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Prova de Matemática - Séries e Funções

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MAT 002 Prova 1 - Turma ECA/ELT 27/09/2013
(Q1) (30 pontos) Decida se as se´ries abaixo sa˜o convergentes ou divergentes. Justifique.
a)
1X
n=1
n sen
✓
1
n
◆
b)
1X
n=1
(�1)n+1n
22n
n!
c)
1X
n=2
✓
1
n
p
n2 � 1
◆
(Q2) (20 pontos) Considere um triaˆngulo equila´tero de lado igual a 2b e a tarefa de retirar
triaˆngulos equila´teros de seu interior como sugere as etapas ilustradas abaixo. Na Etapa
1 apenas um triaˆngulo e´ retirado, na Etapa 2 treˆs triaˆngulos iguais sa˜o retirados e assim por
diante.
Etapa 1 Etapa 2
. . .
A soma das a´reas removidas forma uma se´rie. Encontre esta se´rie e sua soma.
(Q3) (20 pontos) Considere a se´rie
1X
n=0
cnx
n.
a) Mostre que, se lim
n!1
n
p
|cn| = c 6= 0, enta˜o o raio de convergeˆncia da se´rie e´ R = 1/c.
b) Calcule a soma da se´rie supondo cn = n para todo n � 0 e |x| < 1 .
(Q4) (30 pontos) Verdadeiro ou falso? Justifique.
a) Se (an)n e (bn)n sa˜o sequeˆncias divergentes, enta˜o a sequeˆncia (anbn)n e´ divergente.
b) x = 1 pertence ao domı´nio da func¸a˜o f(x) =
1X
n=2
xn
lnn
.
c) A soma 1� ln 2 + (ln 2)
2
2!
� (ln 2)
3
3!
+ . . . e´ igual a 1/2.
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova!

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