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REVISA˜O DE MATEMA´TICA - 2013 Joa˜o Cla´udio Fernandes da Silva 21 de dezembro de 2013 Equac¸o˜es Diferenciais :Elas podem ser classificadas pelo grau (ordem da maior derivada), por ter de- pendeˆncia em mais de uma inco´gnita (ordina´ria apenas uma ou parcial mais de uma) ou a equac¸a˜o diferencial ainda ser igual a zero ou na˜o (homogeˆnea e na˜o homogeˆnea). Fator Integrante : Equac¸o˜es Diferenciais Mistas : Normalmente as equac¸o˜es diferenciais sa˜o resolvidas diretamente, caso sejam separadas ou separa´veis. Re- solvendo equac¸o˜es separadas: Equac¸a˜o Caracter´ıstica : A partir da equac¸a˜o caracter´ıstica podemos resolver a E.D.O. diretamente.Exemplo: d2y dx2 + 5 dy dx + 3y = 0. A equac¸a˜o caracter´ıstica sera´: r2 + 5r + 3 = 0 Fo´rmula de Abel Liouville Jacobi : A partir da equac¸a˜o caracter´ıstica podemos Usar essa fo´rmula para encontrar a soluc¸a˜o da E.D.O. estudada. Usando a E.D.O. acima a fo´rmula sera´: Aer1x +Ber2x, onde : r1 = −5 +√25− 4.3.1 2 = −5 +√12 2 r2 = −5−√25− 4.3.1 2 = −5 + √ 12 2 Caso r1 e r2 sejam iguais podemos multiplicar B por x, assim teremos um par de E.D.O. linearmente indepen- dentes Wronskiano :E´ uma ferramente utilizada para conferir se as soluc¸o˜es da E.D.O. sa˜o linearmente indepen- dentes ou na˜o. Caso o determinante seja zero isso significa que as soluc¸o˜es sa˜o linearmente dependentes,ou seja, as soluc¸o˜es na verdade e´ apenas uma soluc¸a˜o. O Wronskiano e´ dado pela matriz: W = dy1dx dy2dxd2y1 dx2 d2y2 dx2 Coeficientes Constantes :E´ um me´todo de resolver E.D.O. na˜o homogeˆnea, caso as func¸o˜es na˜o ho- mogeˆneas sejam exponenciais (assim como func¸o˜es trigonome´tricas, que tambe´m sa˜o exponenciais). Assim temos, por exemplo: d2y dx2 + 5 dy dx + 3y = 3sen2x. No caso de E.D.O. na˜o homogeˆnea, primeiramente encon- tramos a soluc¸a˜o da E.D.O. homogeˆnea, usando os processos acima, e depois encontramos a soluc¸a˜o da E.D.O. na˜o homogeˆnea substituindo na E.D.O. homogeˆnea da seguinte forma: d(Asen2x+Bcos2x) dt = 2Acos2x− 2Bsen2x, d 2(Asen2x+Bcos2x) dt2 = −4(Asen2x+Bcos2x) 1 Encontrada as derivadas presentes na E.D.O. homogeˆnea substitu´ımos esses valores na E.D.O. homogeˆnea,assim: −4(Asen2x+Bcos2x) + 5.(2Acos2x− 2Bsen2x) + 3(Asen2x+Bcos2x) = 3sen2x Logo,equacionando sen2x e os coeficientes A e B teremos: sen2x.(−4A− 10B + 3A) = 3sen2x ⇒ −A− 10B = 3 eq.(1) cos2x.(−4B + 10A+ 3B) = 0 ⇒ −B + 10A = 0 eq.(2) (1).1− (2).10 ⇒ −A− 10B + 10B − 100A = 3 ⇒ −101A = 3 ⇒ A = − 3 101 ⇒ B = − 30 101 Operador D : Utilizamos esse me´todo quando e´ poss´ıvel encontrar fatores comuns na E.D.O. .Assim chamamos o operador derivada de D (D para ordem 1,D2 para ordem dois eDn para ordem n) e a func¸a˜o onde o operador vai atuar(X,Y,Z). Esse me´todo pode ser usado para encontrar a soluc¸a˜o de equac¸o˜es homogeˆneas e na˜o homogeˆneas. Assim temos, por exemplo: d2y dx2 + 5 dy dx + 3y = 30.Resolvendo a E.D.O. na˜o homogeˆnea: (D2 + 5D + 3)y = 0, 3y = 30, y = 10, d dx 10 = 0, d2 dx2 10 = 0 Substituindo na equac¸a˜o homogeˆnea. 1.(0) + 5.(0) + 3.(10) = 30 Esse me´todo ainda pode ser usado quando a equac¸a˜o homogeˆnea e´ igual a equac¸a˜o na˜o homogeˆnea. Exemplo: d2 dx2 y + 16y = sen4x. Resolvendo a equac¸a˜o homogeˆnea: (D2 + 16)y = 0⇒ r2 + 16 = 0⇒ r1 = −4ix⇒ r2 = +4ix A soluc¸a˜o fica enta˜o: y(x) = Ae−4ix +Be4ix As constantes A e B podem ser atribu´ıdas da seguinte forma: A = a+ ib 2 e B = a− ib 2 . Utilizando a fo´rmula de Euler (e±iθ = cosθ ± senθ a+ ib 2 (cos4x−isen4x)+a− ib 2 (cos4x+isen4x) = a 2 .[cos4x−isen4x+cos4x+isen4x]+bi 2 .[cos4x−isen4x+cos4x−isen4x] = a 2 .[2cos4x]+ bi 2 .[−2isen4x] = acos4x+bsen4x Enta˜o podemos escrever y(x) tambe´m por: y(x) = acos4x+ bsen4x Usando o me´todo dos coeficientes constantes reparamos que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea coincide com a soluc¸a˜o da particular. Enta˜o: (D2 + 16)y = (D2 + 16)y Assim podemos adicionar x a soluc¸a˜o particular.Assim: yp(x) = x(dcos4x+ fsen4x)⇒ y′p(x) = (dcos4x+ fsen4x) + 4x(−dsen4x+ fcos4x) y′′p (x) = 4(−dsen4x+ fcos4x) + 4(−dsen4x+ fcos4x)− 16x(dcos4x+ fsen4x) y′′p (x) = −8(dsen4x− fcos4x)− 16x(dcos4x+ fsen4x) 2 Substituindo na equac¸a˜o original; [−8(dsen4x− fcos4x)− 16x(dcos4x+ fsen4x)] + 16x(dcos4x+ fsen4x) = sen4x −8dsen4x = sen4x, −8fcos4x = 0 f = 0, d = −1 8 Logo a soluc¸a˜o particular e homogeˆnea formam a soluc¸a˜o da E.D.O., que e´ da forma: y(x) = acos4x+ bsen4x− x 8 sen4x 3
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