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FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS O que é? Bem, de novo, vamos lembrar o que é uma função de uma variável: Uma função que relaciona um número x a outro número 𝒇(𝒙): 𝒙 → 𝒇(𝒙) Exemplo: 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 Legal! Agora, não é difícil entender que uma função de duas variáveis relaciona dois números: x e y a outro número 𝒇(𝒙, 𝒚): 𝒙, 𝒚 → 𝒇(𝒙, 𝒚) Exemplo: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 + 𝒚 Alguns valores: 𝒙 𝒚 𝒇(𝒙, 𝒚) −𝟏 0 −1 −𝟏 0 0 𝟎 1 1 𝟎 2 2 E o gráfico dessa função será uma superfície: 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) E, na prática, vai ser uma das superfícies que já estudamos! Por exemplo: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 → 𝒛 = 𝒙² + 𝒚² Essa superfície é o paraboloide circular! É só isso mesmo, não tem mistério nenhum! Da mesma forma, uma função de três variáveis associa três números x, y e z a um único número 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛). Por exemplo: 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 No caso das figuras de três variáveis, não existe gráfico, pois nosso mundo tem três dimensões e o gráfico de funções de três variáveis estaria em quatro dimensões (profundo, não?). Pense assim: Função de uma variável – gráfico de uma curva (1 dimensão) – coordenadas cartesianas em 2D (xy) Função de duas variáveis – gráfico é uma superfície (2 dimensões) – coordenadas cartesianas em 3D (xyz) Função de três variáveis – gráfico é um sólido (3 dimensões) – plano cartesiano 4D Entendeu a analogia? É só isso! Domínio e Imagem Como determinamos e esboçamos o domínio de uma função de duas ou mais variáveis? Lembra que para uma variável bastava ver as restrições da função? Então, para duas, vale o mesmo processo: nas frações o denominador não pode valer 0, dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo, e o valor dentro de um logaritmo tem que ser estritamente positivo! Vamos pegar um exemplo para provar como é exatamente a mesma coisa que sempre fizemos: Encontre e esboce o domínio da função 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 − √ 𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 − 𝒚² 𝒚 Primeiro, procuramos as restrições: temos uma raiz e um denominador. Então, para a raiz, temos que seu interior não pode valer menos que 0: 𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ≥ 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟐𝟓 E para o denominador, apenas temos que dizer que ele não deve valer 0. Assim: 𝒚 ≠ 𝟎. Para fazer o esboço da primeira parte, devemos pensar como se fosse uma igualdade: 𝒙² + 𝒚² = 𝟐𝟓 Isso seria, pela equação da circunferência (𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐 = 𝑹², uma circunferência de raio 5 centrada na origem. Como é uma desigualdade, temos um disco de raio 5 centrado na origem, ou seja, todos os pontos dentro da circunferência! Para a segunda parte do limite, 𝒚 ≠ 𝟎, basta eliminar o plano xz. No caso, do ponto (-5,0) ao (5,0) do disco, a função não está definida. Curvas e Superfícies de Nível Curvas de nível nada mais são do que a interseção do gráfico 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) com um plano 𝒛 = 𝒌 (onde k é uma constante). Na prática, é só igualar a função a uma constante: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌 E depois ver que curva é essa! Ou seja, é uma curva que é a interseção entre um plano paralelo ao 𝒙𝒚 e o gráfico de 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚). Exemplo: 𝒇(𝒙, 𝒚) = √𝒙² + 𝒚² Observação: perceba que essa superfície é a parte superior de um cone circular! Curvas de nível: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌 → √(𝒙² + 𝒚²) = 𝒌 → 𝒙² + 𝒚² = 𝒌² Então, a certa altura 𝒛 = 𝒌, a interseção entre o cone e o plano 𝒛 = 𝒌 é um círculo de raio k. Fica mais fácil entender isso quando visualizamos graficamente. Observação: note que k deve ser maior ou igual a zero, pois 𝒇(𝒙, 𝒚) é sempre maior ou igual a zero! Se 𝒌 = 𝟎, a curva de nível se reduz ao ponto (0,0). Captou a mensagem? E a mesmíssima coisa se aplica a funções de três variáveis. Só que neste caso, é uma superfície de nível. Mas o procedimento é o mesmo: basta igualar a função a uma constante: 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒌 Exemplo: 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = √𝒙² + 𝒚² + 𝒛² Superfícies de nível: 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒌 √(𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛𝟐) = 𝒌 𝒙² + 𝒚² + 𝒛² = 𝒌² Pronto! Então as superfícies de nível são esferas de raio k! Perceba que, pelo mesmo motivo do exemplo anterior, k deve ser maior ou igual a zero! Do mesmo modo, se 𝑘 = 0, a superfície de nível se reduz ao ponto (0,0,0).
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