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Plano de Fase de Sistemas Lineares de EDOs. Prof Artur Fassoni, IMC – UNIFEI. Slides adaptados da versão em inglês do material fornecido pela Editora LTC. Junho/2013. A maioria das equações diferenciais, especialmente as não- lineares, não pode ser resolvida de maneira analítica. Ou seja, é impossível obter uma fórmula para a solução. Uma maneira de entender melhor estas equações e soluções, é resolvê-las numericamente no computador. Esta abordagem fornece um entendimento mais quantitativo das EDOs. Outra abordagem, que apresentaremos aqui, é de caráter geométrico. Por meio dela, podemos tirar conclusões muito interessantes, e obter um entendimento qualitativo sobre o comportamento das soluções. Soluções de um sistema linear 2x2. Considere o sistema homogêneo de coeficientes constantes da forma x' = Ax, onde A é uma matriz 2 x 2 e x é um vetor 2 x 1. Se supormos que as soluções são da forma x = ert, então Portanto, x = ert é uma solução de x' = Ax desde que r seja um autovalor de A e seja um autovetor associado a r. Os autovalores são as raízes do polînômio característico de A, 𝑝𝐴 𝑟 = det 𝐴 − 𝑟𝐼 , e os autovetores associados a r satisfazem A =rI, ou seja, são uma solução do sistema (A-rI) = 0. 0ξIAAξξAξξ rreer rtrt Campo de vetores. Plano de Fase. Retrato de fase. O sistema x' = Ax pode ser visto como um campo de vetores no plano x1x2, que a cada ponto x do plano, associa um vetor Ax apoiado em x. Portanto, ao procurarmos soluções do sistema x' = Ax, procuramos curvas x = (t) no plano x1x2 que sejam tangentes ao campo em cada ponto. Estas curvas podem ser vistas como trajetórias individuais de partículas se movendo com velocidade dx/dt. O plano x1x2 é chamado plano de fase, é o gráfico de um conjunto significativo de trajetórias é chamado retrato de fase. A objetivo da Teoria Qualitativa de EDOs é entender o comportamento das soluções no plano (ou espaço) de fase. Soluções de Equilíbrio, Retrato de fase. Pontos x que satisfazem Ax = 0 são soluções de equilíbrio, e são chamados pontos de equilíbrio, ou pontos críticos. Portanto, pontos de equilíbrio são pontos onde cessou o movimento das partículas no plano. Vamos supor sempre que A é uma matriz inversível, ou seja, detA 0. Portanto, x = 0 é o único ponto de equilíbrio do sistema x' = Ax, e A não possui autovalor 𝜆 = 0. Caso 1.1: Autovalores reais, distintos e negativos Quando os autovalores r1 e r2 são reais distintos, a solução é Se r1 < r2 < 0, então todas as soluções tendem a origem quando 𝑡 → +∞. A solução geral pode ser escrita como Como r1 - r2 < 0, para c2 0 o termo c1𝝃 (1)e(r1 - r2)t é insignificante comparado c2 (2), quando t é grande. Logo todas as soluções são tangentes a 𝝃(2) na origem x = 0, exceto aquelas que começam na direção de 𝝃(1) (ou seja, c2=0). A origem é chamada nó estável ou sorvedouro. trtr ecec 21 )2(2 )1( 1 ξξx )2(2)1(1)2(2)1(1 21221 ξξξξx ceceecec trrtrtrtr Caso 1.2: Autovalores reais distintos e positivos Se 0 < r2 < r1, então as trajetórias terão o mesmo padrão do caso anterior, e da figura abaixo, só que com o sentido de percurso trocado, isto é, todas as trajetórias se afastam da origem quando 𝑡 → +∞ e se aproximam dela quando 𝑡 → −∞ . Neste caso a origem é chamada nó instável, ou fonte. Caso 2: Autovalores reais, distintos, com sinais contrários. Suponha agora que r1 > 0 > r2. Considere a solução geral Se a solução começa na reta determinada pelo autovetor (1), então c2 = 0. A solução continua neste reta para todo t e vemos também que ||x|| quando t +, pois r1 > 0. Analogamente, se o ponto inicial está na reta determinada por (2), então ||x|| 0 quando t +, pois r2 < 0. As outras trajetórias farão movimentos que são combinações dos movimentos de 𝑋1(𝑡) e 𝑋2(𝑡), como ilustrado ao lado. Neste caso, a origem é chamada um ponto de sela. .21 )2(2 )1( 1 trtr ecec ξξx Caso 3.1: Autovalores iguais, dois autovetores LI. Suponha que r1 = r2 = r. Vamos considerar o caso em que r é negativo. Se r for positivo, então as trajetórias serão similares, porém com o sentido do movimento invertido. Temos dois subcasos. Suponha primeiro que 𝑟 possui dois autovetores (1) e (2) linearmente independentes. Então a solução geral é Cada trajetória está contida em uma reta passando pela origem, e todas as trajetórias tendem a zero quando 𝑡 → +∞. A origem é chamada um nó próprio, ou ponto estrela. rtrt ecec )2(2 )1( 1 ξξx Caso 3.2: Autovalores iguais, um autovetor LI. Se o autovalor duplo r possuir apenas um autovetor LI , então, sabemos que a solução geral é da forma onde 𝛈 é um autovetor generalizado associado a 𝑟: 𝐴 − 𝑟𝐼 𝜼 = 𝝃. Para t>0 grande, o termo dominante é c2te rt, e os outros termos podem ser desprezados. Logo, cada trajetória se aproxima da origem tangenciando a reta determinada por . rtrtrt etecec ηξξx 21 Da mesma maneira, t<0 grande em módulo, o termo dominante também é c2te rt. Portanto, todas as trajetórias se afastam da origem tangenciando uma reta paralela a . Caso 3.2: Autovalores iguais, um autovetor. Neste caso, a orientação das trajetórias dependem das posições de e . A solução geral pode ser escrita como Note que y determina a direção de x, enquanto o escalar ert afeta apenas o tamanho do vetor x. Para c1 e c2 fixos, a expressão de y é a equação vetorial da reta passando pelo ponto c1 + c2 e paralela a . tccceetccc rtrt ξηξyyξηξx 221221 , Usando este fato, podemos esboçar algumas trajetórias para alguns valores de c1 e c2 e formar o retrato de fase. Quando um autovalor duplo possui apenas um autovetor LI, o ponto crítico é chamado um nó impróprio, ou degenrado. Case 4: Autovalores Complexos Suponha que os autovalores são complexos conjugados, da forma 𝜆1,2 = 𝛼 ± 𝑖𝛽, com 𝛼 e 𝛽 reais, e 𝛽 > 0. Se 𝑣1 = 𝑎 + 𝑖𝑏 é um autovetor associado a 𝜆1 = 𝛼 + 𝑖𝛽, com 𝑎 , 𝑏 reais, então 𝑣2 = 𝑎 − 𝑖𝑏 é autovetor associado a 𝜆2. Usando a fórmula de Euler, 𝑒𝜆1𝑡 = 𝑒𝛼𝑡 cos 𝛽𝑡 + 𝑖 sen 𝛽𝑡 , podemos separar as partes real e imaginária da solução 𝑋1: 𝑋1 𝑡 = 𝑒𝜆1𝑡𝑣1 = 𝑢 𝑡 + 𝑖𝑣 𝑡 onde 𝑢 𝑡 e 𝑣 𝑡 são reais. A solução geral é dada por 𝑋 𝑡 = 𝑐1𝑢 𝑡 + 𝑐2𝑣 𝑡 . Caso 4.1: Autovalores Complexos com parte real não-nula. Se 𝛼< 0, então 𝑥 0 quando t +. Se 𝛼 > 0, então 𝑥 0. Portanto, as trajetórias são espirais, que se aproximam ou afastam da origem conforme o sinal da parte real dos autovalores. Neste caso, a origem é chamada um ponto espiral, estável ou instável, conforme o sinal de 𝛼. Todas as trajetórias possuem o mesmo sentido de rotação. Para determiná-lo, basta calcular 𝑋(𝑡) em dois pontos, geralmente em 𝑡 = 0 e 𝑡 = 𝜋 2𝛽 . Caso 4.2: Autovalores Complexos com parte real nula. Se a parte real 𝛼 dos autovalores for nula, então 𝑒𝛼𝑡 = 1. Logo, as soluções não se afastam nem se aproximam da origem. Cada trajetória é uma elipse centrada na origem, determinada pelas constantes 𝑐1 e 𝑐2. Neste caso, a origem é chamada um centro. Resumindo: A seguinte tabela resume as análises que fizemos a respeito das soluções obtidas para o sistema 2 x 2 x' = Ax, bem como a estabilidade do ponto de equilíbrio x = 0. Autovalores Tipo de Ponto de Equilíbrio Estabilidade 021 rr Nó Instável 021 rr Nó AssintoticamenteEstável 12 0 rr Ponto de Sela Instável 021 rr Nó próprio ou impróprio Instável 021 rr Nó próprio ou impróprio Assintoticamente Estável irr 21, Ponto Espiral 0 Instável 0 Assintoticamente Estável irir 21 , Centro Estável Tipo da solução: dependência de 𝑝 = traço 𝐴 e 𝑞 = det 𝐴 Os autovalores 𝜆1,2 são raízes do polinômio característico 𝑝𝐴 𝜆 = 𝜆 2 − 𝑝 𝜆 + 𝑞, onde 𝑝 = traço 𝐴 e 𝑞 = det 𝐴. A forma das soluções depende de 𝑝 e 𝑞 conforme a figura:
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