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Disciplina: Geometria Analítica Aluno(a): 
Professor: Fábio Hipólito Belém, ____ de _______________ de 2017 
 
Aula 2 – Equação da Reta 
 
Conteúdo: Equações da reta: Equação geral. Equação segmentária e reduzida da reta. Obtenção da equação 
da reta a partir do alinhamento de três pontos. Obtenção da equação da reta a partir da análise da taxa de 
variação ou coeficiente angular. 
 
 
# Equação da reta 
 
Consideremos a reta definida pelos pontos 𝐴(𝑥0, 𝑦0) e 𝐵(𝑥1, 𝑦1). Um ponto qualquer 𝑃(𝑥, 𝑦) também 
sobre essa reta desde que A, B e P sejam colineares, veja: 
 
 
 
Construção geométrica para obter a equação de uma reta 
 
Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos definem uma única reta. Na geometria analítica, 
podemos determinar a equação da reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano. 
 
Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos 𝐴𝐵𝑀 e 𝐴𝑃𝑁 forem semelhantes. Nesse caso, 
podemos escrever: 
𝑃𝑁̅̅ ̅̅
𝐴𝑁̅̅ ̅̅
=
𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅
𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅
∴
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
=
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
 
 
Perceba que a razão 
𝑦1−𝑦0
𝑥1−𝑥0
 é constante, uma vez que (𝑥0, 𝑦0) e (𝑥1, 𝑦1) são coordenadas formadas pelos 
números conhecidos 𝑥0, 𝑦0, 𝑥1 e 𝑦1. Tal constante, denominada de coeficiente angular da reta é 
representada pela letra 𝑎. 
 
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
=
𝑦0 − 𝑦1
𝑥0 − 𝑥1
 
 
Substituindo o valor do coeficiente angular dado, obtemos 
 
𝑎 =
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
 
 
ou, mais apropriadamente, 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0) 
 
chamada equação da reta na forma ponto-coeficiente angular. 
 
Isolando 𝑦 na equação 𝑦 − 𝑦0 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0), obtemos 𝑦 = 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥0 + 𝑦0, na qual notamos que −𝑎𝑥0 + 𝑦0 
é uma constante, denominada coeficiente linear da reta, representada pela letra 𝑏. 
 
Podemos, então, reescrever a equação 𝑦 − 𝑦0 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0) como: 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
 
chamada equação da reta na forma ponto-coeficiente angular. 
 
Exemplo: Determine a equação da reta pelos pontos (1,3) e (2,5). 
 
Solução: 
Inicialmente determinamos seu coeficiente angular: 𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
5−3
2−1
= 2 
 
 
 
Reta pelos pontos (1,3) e (2,5) 
 
• A seguir, usando o ponto (1, 3), obtemos a equação na forma ponto-coeficiente: 𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 1) 
 
• Finalmente, isolamos a variável 𝑦 para obter sua forma reduzida: 𝑦 = 2𝑥 + 1. Salientamos que essa reta 
tem coeficiente angular 𝑎 = 2 e coeficiente linear 𝑏 = 1. 
 
Coeficiente angular e coeficiente linear 
 
Para entendermos os significados geométricos dos coeficientes angular e linear, observe a figura a seguir. 
Coeficiente angular e coeficiente linear de uma reta 
 
 
 
Coeficiente angular e coeficiente linear de uma reta 
O ângulo alfa, formado pela reta e pelo eixo das abscissas no sentido positivo, denomina-se inclinação da 
reta. O leitor que tem conhecimentos de trigonometria pode observar que o coeficiente angular da reta é o 
valor da tangente dessa inclinação. 
 
Para entendermos o significado do coeficiente linear, fazemos x = 0 na Equação 2.5 e obtemos y = b. Isso 
significa que a reta passa pelo ponto (0, b). Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta 
intercepta o eixo-y. 
 
Retas horizontais e retas verticais 
 
 
 
Se uma reta for horizontal, Figura 2.4(a), então sua inclinação é nula e, consequentemente, seu coeficiente 
angular é zero, pois tg(0) = 0. Nesse caso, a Equação 2.5 se reduz a y = b. Genericamente, toda equação da 
forma y = constante é equação de uma reta horizontal. 
 
Se uma reta for vertical, Figura 2.4(b), então sua inclinação é de 90º e, consequentemente, seu coeficiente 
angular não existe, pois tg(90) ∄. Nesse caso, sua equação é da forma x = constante. Genericamente, toda 
equação da forma x = constante é equação de uma reta vertical. 
 
Equação geral da reta 
 
No plano cartesiano, toda equação da forma: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 
 
em que 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são constantes reais e 𝐴 e 𝐵 não são simultaneamente nulas, representa uma reta. 
 
• Se 𝐵 ≠ 0, então podemos isolar 𝑦, obtendo: 𝑦 = −
𝐴
𝐵
𝑥 −
𝐶
𝐵
, 
 
se 𝐴 = 0, a equação anterior se reduz a: 𝑦 = −
𝐶
𝐵
 (uma reta horizontal) 
 
• Se 𝐵 = 0, isolando x, obtemos: 𝑥 = −
𝐶
𝐴
 (eq. de uma reta vertical) 
 
Equação segmentária da reta – Exemplo 
 
Utilizando a equação geral 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, para obtermos a equação segmentária da reta, basta isolamos 
𝐶 e dividir toda a equação por −𝐶, obtendo: 
 
𝐴𝑥
−𝐶
+
𝐵𝑦
−𝐶
= 1 
ou 
𝑥
−
𝐶
𝐴
+
𝑦
−
𝐶
𝐵
= 1 
 
 
−
𝐶
𝐴
 é a abscissa do ponto de interseção com o eixo x. 
−
𝐶
𝐵
 é a ordenada do ponto de interseção com o eixo y. 
 
Exemplo: Determine a forma segmentária da equação da reta 𝑠 cuja equação geral é: 𝑠: 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 
 
Solução: 
 
Para determinar a equação segmentária da reta 𝑠 devemos isolar o termo independente −6. Assim, segue 
que: 2𝑥 + 3𝑦 = 6. 
 
Dividindo a equação por 6, obtemos a equação segmentária: 
 
𝑥
3
+
𝑦
2
= 1 
 
Equação da reta a partir do alinhamento de 3 pontos 
 
Exemplo: vamos determinar a função do 1º grau que contém os pontos (3, 9) e (5, 13). 
 
Solução: para isso, utilizaremos um “determinante” com 2 linhas e 4 colunas e o igualamos à 0 (zero)! 
 
 
 
3 5
0
9 13
x x
y y

 
 
 
Observação: veja que os valores das variáveis da lei da função (geralmente x e y), se repetem na primeira e 
na última coluna do determinante! 
 
Em seguida, somamos o produto de cada diagonal inferior à direita ( ) com o produto de cada diagonal 
inferior à esquerda ( ), trocando os sinais destes. 
 
 
3 5
0
9 13
x x
y y

 
 
 
os pontos utilizados! 
as variáveis da lei da função! 
valores de x! 
valores de y! 
–3y –45 
–13x 9x 
39 5y 
Logo: 9x + 39 + 5y – 3y – 45 – 13x = 0 
 –4x + 2y – 6 = 0 
 2y = 4x + 6 (÷2) 
 y = 2x + 3 Então, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3