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Funções de Várias Variáveis

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FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
O que é? 
Bem, de novo, vamos lembrar o que é uma função de uma variável: 
Uma função que relaciona um número x a outro número 𝒇(𝒙): 
𝒙 → 𝒇(𝒙) 
Exemplo: 
𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 
Legal! 
Agora, não é difícil entender que uma função de duas variáveis relaciona 
dois números: x e y a outro número 𝒇(𝒙, 𝒚): 
 𝒙, 𝒚 → 𝒇(𝒙, 𝒚) 
Exemplo: 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 + 𝒚 
Alguns valores: 
𝒙 𝒚 𝒇(𝒙, 𝒚) 
−𝟏 0 −1 
−𝟏 0 0 
𝟎 1 1 
𝟎 2 2 
 
E o gráfico dessa função será uma superfície: 
𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) 
E, na prática, vai ser uma das superfícies que já estudamos! 
Por exemplo: 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
→ 𝒛 = 𝒙² + 𝒚² 
Essa superfície é o paraboloide circular! 
É só isso mesmo, não tem mistério nenhum! 
Da mesma forma, uma função de três variáveis associa três números x, y e 
z a um único número 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛). 
Por exemplo: 
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 
No caso das figuras de três variáveis, não existe gráfico, pois nosso mundo 
tem três dimensões e o gráfico de funções de três variáveis estaria em 
quatro dimensões (profundo, não?). 
Pense assim: 
Função de uma variável – gráfico de uma curva (1 dimensão) – 
coordenadas cartesianas em 2D (xy) 
Função de duas variáveis – gráfico é uma superfície (2 dimensões) – 
coordenadas cartesianas em 3D (xyz) 
Função de três variáveis – gráfico é um sólido (3 dimensões) – plano 
cartesiano 4D 
Entendeu a analogia? É só isso! 
Domínio e Imagem 
Como determinamos e esboçamos o domínio de uma função de duas ou 
mais variáveis? 
Lembra que para uma variável bastava ver as restrições da função? Então, 
para duas, vale o mesmo processo: nas frações o denominador não pode 
valer 0, dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo, e o 
valor dentro de um logaritmo tem que ser estritamente positivo! Vamos 
pegar um exemplo para provar como é exatamente a mesma coisa que 
sempre fizemos: 
Encontre e esboce o domínio da função 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 − √
𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 − 𝒚²
𝒚
 
Primeiro, procuramos as restrições: temos uma raiz e um denominador. 
Então, para a raiz, temos que seu interior não pode valer menos que 0: 
𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ≥ 𝟎 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟐𝟓 
E para o denominador, apenas temos que dizer que ele não deve valer 0. 
Assim: 
 𝒚 ≠ 𝟎. 
Para fazer o esboço da primeira parte, devemos pensar como se fosse uma 
igualdade: 
𝒙² + 𝒚² = 𝟐𝟓 
Isso seria, pela equação da circunferência (𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐 = 𝑹², 
uma circunferência de raio 5 centrada na origem. Como é uma 
desigualdade, temos um disco de raio 5 centrado na origem, ou seja, todos 
os pontos dentro da circunferência! 
Para a segunda parte do limite, 𝒚 ≠ 𝟎, basta eliminar o plano xz. No caso, 
do ponto (-5,0) ao (5,0) do disco, a função não está definida. 
Curvas e Superfícies de Nível 
Curvas de nível nada mais são do que a interseção do gráfico 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) 
com um plano 𝒛 = 𝒌 (onde k é uma constante). 
Na prática, é só igualar a função a uma constante: 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌 
 E depois ver que curva é essa! 
Ou seja, é uma curva que é a interseção entre um plano paralelo ao 𝒙𝒚 e o 
gráfico de 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚). 
Exemplo: 
𝒇(𝒙, 𝒚) = √𝒙² + 𝒚² 
Observação: perceba que essa superfície é a parte superior de um cone 
circular! 
Curvas de nível: 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌 
→ √(𝒙² + 𝒚²) = 𝒌 
→ 𝒙² + 𝒚² = 𝒌² 
Então, a certa altura 𝒛 = 𝒌, a interseção entre o cone e o plano 𝒛 = 𝒌 é um 
círculo de raio k. 
Fica mais fácil entender isso quando visualizamos graficamente. 
Observação: note que k deve ser maior ou igual a zero, pois 𝒇(𝒙, 𝒚) é 
sempre maior ou igual a zero! Se 𝒌 = 𝟎, a curva de nível se reduz ao ponto 
(0,0). 
Captou a mensagem? 
E a mesmíssima coisa se aplica a funções de três variáveis. Só que neste 
caso, é uma superfície de nível. Mas o procedimento é o mesmo: basta 
igualar a função a uma constante: 
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒌 
Exemplo: 
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = √𝒙² + 𝒚² + 𝒛² 
Superfícies de nível: 
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒌 
√(𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛𝟐) = 𝒌 
𝒙² + 𝒚² + 𝒛² = 𝒌² 
Pronto! Então as superfícies de nível são esferas de raio k! Perceba que, 
pelo mesmo motivo do exemplo anterior, k deve ser maior ou igual a zero! 
Do mesmo modo, se 𝑘 = 0, a superfície de nível se reduz ao ponto (0,0,0).

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