖ · ‖0 � ‖ · ‖1 e ‖ · ‖1 � ‖ · ‖0.
A continuidade da aplicac¸a˜o identidade I e´ caracterizada pelo Teorema 1.2.1. Se ‖ · ‖0 � ‖ · ‖1, note
que todo aberto em (X, ‖ · ‖1) tambe´m e´ aberto em (X, ‖ · ‖0).
Proposic¸a˜o 1.3.2 Sejam ‖ · ‖0 e ‖ · ‖1 duas normas no espac¸o X . Enta˜o sa˜o equivalentes as duas
afirmac¸o˜es:
(i) ‖ · ‖0 � ‖ · ‖1;
(ii) existe uma constante κ tal que, para todo x ∈ X , ‖x‖0 ≤ κ‖x‖1.
Demonstrac¸a˜o: A aplicac¸a˜o identidade I : (X, ‖ · ‖0) → (X, ‖ · ‖1) e´ contı´nua se, e somente se,
‖x‖1 ≤ κ‖x‖0, de acordo com o exercı´cio 8. 2
O seguinte corola´rio e´ consequ¨eˆncia imediata da proposic¸a˜o anterior:
Corola´rio 1.3.3 Duas normas ‖ · ‖0 e ‖ · ‖1 num espac¸o vetorial X sa˜o equivalentes se, e somente se,
existem constantes κ > 0 e ` > 0 de modo que
κ‖x‖0 < ‖x‖1 ≤ `‖x‖0.
Lema 1.3.4 Seja X um espac¸o vetorial me´trico de dimensa˜o finita. Um conjunto K ⊂ X e´ compacto
se, e somente se, for limitado e fechado.
4 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS DE BANACH
Demonstrac¸a˜o: Como X tem dimensa˜o finita, X e´ isomorfo a Kn para algum n. Seja T : Kn → X
um isomorfismo. Se y = (y1, . . . , yn) ∈ Kn, consideramos em Kn a norma
‖y‖∞ = max
1≤i≤n
|yi|
e, no espac¸o X , a norma
‖x‖0 = ‖T−1x‖∞.
(Note que isso implica, em particular, que sempre podemos definir uma norma num espac¸o vetorial de
dimensa˜o finita).
Com essas normas T : (Kn, ‖ · ‖∞) → (X, ‖ · ‖1) e´ uma isometria linear e, portanto, o mesmo
acontece com T−1. Em outras palavras, T e´ um homeomorfismo1 linear.
Seja K ⊂ X um conjunto limitado e fechado. Como T e´ contı´nua, T−1(K) e´ fechado. Como
T−1 e´ contı´nua, T−1(K) e´ limitado. Assim, T−1(K) ⊂ Kn e´ um compacto. Como T e´ contı´nua,
T (T−1(K)) = K e´ um compacto.
Reciprocamente, num espac¸o me´trico todo conjunto compacto e´ limitado e fechado. (Veja o
exercı´cio 9). 2
Proposic¸a˜o 1.3.5 Todas as normas num espac¸o vetorial X de dimensa˜o finita sa˜o equivalentes.
Demonstrac¸a˜o: Seja v1, . . . , vn uma base do espac¸o X e x = x1v1 + . . . + xnvn. Vamos mostrar que
qualquer norma ‖ · ‖0 e´ equivalente a` norma ‖ · ‖∞, definida por
‖x‖∞ = max
1≤i≤n
|xi|.
De fato, se ` := ‖v1‖0 + . . .+ ‖vn‖0, temos, para todo x ∈ X ,
‖x‖0 = ‖x1v1 + . . .+ xnvn‖0 ≤
n∑
i=1
|xi| ‖vi‖ ≤ `‖x‖.
Isso mostra que a aplicac¸a˜o (X, ‖ · ‖∞)→ R+ dada por x 7→ ‖x‖0 e´ contı´nua, atingindo, portanto, um
mı´nimo κ no conjunto compacto S := {x ∈ X : ‖x‖∞ = 1}. Temos que κ > 0, pois ‖ · ‖0 e´ uma
norma. Assim, se 0 6= x ∈ X , temos (x/‖x‖∞) ∈ S e∥∥∥∥ x‖x‖∞
∥∥∥∥
0
≥ κ ⇔ κ‖x‖∞ ≤ ‖x‖0,
concluindo a demonstrac¸a˜o da equivaleˆncia das normas ‖ · ‖∞ e ‖ · ‖0. 2
Corola´rio 1.3.6 Sejam X e Y espac¸os normados de dimensa˜o finita. Toda aplicac¸a˜o linear T : X →
Y e´ contı´nua.
Demonstrac¸a˜o: Se v1, . . . , vn e´ uma base de X , enta˜o Tx =
∑n
i=1 xiTvi e, portanto, ‖Tx‖ ≤ `‖x‖1,
em que ` := max1≤i≤n ‖Tvi‖ e ‖x‖1 :=
∑n
i=1 |xi|. A afirmac¸a˜o decorre enta˜o da Proposic¸a˜o 1.3.5. 2
1Ou seja, uma aplicac¸a˜o contı´nua com inversa contı´nua
1.3. ESPAC¸OS LOCALMENTE COMPACTOS 5
Corola´rio 1.3.7 Se X e´ um subespac¸o vetorial de dimensa˜o finita de um espac¸o normado, enta˜o X e´
completo e localmente compacto (isto e´, bolas fechadas sa˜o compactas).
Demonstrac¸a˜o: Decorre do Lema 1.3.4 que X e´ localmente compacto. Se T : X → Kn e´ um
isomorfismo, T e´ contı´nuo e tem inversa contı´nua, de acordo com o Corola´rio 1.3.6. Logo, (xn) e´ uma
sequ¨eˆncia de Cauchy de X se, e somente se, (Txn) e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy de Kn. Isso garante
que X e´ completo. 2
Definic¸a˜o 1.3.8 Um espac¸o de Banach e´ um espac¸o normado completo, isto e´, toda sequ¨eˆncia de
Cauchy nesse espac¸o e´ convergente.
Espac¸os de Banach de dimensa˜o infinita diferem bastante de nossa concepc¸a˜o usual do espac¸o Kn.
Por exemplo, dado um subespac¸o fechado Y de um espac¸o de Banach X , na˜o necessariamente existe
um ponto x ∈ B1(0) ⊂ X tal que d(x, Y ) = 1 (veja o exercı´cio 11). Temos, entretanto,
Proposic¸a˜o 1.3.9 Seja Y ⊂ X um subespac¸o fechado de um espac¸o normado X , com Y 6= X . Enta˜o,
dado � > 0, existe x� ∈ X , com ‖x�‖ = 1, tal que dist (x�, Y ) > 1− �.
Demonstrac¸a˜o: Escolha arbitrariamente x ∈ X tal que x 6∈ Y . Seja δ := dist (x, Y ) > 0. Dado
� > 0, escolha y0 ∈ Y tal que δ ≤ ‖x− y0‖ ≤ δ(1 + �). Definimos enta˜o
x� :=
x− y0
‖x− y0‖ .
Vale ‖x�‖ = 1 e, para todo y ∈ Y ,
‖y − x�‖ =
∥∥∥∥y + y0 − x‖x− y0‖
∥∥∥∥ = 1‖x− y0‖
∥∥∥∥y‖x− y0‖+ y0 − x∥∥∥∥
≥ δ‖x− y0‖ ≥
δ
δ(1 + �)
> 1− �.
(A primeira desigualdade decorre de dist (x, Y ) ≥ δ e y‖x− y0‖+ y0 ∈ Y ; a segunda, do desenvol-
vimento de Maclaurin de (1 + z)−1). 2
Corola´rio 1.3.10 (F. Riesz) Um espac¸o normado X e´ localmente compacto se, e somente se, for de
dimensa˜o finita.
Demonstrac¸a˜o: “⇒” Suponhamos que X na˜o tenha dimensa˜o finita. Tome 0 < � < 1. A aplicac¸a˜o da
Proposic¸a˜o 1.3.9 garante enta˜o a existeˆncia de uma sequ¨eˆncia xn ∈ X , com ‖xn‖ = 1 e ‖xn − xm‖ >
1 − � para m 6= n. De fato, escolha x1 com norma unita´ria e, supondo escolhidos indutivamente
x2, . . . , xn, defina Y como o espac¸o vetorial de dimensa˜o finita gerado por x1, . . . , xn. Tome enta˜o o
vetor unita´rio xn+1 ∈ X com dist (xn+1, Y ) > 1 − �. Enta˜o ‖xn+1 − xm‖ ≥ dist (xn+1, Y ) > 1 − �
para m = 1, . . . , n. Como a sequ¨eˆncia assim escolhida na˜o possui subsequ¨eˆncia convergente, vemos
que B1(0) ⊂ X na˜o e´ compacta (veja exercı´cio 3). As propriedades de invariaˆncia por translac¸a˜o e
homotetia garantem que o mesmo acontece com qualquer bola fechada.
“⇐” ´E a afirmac¸a˜o do Corola´rio 1.3.7. 2
6 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS DE BANACH
1.4 O completamento
Definic¸a˜o 1.4.1 Seja (X, ‖ · ‖) um espac¸o normado. Definimos o completamento de X como um par
(X˜, φ) consistindo de um espac¸o de Banach (X˜, ‖ · ‖0) e uma aplicac¸a˜o linear
φ : X → X˜,
tal que φ preserva a norma, isto e´,
‖ϕ(x)‖0 = ‖x‖, ∀ x ∈ X,
e φ(X) e´ denso em X˜ .
Teorema 1.4.2 Todo espac¸o normado (X, ‖ · ‖) possui um u´nico completamento.
Heuristicamente, nada e´ mais natural do que pensar que o completamento de X sera´ o pro´prio
espac¸o X unido ao conjunto dos pontos limites das sequ¨eˆncias de Cauchy. O problema e´ que estes
pontos limites ainda na˜o esta˜o definidos! Para defini-los, temos que considerar uma sequ¨eˆncia de
Cauchy como algo intrinsecamente ligado ao “ponto” para o qual ela vai convergir. Mas isto coloca um
outro problema, de fa´cil resoluc¸a˜o: podemos ter duas sequ¨eˆncias convergindo para o mesmo “ponto”!;
igualamos estas sequ¨eˆncias ao definirmos uma relac¸a˜o de equivaleˆncia: duas sequ¨eˆncias pertencem
a uma mesma classe se seus elementos se aproximam arbitrariamente - isto e´, se convergem para o
mesmo “ponto”. Tal procedimento permite pensar em cada “ponto” como uma sequ¨eˆncia de Cauchy,
e vice-versa. ´E o que faremos na demonstrac¸a˜o seguinte.
Demonstrac¸a˜o: Defina
X∗ := {ξ = (xj) : (xj) e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy em X}.
Em X∗ definimos a relac¸a˜o de equivaleˆncia:
(xj) ∼ (yj)⇔ lim
j→∞
‖xj − yj‖ = 0.
(No contexto de ana´lise matema´tica e´ usual denotar a relac¸a˜o ∼ por =). Consideremos o espac¸o
quociente X˜ := X∗/ ∼. Em outras palavras, considere a partic¸a˜o de X∗ gerada por esta relac¸a˜o de
equivaleˆncia. Denotaremos [ξ] a classe de equivaleˆncia de ξ = (xk). Assim, se (yk) e (zk) sa˜o dois
representantes da classe [ξ], enta˜o limk→∞ ‖yk − zk‖ = 0. O conjunto X˜ e´ o conjunto das classes de
equivaleˆncia (disjuntas) de X∗.
Definimos enta˜o
[ξ] + [η] = [xj + yj] e c[ξ] = [cξ].
´E claro que X˜ e´ um espac¸o vetorial com essas operac¸o˜es. Em X˜ definimos‖ [ξ] ‖0 := lim
j→∞
‖xj‖.
Temos que ‖ · ‖0 esta´ bem definida (lembre-se que toda sequ¨eˆncia de Cauchy e´ limitada!) e que
(X˜, ‖ · ‖0) e´ um espac¸o normado. (Mostre!).
1.5. ALGUNS ESPAC¸OS DE BANACH 7
Seja φ : X → X˜ definida por φ(x) = [γ], em que γ = (x), a sequ¨eˆncia com todos os termos iguais
a x. ´E claro que φ preserva normas. Ale´m disto,
[ξ] = lim
n→∞
φ(xn).
Isto mostra que φ(X) e´ denso em X˜ .
Resta provar que X˜ e´ completo. Para isto, considere uma sequ¨eˆncia de Cauchy ([ξ]n) de elementos
de X˜ . (Cada elemento [ξ]n e´ representado por uma sequ¨eˆncia de Cauchy (xni ) de elementos de X).
Para cada n existe xn ∈ X tal que ‖ [ξ]n − φ(xn) ‖0 < 1/n, pois φ(X) e´ denso em X˜ . Afirmamos que
a sequ¨eˆncia (xn) assim formada e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy em X . De fato, temos
‖xn − xm‖ = ‖φ(xn)− φ(xm)‖0 ≤ ‖φ(xn), [ξ]n‖0 + ‖ [ξ]n − [ξ]m‖0 + ‖ [ξ]m − φ(xm)‖0,
provando que (xn) e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy em X . Seja ξ = (xn). Afirmamos que ([ξ]n) converge
a [ξ]. De fato, dado � > 0, temos
‖ [ξ]n − [ξ] ‖0 ≤ ‖ [ξ]n − φ(xn)‖0 + ‖φ(xn)− [ξ] ‖0 < 2�
para n suficientemente grande. Isto mostra que X˜ e´ completo. Quanto a` unicidade, veja o exercı´cio
18. 2
Espac¸os de Banach sa˜o muitas vezes construı´dos por meio do Teorema 1.4.2 e uma das construc¸o˜es
usuais do conjunto dos nu´meros reais tambe´m e´ feita por esse processo. Os espac¸os Lp da teoria da
integrac¸a˜o (veja a pro´xima sec¸a˜o) podem ser obtidos por esse processo. A grande dificuldade na
utilizac¸a˜o do Teorema 1.4.2 na construc¸a˜o dos espac¸os Lp consiste em identificar os elementos do
completamento (que sa˜o, em u´ltima instaˆncia, sequ¨eˆncias de Cauchy) com verdadeiras func¸o˜es. Para
ilustrar esse tipo de construc¸a˜o dos espac¸os Lp, veja, por exemplo, [1] e [11].
1.5 Alguns espac¸os de Banach
1.5.1 Espac¸os de aplicac¸o˜es lineares contı´nuas
Sejam X, Y espac¸os normados. Denotamos L(X, Y ) o espac¸o das aplicac¸o˜es lineares contı´nuas de X
para Y . Nesse conjunto, dado T ∈ L(X,Y ), definimos
‖T‖ := sup
‖x‖≤1
‖Tx‖.
Verifica-se facilmente que L(X, Y ) e´ um espac¸o vetorial normado. Denotamos X ′ = L(X,K) o
espac¸o dual de X e L(X) = L(X,X).
Quando Y e´ um espac¸o completo, temos que L(X, Y ) e´ um espac¸o de Banach (veja exercı´cio 15).
1.5.2 Espac¸o de func¸o˜es integra´veis
Seja C0([a, b],K) o espac¸o vetorial das func¸o˜es contı´nuas f : [a, b]→ K.
8 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS DE BANACH
Nesse conjunto, definimos a norma2
‖f‖L1 :=
∫
Ω
|f(x)|dx.
Denotamos C0L1([a, b],K) o espac¸o vetorial C0([a, b],K) com a norma ‖ ·‖L1 Uma vez que esse espac¸o
na˜o e´ completo (veja exercı´cio 17), consideramos o completamento desse espac¸o com a norma ‖ · ‖L1 .
Esse espac¸o completo sera´ denotado L1 = L1([a, b]).
Pode-se mostrar que o conjunto L1 e´ constituı´do por (classes de equivaleˆncia) de func¸o˜es f :
[a, b]→ R, com a identificac¸a˜o f = g se f e g diferem apenas num conjunto de medida nula, denotado
por f = g q.t.p.3 (veja as refereˆncias [15], [16], [18]).
Da mesma forma que acontece na passagem dos racionais para os reais, as func¸o˜es em L1 que
podemos explicitamente integrar sa˜o basicamente aquelas que integra´vamos nos cursos de Ca´lculo4. A
importaˆncia do espac¸o L1 deve-se a` riqueza de suas operac¸o˜es com limites.
1.5.3 Espac¸os Lp
Seja 1 < p <∞. Para f ∈ C0([a, b],K), definimos
‖f‖Lp =
(∫ b
a
|f(x)|pdx
)1/p
.
Definimos tambe´m
‖f‖L∞ = ‖f‖∞ = sup
x∈[a,b]
|f(x)|.
A desigualdade de Minkowsky 1.5.4(que nada mais e´ do que a desigualdade triangular no caso de
‖ · ‖Lp) garante que ‖ · ‖Lp e´ uma norma se 1 < p <∞. Mostraremos mais abaixo essa desigualdade.
Com a norma ‖ ·‖Lp , denotamos o espac¸o vetorial em C0([a, b],K) por CLp([a, b],K). Esse espac¸o na˜o
e´ completo. O seu completamento e´ o espac¸o Lp([a, b]). Em geral, para os nossos propo´sitos, podemos
considerar o espac¸o CLp([a, b],K) ao inve´s do espac¸o Lp([a, b]).
A definic¸a˜o do espac¸o L∞([a, b]) na˜o sera´ abordada nesse curso. Tambe´m esse e´ um espac¸o de
Banach completo, mas ele na˜o surge como completamente de C0([a, b],K) com a norma ‖ · ‖L∞ .
1.5.4 Espac¸os `p
Consideremos o espac¸o ` considerado no exemplo 1.1.2. Em ` definimos
‖(xn)‖p =
( ∞∑
n=1
|xn|p
)1/p
,
2A integral denota a integral de Riemann dos cursos de Ca´lculo.
3Um conjunto U ⊂ [a, b] tem medida nula se, dado � > 0, existe uma colec¸a˜o enumera´vel de intervalos abertos de raio
δi (isto e´, do tipo (c− δi, c+ δi)) que cobre o conjunto U e tem comprimento total menor ou igual a �. O exemplo ba´sico
e´ o conjunto Q dos racionais em [0, 1]: tome uma enumerac¸a˜o {q1, . . . , qn, . . .} desses racionais, considere os intervalos
(qi − �/2i, qi + �/2i), que cobrem Q. A soma total dos comprimentos desses intervalos e´ justamente �, mostrando que Q
tem medida nula.
4Note que so´ operamos explicitamente com nu´meros racionais; a soma
√
2 + pi representa um nu´mero real com uma
se´rie de propriedades:
√
2 + pi = pi+
√
2, tem inverso, possui raiz n-e´sima, pode ser aproximado por racionais, etc. Mas a
soma
√
2 + pi na˜o pode ser, na pra´tica, efetuada...
1.5. ALGUNS ESPAC¸OS DE BANACH 9
em que 1 ≤ p <∞.
Denotamos por `p o conjunto de todas as sequ¨eˆncias (xn) tais que ‖(xn)‖p < ∞. Considerando
tambe´m o espac¸o `∞ definido no exemplo 1.1.6, obtemos os espac¸os `p.
Afirmamos que os espac¸os `p sa˜o espac¸os de Banach. Para provarmos essa afirmac¸a˜o comec¸amos
com
Definic¸a˜o 1.5.1 Dado 1 ≤ p ≤ ∞, denotaremos p′ o elemento de [1,∞] tal que
1
p
+
1
p′
= 1.
Dizemos enta˜o que p e p′ sa˜o expoentes conjugados.
Lema 1.5.2 Desigualdade de Young
Para todo a, b ≥ 0 vale:
ab ≤ 1
p
ap +
1
p′
bp
′
.
Demonstrac¸a˜o: Basta considerar o caso a > 0 e b > 0. Usando a concavidade da func¸a˜o logaritmo5,
obtemos
ln(ab) = ln a+ ln b =
1
p
ln ap +
1
p′
ln bp
′ ≤ ln
(
1
p
ap +
1
p′
bp
′
)
.
A afirmac¸a˜o e´ obtida ao se tomar a exponencial em ambos os lados. 2
Teorema 1.5.3 (Desigualdade de Ho¨lder) Considere expoentes conjugados p, p′ ∈ [1,∞]. Enta˜o
vale:
(i) se x ∈ `p e y ∈ `p′ , enta˜o
∞∑
n=1
|xnyn| ≤
( ∞∑
n=1
|xn|p
)1/p( ∞∑
n=1
|yn|p′
)1/p′
se 1 < p <∞ e, se p = 1,
∞∑
n=1
|xnyn| ≤
( ∞∑
n=1
|xn|
)
sup
n∈N∗
|yn|.
(ii) Dados f, g ∈ C0([a, b],C), enta˜o ‖fg‖L1 ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lp′ , isto e´, se 1 < p <∞,∫ b
a
|f(x)g(x)|dx ≤
(∫ b
a
|f(x)|pdx
)1/p(∫ b
a
|g(x)|p′dx
)1/p′
e, se p = 1, ∫ b
a
|f(x)g(x)|dx ≤
(∫ b
a
|f(x)|dx
)
sup
x∈[a,b]
|g(x)|.
5Um subconjunto A ⊂ R e´ convexo se, dados x, y ∈ A, enta˜o tx + (1 − t)y ∈ A para todo 0 ≤ t ≤ 1. Uma func¸a˜o
f : A→ IR e´ convexa se
f(tx+ (1− t)y) ≤ tf(x) + (1− t)f(y).
Se a desigualdade contra´ria se verifica, dizemos que a func¸a˜o e´ coˆncava. Verifique que a func¸a˜o logaritmo ln : (0,∞)→ R
e´ coˆncava!
10 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS DE BANACH
Demonstrac¸a˜o: (i) O caso p = 1 e´ evidente. Da mesma forma, podemos supor x 6= 0 e y 6= 0.
Aplicando a desigualdade de Young aos pares
an :=
|xn|
‖x‖p e bn :=
|yn|
‖y‖p′ (n = 1, . . . , n)
obtemos
|xnyn|
‖x‖p‖y‖p′ ≤
1
p
|xn|p
‖x‖pp +
1
p′
|yn|p′
‖x‖p′p′
.
Somando membro a membro todas as desigualdades obtidas, vem
∞∑
n=1
|xnyn|
‖x‖p‖y‖p′ ≤
1
p‖x‖pp
∞∑
n=1
|xn|p + 1
p‖x‖p′p′
∞∑
n=1
|xn|p′ = 1
p
+
1
p′
= 1.
(ii) O resultado e´ evidente para p = 1 ou p = ∞. Para 1 < p < ∞, o resultado e´ o´bvio se f ≡ 0
ou g ≡ 0. Defina enta˜o
a(x) :=
|f(x)|
‖f‖Lp e b(x) :=
|g(x)|
‖f‖Lp′
.
Aplicando a desigualdade de Young, segue-se
|f(x)g(x)|
‖f‖Lp‖g‖Lp′
≤ 1
p
|f(x)|p
‖f‖pLp
+
1
p′
|g(x)|p′
‖g‖p′
Lp
′
.
O resultado e´ obtido integrando essa desigualdade em [a, b]. 2
Teorema 1.5.4 (Desigualdade de Minkowsky)
Sejam p ∈ [1,∞] e p′ seuexpoente conjugado. Enta˜o
(i) Para quaisquer x, y ∈ `p, temos ‖x+ y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p;
(ii) Para quaisquer f, g ∈ C0([a, b],C), temos ‖f + g‖Lp ≤ ‖f‖Lp + ‖g‖Lp .
Demonstrac¸a˜o: (i) Para p = 1 ou p = ∞ a demonstrac¸a˜o e´ evidente. Se 1 < p < ∞ e x, y ∈ `p,
afirmamos inicialmente que x + y ∈ `p. De fato, se x = (xn) e y = (yn), vale para todo n que6
|xn + yn| ≤ 2max{|xn|, |yn|} e, portanto,
|xn + yn|p ≤ 2pmax{|xn|p, |yn|p} ≤ 2p(|xn|p + |yn|p).
Assim,
∞∑
n=1
|xn + yn|p ≤ 2p
( ∞∑
n=1
|xn|p +
∞∑
n=1
|yn|p
)
<∞. (1.1)
6Veja exercı´cio 19.
1.5. ALGUNS ESPAC¸OS DE BANACH 11
Temos enta˜o
∞∑
n=1
|xn + yn|p =
∞∑
n=1
|xn + yn|p−1|xn + yn| ≤
∞∑
n=1
|xn + yn|p−1|xn|+
∞∑
n=1
|xn + yn|p−1|yn|
≤
( ∞∑
n=1
|xn + yn|(p−1)p′
) 1
p′
( ∞∑
n=1
|xn|p
) 1
p
+
( ∞∑
n=1
|xn + yn|(p−1)p′
) 1
p′
( ∞∑
n=1
|yn|p
) 1
p
=
( ∞∑
n=1
|xn + yn|p
)1− 1
p
(‖x‖p + ‖y‖p). (1.2)
Note que a u´ltima igualdade, na qual e´ usada a relac¸a˜o (p− 1)p′ = p, justifica a aplicac¸a˜o da desigual-
dade de Ho¨lder.
Logo, cancelando
∑∞
n=1 |xn+yn|p em ambos os lados da desigualdade (1.2), chegamos ao resultado
desejado.
(ii) A prova e´ ana´loga a de (i). 2
Teorema 1.5.5 Os espac¸os `p, 1 ≤ p ≤ ∞ sa˜o espac¸os de Banach.
Demonstrac¸a˜o: Seja (xm) uma sequ¨eˆncia de Cauchy em `p, com xm = (xm1, xm2, . . . , xmi, . . .). Para
todo i ∈ N∗ temos
|xmi − xni| ≤ ‖xm − xn‖p,
o que garante que (xmi)m∈N∗ e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy em K. Assim, para cada i ∈ N∗, existe
ai = limn→∞ xni. Dado � > 0, tome n0 ∈ N tal que ‖xm − xn‖p < � para quaisquer m,n ≥ n0.
Suponhamos p ∈ [1,∞). Temos enta˜o, para qualquer k ∈ N∗ fixo e m,n ≥ n0 temos
k∑
i=1
|xmi − xni|p < �p.
Se k e n ≥ n0 sa˜o mantidos fixos, tomando o limite com m→∞ na desigualdade acima, obtemos que
k∑
i=1
|ai − xni|p ≤ �p.
Fazendo agora k →∞, obtemos
∞∑
i=1
|ai − xni|p ≤ �p (1.3)
para todo n ≥ n0. Isso garante que a− xn ∈ `p se n ≥ n0. Mas enta˜o a = (a− xn) + xn ∈ `p. Uma
vez que (1.3) significa que a = limn→∞ xn em `p, mostramos que esse espac¸o e´ completo.
Para p =∞, veja o exercı´cio 22. 2
12 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS DE BANACH
1.6 Somabilidade em espac¸os normados
Uma vez que um espac¸o normado e´ provido de uma noc¸a˜o de convergeˆncia, a definic¸a˜o usual de se´rie
convergente estende-se naturalmente a espac¸os normados: a se´rie
∑∞
i=1 xi converge a x ∈ X se a
sequ¨eˆncia de somas parciais sn =
∑n
i=1 xi converge a x.
Algumas vezes, entretanto, temos que considerar somas
∑
i∈I xi definidas num conjunto de ı´ndices
I diferente do conjunto N. No caso de I ser enumera´vel, podemos reordenar esse conjunto de modo
a recair no caso habitual. Mas, mesmo nesse caso, chegamos a um impasse: como se sabe, se a se´rie∑
xi de nu´meros reais na˜o for absolutamente convergente, reordenac¸o˜es da sequ¨eˆncia (xn) produzem
se´ries que convergem para qualquer nu´mero real r (veja [13], p. 120). Assim, mesmo no caso de
conjunto enumera´veis I , a convergeˆncia da se´rie ∑i∈I xi parece depender de como reordenarmos o
conjunto de ı´ndices I .
A pro´xima definic¸a˜o e´ motivada pela seguinte propriedade de nu´meros reais: uma se´rie
∑∞
i=1 xi e´
comutativamente convergente para x ∈ R (quer dizer, independe da ordem em que as somas parciais
sa˜o tomadas) se, e somente se, dado � > 0, existe um conjunto finito F� ⊂ N tal que, para todo conjunto
finito F ⊂ N, com F� ⊂ F , temos
∣∣x−∑i∈F xi∣∣ < �.
Definic¸a˜o 1.6.1 Uma famı´lia {xi}i∈I de elementos no espac¸o normado X e´ soma´vel e tem por soma
x ∈ X se, dado � > 0, existe um subconjunto finito F� ⊂ I tal que, para todo conjunto finito F ⊂ I ,
com F� ⊂ F , temos ‖x−
∑
i∈F xi‖ < �. Denotamos enta˜o
∑
i∈I xi = x.
Proposic¸a˜o 1.6.2 SejamX e Y espac¸os normados e T ∈ L(X, Y ). Dada uma famı´lia {xi}i∈I soma´vel
com soma X 3 x =∑I xi, enta˜o {Txi}i∈I e´ soma´vel em Y , com soma Tx.
Demonstrac¸a˜o: Basta notar que∥∥∥∥∥Tx−∑
i∈F
Txi
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥T
(
x−
∑
i∈F
xi
)∥∥∥∥∥ ≤ ‖T‖
∥∥∥∥∥x−∑
i∈F
xi
∥∥∥∥∥ .
2
Definic¸a˜o 1.6.3 Uma famı´lia {xi}i∈I satisfaz a condic¸a˜o de Cauchy se, dado � > 0, existe um con-
junto finito F� ⊂ I tal que, para todo conjunto finito F ′ ⊂ I , com F ′ ∩ F� = ∅, temos∥∥∥∥∥∑
i∈F ′
xi
∥∥∥∥∥ < �.
Lema 1.6.4 Se a famı´lia {xi}i∈I satisfaz a condic¸a˜o de Cauchy, enta˜o o conjunto I∗ := {i ∈ I : xi 6=
0} e´ enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o: Defina In := {i ∈ I : ‖xi‖ ≥ 1/n}. De acordo com a condic¸a˜o de Cauchy, In e´ um
conjunto finito. Mas I∗ = ∪∞n=1In, o que mostra o lema. 2
Teorema 1.6.5 Seja X um espac¸o de Banach. Enta˜o uma famı´lia {xi}i∈I em X e´ soma´vel se, e
somente se, satisfaz a condic¸a˜o de Cauchy.
1.7. EXERCI´CIOS 13
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos {xi}i∈I soma´vel com soma x. Dado � > 0, tome F� tal que ‖x −∑
i∈F xi‖ < � para todo conjunto finito F ⊃ F�. Tome F ′ ⊂ I finito, com F ′ ∩ F� = ∅. Enta˜o∥∥∥∥∥∑
i∈F ′
xi
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥ ∑
i∈F ′∪F�
xi − x−
(∑
i∈F�
xi − x
)∥∥∥∥∥ ≤
∥∥∥∥∥ ∑
i∈F ′∪F�
xi − x
∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥∑
i∈F�
xi − x
∥∥∥∥∥ < 2�.
Reciprocamente, consideremos, como no Lema 1.6.4, o conjunto In = {i ∈ I : ‖xi‖ ≥ 1/n}.
Definimos enta˜o yn :=
∑
i∈In xi. Vamos mostrar que (yn) e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy. Dado � > 0,
existe um conjunto finito F� ⊂ I∗ tal que, para todo F ′ ⊂ I∗, com F� ∩F ′ = ∅, temos ‖∑i∈F ′ xi‖ < �
(note que xi = 0 se i 6∈ I∗). Uma vez que no conjunto finito {xi : i ∈ F�} todos os elementos
tem norma positiva e, portanto, maior que 1/n0 para algum n0), temos F� ⊂ In0 . Para m > n ≥ n0
temos F ′ := Im \ In ⊂ {F� e, assim, ‖ym − yn‖ = ‖
∑
i∈F ′ xi‖ < �. Seja x = limn→∞ yn. Temos
‖x − yn‖ ≤ � para n ≥ n0. Vamos mostrar que
∑
i∈I xi = x. De fato, para todo F ⊂ In0 temos
F ′ := F \ In0 ⊂ {F� e, portanto,∥∥∥∥∥x−∑
i∈F
xi
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥∥x−
∑
i∈In0
xi −
∑
i∈F ′
xi
∥∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥x− yn0 −∑
i∈F ′
xi
∥∥∥∥∥ ≤ ‖x− yn0‖+
∥∥∥∥∥∑
i∈F ′
xi
∥∥∥∥∥ < 2�.
2
Observac¸a˜o 1.6.6 Note que a implicac¸a˜o direta independe de X ser completo. �
1.7 Exercı´cios
1. Seja X um conjunto qualquer. Mostre que FK e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o infinita se, e
somente se, X for um conjunto infinito.
Seja X um espac¸o normado.
2. Seja X um espac¸o normado. Mostre que, se dist (·, ·) : X ×X → R+ e´ uma distaˆncia7 gerada
por uma norma, enta˜o ela satisfaz
(a) dist (x+ z, y + z) = dist (x, y) para todos x, y, z ∈ X (invariaˆncia por translac¸a˜o);
(b) dist (λx, λy) = |λ|dist (x, y) (homotetia).
Reciprocamente, mostre que se dist e´ uma distaˆncia que satisfaz essas propriedades, enta˜o dist
e´ gerada por uma norma.
Definic¸a˜o 1.7.1 Seja (X, dist) um espac¸o me´trico. Dizemos que um subconjunto F ⊂ X e´ totalmente
limitado se, para todo � > 0, existem pontos x1, . . . , xm ∈ F (em que m depende de �) tais que
F ⊂
m⋃
i=1
B�(xi).
7Uma distaˆncia e´ uma aplicac¸a˜o dist (·, ·) : X ×X → R+ que satisfaz: i) dist (x, x) ≥ 0 e dist (x, x) = 0 ⇔ x = 0;
ii) dist (x, y) = dist (y, x); iii) dist (x, z) ≤ dist (x, y) + dist (y, z) para todos x, y, z ∈ X . Um espac¸o me´trico e´ um
conjunto X munido de uma distaˆncia.
14 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS DE BANACH
3. Mostre que sa˜o equivalentes as seguintes afirmac¸o˜es sobre um subconjunto F de um espac¸o
me´trico (X, dist):
(i) F e´ compacto;
(ii) F e´ sequ¨encialmente compacto, isto e´, toda sequ¨eˆncia de pontos em F possui uma sub-
sequ¨eˆncia que converge para um ponto de F ;
(iii) (F, dist) e´ completo e totalmente limitado.
4. Mostre que sa˜o equivalentes as seguintes afirmac¸o˜es a` respeito de um conjunto F ⊂ X , em que
X e´ um espac¸o me´trico completo:
(i) F e´ relativamente compacto8 em X;
(ii) Toda sequ¨eˆncia de pontos em F possui uma subsequ¨eˆncia convergente;
(iii) F e´ totalmente limitado.
5. Sejam X um espac¸o me´trico e A ⊂ X . Suponha que, dado � > 0,e exista um subconjunto
totalmente limitado K ⊂ X tal que dist (a,K) ≤ � para todo a ∈ A. Mostre que A e´ totalmente
limitado.
6. Mostre que todo espac¸o me´trico X totalmente limitado e´ separa´vel. Conclua que todo espac¸o
me´trico compacto e´ separa´vel. Considere enta˜o o conjunto enumera´vel
7. Mostre que a aplicac¸a˜o x ∈ X 7→ ‖x‖ ∈ R+ e´ uma aplicac¸a˜o contı´nua. Mostre que, se xn →
x ∈ X , enta˜o ‖xn‖ → ‖x‖. Mostre que as aplicac¸o˜es (x, y) ∈ X × X 7→ x + y ∈ X e
(λ, x) ∈ C × X 7→ λx ∈ X sa˜o contı´nuas (os espac¸os X × X e C × X esta˜o providos da
topologia produto).
8. Sejam X1, . . . , Xn e Y espac¸os normados e T : X1× · · · ×Xn → Y uma aplicac¸a˜o n-linear. Se
(x1, . . . , xn) ∈ X1 × · · · ×Xn, mostre que sa˜o equivalentes as propriedades:
(a) T e´ contı´nua;
(b) T e´ contı´nua na origem;
(c) sup
‖x1‖=...=‖xn‖=1,
‖T (x1, . . . , xn)‖ = M <∞ (T e´ limitada);
(d) existe C > 0 tal que ‖T (x1, . . . , xn)‖ ≤ C[‖x1‖ · · · ‖xn‖] para todo (x1, . . . , xn) ∈ X1 ×
· · · ×Xn;
Conclua que tanto a func¸a˜o determinante como a multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar sa˜o
aplicac¸o˜es contı´nuas.
9. Seja (X, dist) um espac¸o me´trico, isto e´, um conjunto X dotado de uma me´trica. Mostre que
qualquer conjunto compacto K ⊂ X e´ um conjunto limitado e fechado. Verifique tambe´m que a
imagem de um compacto por uma func¸a˜o contı´nua e´ um conjunto compacto. Finalmente, mostre
que a imagem de um conjunto limitado por uma func¸a˜o contı´nua e´ limitada.
8Um conjunto F ⊂ X e´ relativamente compacto se F for compacto.
1.7. EXERCI´CIOS 15
10. O que garante que o conjunto S da demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 1.3.5 seja compacto?
11. Deˆ exemplo de um espac¸o de Banach X que possui um subespac¸o fechado Y de modo que na˜o
exista x ∈ B1(0) ⊂ X tal que dist (x, Y ) = 1.
12. Seja X 6= ∅ um conjunto qualquer e Y um espac¸o de Banach. Mostre que o espac¸o B(X,Y ),
definido no exemplo 1.1.3, e´ um espac¸o de Banach.
13. Seja S ⊂ Kn um compacto. Considere o espac¸o vetorial
C0(S,K) = {f : S → K : f e´ contı´nua}.
Mostre que C0(S,K) e´ um subespac¸o fechado do espac¸o de Banach B(S,K) e, portanto, um
espac¸o de Banach.
14. Seja (X, dist) um espac¸o me´trico e Y um espac¸o de Banach. Seja A ⊂ X um conjunto denso9.
Mostre que toda aplicac¸a˜o uniformemente contı´nua f : A ⊂ X → Y possui exatamente uma
extensa˜o uniformemente contı´nua F : X → Y . Quando X e´ um espac¸o vetorial e f : A→ Y e´
linear, mostre que F : X → Y e´ linear.
15. Mostre que o espac¸o L(X, Y ) e´ um espac¸o de Banach, se Y for um espac¸o de Banach.
16. Sejam X, Y, Z espac¸os normados. Se S ∈ L(Y, Z) e T ∈ L(X, Y ), mostre que S ◦ T = ST ∈
L(X,Z) e ‖ST‖ ≤ ‖S‖ ‖T‖.
17. Mostre que o espac¸o C([a, b],R) com a norma ‖ · ‖L1 na˜o e´ completo.
18. Mostre a existeˆncia de um u´nico completamento de um espac¸o normado X , isto e´, se (X˜, φ) e
(X¯, ψ) sa˜o ambos completamentos de X , enta˜o existe um isomorfismo linear contı´nuo entre X˜
e X¯ . Para isso, fac¸a uso do exercı´cio 14.
19. Para x, y ∈ K, mostre a desigualdade |x+ y|p ≤ 2p−1(|x|p + |y|p).
20. Mostre que `p e´ um subespac¸o pro´prio de `q, se 1 ≤ p < q ≤ ∞.
21. Mostre que a norma ‖ · ‖p (do espac¸o `p) e´ uma norma no espac¸o Kn. Voceˆ consegue deduzir
isso imediatamente do que ja´ foi feito?
22. Mostre que `∞ e´ completo.
23. Seja 1 ≤ p < ∞. Mostre que um subconjunto K ⊂ `p e´ totalmente limitado se, e somente se,
K e´ limitado e, dado � > 0, existe um subconjunto finito F ⊂ N tal que, para todo x ∈ K vale∑
i6∈F |xi|p ≤ �p. idem
24. Considere o espac¸o de Banach X = C0([0, 1]). Deˆ exemplos de subconjuntos A, convexos e
completos, tais que, se δ = infa∈A ‖a‖, enta˜o
(a) existem infinitos pontos a ∈ A tais que ‖a‖ = δ;
9Isto quer dizer que A = X .
16 CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS DE BANACH
(b) existe uma sequ¨eˆncia (an) em A tal que ‖an‖ → δ, mas nenhuma de suas subsequ¨eˆncias e´
de Cauchy;
(c) na˜o existe a ∈ A tal que ‖a‖ = δ.
25. Mostre que uma se´rie
∑∞
n=1 xn e´ comutativamente convergente para x ∈ X se, e somente se,
dado � > 0, existe um conjunto finito F� ⊂ N tal que, para todo conjunto finito F ⊂ N, com
F� ⊂ F , temos
∣∣x−∑i∈F xi∣∣ < �.
26. Sejam {xi}i∈I e {yi}i∈I duas famı´lias soma´veis em X , com soma x e y, respectivamente. Seja
λ ∈ K. Mostre que as famı´lias {xi + yi}i∈I e {λxi}i∈I sa˜o soma´veis e teˆm somas x + y e λx,
respectivamente.
27. Uma famı´lia {xi}i∈I num espac¸o normado X e´ absolutamente soma´vel quando {‖xi‖}i∈I for
soma´vel. Mostre que, num espac¸o de Banach, toda famı´lia absolutamente soma´vel e´ soma´vel.
Deˆ um exemplo mostrando que a recı´proca nem sempre e´ verdadeira.
Capı´tulo 2
Espac¸os com produto interno
2.1 Produto Interno
Definic¸a˜o 2.1.1 Seja E um espac¸o vetorial sobre K. Um produto interno em E e´ uma func¸a˜o 〈·, ·〉 :
E × E → K satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) 〈·, ·〉 e´ linear na primeira varia´vel, isto e´,
〈x1 + λx2, y〉 = 〈x1, y〉+ λ〈x2, y〉, para todos x1, x2, y ∈ E e λ ∈ K;
(ii) 〈·, ·〉 e´ hermitiana, isto e´,
〈x, y〉 = 〈y, x〉, para todos x, y ∈ E;
(iii) 〈·, ·〉 e´ positiva-definida, isto e´,
〈x, x〉 ≥ 0 para todo x ∈ E e 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0.
Um espac¸o vetorial munido de um produto interno e´ chamado espac¸o com produto interno ou espac¸o
pre´-hilbertiano.
Dizemos que x e y sa˜o ortogonais (ou perpendiculares) se 〈x, y〉 = 0. Nesse caso, escrevemos
x ⊥ y.
Note que a condic¸a˜o (ii) implica, quando K = C, que 〈x, y1 + λy2〉 = 〈x, y1〉+ λ〈x, y2〉; no caso real,
essa condic¸a˜o significa que 〈·, ·〉 e´ sime´trica, isto e´, 〈x, y〉 = 〈y, x〉.
Exemplo 2.1.2 Os espac¸os Rn e Cn sa˜o espac¸os com produto interno, com a definic¸a˜o usual. �
Denotaremos ‖x‖ = 〈x, x〉1/2. Vamos mostrar que essa notac¸a˜o se justifica, isto e´, que 〈x, x〉1/2
realmente define uma norma.
Comec¸amos justificando a definic¸a˜o de perpendicularidade dada acima.
Teorema 2.1.3 (O Teorema de Pita´goras)
Seja E um espac¸o com produto interno e x, y ∈ E. Denotando ‖x‖ = 〈x, x〉1/2, se x ⊥ y, enta˜o
temos
‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2. (2.1)
Se E for um espac¸o vetorial real, enta˜o vale a recı´proca.
17
18 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO
Demonstrac¸a˜o: Basta desenvolver ‖x+ y‖2:
‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = 〈x, x〉+ 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ 〈y, y〉 (2.2)
= ‖x‖2 + ‖y‖2,
pois x e y sa˜o ortogonais. Reciprocamente, se E for real e (2.1) for va´lida, a igualdade (2.2) mostra
que 〈x, y〉+ 〈y, x〉 = 2〈x, y〉 = 0, o que implica 〈x, y〉 = 0. 2
Note que, se E for um espac¸o complexo, a recı´proca do Teorema de Pita´goras na˜o vale: basta
considerar y = ix.
Proposic¸a˜o 2.1.4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Seja E um espac¸o com produto interno. Enta˜o, se ‖x‖ = 〈x, x〉1/2, temos para todos x, y ∈ E,
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖.
Demonstrac¸a˜o: A prova que apresentaremos e´ bem geome´trica (interprete!). Se x = λy, enta˜o
|〈x, y〉| = |λ| 〈y, y〉 = |λ| ‖y‖2 = ‖x‖ ‖y‖. Se x 6= λy, existe α ∈ K tal que |〈y − αx, x〉| = 0.
(De fato, basta tomar α := 〈y, x〉/‖x‖2; note que ‖x‖ = 0 esta´ incluı´do no caso anterior). Enta˜o, pelo
Teorema de Pita´goras,
‖αx‖2 < ‖y‖2.
Substituindo o valor de α, obtemos
|〈y, x〉|2
‖x‖4 ‖x‖
2 < ‖y‖2,
e a desigualdade de Cauchy-Schwarz segue-se imediatamente daı´, pois |〈y, x〉| = |〈x, y〉|. 2
Corola´rio 2.1.5 Todo espac¸o com produto interno e´ um espac¸o normado, com ‖x‖2 = 〈x, x〉.
Demonstrac¸a˜o: Vamos verificar a desigualdade triangular, pois as outras propriedades que definem
uma norma sa˜o imediatas. Denotando por Re z a parte real de z ∈ C e aplicando a desigualdade de
Cauchy-Schwarz, temos que
‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = ‖x‖2 + 〈x, y〉+ 〈x, y〉+ ‖y‖2 = ‖x‖2 + 2Re 〈x, y〉+ ‖y‖2
≤ ‖x‖2 + 2|〈x, y〉|+ ‖y‖2
≤ ‖x‖2 + 2‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 = (‖x‖+ ‖y‖)2 .
2
Definic¸a˜o 2.1.6 Um espac¸o de Hilbert e´ um espac¸o com produto interno, que e´ completo com relac¸a˜o
a` sua norma.
Chamaremos, de agora em diante, um espac¸o com produto interno de espac¸o pre´-hilbertiano.2.1. PRODUTO INTERNO 19
Exemplo 2.1.7 O espac¸o `2, das sequ¨eˆncias de quadrado soma´vel (tomando valores emK), e´ dado por
`2(K) :=
{
x = (xn)n∈N :
∞∑
n=0
|xn|2 <∞
}
.
Ja´ vimos que `2 e´ um espac¸o de Banach. Nesse espac¸o vetorial definimos 〈x, y〉 := ∑∞n=0 xnyn. (A
desigualdade |xnyn| ≤ (1/2) (|xn|2 + |yn|2) garante que a se´rie e´ absolutamente convergente). ´E fa´cil
verificar que 〈·, ·〉 e´ um produto interno e que ‖ · ‖2 prove´m desse produto interno. �
Exemplo 2.1.8 Seja C0L2([a, b],C) o espac¸o vetorial C0([a, b],C) considerado com o produto interno
〈x, y〉 :=
∫ b
a
x(s)y(s)ds.
Denotamos ‖ · ‖L2 a norma correspondente a esse produto interno. Esse espac¸o na˜o e´ completo. Seu
completamento e´ o espac¸o L2[(a, b)], definido no Capı´tulo 1. �
Corola´rio 2.1.9 SeE for um espac¸o pre´-hilbertiano e y ∈ E, enta˜o a func¸a˜o fy, definida por fy(x) :=
〈x, y〉, pertence ao espac¸o dual E∗, isto e´, fy : E → K e´ linear e contı´nua.
Demonstrac¸a˜o: A linearidade e´ o´bvia. Consideremos x ∈ E com ‖x‖ ≤ 1. Enta˜o
fy(x) = 〈x, y〉 ≤ ‖y‖,
o que mostra que ‖fy‖ ≤ ‖y‖. Isso mostra a continuidade. ´E fa´cil verificar, entretanto, que ‖fy‖ = ‖y‖.
De fato, tomando x = y, obtemos
‖y‖2 = 〈y, y〉 = fy(y) ≤ ‖fy‖ ‖y‖. 2
Corola´rio 2.1.10 Seja {xα}α∈A uma famı´lia soma´vel no espac¸o pre´-hilbertiano E, tendo como soma
x ∈ E. Enta˜o, para todo y ∈ E, a famı´lia {〈xα, y〉}α∈A no corpo K e´ soma´vel e tem por soma 〈x, y〉.
Demonstrac¸a˜o: Decorre imediatamente da Proposic¸a˜o 1.6.2. 2
Corola´rio 2.1.11 A aplicac¸a˜o 〈·, ·〉 : E × E → K e´ contı´nua. Em particular, se xn → x e yn → y em
E, enta˜o 〈xn, yn〉 → 〈x, y〉.
Demonstrac¸a˜o: Temos que
|〈x, y〉 − 〈x¯, y¯〉| = |〈x, y〉 − 〈x¯, y〉+ 〈x¯, y〉 − 〈x¯, y¯〉|
≤ |〈x− x¯, y〉|+ |〈x¯, y − y¯〉|
≤ ‖x− x¯‖ ‖y‖+ ‖x¯‖ ‖y − y¯‖. 2
20 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO
2.2 Geometria dos espac¸os pre´-hilbertianos
A proposic¸a˜o abaixo tem demonstrac¸a˜o direta, desenvolvendo o lado esquerdo da equac¸a˜o:
Proposic¸a˜o 2.2.1 Em todo espac¸o pre´-hilbertiano vale a identidade do paralelogramo:
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2 (‖x‖2 + ‖y‖2) .
´E interessante notar que a recı´proca da Proposic¸a˜o 2.2.1 tambe´m e´ va´lida: se, num espac¸o normado,
vale a identidade do paralelogramo, enta˜o sua norma prove´m de um produto interno (veja exercı´cio
1). A proposic¸a˜o seguinte, tambe´m de demonstrac¸a˜o imediata, escreve o produto interno em termos de
normas:
Proposic¸a˜o 2.2.2 (A identidade de polarizac¸a˜o)
Se E for um espac¸o pre´-hilbertiano complexo, vale
〈x, y〉 = 1
4
(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i‖x+ iy‖2 − i‖x− iy‖2) .
Se E for um espac¸o pre´-hilbertiano real, vale
〈x, y〉 = 1
4
(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2) .
Definic¸a˜o 2.2.3 Um subconjunto A de um espac¸o vetorial V e´ convexo se, para todos x, y ∈ A e
λ ∈ [0, 1], tivermos
λx+ (1− λ)y ∈ A.
Proposic¸a˜o 2.2.4 Seja A um conjunto convexo e completo de um espac¸o pre´-hilbertiano E. Enta˜o
existe um u´nico ponto a0 ∈ A tal que, para todo a ∈ A,
‖a0‖ ≤ ‖a‖.
Em geral, essa proposic¸a˜o e´ utilizada quanto E e´ um espac¸o de Hilbert. Nesse caso, basta supor
que A seja um subconjunto fechado e convexo.
Demonstrac¸a˜o: Seja δ = infa∈A ‖a‖. Pela definic¸a˜o de δ, existe uma sequ¨eˆncia (an) em A tais
que ‖an‖ → δ. Vamos mostrar que (an) e´ uma sequ¨eˆncia de Cauchy. De fato, da identidade do
paralelogramo 2.2.1 decorre que
‖an − am‖2 = 2‖an‖2 + 2‖am‖2 − ‖an + am‖2. (2.3)
Uma vez que A e´ convexo, temos que (an + am)/2 ∈ A. Logo ‖(an + am)/2‖ ≥ δ, isto e´,
‖an + am‖2 ≥ 4δ2.
Pela definic¸a˜o de (an), dado � > 0, existe n0 ∈ N tal que ‖an‖ ≤ δ + �, para todo n ≥ n0. Logo,
substituindo essas relac¸o˜es em (2.3), temos, para n,m ≥ n0,
‖an − am‖2 ≤ 2(δ + �)2 + 2(δ + �)2 − 4δ2 = (8δ + 4�)�,
2.3. PROJEC¸O˜ES ORTOGONAIS 21
provando o afirmado. Como A e´ completo, existe a0 ∈ A tal que an → a0. Resta mostrar a unicidade
de a0. Suponhamos que ‖a1‖ = δ. A convexidade de A garante que (a0 + a1)/2 ∈ A e, portanto,
‖(a0 + a1)/2‖ ≥ δ. Mas a identidade do paralelogramo nos da´ que
δ2 ≤
∥∥∥∥a0 + a12
∥∥∥∥2 = 12‖a0‖2 + 12‖a1‖2 −
∥∥∥∥a0 − a12
∥∥∥∥2 = 12δ2 + 12δ2 −
∥∥∥∥a0 − a12
∥∥∥∥2 < δ2,
se a1 6= a0. 2
Corola´rio 2.2.5 Seja B um conjunto convexo e completo de um espac¸o pre´-hilbertiano E. Para todo
x ∈ E, existe um u´nico elemento x0 ∈ B tal que, para todo b ∈ B,
dist (x, x0) ≤ dist (x, b).
Demonstrac¸a˜o: Basta considerar o conjunto A := B − x = {b− x : b ∈ B}. Pelo exercı´cio 14, A e´
um conjunto convexo. O afirmado decorre enta˜o de distaˆncia dist (·, ·) ser invariante por translac¸a˜o. 2
2.3 Projec¸o˜es ortogonais
Definic¸a˜o 2.3.1 Dado um conjunto A ⊂ E definimos
A⊥ := {x ∈ E : x ⊥ a para todo a ∈ A} = {x ∈ E : x ⊥ A}.
Lema 2.3.2 Sejam E um espac¸o pre´-hilbertiano e < A > o subespac¸o gerado pelo conjunto A, isto
e´, o conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares (finitas!) de elementos de A ⊂ E. Enta˜o A⊥ ⊥ A, isto
e´, se x⊥ ∈ A⊥ enta˜o x⊥ ⊥ A. Mais ainda, A⊥ ⊥ < A >, o fecho de < A >. O conjunto A⊥ e´ um
subespac¸o fechado de E.
Demonstrac¸a˜o: Se x = α1x1 + . . . + αnxn ∈< A > (com α1, . . . , αn ∈ K e x1, . . . , xn ∈ A) e se
x⊥ ⊥ A, isto e´, x⊥ ⊥ a para todo a ∈ A, enta˜o e´ claro que x⊥ ⊥ < A >. Se x ∈ < A >, enta˜o existe
uma sequ¨eˆncia (xn) em < A > tal que xn → x. Mas enta˜o 〈x⊥, x〉 = limn→∞〈x⊥, xn〉 = 0.
Claramente A⊥ e´ um subespac¸o de E. Seja (x⊥n ) uma sequ¨eˆncia em A⊥, com x⊥n → x⊥0 . Enta˜o, se
a ∈ < A >, 〈x⊥0 , a〉 = limn→∞〈x⊥n , a〉 = 0. Assim, A⊥ e´ um subespac¸o fechado de A. 2
Lema 2.3.3 Seja E um espac¸o pre´-hilbertiano e A,B ⊂ E. Enta˜o vale:
(i) Se A ⊂ B, enta˜o B⊥ ⊂ A⊥;
(ii) A¯ ⊂ A⊥⊥ := (A⊥)⊥.
Demonstrac¸a˜o: (i) ´E imediato.
(ii) Claramente A ⊂ A⊥⊥. Tomando o fecho nessa relac¸a˜o, temos o afirmado. 2
Teorema 2.3.4 Seja F um subespac¸o do espac¸o pre´-hilbertiano E. Sa˜o equivalentes as seguintes
afirmac¸o˜es a respeito de z ∈ E \ F :
22 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO
(i) z ⊥ F ;
(ii) ‖z‖ ≤ ‖z − y‖ para todo y ∈ F ;
(iii) dist (z, F ) = ‖z‖.
Demonstrac¸a˜o: (i)⇒ (ii) Seja y ∈ F . Do Teorema de Pita´goras 2.1 vem que
‖z + (−y)‖2 = ‖z‖2 + ‖y‖2 ≥ ‖z‖2.
(ii)⇒ (i) Se z na˜o for ortogonal a F , existe f ∈ F tal que 〈z, f〉 6= 0. Claramente podemos supor
‖f‖ = 1. Enta˜o temos z − 〈z, f〉f ⊥ f e, do Teorema de Pita´goras, segue-se que
‖z‖2 = ‖z − 〈z, f〉f + 〈z, f〉f‖2 = ‖z − 〈z, f〉f‖2 + ‖〈z, f〉f‖2 > ‖z − 〈z, f〉f‖2.
Achamos assim um elemento y = 〈z, f〉f ∈ F tal que ‖z‖ > ‖z − y‖.
(ii)⇔ (iii) Essas afirmac¸o˜es sa˜o, obviamente, equivalentes. 2
Corola´rio 2.3.5 Seja F um subespac¸o do espac¸o pre-hilbertiano E. Dados os elementos x ∈ E e
xF ∈ F , sa˜o equivalentes as seguintes afirmac¸o˜es:
(i) x− xF ⊥ F ;
(ii) Para todo y ∈ F , temos ‖x− xF‖ ≤ ‖x− y‖;
(iii) dist (x, F ) = ‖x− xF‖.
Ale´m disso, se F for completo, para todo x ∈ E existe um u´nico elemento xF ∈ F satisfazendo
essas propriedades. (O elemento xF e´ a projec¸a˜o ortogonal de x em F ). Nesse caso, o espac¸o E
decompo˜e-se ortogonalmente:
E = F ⊕ F⊥.
Demonstrac¸a˜o: Se x ∈ F , qualquer das propriedades (i) − (ii) − (iii) verifica-se apenas quando
xF = x. Se x 6∈ F , a equivaleˆncia entre essas afirmac¸o˜es decorre do Teorema 2.3.4, ao se tomar
z = x− xF .
Se F for completo, a existeˆncia e a unicidade de xF decorrem do Corola´rio 2.2.5. Para verificar a
existeˆncia da decomposic¸a˜o ortogonal E = F ⊕G, basta tomar x ∈ E e escrever x = xF + (x− xF ).
O resultado enta˜o decorre de (i). 2
Observac¸a˜o 2.3.6 Suponhamos que E na˜o seja um espac¸o de Hilbert. Se F ⊂ E for completo, enta˜o
E = F ⊕ F⊥. Note que o espac¸o F⊥ e´ fechado (Lema 2.3.2), mas na˜o e´ completo.
Por outro lado, nem sempre existe uma decomposic¸a˜o E = F ⊕ F⊥, mesmo que F seja fechado.
De fato, seja E o completamento de E. Tome h ∈ E \ E e considere F =< h >⊥ ∩E. O subespac¸o
F e´ fechado em E. (Se fosse F = E, enta˜o E ⊂ < h >⊥ ⊂ E. Isto e´ um absurdo, pois < h >⊥ 6=E e´
subespac¸o fechado de E e E e´ denso em E.) O espac¸o F na˜o tem complemento ortogonal em E. �
Corola´rio 2.3.7 Seja F ⊂ E um subespac¸o completo de um espac¸o pre´-hilbertiano E. Se F 6= E,
enta˜o existe 0 6= z ∈ E tal que z ⊥ F .
2.3. PROJEC¸O˜ES ORTOGONAIS 23
Demonstrac¸a˜o: Seja x ∈ E \ F . Defina z = x − xF . Temos ‖z‖ 6= 0, pois x 6∈ F . Esse elemento e´
ortogonal a F . 2
No caso de espac¸os de Hilbert, temos uma recı´proca do Corola´rio 2.1.9.
Teorema 2.3.8 (Teorema de Representac¸a˜o de Riesz)
Seja E um espac¸o de Hilbert e f um elemento do espac¸o dual E∗, isto e´, f : E → K um funcional
linear contı´nuo. Enta˜o existe um u´nico elemento y ∈ E tal que
f(x) = 〈x, y〉, ∀ x ∈ E.
Ale´m disso, ‖f‖ = ‖y‖.
Demonstrac¸a˜o: A unicidade de y e´ imediata: se 〈x, y〉 = 〈x, y1〉 para todo x ∈ E, enta˜o 〈x, y−y1〉 = 0
para todo x ∈ E. Tomando x = y − y1, concluı´mos que y = y1.
Se f(x) = 0 para todo x ∈ E, tome y = 0. Caso contra´rio, defina
M := {x ∈ E : f(x) = 0}.
Quer dizer, M e´ o nu´cleo do funcional f . Logo, M e´ um subespac¸o fechado de E. Como E =
M ⊕M⊥ (pelo Corola´rio 2.3.5) e f(x) 6= 0 para algum x ∈ E, vemos que M⊥ 6= {0}. A linearidade
de f garante a existeˆncia de 0 6= b ∈ M⊥ tal que f(b) = 1. Assim, para todo x ∈ E, temos
x = [x− bf(x)] + bf(x) ∈M ⊕M⊥. Temos enta˜o
〈x, b〉 = 〈bf(x), b〉 = f(x)‖b‖2.
Basta enta˜o tomar y := b/‖b‖2.
Finalmente,
‖f‖ = sup
‖x‖=1
|f(x)| = sup
‖x‖=1
|〈x, y〉| ≤ sup
‖x‖=1
‖x‖ ‖y‖ = ‖y‖.
Por outro lado,
‖y‖2 = 〈y, y〉 = |f(y)| ≤ ‖f‖ ‖y‖.
Assim, ‖f‖ = ‖y‖. 2
Exemplo 2.3.9 Consideremos o espac¸o de Hilbert L2([a, b]). Seja F : L2([a, b]) → C um funcional
linear contı´nuo. O Teorema de Representac¸a˜o de Riesz garante a existeˆncia de uma u´nica func¸a˜o
g ∈ L2([a, b]) tal que, para todo f ∈ L2([a, b]), temos
F (f) =
∫ b
a
f(x)g(x)dx.
�
24 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO
2.4 Bases em espac¸os pre´-hilbertianos
Para melhor compreender os resultados dessa sec¸a˜o, consideremos os dois exemplos ba´sicos a seguir.
Exemplo 2.4.1 O espac¸o Rn ou o espac¸o Cn com o produto interno
〈x, y〉 =
n∑
i=1
xiyi.
�
Exemplo 2.4.2 O espac¸o L2([0, 1]) com o produto interno
〈f, g〉 =
∫ 1
0
f(x)g(x)dx
ou o seu subespac¸o CL2(T ), o conjunto das func¸o˜es contı´nuas f : [0, 1]→ C e perio´dicas com perı´odo
1. (A notac¸a˜o T designa o toro T = R/Z, que se identifica com esse espac¸o de func¸o˜es perio´dicas). �
Definic¸a˜o 2.4.3 Dizemos que uma famı´lia {eα}α∈A e´ ortogonal se, para α 6= β ∈ A, temos eα ⊥ eβ .
Se, ale´m disso, esses elementos forem unita´rios, isto e´, ‖eα‖ = 1 para todo α ∈ A, a famı´lia e´ ortonor-
mal. Dizemos tambe´m que {eα : α ∈ A} e´ um sistema ortogonal ou ortonormal, respectivamente.
No exemplo 2.4.1, a base canoˆnica {e1, . . . , en} e´ um sistema ortonormal. No exemplo 2.4.2, as
func¸o˜es hk(t) = ei2pikt (k ∈ Z) formam um sistema ortonormal, o que decorre de
〈hj, hk〉 = 〈ei2pijt, ei2pikt〉 =
∫ 1
0
ei2pi(j−k)tdt = δjk
em que estamos usando a notac¸a˜o de Kronecker δjj = 1, δjk = 0, se j 6= k.
Definic¸a˜o 2.4.4 Dado um vetor unita´rio eα e x ∈ E, o escalar 〈x, eα〉 =: xα ∈ K e´ a componente de
x na direc¸a˜o de eα. O vetor xαeα e´ a projec¸a˜o de x na direc¸a˜o eα.
No exemplo 2.4.1, dado x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn, xi = 〈x, ei〉 e´ a componente de x na direc¸a˜o ei. No
exemplo 2.4.2, a componente de f na direc¸a˜o hk e´ dada por
〈f, hk〉 = 〈f, ei2pikt〉 =
∫ 1
0
f(t)e−i2piktdt,
que e´ justamente o k-e´simo coeficiente de Fourier (complexo) de f . Por esse motivo, o nu´mero xα =
〈x, eα〉 tambe´m e´ chamado coeficiente de Fourier de x ∈ E.
Nosso objetivo e´ estudar o espac¸o gerado pelos vetores eα, isto e´, se B = {eα : α ∈ A}, estudar
< B >.
Teorema 2.4.5 (Melhor aproximac¸a˜o)
Sejam {eα}α∈A uma famı´lia ortonormal num espac¸o pre´-hilbertiano E e F ⊂ A um subconjunto
finito. Para todo x ∈ E, se denotamos xα := 〈x, eα〉, temos que∥∥∥∥∥x−∑
α∈F
xαeα
∥∥∥∥∥ ≤
∥∥∥∥∥x−∑
α∈F
λαeα
∥∥∥∥∥ ,
2.4. BASES EM ESPAC¸OS PRE´-HILBERTIANOS 25
quaisquer que sejam os escalares λα ∈ K. A igualdade se verifica apenas quando λα = xα. O ele-
mento
∑
α∈F xαeα e´ a projec¸a˜o ortogonal de x no espac¸o (de dimensa˜o finita) gerado pelo conjunto
{eα}α∈F .
Demonstrac¸a˜o: Para todo β ∈ F , temos que x −∑α∈F xαeα e´ ortogonal ao espac¸o vetorial gerado
pelo conjunto {eα}α∈F . De fato,〈
x−
∑
α∈F
xαeα, eβ
〉
= xβ − xβ = 0.
O resultado segue-se enta˜o do Corola´rio 2.3.5. 2
Lema 2.4.6 Seja B = {eα}α∈A uma famı´lia ortonormal num espac¸o pre´-hilbertiano E. Sejam x, y ∈
E, xα = 〈x, eα〉 e yα = 〈y, eα〉, com α ∈ A. Suponhamos que as famı´lias (xαeα) e (yαeα) sejam
soma´veis. Enta˜o 〈∑
α
xαeα,
∑
α
yαeα
〉
=
∑
α
xαyα.
Demonstrac¸a˜o: Sejam X =∑α xαeα e Y =∑α yαeα. (Note que na˜o podemos garantir que X = x
e Y = y!)
Para β ∈ A fixo, segue-se do Corola´rio 2.1.10 que a famı´lia (〈xαeα, eβ〉) e´ soma´vel e tem por soma
〈X, eβ〉. Assim,
〈X, eβ〉 =
∑
α
〈xαeα, eβ〉 = xβ.
O resultado agora decorre do mostrado acima, aplicando novamente o Corola´rio 2.1.10. 2
Proposic¸a˜o 2.4.7 (Desigualdade de Bessel)
Dada uma famı´lia ortonormal {eα}α∈A num espac¸o pre´-hilbertiano E, para todo x ∈ E vale∑
α∈A
|xα|2 ≤ ‖x‖2,
em que xα = 〈x, eα〉. Em particular, a famı´lia {|xα|2}α∈A e´ soma´vel.
Ale´m disso, ∑
α∈A
|xα|2 = ‖x‖2 ⇔ x =
∑
α∈A
xαeα.
Demonstrac¸a˜o: Seja F ⊂ A um conjunto finito. Temos, pelo Teorema de Pita´goras,
‖x‖2 −
∑
α∈F
|xα|2 =
〈
x−
∑
α∈F
xαeα, x−
∑
α∈F
xαeα
〉
≥ 0.
Assim, temos a expressa˜o finita da Desigualdade de Bessel:∑
α∈F
|xα|2 ≤ ‖x‖2. (2.4)
26 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO
Afirmamos agora que {|xα|2} e´ uma famı´lia soma´vel. Para isso, definimos
In = {eα : α ∈ A e |xα|2 > 1/n2}.
O conjunto In possui apenas um nu´mero finito de elementos. De fato, se e1, . . . , ek esta˜o em In, a
definic¸a˜o desse conjunto e a desigualdade (2.4) nos garantem que
k
1
n2
≤
k∑
i=1
|xi|2 ≤ ‖x‖2
(estamos denotando xi = 〈x, ei〉) e, portanto,
k ≤ n2‖x‖2 <∞.
Como consequ¨eˆncia,
I = {eα : α ∈ A e xα 6= 0} =
∞⋃
n=1
In
e´ um conjunto enumera´vel.
Assim, se {|xα|2} na˜o fosse soma´vel, existiria F ⊂ A finito tal que
∑
α∈F |xα|2 > M para todo
M > 0, o que contradiz (2.4). Isso mostra o afirmado.
Da desigualdade (2.4) segue-se imediatamente que
sup
F⊂A
∑
α∈F
|xα|2 ≤ ‖x‖2, (2.5)
em que o supremo e´ tomado sobre todos os conjuntos finitos F ⊂ A.
Uma vez que {|xα|2} possui no ma´ximo um nu´mero enumera´vel de elementos na˜o nulos, segue-se
imediatamente que supF⊂A
∑
α∈F |xα|2 =
∑
α∈A |xα|2, o que prova a desigualdade de Bessel.
Quanto a` u´ltima afirmac¸a˜o, notamos que se F ⊂ A e´ finito,∥∥∥∥∥x−∑
α∈F
xαeα
∥∥∥∥∥ = ‖x‖2 −∑
α∈F
|xα|2.
Assim, x =
∑
α∈A xαeα, se ‖x‖2 =
∑
α∈A |xα|2. A recı´proca e´ obtida ao se tomar y = x no Lema
2.4.6. 2
A desigualdade de Bessel e´ absolutamente trivial no exemplo 2.4.1:∑
i∈F⊂A
|xi|2 ≤ ‖x‖2 =
n∑
i=1
|xi|2,
qualquer que seja o conjunto finito F ⊂ A = {1, . . . , n}. No exemplo 2.4.2 ela nos diz que∑
k∈Z
∣∣〈f, ei2pikt〉∣∣ =∑
k∈Z
∣∣∣∣∫ 1
0
f(t)e−i2piktdt
∣∣∣∣ ≤ ∫ 1
0
|f(t)|2dt.
Na realidade, nesse exemplo, a igualdade se verifica, como mostraremos oportunamente (veja a Proposic¸a˜o
2.7.1 e aplique enta˜o o Teorema 2.4.11).
2.4. BASES EM ESPAC¸OS PRE´-HILBERTIANOS 27
Esco´lio 2.4.8 Seja {eα}α∈A uma famı´lia ortonormal num espac¸o pre´-hilbertiano E e x ∈ E. Enta˜o o
conjunto
Mx = {eα : α ∈ A e 〈x, eα〉 6= 0}
e´ enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o: Seja n ∈ N∗ arbitra´rio. A demonstrac¸a˜o da desigualdade de Bessel garante que
In = {eα : α ∈ A e 〈x, eα〉 = |xα|2 > 1/n2}
e´ finito e que
Mx =
∞⋃
n=1
In
e´ enumera´vel. 2
Teorema 2.4.9 Sejam E um espac¸o de Hilbert, B = {eα}α∈A uma famı´lia ortonormal e {λα}α∈A
uma famı´liade escalares tais que {|λα|2}α∈A seja soma´vel. Enta˜o a famı´lia {λαeα} e´ soma´vel. Em
particular, se xα = 〈x, eα〉 ∈ K, enta˜o a famı´lia {xαeα}α∈A e´ soma´vel.
Demonstrac¸a˜o: Uma vez que E e´ completo, o Teorema 1.6.5 garante que basta provarmos que
{λαeα}α∈A e´ de Cauchy. Isto e´, dado � > 0, queremos provar que existe um conjunto finito F� ⊂ A
tal que, para todo subconjunto finito F ′ ⊂ A, com F ′ ∩ F� = ∅, temos ‖∑α∈F ′ λαeα‖ < �. Mas isso
decorre imediatamente de ‖∑α∈F ′ λαeα‖2 = ∑α∈F ′ |λα|2 e da hipo´tese de {|λα|2} ser soma´vel. No
caso particular de xα, isso e´ consequ¨eˆncia da desigualdade de Bessel, que garante que
∑
α∈A |xα|2 e´
soma´vel. 2
Observac¸a˜o 2.4.10 O Teorema 2.4.9 simplifica o enunciado do Lema 2.4.6: as famı´lias (xαeα) e
(yαeα) sempre sa˜o soma´veis! �
Teorema 2.4.11 (da base)
Seja B = {eα}α∈A uma famı´lia ortonormal num espac¸o pre´-hilbertiano E e F =< B >. Se
xα = 〈x, eα〉, sa˜o equivalentes as seguintes propriedades:
(i) para todo x ∈ E, temos x =∑α∈A xαeα;
(ii) para quaisquer x, y ∈ E, vale a identidade de Parseval
〈x, y〉 =
∑
α∈A
xαyα;
(iii) para todo x ∈ E temos
‖x‖2 =
∑
α∈A
|xα|2;
(iv) F , o conjunto das combinac¸o˜es lineares finitas de elementos de B, e´ denso em E;
28 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO
(v) Todo funcional linear contı´nuo f : E → K que se anula em B e´ identicamente nulo;
Quando E e´ um espac¸o de Hilbert, as propriedades anteriores sa˜o equivalentes a:
(vi) o sistema {eα}α∈A e´ maximal, isto e´, na˜o existe elemento 0 6= e ∈ E tal que e ⊥ eα para todo
α ∈ A.
Demonstrac¸a˜o: (i)⇒ (ii) ´E o resultado mostrado no Lema 2.4.6.
(ii)⇒ (iii) Tome y = x em (ii).
(iii) ⇒ (iv) Como ‖x−∑α∈F xαeα‖2 = ‖x‖2 −∑α∈F |xα|2, dado � > 0 existe F ⊂ A finito de
modo que o lado direito da igualdade acima seja menor do que �. Como∑α∈F xαeα ∈ F , o resultado
esta´ provado.
(iv) ⇒ (v) Dados x ∈ E e � > 0, existe F ⊂ A finito tal que ∥∥x−∑α∈F xαeα∥∥ < �. Mas
|f(x)| ≤ ∣∣f (x−∑α∈F xαeα)∣∣ + ∣∣f (∑α∈F xαeα)∣∣ ≤ ‖f‖�, pois f se anula em F . Como � e´ ar-
bitra´rio, f ≡ 0.
(v) ⇒ (i). Suponhamos que x 6= X = ∑α xαeα para algum x ∈ E. Decorre da desigualdade de
Bessel que ‖x‖2 −∑α∈A |xα|2 > 0. Seja Y =∑α yαeα e defina f : E → K por,
f(y) = 〈y, x〉 −
〈∑
α∈A
yαeα,
∑
α∈A
xαeα
〉
= 〈y, x〉 −
∑
α∈A
yαxα.
O funcional f e´ claramente contı´nuo e f(eα) = xα − xα = 0 para todo α ∈ A (veja o Lema 2.4.6).
Mas f(x) > 0, absurdo.
(v) ⇒ (vi). Se existe e ⊥ eα para todo α, com e 6= 0, enta˜o f(y) := 〈y, e〉 se anularia na famı´lia
{eα}α∈A, mas na˜o seria identicamente nulo, pois f(e) = ‖e‖ 6= 0.
(vi) ⇒ (i). Dado x ∈ E, do Teorema 2.4.9 segue-se que {xαeα}α∈A e´ soma´vel. Defina e :=
x −∑α∈A xαeα. Para todo eα, temos 〈e, eα〉 = eα − eα = 0. A condic¸a˜o (vi) implica e = 0, isto e´,
x =
∑
α∈A xαeα. 2
Observac¸a˜o 2.4.12 Observe que a implicac¸a˜o (v)⇒ (vi) na˜o exige que E seja completo; apenas para
espac¸os de Hilbert temos (vi)⇒ (i). A equivaleˆncia entre (i) e (iii) garante que (xαeα) e´ soma´vel se,
e somente se, (|xα|2) e´ soma´vel. (Compare com o Teorema 2.4.9.) Este resultado e´ chamado Teorema
de Riesz-Fischer. Mais adiante daremos uma outra versa˜o desse teorema. �
2.5 Base de Schauder
Definic¸a˜o 2.5.1 SejaE um espac¸o pre´-hilbertiano. Uma base de Schauder e´ um conjunto ortonormal
satisfazendo qualquer das propriedades equivalentes listadas no Teorema 2.4.11.
Vamos mostrar que todo espac¸o de Hilbert possui uma base de Schauder. Existem, entretanto, espac¸os
pre´-hilbertianos que na˜o a possuem.
Definic¸a˜o 2.5.2 Seja Z um conjunto qualquer e R uma relac¸a˜o definida entre alguns elementos de Z.
O conjunto Z e´ parcialmente ordenado pela relac¸a˜o R (ou R e´ uma ordem parcial em Z) se
(i) a relac¸a˜o R e´ reflexiva: zRz para todo z ∈ Z;
2.5. BASE DE SCHAUDER 29
(ii) a relac¸a˜o R e´ transitiva: zRy e yRw implicam zRw;
(iii) se zRy e yRz enta˜o z = y.
Se, para cada dois elementos z, y ∈ Z for va´lida uma das relac¸o˜es
zRy ou yRz
enta˜o dizemos que o conjunto Z e´ totalmente ordenado por R.
Exemplo 2.5.3 Seja Z = R e com a relac¸a˜o ≤. Imediatamente verificamos que R e´ um conjunto
totalmente ordenado pela relac¸a˜o ≤.
�
Exemplo 2.5.4 Seja X um conjunto qualquer e S ⊂ P um subconjunto qualquer do conjunto de todas
os subconjuntos de X . Enta˜o ⊂ e´ uma ordem parcial em S, como se verifica imediatamente.
�
Definic¸a˜o 2.5.5 Seja Z um conjunto parcialmente ordenado pela relac¸a˜o R e A ⊂ Z um subconjunto.
Um elemento a ∈ Z e´ uma cota superior para A se
yRa, ∀ y ∈ A.
O elemento a ∈ Z e´ maximal se aRy para algum y ∈ Z implicar a = y.
Note que a definic¸a˜o na˜o exige que a ∈ A, mas pede que a seja “compara´vel” com todo elemento
y ∈ A. O elemento maximal na˜o precisa ser “o maior elemento do conjunto Z”. ´E necessa´rio que na˜o
exista um elemento maior do que ele!
Exemplo 2.5.6 No exemplo 2.5.4, consideremos a relac¸a˜o de inclusa˜o definida em P e o conjunto
S ⊂ P . ´E claro que a unia˜o de todos os conjuntos de S e´ uma cota superior para S e que qualquer
outro conjunto em Z que contenha S tambe´m e´ outra cota superior para S.
�
Exemplo 2.5.7 Exemplo A.2, p. 158 Bachman-Narici.
�
Definic¸a˜o 2.5.8 Seja Z um conjunto parcialmente ordenado pela relac¸a˜o R. O conjunto Z e´ induti-
vamente ordenado se qualquer subconjunto totalmente ordenado de Z possuir uma cota superior em
Z.
Podemos agora enunciar o Lema de Zorn, que sera´ utilizado como se fosse um axioma:
Lema 2.5.9 (Zorn)
Todo conjunto na˜o-vazio indutivamente ordenado possui um elemento maximal.
O Lema de Zorn (que, na verdade e´ equivalente ao Axioma da Escolha) encontra muitas aplicac¸o˜es
na Matema´tica. Atrave´s dele se prova a existeˆncia de ideais maximais em um anel com unidade, que
todo espac¸o vetorial possui uma base (no sentido dos elementos do espac¸o serem combinac¸o˜es lineares
(finitas) dos elementos dessa base) e tambe´m o Teorema de Hahn-Banach. Mostraremos como o Lema
de Zorn e´ utilizado para se mostrar que todo espac¸o de Hilbert possui uma base de Schauder.
30 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO
Teorema 2.5.10 (Existeˆncia da base de Schauder)
Seja H 6= {0} um espac¸o de Hilbert. Se B0 e´ uma famı´lia ortonormal, enta˜o existe uma base de
Schauder S para H , com B0 ⊂ S.
Demonstrac¸a˜o: Uma vez que H 6= {0}, existe x ∈ H tal que {x/‖x‖} e´ um conjunto ortonormal.
Assim, um espac¸o de Hilbert na˜o trivial sempre possui uma famı´lia ortonormal.
Definimos
M = {B : B0 ⊂ B ⊂ H, B famı´lia ortonormal}.
O conjunto M na˜o e´ vazio, pois B0 ∈M. No conjunto M introduzimos a relac¸a˜o:
B1RB2 ⇔ B1 ⊂ B2.
Claramente R e´ uma ordem parcial em M (veja exemplo 2.5.4). Seja T um subconjunto totalmente
ordenado de M. Definimos enta˜o
S0 =
⋃
B⊂T
B.
Temos enta˜o:
(a) S0 ∈M, pois B0 ⊂ B para todo B ⊂ T . Assim, B0 ⊂ S0;
(b) S0 e´ uma famı´lia ortonormal. De fato, sejam x1, x2 ∈ S0. Enta˜o existem conjuntos B1 e B2 em
T tais x1 ∈ B1 e x2 ∈ B2. Mas enta˜o vale B1 ⊂ B2 ou B2 ⊂ B1. Suponhamos, portanto que
x1, x2 ∈ B2. Como B2 e´ ortonormal, 〈x1, x2〉 = δij .
(c) S0 e´ uma cota superior para T , pois se B ∈ T , enta˜o B ⊂ S0, ou seja, BRS0.
Assim, de acordo com o Lema de Zorn, existe um elemento maximal S para M. Esse conjunto e´ uma
famı´lia ortonormal. Afirmamos que ele e´ uma base de Schauder. De fato, se existisse 0 6= e ⊥ eα para
todo eα ∈ S, podemos supor que ‖e‖ = 1 e enta˜o S ∪ {e} seria uma famı´lia ortonormal em H tal que
S b S ∪ {e}, o que contradiz o fato de S ser maximal. Assim, S e´ uma base de Schauder, de acordo
com o Teorema 2.4.11. 2
Vamos agora mostrar que podemos definir a dimensa˜o de um espac¸o de Hilbert.
Teorema 2.5.11 Sejam S1 e S2 duas bases de Schauder no espac¸o de Hilbert H . Enta˜o S1 e S2
possuem a mesma cardinalidade, isto e´, existe uma aplicac¸a˜o bijetiva
ϕ : S1 → S2.
Demonstrac¸a˜o: Se a cardinalidade de S1 for finita,esse e´ um resultado conhecido da ´Algebra Linear.
Sejam, portanto, S1 = {eα : α ∈ A} e S2 = {fβ : β ∈ B}, sendo A e B conjuntos infinitos.
Enta˜o, fixado eα ∈ S1, o conjunto
Seα = {fβ ∈ S2 : 〈fβ, eα〉 6= 0}
na˜o e´ vazio: se esse fosse o caso, o Teorema 2.4.11 (vi) implicaria eα = 0, o que na˜o e´ possı´vel, pois
‖eα‖ = 1 para todo eα ∈ S1.
2.6. O TEOREMA DE RIESZ-FISCHER 31
Decorre imediatamente do esco´lio 2.4.8 que Seα e´ enumera´vel. Claramente vale⋃
α∈A
Seα ⊂ S2.
Por outro lado, se fβ ∈ S2, enta˜o fβ ∈ Seα para algum α ∈ A, de novo pelo Teorema 2.4.11 (vi).
Logo, ⋃
α∈A
Seα = S2. (2.6)
Se ℵA e ℵB sa˜o as cardinalidades dos conjuntos A e B, respectivamente, e ℵ0 a cardinalidade de N,
decorre de (2.6) que
ℵB ≤ ℵ0ℵA.
Como ℵ0ℵA = ℵA, provamos assim que ℵB ≤ ℵA. Revertendo o procedimento, obtemos ℵA ≤ ℵB. A
prova esta´, assim, completa. 2
Definic¸a˜o 2.5.12 A dimensa˜o de um espac¸o de Hilbert H e´ a cardinalidade de uma de suas bases de
Schauder.
2.6 O teorema de Riesz-Fischer
Vamos considerar agora a seguinte pergunta: escolhido um conjunto, existe um espac¸o de Hilbert com
dimensa˜o igual a` cardinalidade desse conjunto? Se o conjunto e´ finito e tem cardinalidade n, enta˜o a
resposta e´ claramente sim: Kn e´ um espac¸o de Hilbert. Vamos mostrar que a resposta a` nossa pergunta
e´ sempre afirmativa. Para isso, comec¸amos por generalizar o espac¸o `2.
Definic¸a˜o 2.6.1 Seja A um conjunto qualquer com cardinalidade ℵA. Definimos
`2(A) = {f : A→ K : {|f(t)|2}t∈A e´ soma´vel }.
Note que, de acordo com o Lema 1.6.4, o conjunto {t ∈ A : f(t) 6= 0} e´ enumera´vel. Assim, a
famı´lia {|f(t)|2}t∈A pode ser descrita por meio de uma se´rie
∑∞
n=1 |f(tn)|2. Como essa se´rie converge
absolutamente, ela tambe´m e´ comutativamente convergente.
O conjunto `(A) tem uma estrutura natural de espac¸o vetorial. Tambe´m podemos introduzir um
produto interno:
Teorema 2.6.2 Se f, g ∈ `2(A), definimos
〈f, g〉 =
∑
t∈A
f(t)g(t).
Com esse produto interno, `2(A) e´ um espac¸o de Hilbert de dimensa˜o ℵA e base ortonormal S = {et :
t ∈ A}, sendo
et(τ) =
{
1 se t = τ
0 se t 6= τ,
para todo τ ∈ A.
32 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO
Demonstrac¸a˜o: Para n ∈ N∗, sejam (tn) e (t′n) aqueles elementos emA tais que f(tn) 6= 0 e g(t′n) 6= 0,
respectivamente. Definimos enta˜o, para k ∈ N∗, a sequ¨eˆncia τk por τ2k−1 = tk, τ2k = t′k. Segue de
(1.1) a estimativa1
∞∑
k=1
|f(τk) + g(τk)|2 ≤ 4
∞∑
k=1
(|f(τk)|2 + |g(τk)|2) <∞.
Assim, f + g ∈ `2(A). Claramente αf ∈ `2(A), se α ∈ K e f ∈ `2(A). ´E fa´cil verificar que 〈f, g〉
define um produto interno.
Seja agora (fn) ⊂ `2(A) uma sequ¨eˆncia de Cauchy. Dado � > 0, existe n0 ∈ N∗ tal que, para
quaisquer m,n ≥ n0,
‖fm − fn‖ =
(∑
t∈M
|fm(t)− fn(t)|2
)1/2
< �. (2.7)
Assim, para cada t ∈ A, temos |fm(t) − fn(t)|2 ≤ �, o que garante que (fn(t)) e´ uma sequ¨eˆncia de
Cauchy para todo t ∈ A fixo. Como K e´ completo, existe f(t) := limn→∞ fn(t). Esta´ assim definida
uma func¸a˜o f : A→ K. Vamos mostrar que f ∈ `2(A).
Como fn ∈ `2(A), o conjunto In = {t ∈ A : fn(t) 6= 0} e´ enumera´vel. Assim,
I =
∞⋃
n=1
In
tambe´m e´ enumera´vel. Afirmamos que
If = {t ∈ A : f(t) 6= 0} ⊂ I,
de onde decorre imediatamente que If e´ enumera´vel. Para provar a nossa afirmac¸a˜o, basta notar que se
t 6∈ I , enta˜o fn(t) = 0 para todo n e, por consequ¨eˆncia, f(t) = 0.
Escrevendo o conjunto I como uma sequ¨eˆncia (tj), a desigualdade (2.7) nos mostra que temos,
para todo k ∈ N∗,
k∑
j=1
|fm(tj)− fn(tj)|2 ≤ �2,
se m,n ≥ n0. Tomando o limite quando m→∞, obtemos
k∑
j=1
|f(tj)− fn(tj)|2 ≤ �2
e, quando k →∞, ∑
t∈I
|f(t)− fn(t)|2 ≤ �2.
1De acordo com o exercı´cio 19, temos
∞∑
k=1
|f(τk) + g(τk)|2 ≤ 2
∞∑
k=1
(|f(τk)|2 + |g(τk)|2) <∞.
2.6. O TEOREMA DE RIESZ-FISCHER 33
Daı´ segue-se que ∑
t∈A
|f(t)− fn(t)|2 ≤ �2,
pois fn(t) e f(t) se anulam quando t ∈ A \ I . Isso mostra que
‖f − fn‖ ≤ � (2.8)
e, portanto, f − fn ∈ `2(A). Assim, f = fn + (f − fn) ∈ `2(A). Da desigualdade (2.8) segue-se que
fn → f em `2(A), o que mostra que `2(A) e´ um espac¸o de Hilbert.
Uma vez que 〈f, eτ 〉 = f(τ) e f(t) =
∑
τ∈A f(t)eτ (t), vemos que S e´ uma base ortonormal com
cardinalidade A. 2
Definic¸a˜o 2.6.3 Sejam (E, 〈·, ·〉1) e (F, 〈·, ·〉2) espac¸os pre´-hilbertianos. Um isomorfismo entre E e
F e´ uma aplicac¸a˜o linear bijetiva f : E → F tal que, para quaisquer x, y ∈ E,
〈x, y〉1 = 〈f(x), f(y)〉2.
Teorema 2.6.4 (Riesz-Fischer)
Seja H um espac¸o de Hilbert sobre o corpo K. Enta˜o existe um conjunto A tal que H e´ isomorfo a
`2(A) (sobre o corpo K).
Demonstrac¸a˜o: Seja S = {fα : α ∈ A} uma base de Schauder para H . (Essa base existe, de acordo
com o Teorema 2.5.10.) Considere o espac¸o `2(A) e a base de Schauder S ′ = {eα : α ∈ A} dada pelo
Teorema 2.6.2.
Decorre do Teorema 2.4.11 que (|xα|2) e´ uma famı´lia soma´vel. Assim, existe∑
α∈A
〈x, fα〉eα.
Definimos
φ : H → `2(A)
x 7→
∑
α∈A
〈x, fα〉eα.
(A imagem de φ no ponto x e´ a func¸a˜o g : A → K que assume o valor ∑α∈A〈x, fα〉eα(t) = xt no
ponto t ∈ A.)
O Teorema 2.4.11 nos garante que ‖φ(x)‖ = ∑α∈A |xα|2 = ‖x‖2. Isso garante que φ e´ uma
isometria e, portanto, injetiva. (Veja o exercı´cio 9.)
Seja g ∈ `2(A). O Teorema 2.4.11 garante que ‖g‖2 =∑β∈A |gβ|2 =∑β∈A |〈g, eβ〉|2. Considere
y =
∑
β gβfβ . (Como se garante que (gβfβ) e´ soma´vel?)
Enta˜o
φ(y) =
∑
α∈A
〈∑
β∈A
gβfβ, fα
〉
eα =
∑
α∈A
gαeα = g,
de acordo com o Lema 2.4.6 e o Teorema 2.4.11. Isso mostra que φ e´ sobrejetiva. 2
34 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO
2.7 Se´ries de Fourier em L2([0,1])
ISSO FICA PARA DEPOIS.
Proposic¸a˜o 2.7.1 O conjunto {ei2pikt : k ∈ Z} forma uma base de Schauder para o conjuntoL2([0, 1]).
Demonstrac¸a˜o: Pela construc¸a˜o do espac¸o L2([0, 1]), temos que CL2(T ) e´ denso em L2([0, pi]). Basta,
portanto, provar que {ei2pikt : k ∈ Z} e´ denso em CL2(T ). Assim, de acordo com a propriedade (iv)
do Teorema 2.4.11, dados � > 0 e f ∈ CL2(T ), queremos provar que existe um subconjunto finito
F ⊂ Z e escalares λk, com k ∈ F , tais que∫ 1
0
∣∣∣∣f(t)−∑
k∈F
λke
i2pikt
∣∣∣∣2dt < �2.
Mas isto e´ consequ¨eˆncia do Teorema de Stone-Weierstraß (veja [14], pp. 261-264). Alternativamente,
veja a bela demonstrac¸a˜o dada em [16], 4.24. 2
2.8 Exercı´cios
1. Seja X um espac¸o normado no qual vale a identidade do paralelogramo. Mostre que X e´ um
espac¸o pre´-hilbertiano, a norma de X sendo proveniente do produto interno nesse espac¸o.
2. Seja `0 o conjunto de todas as sequ¨eˆncia infinitas de nu´meros complexos (z1, z2, . . . , zn, . . .) tais
que zn = 0 exceto para um nu´mero finito de ı´ndices n. Mostre que `0 e´ um subespac¸o pro´prio
de `2. Ache uma base de Schauder para `0(C).
3. Seja X o espac¸o das func¸o˜es f : [a, b]→ C de classe C1. Defina, para f, g ∈ X ,
〈f, g〉 :=
∫ b
a
f ′(x)g′(x)dx.
(a) 〈·, ·〉 e´ um produto interno?
(b) Considere F = {f ∈ X : f(a) = 0}. Em F , 〈·, ·〉 e´ um produto interno?
4. Mostre que a norma em C0([a, b],C) na˜o e´ gerada por um produto interno.
5. Deˆ exemplo de um conjunto limitado e fechado, num espac¸o de Hilbert, que na˜o e´ compacto.
Definic¸a˜o 2.8.1 Seja E um espac¸o pre´-hilbertiano. Uma sequ¨eˆncia (xn) em E converge fracamente
para um vetor x ∈ E se, para todo funcional linear contı´nuo f : H → K, temos f(xn) → f(x).
Denotamos enta˜o xn ⇀ x.
6. Mostre que xn ⇀ x implica que 〈xn, y〉 → 〈x, y〉 para todo y ∈ E. Se E e´ um espac¸o de Hilbert,
vale a recı´proca.
7. Deˆ um exemplo mostrando que xn ⇀ x na˜o implica xn → x.
2.8. EXERCI´CIOS 35
8. Mostre que xn → x se, e somente se, xn ⇀ x e ‖xn‖ → ‖x‖.
9. Seja f : E → F e´ uma bijec¸a˜o linear entre os espac¸os pre´-hilbertianos E e F . Enta˜o f e´ um
isomorfismo se, e somente se, e´ uma isometria, isto e´, ‖x‖1 = ‖f(x)‖2 para todo x ∈ E.
10. Mostreque todo espac¸o de Hilbert separa´vel (isto e´, ele possui um subconjunto enumera´vel
denso) possui uma base de Schauder enumera´vel.
11. Mostre que se um espac¸o de Hilbert possui uma base de Schauder enumera´vel, enta˜o ele e´ se-
para´vel.
12. Mostre que `2 = `2(N). Isto e´, a definic¸a˜o do espac¸o `2 coincide com a definic¸a˜o do espac¸o
`2(A) quando A = N.
13. O Teorema de Representac¸a˜o de Riesz garante que, para todo funcional linear f ∈ H ′, existe um
u´nico elemento xf tal que f(x) = 〈x, xf〉 para todo x ∈ H . Considere T : H ′ → H a aplicac¸a˜o
que associada a cada f ∈ H ′ o elemento xf ∈ H . Mostre que T (f + g) = T (f) + T (g),
T (αf) = αT (f), ‖Tf‖ = ‖f‖ e que T e´ sobre.
14. Mostre que todo subespac¸o de um espac¸o vetorial e´ convexo; que translac¸o˜es de conjuntos con-
vexos sa˜o conjuntos convexos; que qualquer intersec¸a˜o de conjuntos convexos e´ um conjunto
convexo (mesmo que vazio). Mostre tambe´m que, se p e´ uma semi-norma2 em E, enta˜o, para
todo r ≥ 0, os conjuntos
{x ∈ E : p(x) ≤ r} e {x ∈ E : p(x) < r}
sa˜o convexos.
15. Seja F ⊂ E um subespac¸o completo do espac¸o pre´-hilbertiano E, com F 6= {0}. Como no
Corola´rio 2.3.5 defina, para todo x ∈ E, piF (x) = xF . Mostre que pi : E → F e´ um operador
linear tal que ‖piF‖ = 1, pi2F = piF e que x− piFx ∈ F⊥. Definindo piG = I − piF , mostre que piG
tem as mesmas propriedades de piF . Esses operadores sa˜o as projec¸o˜es lineares nos subespac¸os
F e G, respectivamente.
16. Lembramos que um conjunto X de um espac¸o vetorial V e´ linearmente dependente se existe
um nu´mero finito de vetores e1, . . . , en ∈ X e escalares λ1, . . . , λn na˜o todos nulos, tais que
λ1e1 + . . . + λnen = 0. Caso contra´rio, o conjunto X e´ linearmente independente. Mostre que
se {eα}α∈A for uma famı´lia ortogonal, enta˜o ela e´ linearmente independente.
17. Considere o espac¸o de Banach X = R2 com ‖(x, y)‖ = max{|x|, |y|}. Mostre que X na˜o
satisfaz a Proposic¸a˜o 2.2.4.
18. Considere o espac¸o de Hilbert H = L2([a, b]) e fixe t0 ∈ [a, b]. Defina F : H → K por
F (f) = f(t0), para todo f ∈ H . Mostre que F e´ um funcional linear que na˜o e´ contı´nuo.
19. Seja F ⊂ H um subespac¸o fechado do espac¸o de HilbertH . Seja f : F → K um funcional linear
contı´nuo. Mostre que existe um funcional linear f˜ : H → K que estende f , com ‖f˜‖ = ‖f‖.
Esse resultado pode ser generalizado para espac¸os de Banach (chama-se Teorema de Hahn-
Banach), mas a demonstrac¸a˜o enta˜o na˜o e´ trivial.
2Uma semi-norma e´ uma func¸a˜o na˜o-negativa p que satisfaz as propriedades (i) e (ii) da definic¸a˜o 1.1.5.
36 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS COM PRODUTO INTERNO
20. Deˆ uma demonstrac¸a˜o alternativa da igualdade supF⊂A
∑
α∈F |xα|2 =
∑
α∈A |xα|2 (veja a desi-
gualdade de Bessel 2.4.7). Para isto, aplique o Lema 1.6.4 e enta˜o passe ao limite.
21. Seja H um espac¸o de Hilbert de dimensa˜o infinita. Mostre que uma base de Schauder em H
nunca e´ uma base do espac¸o vetorial H .
22. Seja S = {en} um conjunto ortonormal num espac¸o de Hilbert e F o fecho do subespac¸o
das combinac¸o˜es lineares (finitas) dos elementos de S. Mostre que todo x ∈ F e´ da forma
x =
∑∞
n=1 cnen.
23. O cubo de Hilbert e´ o conjunto dos pontos x = (x1, . . . , xn, . . .) ∈ `2 tais que xi ≤ 1/i. Mostre
que o cubo de Hilbert e´ um conjunto compacto.
Capı´tulo 3
Operadores lineares compactos
Seja B a bola unita´ria no espac¸o considerado.
3.1 Definic¸o˜es e propriedades ba´sicas
Definic¸a˜o 3.1.1 Sejam X e Y espac¸os de Banach. Um operador linear T : X → Y e´ compacto1 se
T (B) for compacto em Y . Seja K(X, Y ) o conjunto de operadores compactos.
Decorre imediatamente da definic¸a˜o que K(X, Y ) ⊂ L(X,Y ).
Teorema 3.1.2 Sejam X e Y espac¸os de Banach. As seguintes afirmac¸o˜es a respeito de T ∈ L(X,Y )
sa˜o equivalentes:
(i) T e´ compacto;
(ii) M ⊂ X e´ limitado ⇒ T (M) e´ compacto;
(iii) Se (xk) for uma sequ¨eˆncia limitada emX enta˜o (Txk) possui uma subsequ¨eˆncia convergente em
Y ;
Demonstrac¸a˜o: (i) ⇒ (ii) Tome r > 0 tal que M ⊂ Br(0). A linearidade de T garante que T (B) e´
compacto se, e somente se, T (Br(0)) for compacto. Como T (M) ⊂ T (Br(0)) e´ fechado, temos que
T (M) e´ compacto.
(ii)⇒ (i) e´ o´bvio.
(ii)⇔ (iii) Em espac¸os me´tricos, as noc¸o˜es de compacto e sequ¨encialmente compacto se identifi-
cam. 2
Lema 3.1.3 Sejam X , Y e Z espac¸os de Banach.
(i) Sejam T1 ∈ L(X, Y ) e T2 ∈ L(Y, Z). Se T1 ∈ K(X,Y ) ou T2 ∈ K(Y, Z), enta˜o T2T1 :=
T2 ◦ T1 ∈ K(X,Z).
1Operadores compactos tambe´m sa˜o chamados de completamente contı´nuos. Alguns livros, especialmente europeus,
da˜o um outro significado para um operador compacto.
37
38 CAPI´TULO 3. OPERADORES LINEARES COMPACTOS
(ii) K(X, Y ) e´ um subespac¸o fechado de L(X, Y ) e, portanto, um espac¸o de Banach.
Demonstrac¸a˜o: (i) Seja (xn) uma sequ¨eˆncia limitada em X . Enta˜o (T1xn) e´ limitada em Y . Se T2
for compacto, existe enta˜o uma subsequ¨eˆncia (T2T1xnj) convergente. Se T1 for compacto, existe uma
subsequ¨eˆncia (T1xnj) convergente, e como T2 e´ contı´nua, (T2T1xnj) converge.
(ii) Suponhamos que Tn ∈ K(X, Y ) e ‖Tn − T‖ → 0 em L(X, Y ). Uma vez que L(X, Y ) e´ um
espac¸o me´trico completo, para verificarmos que T ∈ K(X, Y ) basta mostrarmos que, dado � > 0,
T (B) pode ser coberto por um nu´mero finito de bolas B�(yi) ⊂ Y . Fixe n tal que ‖Tn − T‖ < �/2.
Como Tn(B) e´ relativamente compacto, Tn(B) ⊂
⋃i0
i=1B�/2(yi). Mas enta˜o T (B) ⊂
⋃i0
i=1B�(yi). 2
Observac¸a˜o 3.1.4 Notamos que a inversa de um operador linear compacto, caso exista, na˜o pode ser
contı´nua, se estivermos em espac¸o de dimensa˜o infinita: a identidade seria enta˜o compacta! Veja o
Corola´rio 1.3.10.
Uma classe importante de operadores compactos e´ a dos operadores de dimensa˜o finita, isto e´,
aqueles T ∈ L(X, Y ) tais que dim R(T ) < ∞, em que R(T ) denota a imagem do operador T . Se Y
for um espac¸o de Hilbert, pode-se mostrar que todo operador T ∈ K(X, Y ) pode ser aproximado por
operadores Tn de dimensa˜o finita2. O resultado e´ falso para espac¸os de Banach arbitra´rios. �
3.2 O operador adjunto
Definic¸a˜o 3.2.1 Seja E um espac¸o pre´-hilbertiano e T : E → E um operador linear. Dizemos que
um operador linear T ∗ : E → E e´ o adjunto de T se, para todos x, y ∈ E, temos
〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉.
´E imediato que o adjunto de T , quando existe, e´ u´nico. Nesse caso, T ∗∗ = (T ∗)∗ = T .
Exemplo 3.2.2 Sejam E = Cn e (aij), i, j = 1, . . . , n, a matriz que representa o operador A : Cn →
Cn com relac¸a˜o a` base canoˆnica. Assim, aij = 〈Aej, ei〉. Enta˜o o operador A∗ e´ a matriz adjunta de
(aij). De fato, se denotamos B = (a∗ij) = (aji) a matriz adjunta de A, enta˜o
〈ei, Bej〉 = 〈Bej, ei〉 = a∗ij = aji = 〈Aei, ej〉.
A unicidade de A∗ garante enta˜o que A∗ = (a∗ij).
Proposic¸a˜o 3.2.3 Sejam E um espac¸o pre´-hilbertiano e T : E → E um operador limitado. Enta˜o
‖T‖ = sup
‖x‖=1
|〈Tx, x〉|.
Demonstrac¸a˜o: Inicialmente, afirmamos que
‖T‖ = sup
‖x‖=1=‖y‖
|〈Tx, y〉|.
2Veja [3], p. 90.
3.2. O OPERADOR ADJUNTO 39
De fato, da desigualdade de Cauchy-Schwarz decorre |〈Tx, y〉| ≤ ‖Tx‖ ‖y‖ ≤ ‖T‖ ‖x‖ ‖y‖. Logo
sup
‖x‖=1=‖y‖
|〈Tx, y〉| ≤ ‖T‖.
Por outro, se ‖Tx‖ 6= 0,
‖T‖ = sup
‖x‖=1
‖Tx‖ = sup
‖x‖=1
〈Tx, Tx/‖Tx‖〉 ≤ sup
‖x‖=1=‖y‖
|〈Tx, y〉|.
Seja k := sup‖x‖=1 |〈Tx, x〉|. Como antes, |〈Tx, x〉| ≤ ‖Tx‖ ‖x‖ ≤ ‖T‖ ‖x‖2 e portanto k ≤ ‖T‖.
Por outro lado, e´ imediato que
Re 〈Tx, y〉 = 1
4
{〈T (x+ y), x+ y〉 − 〈T (x− y), x− y〉}.
Decorre daı´,
|Re 〈Tx, y〉| ≤ 1
4
{|〈T (x+ y), x+ y〉|+ |〈T (x− y), x− y〉|}
≤ 1
4
k(‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2) = 1
2
k(‖x‖2 + ‖y‖2),
pois |〈Tx, x〉| ≤ k‖x‖2. A igualdade final decorre da identidade do paralelogramo.
Assim, para ‖y‖ = 1 = ‖x‖, temos
|Re 〈Tx, y〉| ≤ k.
Escolhendo y com ‖y‖ = 1 tal que 〈Tx, y〉 ∈ R, obtemos
|〈Tx, y〉| ≤ k.
Logo
‖T‖ = sup
‖x‖=1=‖y‖
|〈Tx, y〉| ≤ k.
2
Proposic¸a˜o 3.2.4 Sejam