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Prévia do material em texto

Plano de Fase de Sistemas Lineares de EDOs. 
 
Prof Artur Fassoni, IMC – UNIFEI. Slides adaptados da versão em inglês do material fornecido pela Editora LTC. Junho/2013. 
A maioria das equações diferenciais, especialmente as não-
lineares, não pode ser resolvida de maneira analítica. Ou seja, 
é impossível obter uma fórmula para a solução. 
Uma maneira de entender melhor estas equações e soluções, é 
resolvê-las numericamente no computador. Esta abordagem 
fornece um entendimento mais quantitativo das EDOs. 
Outra abordagem, que 
apresentaremos aqui, é de caráter 
geométrico. Por meio dela, 
podemos tirar conclusões muito 
interessantes, e obter um 
entendimento qualitativo sobre o 
comportamento das soluções. 
Soluções de um sistema linear 2x2. 
Considere o sistema homogêneo de coeficientes constantes da 
forma x' = Ax, onde A é uma matriz 2 x 2 e x é um vetor 2 x 1. 
Se supormos que as soluções são da forma x = ert, então 
 
Portanto, x = ert é uma solução de x' = Ax desde que r seja 
um autovalor de A e  seja um autovetor associado a r. 
Os autovalores são as raízes do polînômio característico de A, 
𝑝𝐴 𝑟 = det 𝐴 − 𝑟𝐼 , e os autovetores  associados a r 
satisfazem A =rI, ou seja, são uma solução do sistema 
(A-rI) = 0. 
  0ξIAAξξAξξ  rreer rtrt
Campo de vetores. Plano de Fase. Retrato de 
fase. 
O sistema x' = Ax pode ser visto como um campo de vetores no 
plano x1x2, que a cada ponto x do plano, associa um vetor Ax 
apoiado em x. 
Portanto, ao procurarmos soluções do sistema x' = Ax, 
procuramos curvas x = (t) no plano x1x2 que sejam tangentes 
ao campo em cada ponto. 
Estas curvas podem ser vistas como trajetórias individuais de 
partículas se movendo com velocidade dx/dt. 
O plano x1x2 é chamado plano de fase, é o gráfico de um 
conjunto significativo de trajetórias é chamado retrato de fase. 
A objetivo da Teoria Qualitativa de EDOs é entender o 
comportamento das soluções no plano (ou espaço) de fase. 
Soluções de Equilíbrio, Retrato de fase. 
Pontos x que satisfazem Ax = 0 são soluções de equilíbrio, e 
são chamados pontos de equilíbrio, ou pontos críticos. 
Portanto, pontos de equilíbrio são pontos onde cessou o 
movimento das partículas no plano. 
Vamos supor sempre que A é uma matriz inversível, ou seja, 
detA  0. Portanto, x = 0 é o único ponto de equilíbrio do 
sistema x' = Ax, e A não possui autovalor 𝜆 = 0. 
 
Caso 1.1: Autovalores reais, distintos e negativos 
Quando os autovalores r1 e r2 são reais distintos, a solução é 
 
Se r1 < r2 < 0, então todas as soluções tendem a origem 
quando 𝑡 → +∞. 
A solução geral pode ser escrita como 
 
Como r1 - r2 < 0, para c2  0 o termo 
c1𝝃
(1)e(r1 - r2)t é insignificante comparado c2
(2), 
quando t é grande. Logo todas as soluções são 
tangentes a 𝝃(2) na origem x = 0, exceto aquelas 
que começam na direção de 𝝃(1) (ou seja, c2=0). 
A origem é chamada nó estável ou sorvedouro. 
 
trtr
ecec 21 )2(2
)1(
1 ξξx    )2(2)1(1)2(2)1(1 21221 ξξξξx ceceecec trrtrtrtr  
Caso 1.2: Autovalores reais distintos e positivos 
Se 0 < r2 < r1, então as trajetórias terão o mesmo padrão do 
caso anterior, e da figura abaixo, só que com o sentido de 
percurso trocado, isto é, todas as trajetórias se afastam da 
origem quando 𝑡 → +∞ e se aproximam dela quando 
𝑡 → −∞ . Neste caso a origem é chamada nó instável, ou 
fonte. 
Caso 2: Autovalores reais, distintos, com 
sinais contrários. 
Suponha agora que r1 > 0 > r2. Considere a solução geral 
 
Se a solução começa na reta determinada pelo autovetor (1), 
então c2 = 0. A solução continua neste reta para todo t e vemos 
também que ||x||   quando t  +, pois r1 > 0. 
Analogamente, se o ponto inicial está na reta determinada por 
(2), então ||x||  0 quando t  +, pois r2 < 0. 
As outras trajetórias farão movimentos que 
são combinações dos movimentos de 𝑋1(𝑡) e 
𝑋2(𝑡), como ilustrado ao lado. 
Neste caso, a origem é chamada um ponto 
de sela. 
.21 )2(2
)1(
1
trtr
ecec ξξx 
Caso 3.1: Autovalores iguais, dois autovetores LI. 
Suponha que r1 = r2 = r. Vamos considerar o caso em que r é 
negativo. Se r for positivo, então as trajetórias serão similares, 
porém com o sentido do movimento invertido. 
Temos dois subcasos. Suponha primeiro que 𝑟 possui dois 
autovetores (1) e (2) linearmente independentes. Então a 
solução geral é 
 
Cada trajetória está contida em uma reta 
passando pela origem, e todas as trajetórias 
tendem a zero quando 𝑡 → +∞. 
A origem é chamada um nó próprio, ou 
ponto estrela. 
rtrt ecec )2(2
)1(
1 ξξx 
Caso 3.2: Autovalores iguais, um autovetor LI. 
Se o autovalor duplo r possuir apenas um autovetor LI , então, 
sabemos que a solução geral é da forma 
 
 onde 𝛈 é um autovetor generalizado associado a 𝑟: 𝐴 − 𝑟𝐼 𝜼 = 𝝃. 
Para t>0 grande, o termo dominante é c2te
rt, e os outros termos 
podem ser desprezados. Logo, cada trajetória se aproxima da 
origem tangenciando a reta determinada por . 
 rtrtrt etecec ηξξx  21
Da mesma maneira, t<0 grande em 
módulo, o termo dominante também é 
c2te
rt. Portanto, todas as trajetórias se 
afastam da origem tangenciando uma 
reta paralela a . 
Caso 3.2: Autovalores iguais, um autovetor. 
Neste caso, a orientação das trajetórias dependem das 
posições de  e . A solução geral pode ser escrita como 
 
Note que y determina a direção de x, enquanto o escalar ert 
afeta apenas o tamanho do vetor x. 
Para c1 e c2 fixos, a expressão de y é a equação vetorial da reta 
passando pelo ponto c1 + c2  e paralela a . 
  tccceetccc rtrt ξηξyyξηξx 221221 , 
Usando este fato, podemos esboçar algumas 
trajetórias para alguns valores de c1 e c2 e 
formar o retrato de fase. 
Quando um autovalor duplo possui apenas 
um autovetor LI, o ponto crítico é chamado 
um nó impróprio, ou degenrado. 
Case 4: Autovalores Complexos 
Suponha que os autovalores são complexos conjugados, da 
forma 𝜆1,2 = 𝛼 ± 𝑖𝛽, com 𝛼 e 𝛽 reais, e 𝛽 > 0. 
Se 𝑣1 = 𝑎 + 𝑖𝑏 é um autovetor associado a 𝜆1 = 𝛼 + 𝑖𝛽, com 
𝑎 , 𝑏 reais, então 𝑣2 = 𝑎 − 𝑖𝑏 é autovetor associado a 𝜆2. 
Usando a fórmula de Euler, 𝑒𝜆1𝑡 = 𝑒𝛼𝑡 cos 𝛽𝑡 + 𝑖 sen 𝛽𝑡 , 
podemos separar as partes real e imaginária da solução 𝑋1: 
𝑋1 𝑡 = 𝑒𝜆1𝑡𝑣1 = 𝑢 𝑡 + 𝑖𝑣 𝑡 
 onde 𝑢 𝑡 e 𝑣 𝑡 são reais. 
A solução geral é dada por 𝑋 𝑡 = 𝑐1𝑢 𝑡 + 𝑐2𝑣 𝑡 . 
Caso 4.1: Autovalores Complexos com parte 
real não-nula. 
Se 𝛼< 0, então 𝑥 0 quando t  +. Se 𝛼 > 0, então 𝑥  0. 
Portanto, as trajetórias são espirais, que se aproximam ou 
afastam da origem conforme o sinal da parte real dos 
autovalores. Neste caso, a origem é chamada um ponto espiral, 
estável ou instável, conforme o sinal de 𝛼. 
Todas as trajetórias 
possuem o mesmo 
sentido de rotação. 
Para determiná-lo, basta 
calcular 𝑋(𝑡) em dois 
pontos, geralmente em 
𝑡 = 0 e 𝑡 =
𝜋
2𝛽
. 
Caso 4.2: Autovalores Complexos com parte 
real nula. 
Se a parte real 𝛼 dos autovalores for nula, então 𝑒𝛼𝑡 = 1. 
Logo, as soluções não se afastam nem se aproximam da 
origem. Cada trajetória é uma elipse centrada na origem, 
determinada pelas constantes 𝑐1 e 𝑐2. 
Neste caso, a origem é chamada um centro. 
Resumindo: 
A seguinte tabela resume as análises que fizemos a respeito 
das soluções obtidas para o sistema 2 x 2 x' = Ax, bem como a 
estabilidade do ponto de equilíbrio x = 0. 
Autovalores Tipo de Ponto de Equilíbrio Estabilidade 
021  rr
 Nó Instável 
021  rr
 Nó AssintoticamenteEstável 
12 0 rr 
 Ponto de Sela Instável 
021  rr
 Nó próprio ou impróprio Instável 
021  rr
 Nó próprio ou impróprio Assintoticamente Estável 
 irr 21,
 Ponto Espiral 
 
0
 Instável 
 
0
 Assintoticamente Estável 
 irir  21 , 
Centro Estável 
 
Tipo da solução: dependência de 
𝑝 = traço 𝐴 e 𝑞 = det 𝐴 
Os autovalores 𝜆1,2 são raízes do polinômio característico 
𝑝𝐴 𝜆 = 𝜆
2 − 𝑝 𝜆 + 𝑞, onde 𝑝 = traço 𝐴 e 𝑞 = det 𝐴. 
A forma das soluções depende de 𝑝 e 𝑞 conforme a figura:

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