LÓGICA FORMAL - introdução

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CAPÍTULO 1 - LÓGICA FORMAL 
 
PROPOSIÇÕES CONECTIVOS E NEGAÇÃO: 
Definição: Uma proposição ou sentença é uma expressão de uma dada linguagem que pode ser 
classificada como verdadeira ou falsa, de maneira exclusiva, em um dado contexto. 
Exemplos de proposições: 
 Dez é menor do que sete. 
 A cidade de Niterói é bonita. 
 Paulo é alto e inteligente. 
 O rio é raso ou está poluído. 
 Se 2 é par então 3 é menor que 2. 
 
Não são proposições: 
 Estude para a prova. 
 A cadeira do papai. 
 1 + 2 
 {a, b, c, d} 
 
Definição: Um conectivo é uma expressão de uma dada linguagem, utilizada para formar sentenças 
compostas a partir de proposições simples. 
Exemplo 1.1: 
São dadas duas proposições: 
p: O triângulo ABC é retângulo. q: O triângulo ABC é isósceles. 
Podemos formar outras proposições: 
Proposição Tipo de conectivo Simbolização 
O triângulo ABC é retângulo e isósceles. Conjunção 𝑝 ∧ 𝑞 
O triângulo ABC é retângulo ou isósceles. Disjunção 𝑝 ∨ 𝑞 
O triângulo ABC não é retângulo. Negação ~𝑝 ou ¬𝑝 ou 𝑝′ 
Se o triângulo ABC é retângulo então é iscósceles. Condicional 𝑝 → 𝑞 
O triângulo ABC é retângulo se e somente se é isósceles. Bicondicional 𝑝 ↔ 𝑞 
 
Observação: Devemos ter cuidado para evitar casos ambíguos, como por exemplo: 
 João e Maria são casados. 
 Traga sua esposa ou venha sozinho e tenha uma noite agradável. 
 
Neste último caso, a escrita na lingua portuguesa exige uma vírgula para desfazer a dúvida. Na 
simbolização, será necessário o uso de parênteses. 
Observação: A condicional 𝑝 → 𝑞 pode ser reescrita de outras formas: 
 Se faz sol então João vai à praia. 
 João vai à praia sempre que faz sol. 
 Caso faça sol, João vai à praia. 
 Faz sol, logo João vai à praia. 
 Fazer sol é condição suficiente para João ir à praia. 
 João ir à praia é condição necessária para fazer sol. 
 
TABELAS VERDADE 
 O valor verdade de uma proposição pode ser verdadeiro (V) ou falso (F). Uma sentença recebe 
um único valor verdade: V ou F. Avaliar uma sentença significa determinar seu valor verdade. 
 A seguir veremos como avaliar valores verdade de sentenças compostas, isto é, formadas por 
proposições simples e conectivos. Para tal, faremos uso de tabelas que apresentam os possíveis 
valores verdades para as sentenças simples, chamadas tabelas verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construção de tabelas verdade de outras proposições: 
 Em primeiro lugar, determine as variações de V e F para as proposições simples que formam a 
proposição a ser avaliada. O número de variações possíveis será o número de linhas da tabela. Por 
exemplo, com três proposições (p, q, r) teremos oito linhas, que correspondem às oito variações 
possíveis. De forma geral, se temos n proposições simples, teremos 2𝑛 linhas. 
 Para avaliar a proposição composta, devemos respeitar regras de prioridade, assim como na 
álgebra das operações numéricas. Veja a ordem de prioridade a seguir: 
1) Parênteses, de dentro para fora; 
2) Negações; 
3) Conjunções e disjunções; 
4) Condicionais; 
Tabela da negação: 
𝑝 ~𝑝 
V F 
F V 
 
Tabela da conjunção: 
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Tabela da disjunção: 
𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Tabela da condicional: 
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Tabela da bicondicional: 
𝑝 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
5) Bicondicionais. 
 
Exemplo 1.2: 
Construir a tabela verdade das seguintes proposições: 
1) ~(𝑝 ∧ ~𝑞) 
2) 𝑝 ∨ ~𝑟 → 𝑞 ∧ ~𝑟 
3) ~𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑝 
4) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∧ 𝑞) 
5) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑝 → (𝑞 → 𝑝) 
 
Solução: 
1 
𝑝 𝑞 ~𝑞 𝑝 ∧ ~𝑞 ~(𝑝 ∧ ~𝑞) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V F V 
 
2 
𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑟 𝑝 ∨ ~𝑟 𝑞 ∧ ~𝑟 𝑝 ∨ ~𝑟 → 𝑞 ∧ ~𝑟 
V V V F V F F 
V V F V V V V 
V F V F V F F 
V F F V V F F 
F V V F F F V 
F V F V V V V 
F F V F F F V 
F F F V V F F 
 
Exemplo 1.3: 
Determinar os valores lógicos de 𝑝 e 𝑞, denotados por 𝑉(𝑝) e 𝑉(𝑞), sabendo que: 
1) 𝑉(𝑝 → 𝑞) = 𝑉 e 𝑉(𝑝 ∧ 𝑞) = 𝐹 
2) 𝑉(𝑝 → 𝑞) = 𝑉 e 𝑉(𝑝 ∨ 𝑞) = 𝐹 
3) 𝑉(𝑝 ↔ 𝑞) = 𝑉 e 𝑉(𝑝 ∧ 𝑞) = 𝑉 
4) 𝑉(𝑝 ↔ 𝑞) = 𝑉 e 𝑉(𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑉 
5) 𝑉(𝑝 ↔ 𝑞) = 𝐹 e 𝑉(~𝑝 ∧ 𝑞) = 𝑉 
 
Solução: 
1 
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 
V V V V 
V F F F 
F V V F 
F F V F 
Resposta: 
𝑉(𝑝) = 𝐹 𝑒 𝑉(𝑞) = 𝑉 
ou 
𝑉(𝑝) = 𝐹 𝑒 𝑉(𝑞) = 𝐹 
 
 
3 
𝑝 𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 
V V V V 
V F F F 
F V F F 
F F V F 
 
 
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 
Definição: Uma tautologia é uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro, para quaisquer 
valores lógicos atribuídos às proposições simples que a compõe. 
Exemplo 1.4: 
1) 𝑝 ∨ ~𝑝 
2) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑝 → 𝑞 
3) (𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝 → 𝑞 
4) (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ∨ 𝑞) 
 
Definição: Uma contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso, para quaisquer 
valores lógicos atribuídos às proposições simples que a compõe. 
Exemplo 1.5: 
1) 𝑝 ∧ ~𝑝 
2) (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∨ 𝑞) 
3) (𝑝 → 𝑞) ↔ (𝑝 ∧ ~𝑞) 
 
Definição: Uma contingência é uma proposição cujo valor lógico é variável, dependendo dos valores 
lógicos atribuídos às proposições simples que a compõe. 
Exemplo 1.6: 
1) 𝑝 → ~𝑝 
2) 𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑝 
3) 𝑝 → 𝑝 ∧ 𝑞 
 
EXERCÍCIOS 1.1: 
Verifique se as proposições são tautologia, contradição e contingência: 
a) (𝑝 → 𝑝) ∨ (𝑝 → ~𝑝) 
b) (𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝 → 𝑞 
c) ((𝑝 → 𝑞) ↔ 𝑞) → 𝑝 
d) (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞 → 𝑝 
e) 𝑝 ∨ ~𝑞 → (𝑝 → ~𝑞) 
f) 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ ~𝑝) 
g) (𝑝 → 𝑞) → (𝑝 ∧ 𝑟 → 𝑞) 
h) 𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑝 ∧ 𝑞 
i) ~𝑝 ∨ ~𝑞 → (𝑝 → 𝑞) 
 
Resposta: 
𝑉(𝑝) = 𝑉 𝑒 𝑉(𝑞) = 𝑉 
 
 
IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
Definição: Dadas duas proposições P e Q, compostas ou não, dizemos que P implica em Q quando a 
condicional 𝑃 → 𝑄 é uma tautologia. Ou ainda, P implica em Q quando sempre que P for verdadeira, 
Q também é. Denotamos: 𝑃 ⇒ 𝑄 
Exemplo 1.7: 
1) (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞 ⇒ ~𝑝 
 
Construimos a tabela verdade: 
 
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 ~𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞 ~𝑝 
V V V F F F 
V F F V F F 
F V V F F V 
F F V V V V 
 
Note que na única linha em que a proposição (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞 é verdadeira, temos também ~𝑝 
verdadeira. Isso comprova a implicação. 
 
2) (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟) ⇒ 𝑝 → 𝑟 
 
Complete a tabela verdade e conclua: 
 
𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑟 (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟) 𝑝 → 𝑟 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
 
Definição: Dadas duas proposições P e Q, compostas ou não, dizemos que P é equivalente a Q 
quando a bicondicional 𝑃 ↔ 𝑄 é uma tautologia. Ou ainda, P é equivalente a Q quando suas colunas 
na tabela verdade são idênticas. Denotamos 𝑃 ⇔ 𝑄. 
Exemplo 1.8: 
1) ~(𝑝 ∧ 𝑞) ⇔ ~𝑝 ∨ ~𝑞 
 
Construimos a tabela verdade: 
 
𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ~(𝑝 ∧ 𝑞) ~𝑝 ~𝑞 ~𝑝 ∨ ~𝑞 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
Note que as colunas referentes às proposições ~(𝑝 ∧ 𝑞) e ~𝑝 ∨ ~𝑞 são idênticas. Isso 
comprova a equivalência. 
 
2) 𝑝 → 𝑞 ⇔ 𝑝 ∧ ~𝑞 → 𝑐 , onde 𝑐 é uma contradição, isto é, falsa. 
 
Complete a tabela verdade e conclua: 
𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 ~𝑞 𝑝 ∧ ~𝑞 𝑝 ∧ ~𝑞 → 𝑐 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL 𝑝 → 𝑞 
 Recíproca: 𝑞 → 𝑝 
 Contrária: ~𝑝 → ~𝑞 
 Contrapositiva: ~𝑞 → ~𝑝 
EXERCÍCIOS 1.2: 
1) Demonstrar as seguintes implicações: 
a) 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝 ↔ 𝑞 
b) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑞 ⇒ 𝑝 
c) (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟) ⇒ 𝑝 → 𝑟 
d) 𝑝 ∧ ~𝑝 ⇒ 𝑞 
 
2) Demonstrar a não
validade das implicações: 
a) 𝑝 → 𝑞 ⇒ ~𝑝 → ~𝑞 
b) 𝑝 ⇒ 𝑝 ∧ 𝑞 
c) 𝑝 ∨ 𝑞 ⇒ 𝑞 
 
3) Verifique a validade ou não das seguintes equivalências: 
a) 𝑝 ↔ 𝑞 ⇔ (~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑝) 
b) 𝑝 ∨ 𝑞 ⇔ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~(𝑝 ∧ 𝑞) 
c) (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑝 → 𝑟) ⇔ 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) 
d) (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 ⇔ 𝑝 ∧ ~𝑟 → ~𝑞 
e) 𝑝 → 𝑞 ⇔ ~𝑞 → ~𝑝 
 
4) Enuncie as proposições recíproca e contrapositiva das seguintes afirmaçõe: 
a) Se 𝑥 < 0 então √𝑥² = −𝑥 
b) Se 𝑥 possui raíz quadrada então 𝑥 é não negativo 
c) Se uma função é derivável então é contínua 
d) Se 𝑥² é múltiplo de três então 𝑥 é múltiplo de três 
e) Se a chuva continuar então o rio irá transbordar. 
f) Uma condição suficiente para a falha de uma rede elétrica é que a chave central desligue. 
g) Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios. 
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 
 Veremos aqui propriedades e equivalências notáveis sobre os conectivos. 
1) Propriedades da conjunção: 
a) Idempotente: 𝑝 ∧ 𝑝 ⇔ 𝑝 
b) Comutativa: 𝑝 ∧ 𝑞 ⟺ 𝑞 ∧ 𝑝 
c) Associativa: (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ⟺ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) 
d) Identidade: 𝑝 ∧ 𝑡 ⟺ 𝑝 e 𝑝 ∧ 𝑐 ⟺ 𝑐 , onde 𝑡 é uma tautologia e 𝑐 é uma contradição. 
 
2) Propriedades da disjunção: 
a) Idempotente: 𝑝 ∨ 𝑝 ⇔ 𝑝 
b) Comutativa: 𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ 𝑞 ∨ 𝑝 
c) Associativa: (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ⟺ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) 
d) Identidade: 𝑝 ∨ 𝑡 ⟺ 𝑡 e 𝑝 ∨ 𝑐 ⟺ 𝑝 , onde 𝑡 é uma tautologia e 𝑐 é uma contradição. 
 
3) Propriedades da conjunção e disjunção: 
a) Distributivas: 
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) 
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ⟺ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) 
 
b) Absorção: 
𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ⟺ 𝑝 
𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ⟺ 𝑝 
 
c) Regras de De Morgan (1806 – 1871) 
~(𝑝 ∧ 𝑞) ⟺ ~𝑝 ∨ ~𝑞 
~(𝑝 ∨ 𝑞) ⟺ ~𝑝 ∧ ~𝑞 
 
4) Negação da condicional: 
Vimos anteriormente que (𝑝 → 𝑞) ↔ (~𝑝 ∨ 𝑞) . 
Logo temos a equivalência: (𝑝 → 𝑞) ⟺ (~𝑝 ∨ 𝑞) 
Assim, ~(𝑝 → 𝑞) ⟺ ~(~𝑝 ∨ 𝑞) ⇔ 𝑝 ∧ ~𝑞 
∴ ~(𝑝 → 𝑞) ⟺ 𝑝 ∧ ~𝑞 
 
5) Negação da bicondicional: 
Verifique, por tabela verdade, que valem as seguintes equivalências: 
 
~(𝑝 ↔ 𝑞) ⇔ 𝑝 ↔ ~𝑞 ⇔ ~𝑝 ↔ 𝑞 
 
ARGUMENTOS: 
Veja o seguinte exemplo de argumentação. 
“Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou 
João viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de setembro, então João não viu a faca. Além disso, 
se a faca estava lá no dia 10 de setembro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava na 
garagem. Mas sabemos que o martelo não estava na garagem. Portanto, senhoras e senhores, meu 
cliente é inocente.” 
Aqui estudaremos técnicas que vão servir para testar e comprovar a sua validade ou a sua falsidade. 
 
Definição: Sejam 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 e 𝑄 proposições quaisquer, simples ou compostas. Chama-se 
argumento toda a afirmação de que a sequência de proposições 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛tem como consequência 
a proposição final 𝑄. As proposições 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 são as premissas da arumentação e 𝑄 a conclusão. 
Denotamos um argumento por: 
𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 ⊢ ou também 𝑃1 ∧ 𝑃2 ∧ … ∧ 𝑃𝑛 → 𝑄 
 
Todo argumento pode ser interpretado também como uma implicação lógica, podendo assim 
ter sua validade verificada por meio de tabela verdade. Ocorre que podemos ter muitas proposições 
simples envolvidas, necessitando uma tabela verdade muito grande. Dessa forma, para comprovar ou 
demonstrar sua validade, faremos uso das equivalências notáveis vistas acima e de argumentos 
válidos fundamentais, conhecidos por Regras de Inferências. 
 
REGRAS DE INFERÊNCIAS: 
 
Adição AD 𝑝 ⊢ 𝑝 ∨ 𝑞 
Simplificação SIMP 𝑝 ∧ 𝑞 ⊢ 𝑝 
Conjunção CONJ 𝑝 , 𝑞 ⊢ 𝑝 ∧ 𝑞 
Absorção ABS 𝑝 → 𝑞 ⊢ 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞) 
Modus Ponens MP 𝑝 → 𝑞 , 𝑝 ⊢ 𝑞 
Modus Tollens MT 𝑝 → 𝑞 , ~𝑞 ⊢ ~𝑝 
Silogismo Disjuntivo SD 𝑝 ∨ 𝑞 , ~𝑝 ⊢ 𝑞 
Silogismo Hipotético SH 𝑝 → 𝑞 , 𝑞 → 𝑟 ⊢ 𝑝 → 𝑟 
 
Exemplos de uso das regras de inferência: 
1) Adição: Podemos introduzir qualquer proposição desejada por meio do “ou”. 
a) A partir da proposição ~𝑝 podemos introduzir, por exemplo, ~𝑝 ∨ 𝑠. 
b) A partir da proposição 𝑝 ∧ 𝑞, podemos introduzir, por exemplo, (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ~𝑟. 
 
2) Simplificação: Se duas afirmações são verdadeiras simultaneamente, então cada uma 
também será válida. 
a) A partir de (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟, podemos deduzir (𝑝 ∨ 𝑞). Assim como também 𝑟. 
b) A partir de ~𝑝 ∧ (𝑟 → 𝑠), podemos deduzir ~𝑝. Assim como também (𝑟 → 𝑠). 
 
3) Conjunção: Se duas sentenças são verdadeiras separadamente, então serão simultaneamente 
verdadeiras. 
a) A partir de 𝑝 ∨ 𝑞 e ~𝑟 , podemos deduzir (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑟. 
b) A partir de 𝑝 ∨ 𝑞 e 𝑞 ∨ 𝑟, podemos deduzir (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟). 
 
4) Absorção: Seguem alguns exemplos de aplicação: 
a) A partir da caondicional ~𝑟 → 𝑠, podemos deduzir outra condicional: ~𝑟 → (~𝑟 ∧ 𝑠). 
b) A partir da condicional 𝑝 → (𝑠 ∨ 𝑢), podemos deduzir a condicional: 𝑝 → 𝑝 ∧ (𝑠 ∨ 𝑢). 
 
5) Modus Ponens: Se uma condicional e sua premissa são válidas, podemos afirmar que sua 
conclusão também é válida. 
a) A partir da condicional ~𝑟 → 𝑠, se ~𝑟 é válida então 𝑠 também será. 
b) A partir da condicional 𝑝 → (𝑠 ∨ 𝑢), se 𝑝 é válida então (𝑠 ∨ 𝑢) também será. 
 
6) Modus Tollens: Se uma condicional é válida e sua conclusão é falsa, podemos concluir que 
sua premissa também é falsa. 
a) A partir da condicional ~𝑟 → 𝑠, e do fato de que vale ~𝑠, podemos concluir ~~𝑟. 
b) A partir da condicional 𝑝 → (𝑠 ∨ 𝑢), e do fato de que vale ~(𝑠 ∨ 𝑢), podemos concluir ~𝑝. 
 
7) Silogismo Disjuntivo: A partir de uma disjunção e, sabendo que uma das proposições é falsa, 
a outra será verdadeira. 
a) A partir de 𝑟 ∨ ~𝑠 e do fato de que vale ~𝑟, podemos deduzir ~𝑠. 
b) A partir de (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑠 e do fato de que vale ~𝑠, podemos deduzir 𝑝 ∧ 𝑞. 
 
8) Silogismo Hipotético: A partir de duas condicionais podemos deduzir outra condicional. 
a) Sabendo que são válidas 𝑝 → ~𝑟 e ~𝑟 → 𝑡, podemos afirmar 𝑝 → 𝑡. 
b) Sabendo que são válidas (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑠 e 𝑠 → ~𝑢, podemos afirmar (𝑝 ∧ 𝑞) → ~𝑢. 
 
Exemplo 1.9: 
1) Utilize a regra apropriada e deduza uma conclusão a partir das proposições apresentadas: 
 
 (1) ~𝑝 → ~𝑞 
(2) ~𝑝 
Regra: MP (3) ~𝑞 
 
 (1) (𝑞 ∧ 𝑟) → 𝑠 
(2) ~s 
Regra: (3) 
 
2) Indicar a regra de inferência que justifica a validade dos seguintes argumentos: 
a) ~𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑟) ⊢ ~𝑝 
b) 𝑝 → 𝑞 , 𝑞 → ~𝑟 ⊢ 𝑝 → ~𝑟 
c) 𝑝 → (𝑞 → 𝑟), 𝑝 ⊢ 𝑞 → 𝑟 
d) (𝑞 ∨ 𝑟) → ~𝑝 , 𝑝 ⊢ ~(𝑞 ∨ 𝑟) 
e) 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) ⊢ 𝑝 → 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) 
 (1) (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ ~𝑟 
(2) 𝑟 
Regra: (3) 
 (1) ~𝑝 → 𝑞 ∨ 𝑟 
(2) 𝑞 ∨ 𝑟 → ~𝑠 
Regra: (3) 
PROVA DE NÃO VALIDADE DE UM ARGUMENTO. 
 Assim como em qualquer implicação, um argumento será falso quando existir uma 
possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Uma atribuição de valores 
lógicos que faça com que isso ocorra configura um contra exemplo, isto é uma prova de sua não 
validade. 
Exemplo 1.10: 
O argumento 𝑝 ∨ 𝑞 , 𝑞 → 𝑟 , ~𝑟 ∨ 𝑠 ⊢ 𝑠 é falso. De fato, observe o contra exemplo: 
𝑉(𝑝) = 𝑉 , 𝑉(𝑞) = 𝐹 , 𝑉(𝑟) = 𝐹 , 𝑉(𝑠) = 𝐹 
Para essa atribuição, teremos todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Isso prova a 
falsidade o do argumento. 
 
 OBS.: É preciso destacar que uma atribuição que faça com que as premissas sejam verdadeiras 
e sua conclusão também verdadeira não é prova de sua validade. Para provar a validade de um 
argumento deve-se mostrar um caminho dedutivo a partir das premissas, até que se chegue a sua 
conclusão. 
 
PROVA DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO VIA REGRAS DE INFERÊNCIA 
 Veremos aqui alguns exemplos de demonstração de argumentos por meio das regras de 
inferência e, em alguns casos,
utilizando as equivalências notáveis, tais como Leis de DeMorgan, 
distributivas, etc. 
1) 𝑟 → 𝑝 ∨ 𝑞 , 𝑟 , ~𝑝 ⊢ 𝑞 
 
 (1) 𝑟 → 𝑝 ∨ 𝑞 
(2) 𝑟 
(3) ~𝑝 
1, 2, MP 
3, 4, SD 
(4) 𝑝 ∨ 𝑞 
(5) 𝑞 
 
2) 𝑝 ∧ 𝑞 , 𝑝 → 𝑟 , 𝑞 → 𝑠 ⊢ 𝑟 ∧ 𝑠 
 
 (1) 𝑝 ∧ 𝑞 
(2) 𝑝 → 𝑟 
(3) 𝑞 → 𝑠 
1, SIMP (4) 𝑝 
2, 4, MP (5) 𝑟 
1, SIMP (6) 𝑞 
3, 6, MP (7) s 
5, 7, CONJ (8) 𝑟 ∧ 𝑠 
 
3) 𝑝 → 𝑞 , 𝑝 → 𝑟 , 𝑝 ⊢ 𝑞 ∧ 𝑟 
 
4) 𝑝 → 𝑞 , 𝑞 → 𝑟 , (𝑝 → 𝑟) → ~𝑠 , 𝑠 ∨ 𝑡 ⊢ 𝑡 
5) 𝑝 → 𝑞 , 𝑟 → 𝑠 , 𝑞 ∨ 𝑠 → ~𝑡 , 𝑡 ⊢ ~𝑝 ∧ ~𝑟 
 
 (1) 𝑝 → 𝑞 
(2) 𝑟 → 𝑠 
(3) 𝑞 ∨ 𝑠 → ~𝑡 
(4) 𝑡 
3, 4, MT (4) ~(𝑞 ∨ 𝑠) 
4, DeMorg. (5) ~𝑞 ∧ ~𝑠 
5, SIMP (6) ~𝑞 
1, 6, MT (7) ~𝑝 
5, SIMP (8) ~𝑠 
2, 8, MT (9) ~𝑟 
7, 9, CONJ (10) ~𝑝 ∧ ~𝑟 
 
 
EXERCÍCIOS 1.3 
 
1) Demonstrar a não validade dos argumentos: 
a) 𝑝 → 𝑞 , 𝑟 → 𝑠 , 𝑝 ∨ 𝑠 ⊢ 𝑞 ∨ 𝑟 
b) ~(𝑝 ∧ 𝑞), ~𝑝 ∧ ~𝑞 → 𝑟 ∧ 𝑠 , 𝑠 → 𝑟 ⊢ 𝑟 
c) 𝑝 ↔ 𝑞 ∨ 𝑟 , 𝑞 ↔ 𝑝 ∨ 𝑟 , 𝑟 ↔ 𝑝 ∨ 𝑞 , ~𝑝 ⊢ 𝑞 ∨ 𝑟 
d) 𝑝 → 𝑞 ∨ 𝑟 , 𝑠 ↔ 𝑟 , ~𝑝 ∨ 𝑞 ⊢ ~𝑝 ∧ 𝑞 
 
2) Passar para a forma simbólica e testar a validade dos argumentos: 
a) Se trabalho, não posso estudar. Trabalho ou passo em Cálculo. Trabalhei. Logo, passei em 
Cálculo. 
b) Se Alberto se dedicar, terminará a graduação. Se ele não ficar em baladas então irá se 
dedicar. Alberto não terminou sua graduação. Portanto ele ficou em baladas. 
c) Se o tempo estiver bom, Carlos irá à praia e pegará umas ondas. Carlos não pegou ondas. 
Logo o tempo não estava bom. 
d) Se o tempo estiver bom, farei uma caminhada na praia ou arrumarei o jardim. Eu fiz a 
caminhada mas não arrumei o jardim. Logo o tempo não estava bom. 
e) Se o sistema funciona bem então os dados estão corretos. Ou o sistema não funciona bem 
ou tem um erro. Os dados não estão corretos. Portanto o sistema tem um erro. 
 
3) Demonstrar a validade dos seguintes argumentos: 
a) 𝑝 → ~𝑞 , 𝑞 , ~𝑝 → 𝑟 ∧ 𝑠 ⊢ 𝑟 ∧ 𝑠 
b) 𝑝 → 𝑞 , ~𝑝 → ~~𝑟 , ~𝑞 ⊢ 𝑟 
c) 𝑝 → ~𝑟 , 𝑞 → 𝑟 , 𝑞 ⊢ ~𝑝 
d) ~𝑝 ∨ 𝑞 , ~𝑞 , ~(𝑞 ∧ 𝑟) → 𝑝 ⊢ 𝑟 
e) (𝑟 ∧ ~𝑡) → ~𝑠 , 𝑝 → 𝑠 , 𝑝 ∧ 𝑞 ⊢ ~(~𝑡 ∧ 𝑟) 
f) 𝑟 → ~𝑝 , (𝑟 ∧ 𝑠) ∨ 𝑡 , 𝑡 → 𝑞 ∨ 𝑢 , ~𝑞 ∧ ~𝑢 ⊢ ~𝑝 
g) 𝑝 → 𝑞 , 𝑞 → 𝑟 ⊢ ~𝑝 ∨ 𝑟 
h) 𝑝 ∨ ~(𝑞 ∨ ~𝑟) , ~𝑝 , 𝑟 → 𝑠 ∨ 𝑡 ⊢ 𝑠 ∨ 𝑡 
i) 𝑝 ∨ (~𝑞 → 𝑟) , ~(𝑝 ∨ 𝑠) ∧ ~𝑟 ⊢ 𝑞 
j) (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 , ~𝑟 ∨ 𝑠 , ~(𝑝 ∧ ~𝑞) , 𝑠 ∨ 𝑡 → 𝑢 ⊢ 𝑢 
k) 𝑝 ∨ 𝑞 , 𝑞 → 𝑟 , 𝑠 → 𝑡 , ~𝑟 ⊢ 𝑠 → 𝑝 
l) 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) , 𝑝 ∨ 𝑟 → 𝑠 ∧ 𝑡 ⊢ 𝑠 
DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E INDIRETA 
 A técnica da demonstração condicional pode ser usada quando a conclusão a ser atingida é 
uma condicional. Neste caso, fazemos a suposição da premissa desta condicional e, junto com as 
demais premissas do argumento, chegamos à sua conclusão. Simbolicamente: 
 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑛 ⊢ 𝐴 → 𝐵 é equivalente a 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑛 , 𝐴 ⊢ 𝐵 
 
 Exemplo1.10: 
 ~𝑝 → ~𝑞 ∨ 𝑟 , 𝑠 ∨ (𝑟 → 𝑡), ~𝑝 ∨ 𝑠 , ~𝑠 ⊢ 𝑞 → 𝑡 
Suposição 
(1) ~𝑝 → ~𝑞 ∨ 𝑟 
(2) 𝑠 ∨ (𝑟 → 𝑡) 
(3) ~𝑝 ∨ 𝑠 
(4) ~𝑠 
(5) 𝑞 
3, 4, SD (6) ~𝑝 
1, 6, MP (7) ~𝑞 ∨ 𝑟 
5, 7, SD (8) 𝑟 
2, 4, SD (9) 𝑟 → 𝑡 
8, 9, MP (10) t 
 
 Na técnica da demonstração indireta ou popularmente, por absurdo, fazemos a suposição de 
que não vale o que desejamos provar e assim, deduzimos uma contradição. Simbolicamente: 
 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑛 ⊢ 𝑄 é equivalente a 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃𝑛 , ~𝑄 ⊢ 𝐶 
 
 Exemplo 1.11: 
 ~(𝑝 ∧ 𝑞), 𝑝 → 𝑟 , 𝑞 ∨ ~𝑟 ⊢ ~𝑝 
Suposição 
(1) ~(𝑝 ∧ 𝑞) 
(2) 𝑝 → 𝑟 
(3) 𝑞 ∨ ~𝑟 
(4) 𝑝 
1, De 
Morg. 
(5) ~𝑝 ∨ ~𝑞 
4, 5, SD (6) ~𝑞 
3, 6, SD (7) ~𝑟 
2, 4, MP (8) 𝑟 
7, 8, CONJ (9) ~𝑟 ∧ 𝑟 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 1.4: 
 
1) Usar a demonstração condicional para demonstrar a validade dos argumentos: 
a) 𝑝 ∨ 𝑞 , ~𝑟 ∨ ~𝑞 ⊢ ~𝑝 → ~𝑟 
b) 𝑝 ∧ 𝑞 → ~𝑟 ∨ ~𝑠 , 𝑟 ∧ 𝑠 ⊢ 𝑝 → ~𝑞 
c) 𝑝 → 𝑞 , 𝑝 ∨ ~𝑟 , ~𝑠 ∨ 𝑡 → 𝑟 ⊢ ~𝑠 → 𝑞 
d) (𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟 , 𝑠 ∨ 𝑡 → ~𝑟 , 𝑠 ∨ (𝑡 ∧ 𝑢) ⊢ 𝑝 → 𝑞 
e) (𝑝 → 𝑞) ∧ ~(𝑟 ∧ ~𝑠), 𝑠 → 𝑡 ∨ 𝑢 , ~𝑢 ⊢ 𝑟 → 𝑡 
 
2) Usar a demonstração indireta para demonstrar a validade dos argumentos. 
a) ~(𝑝 ∧ 𝑞) , 𝑝 → 𝑟 , 𝑞 ∨ ~𝑟 ⊢ ~𝑝 
b) 𝑝 → ~𝑞 , 𝑞 ∨ ~𝑟 , ~(𝑠 ∨ ~𝑟) ⊢ ~𝑝 
c) ~(𝑝 ∧ 𝑞) , ~𝑟 → 𝑞 , ~𝑝 → 𝑟 ⊢ 𝑟 
d) (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 , 𝑟 ∨ 𝑠 → ~𝑡 , 𝑡 ⊢ ~𝑞 
e) 𝑝 → 𝑞 ∨ 𝑟 , 𝑞 → ~𝑝 , 𝑠 → ~𝑟 ⊢ ~(𝑝 ∧ 𝑠) 
 
 
Bibliografia sugerida para apoio e exercícios complementares: 
 ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. 18 ed. São Paulo: Nobel, 2000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
EXERCÍCIOS 1.1: 
a) Tautologia 
b) Tautologia 
c) Contingência 
d) Tautologia 
e) Contingência 
f) Tautologia 
g) Tautologia 
h) Contingência 
i) Contingência 
 
EXERCÍCIOS 1.2: 
3) 
a) Equivalentes 
b) Equivalentes 
c) Equivalentes 
d) Não Equivalentes 
e) Equivalentes 
 
4) 
a) R: Se √𝑥² = −𝑥 então 𝑥 < 0. 
C: Se √𝑥² ≠ −𝑥 então 𝑥 ≥ 0. 
b) R: Se x é não negativo então x possui raíz quadrada. 
C: Se x é negativo então x não possui raíz quadrada. 
c) R: Se uma função é contínua então é derivável. 
C: Se uma função não é contínua então não é derivável. 
d) R: Se x é múltiplo de 3 então x² é múltiplo de 3. 
C: Se x não é múltiplo de 3 então x² não é múltiplo de 3. 
e) R: Se o rio transbordar então a chuva continuará. 
C: Se o rio não transbordar então a chuva não continuará. 
f) R: Se uma rede elétrica falha então a chave central desliga. 
C: Se uma rede elétrica não falha então a chave central não desliga. 
g) R: Se os abacates estão maduros então estão escuros e macios. 
C: Se os abacates não estão maduros então não estão escuros e macios. 
 
EXERCÍCIOS 1.3: 
1) 
a) 𝑉(𝑠) = 𝑉 e 𝑉(𝑝) = 𝑉(𝑞) = 𝑉(𝑟) = 𝐹 
b) 𝑉(𝑝) = 𝑉 e 𝑉(𝑞) = 𝑉(𝑟) = 𝑉(𝑠) = 𝐹 
c) 𝑉(𝑝) = 𝑉(𝑞) = 𝑉(𝑟) = 𝑉(𝑠) = 𝐹 
d) 𝑉(𝑝) = 𝑉(𝑞) = 𝑉(𝑟) = 𝑉(𝑠) = 𝑉 
 
2) 
a) 𝑝 → ~𝑞 , 𝑝 ∨ 𝑟 , 𝑝 ⊢ 𝑟 (Falso) 
b) 𝑝 → 𝑞 , ~𝑟 → 𝑝 , ~𝑞 ⊢ 𝑟 (Verdadeiro) 
c) 𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑟 , ~𝑟 ⊢ ~𝑝 (Verdadeiro) 
d) 𝑝 → 𝑞 ∨ 𝑟 , 𝑞 ∧ ~𝑟 ⊢ ~𝑝 (Verdadeiro) 
e) 𝑝 → 𝑞 , ~𝑝 ∨ 𝑟 , ~𝑞 ⊢ 𝑟 (Falso) 
 
3) Segue uma sequência de regras de inferência e equivalências utilizadas: 
a) MT, MP. 
b) MT, MP. 
c) MP, MT. 
d) SD, MT, SIMP. 
e) SIMP, MP, MT. 
f) De Morgan, MT, SD, SIMP, MP. 
g) SH, Eq. Condicional. 
h) SD, Distrib., SIMP, MP. 
i) SIMP, Distrib., SD, SIMP, MT. 
j) De Morgan, Eq. Condicional, MP, SD, AD, MP. 
k) MT, SD, AD, Eq. Condicional. 
l) Distrib., SIMP, MP, SIMP. 
 
EXERCÍCIOS 1.4: 
1) Segue a suposição e uma sequência de regras de inferência e equivalências utilizadas: 
a) ~𝑝 , De Morgan, SD, SD. 
b) 𝑝 , De Morgan, MT, De Morgan, SD. 
c) ~𝑠 , AD, MP, SD, MP. 
d) 𝑝 , Distrib., SIMP, MP, SD, MP. 
e) 𝑟 , SIMP, De Morgan, SD, MP, SD. 
 
2) Segue a suposição e uma sequência de regras de inferência e equivalências utilizadas, com a 
contradição deduzida: 
a) 𝑝 , MP, De Morgan, SD, SD, 𝑟 ∧ ~𝑟. 
b) 𝑝 , MP, SD, De Morgan, SIMP, ~𝑟 ∧ 𝑟. 
c) ~𝑟 , MP, SD, MT, ~𝑝 ∧ 𝑝. 
d) 𝑞 , AD, Eq. Condicional, MP, AD, MP, ~𝑡 ∧ 𝑡. 
e) 𝑝 ∧ 𝑠 , SIMP, MT, SD, SIMP, MP, 𝑟 ∧ ~𝑟.