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REVISA˜O DE MATEMA´TICA - 2013
Joa˜o Cla´udio Fernandes da Silva
21 de dezembro de 2013
Equac¸o˜es Diferenciais :Elas podem ser classificadas pelo grau (ordem da maior derivada), por ter de-
pendeˆncia em mais de uma inco´gnita (ordina´ria apenas uma ou parcial mais de uma) ou a equac¸a˜o diferencial
ainda ser igual a zero ou na˜o (homogeˆnea e na˜o homogeˆnea).
Fator Integrante :
Equac¸o˜es Diferenciais Mistas :
Normalmente as equac¸o˜es diferenciais sa˜o resolvidas diretamente, caso sejam separadas ou separa´veis. Re-
solvendo equac¸o˜es separadas:
Equac¸a˜o Caracter´ıstica : A partir da equac¸a˜o caracter´ıstica podemos resolver a E.D.O. diretamente.Exemplo:
d2y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 3y = 0. A equac¸a˜o caracter´ıstica sera´:
r2 + 5r + 3 = 0
Fo´rmula de Abel Liouville Jacobi : A partir da equac¸a˜o caracter´ıstica podemos Usar essa fo´rmula para
encontrar a soluc¸a˜o da E.D.O. estudada. Usando a E.D.O. acima a fo´rmula sera´:
Aer1x +Ber2x, onde :
r1 =
−5 +√25− 4.3.1
2
=
−5 +√12
2
r2 =
−5−√25− 4.3.1
2
= −5 +
√
12
2
Caso r1 e r2 sejam iguais podemos multiplicar B por x, assim teremos um par de E.D.O. linearmente indepen-
dentes
Wronskiano :E´ uma ferramente utilizada para conferir se as soluc¸o˜es da E.D.O. sa˜o linearmente indepen-
dentes ou na˜o. Caso o determinante seja zero isso significa que as soluc¸o˜es sa˜o linearmente dependentes,ou seja,
as soluc¸o˜es na verdade e´ apenas uma soluc¸a˜o. O Wronskiano e´ dado pela matriz:
W =
 dy1dx dy2dxd2y1
dx2
d2y2
dx2

Coeficientes Constantes :E´ um me´todo de resolver E.D.O. na˜o homogeˆnea, caso as func¸o˜es na˜o ho-
mogeˆneas sejam exponenciais (assim como func¸o˜es trigonome´tricas, que tambe´m sa˜o exponenciais). Assim
temos, por exemplo:
d2y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 3y = 3sen2x. No caso de E.D.O. na˜o homogeˆnea, primeiramente encon-
tramos a soluc¸a˜o da E.D.O. homogeˆnea, usando os processos acima, e depois encontramos a soluc¸a˜o da E.D.O.
na˜o homogeˆnea substituindo na E.D.O. homogeˆnea da seguinte forma:
d(Asen2x+Bcos2x)
dt
= 2Acos2x− 2Bsen2x, d
2(Asen2x+Bcos2x)
dt2
= −4(Asen2x+Bcos2x)
1
Encontrada as derivadas presentes na E.D.O. homogeˆnea substitu´ımos esses valores na E.D.O. homogeˆnea,assim:
−4(Asen2x+Bcos2x) + 5.(2Acos2x− 2Bsen2x) + 3(Asen2x+Bcos2x) = 3sen2x
Logo,equacionando sen2x e os coeficientes A e B teremos:
sen2x.(−4A− 10B + 3A) = 3sen2x ⇒ −A− 10B = 3 eq.(1)
cos2x.(−4B + 10A+ 3B) = 0 ⇒ −B + 10A = 0 eq.(2)
(1).1− (2).10 ⇒ −A− 10B + 10B − 100A = 3 ⇒ −101A = 3 ⇒ A = − 3
101
⇒ B = − 30
101
Operador D : Utilizamos esse me´todo quando e´ poss´ıvel encontrar fatores comuns na E.D.O. .Assim chamamos
o operador derivada de D (D para ordem 1,D2 para ordem dois eDn para ordem n) e a func¸a˜o onde o operador vai
atuar(X,Y,Z). Esse me´todo pode ser usado para encontrar a soluc¸a˜o de equac¸o˜es homogeˆneas e na˜o homogeˆneas.
Assim temos, por exemplo:
d2y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 3y = 30.Resolvendo a E.D.O. na˜o homogeˆnea:
(D2 + 5D + 3)y = 0, 3y = 30, y = 10,
d
dx
10 = 0,
d2
dx2
10 = 0
Substituindo na equac¸a˜o homogeˆnea.
1.(0) + 5.(0) + 3.(10) = 30
Esse me´todo ainda pode ser usado quando a equac¸a˜o homogeˆnea e´ igual a equac¸a˜o na˜o homogeˆnea. Exemplo:
d2
dx2
y + 16y = sen4x. Resolvendo a equac¸a˜o homogeˆnea:
(D2 + 16)y = 0⇒ r2 + 16 = 0⇒ r1 = −4ix⇒ r2 = +4ix
A soluc¸a˜o fica enta˜o:
y(x) = Ae−4ix +Be4ix
As constantes A e B podem ser atribu´ıdas da seguinte forma: A =
a+ ib
2
e B =
a− ib
2
. Utilizando a fo´rmula
de Euler (e±iθ = cosθ ± senθ
a+ ib
2
(cos4x−isen4x)+a− ib
2
(cos4x+isen4x) =
a
2
.[cos4x−isen4x+cos4x+isen4x]+bi
2
.[cos4x−isen4x+cos4x−isen4x] = a
2
.[2cos4x]+
bi
2
.[−2isen4x] = acos4x+bsen4x
Enta˜o podemos escrever y(x) tambe´m por:
y(x) = acos4x+ bsen4x
Usando o me´todo dos coeficientes constantes reparamos que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea coincide com a
soluc¸a˜o da particular. Enta˜o:
(D2 + 16)y = (D2 + 16)y
Assim podemos adicionar x a soluc¸a˜o particular.Assim:
yp(x) = x(dcos4x+ fsen4x)⇒ y′p(x) = (dcos4x+ fsen4x) + 4x(−dsen4x+ fcos4x)
y′′p (x) = 4(−dsen4x+ fcos4x) + 4(−dsen4x+ fcos4x)− 16x(dcos4x+ fsen4x)
y′′p (x) = −8(dsen4x− fcos4x)− 16x(dcos4x+ fsen4x)
2
Substituindo na equac¸a˜o original;
[−8(dsen4x− fcos4x)− 16x(dcos4x+ fsen4x)] + 16x(dcos4x+ fsen4x) = sen4x
−8dsen4x = sen4x, −8fcos4x = 0
f = 0, d = −1
8
Logo a soluc¸a˜o particular e homogeˆnea formam a soluc¸a˜o da E.D.O., que e´ da forma:
y(x) = acos4x+ bsen4x− x
8
sen4x
3

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