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MAT 002 Prova 2 - Turma ECA/ELT 29/11/2013
(Q1) (20 pontos) Considere a func¸a˜o f(x, y) =
8><>:
2x+ y
|x|+ |y| se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
a) f(x, y) e´ cont´ınua em (0, 0)? Justifique.
b) f(x, y) e´ diferencia´vel em (0, 0)? Justifique.
(Q2) (30 pontos) Sejam as superf´ıcies
S1 = {(x, y, z) 2 R3 | z = 1 + x2 + y2} e S2 = {(x, y, z) 2 R3 | y = x2}.
a) Seja �(t) a curva obtida pela intersec¸a˜o de S1 e S2. Encontre uma equac¸a˜o para a reta
que tangencia �(t) no ponto (1, 1, 3).
b) Obtenha as equac¸o˜es dos planos tangentes a superf´ıcie S1 que conteˆm o eixo x.
(Q3) (30 pontos) Suponha que T (x, y) = 40�x2�2y2 represente uma distribuic¸a˜o de temperatura
no plano xy e considere o ponto P = (3, 2).
a) Qual e´ a direc¸a˜o e sentido de maior decrescimento da temperatura T a partir de P? Qual
e´ a taxa de decrescimento nesta direc¸a˜o?
b) Fornec¸a uma parametrizac¸a˜o para a curva ↵(t) = (x(t), y(t)) formada pelos pontos que
possuem a mesma temperatura registrada no ponto P .
c) Obtenha uma parametrizac¸a˜o para a trajeto´ria �(t) = (x(t), y(t)) descrita por uma
part´ıcula que se desloca, a partir de P , sempre na direc¸a˜o e sentido de maior decresci-
mento da temperatura.
(Q4) (20 pontos) A famosa empresa ECA-ELT Soluc¸o˜es deseja fabricar caixas em forma de pa-
ralelep´ıpedo com volume, por caixa, igual a 128 unidades de volume. O material que sera´
utilizado na base tem custo de R$ 7,00 por unidade de a´rea. Ja´ o material que sera´ usado
nas paredes laterais tem custo de R$ 2,00 por unidade de a´rea. Por fim, o material que sera´
empregado na tampa tem custo de R$ 1,00 por unidade de a´rea. A empresa deseja determi-
nar as dimenso˜es da caixa com menor custo de material. Resolva este problema aplicando a
te´cnica dos multiplicadores de Lagrange.
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova! Boas fe´rias!