Limites de Funções e Métodos de Cálculo

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LISTA 5: LIMITES 
 
CARACTERIZAÇÃO GERAL 
 
A noção natural de limites tem a ver com a busca da tendência da variável 
dependente de uma função, quando a variável independente tende a um 
determinado ponto. 
 
Portanto, chama-se limite de uma função quando x tende ao número y, que 
indica a tendência da função. É expresso da seguinte forma: 
 
 lim x = y 
x → b 
 
 
PROPRIEDADES 
 
As propriedades são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em outras palavras, isso significa dizer que: 
 
 o limite de uma função constante é a própria constante; 
 o limite da soma é a soma dos limites, caso esses limites existam; 
 o limite da diferença é a diferença dos limites, caso esses limites 
existam; 
 o limite do produto é o produto dos limites, caso esses limites existam; 
 o limite de constante vezes uma função é a constante vezes o limite da 
função, caso esse limite exista; 
 o limite do quociente é o quociente dos limites, caso esses limites 
existam e o limite do denominador seja diferente de zero; 
 o limite da raiz de uma função é a raiz do limite da função se o limite 
existe e é maior ou igual a zero. 
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1º MÉTODO: FATORAÇÃO E SIMPLIFICAÇÃO 
 
Esse método é recomendado quando temos equações de 1º, 2º e 3º graus em 
funções racionais onde o denominador assume valor zero quando x tende a 
determinado número. 
 
Nessa situação, você deve fatorar e simplificar, de forma a mudar o 
denominador para que, quando você substituir o valor de x, ele não zere mais. 
Não há necessidade em eliminar o denominador, somente transformá-lo para 
que não seja nulo. 
 
Nesse método é fundamental para você aprender a utilizar as regras de 
fatoração indicadas a seguir. Portanto, o primeiro passo é treinar sua 
utilização. 
a) Fator comum em evidência 
ax + ay = a.(x+y) 
b) Função quadrática 
Ache as raízes e use a fórmula: a(x–x')(x–x") 
c) Fatoração por diferença de quadrados 
 x2 – 9 = (x + 3) (x – 3) 
d) Outras regras de fatoração 
 
 
 
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 
e) Fatoração por agrupamento 
 
ax + ay + bx + by = a.(x+y) + b.(x+y) = (x+y).(a+b) 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO 1 
A Alstom Transporte é líder mundial em equipamentos e serviços ferroviários, 
oferecendo a mais ampla gama de equipamentos do mercado, de material 
rodante e infraestrutura a sistemas de sinalização, informação e manutenção. 
São referência mundial em veículos leves sobre trilhos (VLTs), metrôs e trens 
regionais de alta e altíssima velocidade, com mais de 1000 composições em 
operação comercial ao redor do mundo. Recentemente, a empresa deseja 
fechar negócio com a Companhia Paulista de Trens Metropolitanos (CPTM). O 
pedido deve fornecer mais de 20 novos trens, porém a CPTM solicita à Alston 
que calcule o custo do transporte de um vagão a uma distância de 2 milhas. O 
custo ($mil) pode ser obtido pelo seguinte modelo: 
 
 
 
Desmembramento numerador 
3x2 – x – 10 = 0 
 
a = 3 b = –1 c = –10 
 
∆ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4 ∙ 3 ∙ (–10) = 121 
 
x = –b ± √ ∆ = – (–1) ± √ 121 = 1 ± 11 x1=2 e x2=–5/3 
 2 ∙ a 2 ∙ 3 6 
a(x-x1)(x-x2) = 3(x + 5/3) (x – 2) = (3x + 5)(x – 2) 
Desmembramento denominador 
x2 – 4 = 0 
x2 = 4 
x = √ 4 = ± 2 
 
a (x-x')(x-x") = (x – 2) (x + 2) 
 
Conclusão 
 
 
 
Para transportar um vagão a uma distância de 2 milhas, custará 11/4 = 2,75 · 
1.000 = $2.750,00. A função tem um pequeno problema com x = 2, mas que 
não invalida sua utilidade no cálculo do custo de transporte, visto que com o 
limite pode-se resolver a questão. 
x Custo
0 2,50R$ 
1 2,67R$ 
2
3 2,80R$ 
4 2,83R$ 
5 2,86R$ 
6 2,88R$ 
 
 
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2º MÉTODO: DESMEMBRAR E SIMPLIFICAR 
 
 
EXERCÍCIO 2 
O novo gerente comercial, desejando saber qual era o custo fixo relativo à sua 
loja, foi conversar com o contador da empresa. O mesmo informou que estava 
impossibilitado de disponibilizar o dado, pois um vírus entrara no sistema, 
gerando muitos danos. A área de informática estava trabalhando no assunto, 
entretanto, não havia previsão de retorno. Para resolver a situação de forma 
rápida, o contador informou que o custo total mensal relativo a cada loja da 
empresa poderia ser calculado pelo seguinte modelo: 
 
lim (7 + 4x)3 – 343 
x→0 x 
 
Sabendo que x se refere à quantidade vendida de mercadorias, ao determinar 
que x assumisse zero, somente os custos fixos mensais restariam. Qual o valor 
do custo fixo mensal de uma loja nessa empresa (valores em $mil)? 
 
 
lim (7 + 4x) (7 + 4x) (7 + 4x) – 343 = (49 + 56x + 16x2)(7 + 4x) – 343 
x→0 x x 
 
 
lim 343 +196x + 392x + 224x2 + 112x2 + 64x3 – 343 = x(64x2 +336x+588) 
x→0 x x 
 
lim (64x2 +336x+588) = 64*0² + 336*0 + 588 = 588 
x→0 
 
 
A loja tem um custo fixo mensal de $588.000,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3º MÉTODO: DIVISÃO DO NUMERADOR E DENOMINADOR PELO MAIOR 
PODER DE X 
 
Esse método é recomendado em funções racionais quando x assume valores 
+∞ e – ∞ e você não consegue eliminar o x do denominador através da 
fatoração e simplificação. 
 
 
EXERCÍCIO 3 
Quando lixo orgânico é despejado em um lago, o processo de oxidação 
decorrente diminui a quantidade de oxigênio no lago. Entretanto, com o passar 
do tempo, a natureza restaurará a quantidade de oxigênio aos seus níveis 
originais. Suponha que a quantidade de oxigênio t dias após o despejo do lixo 
orgânico seja de: 
 
 
lim 28 7t2 + t – 100 
t→∞ 2t2 – 5t 
 
Em outras palavras, a função acima dá o percentual de oxigênio contido no 
lago comparado ao seu nível original, qual seja, aquele quando o lixo orgânico 
não era despejado no lago. O que você pode dizer sobre f(t) quando t é muito 
grande? Verifique suas observações calculando lim f(t). 
 t→∞ 
 
28 lim 7t2 + t – 100 
 t→∞ 2t2 – 5t 
 
 
 7t2 + _t_ – 100 
28 lim _t2 t2 t2_ 
 t→∞ 2t2 – 5t 
 t2 t2 
 
 
 7 + _1_ – 100 
28 lim _ ∞ ∞_ 
 t→∞ 2 – _5_ 
 ∞ 
 
28 lim _7_ 
 t→∞ 2 
 
28 · 3,5 = 98 
 
Enquanto t cresce cada vez mais, f(t) tende a 100%. Essa observação mostra 
que futuramente o conteúdo de oxigênio do lago voltará a quase 
completamente seus níveis naturais.