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MAT 002 Prova 1 - Turma ECA/ELT 27/09/2013 (Q1) (30 pontos) Decida se as se´ries abaixo sa˜o convergentes ou divergentes. Justifique. a) 1X n=1 n sen ✓ 1 n ◆ b) 1X n=1 (�1)n+1n 22n n! c) 1X n=2 ✓ 1 n p n2 � 1 ◆ (Q2) (20 pontos) Considere um triaˆngulo equila´tero de lado igual a 2b e a tarefa de retirar triaˆngulos equila´teros de seu interior como sugere as etapas ilustradas abaixo. Na Etapa 1 apenas um triaˆngulo e´ retirado, na Etapa 2 treˆs triaˆngulos iguais sa˜o retirados e assim por diante. Etapa 1 Etapa 2 . . . A soma das a´reas removidas forma uma se´rie. Encontre esta se´rie e sua soma. (Q3) (20 pontos) Considere a se´rie 1X n=0 cnx n. a) Mostre que, se lim n!1 n p |cn| = c 6= 0, enta˜o o raio de convergeˆncia da se´rie e´ R = 1/c. b) Calcule a soma da se´rie supondo cn = n para todo n � 0 e |x| < 1 . (Q4) (30 pontos) Verdadeiro ou falso? Justifique. a) Se (an)n e (bn)n sa˜o sequeˆncias divergentes, enta˜o a sequeˆncia (anbn)n e´ divergente. b) x = 1 pertence ao domı´nio da func¸a˜o f(x) = 1X n=2 xn lnn . c) A soma 1� ln 2 + (ln 2) 2 2! � (ln 2) 3 3! + . . . e´ igual a 1/2. Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova!
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