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Colisões Bidimensionais 
Resumo: 
Neste relatório de Física Geral I, realizamos um experimento na mesa de ar 
onde filmamos uma colisão elástica entre dois pucks. A partir dos dados obtidos 
através do vídeo e das medidas realizados em laboratório, estudamos o Momento 
Linear e também a Energia Cinética do sistema, e determinamos o Deslocamento do 
Centro de Massa. 
Sumário: 
Objetivos.......................................................................................................pag.2 
Introdução Teórica.......................................................................................pag.2 
Material Utilizado.........................................................................................pag.6 
Procedimento Experimental........................................................................pag.7 
Discussões....................................................................................................pag.7 
Resultados....................................................................................................pag.15 
Conclusão.....................................................................................................pag.18 
Bibliografia...................................................................................................pag.18 
 
 
 
 
 
 
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Objetivos: 
 Estudar a Conservação do Momento Linear em colisões bidimensionais. 
 Estudar a conservação da Energia Cinética do sistema. 
 Determinar o Deslocamento do Centro de Massa do Sistema. 
 
Introdução Teórica: 
 
Centro de Massa 
 
O Centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se 
toda a massa do sistema estivesse concentrada neste ponto e todas as força externas 
estivessem aplicadas nesse ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Figura 1) 
 
O exemplo ilustrado acima mostra duas partículas de massa m1 e m2 separadas 
por uma distância d. Escolhemos arbitrariamente como origem do eixo x a posição da 
partícula de massa m1. Definimos a posição do centro de massa desse sistema de duas 
partículas como: 
 
 (Fórmula 0.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos escrever a equação na forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se as posições estão distribuídas em três dimensões, a posição do centro de massa 
deve ser especificada por três coordenadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para corpos maciços podemos definir o centro de massa como: 
 
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Momento Linear 
É uma grandeza vetorial que se conserva quando não há ação de forças 
externas ao sistema estudado, uma das principais leis da física o momento linear de 
um sistema de partículas é igual ao produto da massa total do sistema pela velocidade 
do centro de massa. 
 (Fórmula 0.2) 
 
(momento linear de um sistema de partículas). 
 
Derivando a equação acima temos que; 
 
 
 
 
 
Se um sistema de partículas não esta submetido a nenhuma força externa, o 
momento linear total do sistema não pode variar. 
Ou seja, a taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual 
á força resultante que atua sobre a partícula e tem a mesma orientação que essa força. 
E podemos escrever a Segunda Lei de Newton como; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colisões 
 
Existem dois tipos de colisões: as elásticas, que são as colisões em que os 
corpos não se deformam ou se deformam e se restituem rapidamente após o contato, 
assim a soma das energias cinéticas dos corpos envolvidos, é constante. E as inelásticas 
em que os corpos envolvidos ficam deformados ao se chocarem e possuem a mesma 
velocidade; a soma de suas energias cinéticas é menor se comparada com o valor 
inicial. Isso acontece porque uma parte dessa energia é transformada em energia 
interna (calor). 
Mas Independente da colisão ser elástica ou inelástica, o momento total dos 
corpos envolvidos é conservado. O movimento do centro de gravidade comum não é 
influenciado pelo processo da colisão. 
Em um choque, forças relativamente grandes atuam em cada uma das 
partículas que colidem, durante um intervalo de tempo relativamente pequeno. A 
idéia básica de um choque é que o movimento das partículas que se chocam (ou, pelo 
menos, de uma delas) sofre uma mudança muito brusca e assim é possível estabelecer 
uma separação nítida entre o tempo que denominamos “antes do choque” e aquele 
que chamamos “depois do choque”. 
 
Colisões elásticas 
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Numa colisão elástica a energia mecânica e o momento linear dos corpos 
envolvidos permanecem os mesmos antes e depois da colisão. Diz-se que houve 
conservação de momento linear e energia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Figura 2) 
 
 
Considera-se o caso de dois corpos de massas m1 e m2 movendo-se em linha 
reta, com velocidades v1 e v2 respectivamente, permanecendo os mesmos dois após a 
colisão (sem que haja desagregação), conforme a Figura 1. Antes da colisão o corpo de 
massa m1 tinha uma energia cinética E1i e um momento linear p1i e o corpo de massa 
m2 tinha uma energia cinética E2i e um momento linear p2i que podem ser expressos 
pelas fórmulas: 
 
 
 
 
 
 (1a) 
 (1b) 
 
 
 
 
 (1c) 
 (1d) 
 
Após a colisão as fórmulas são as mesmas, mas agora os corpos terão 
quantidades de movimento e energias diferentes, que são representadas com o índice 
f (final), assim: 
 
 
 
 
 (2a) 
 (2b) 
 
 
 
 
 (2c) 
 (2d) 
 
Como há conservação de energia e momento pode-se escrever que a energia 
total e o momento total inicial e final do sistema de corpos não variam, desta maneira: 
 
 (3a) 
 (3b) 
 
Substituindo nas equações 3a e 3b os valores para cada termo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (4a) 
 (4b) 
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A resolução do sistema de equações formado pelas Equações 4a e 4b é possível 
e permite o conhecimento das condições do movimento após a colisão. 
A divisão da equação 4a por (1/2) e o agrupamento dos termos com mesma 
massa em cada lado terá como resultado: 
 
 
 
 
 
 (5) 
 
Juntando os termos com mesma massa em cada lado, para a equação 4b: 
 
 
 (6) 
 
O termo que multiplica m1 na Equação 5 tem alguma relação com o termo que 
multiplica o mesmo m1 na Equação 6. Esta relação pode ser conhecida a partir da 
expressão: 
 
 
 (7) 
 
A mesma conclusão (com uma pequena diferença pela troca de sinais) pode ser 
tirada para o termo que multiplica m2 na Equação 5: 
 
 
 (8) 
Substituindo as Equações 7 e 8 na Equação 5: 
 
 (9) 
 
Comparando-se a equação 6, para conservação do momento, com a equação 9, 
nota-se que aquela (Eq. 6) está contida nesta (Eq. 9). Logo, pode-se dividir a Equação 9 
pela Equação 6 para se obter um resultado mais simplificado, que será:(10) 
 
Isolando v1f na Equação 10 e substituindo na Equação 6 obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 (11) 
E, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 (12) 
Dessa maneira, usando os princípios de conservação de energia e momento 
linear, foram obtidos os parâmetros do movimento após a colisão. 
 
 
 
Colisões Inelásticas 
6 
 
Definimos esse tipo de colisão na qual a energia cinética do sistema não 
conservada (embora o momento seja conservado). A colisão de uma bola de borracha 
com uma superfície dura é inelástica, pois parte da energia cinética da bola é 
transformada em energia interna quando ela é deformada em contato com a 
superfície. Quando dois corpos colidem e ficam grudados após uma colisão, é 
transformada a maior fração possível da energia cinética inicial e a colisão é chamada 
de perfeitamente inelástica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Figura 3) 
 
 
Uma colisão perfeitamente inelástica (eles permanecem unidos após a colisão). 
Antes da colisão o corpo de massa m2 esta em repouso e o corpo de massa m1 esta se 
movendo em direção á ele. Após a colisão os corpos unidos se movem com a mesma 
velocidade V. Nesta situação podemos escrever que; 
 (Fórmula 0.3) 
 
 
 
 
 
Se conhecemos as massas e as velocidades inicias das partículas obtemos a 
velocidade V do sistema em conjunto após a colisão. 
 
Observação: Na colisão que ocorre neste experimento há a intervenção de um 
campo magnético, pois em cima de cada puck há um imã, usamos desta situação para 
que não houvesse dissipação de energia no momento da colisão, pois neste 
experimento queremos verificar a conservação de energia. Sendo assim os pucks não 
se tocam, mas a uma repulsão magnética, onde obtemos uma colisão totalmente 
elástica, pois não há perda de energia. 
 
Material Utilizado: 
 Mesa de ar (Cidepe) 
 2pucks magnéticos 
 2 lançadores de pucks 
 Balança analógica 
 Régua 
 Paquímetro (Mitutoyo) 
 Microcomputador 
 Uma câmera filmadora 
 Pendrive 
 Software computacional GIMP, SONY VEGAS 
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 (Figura 4) 
 
Procedimento Experimental: 
 
 
1. Efetuou-se o nivelamento da mesa de ar. 
2. Mediram-se as dimensões da mesa de ar, do menor quadrado 
quadriculado da mesa tanto lado interno quanto externo. 
3. Mediram-se as massas dos pucks a serem lançados. 
4. Identificou os pucks como 1 e 2, mediu-se suas dimensões. 
5. Ajustaram-se os lançadores para que obtivéssemos uma colisão no 
centro da mesa. 
6. Ajustou-se a câmera filmadora no devido suporte. 
7. Efetuou-se varias tentativas para obter uma melhor colisão. 
 
 
Discussões: 
 Para calcular a distância usamos softwares para capturarmos as imagens e 
medir as imagens, uma nota importante é que não podemos esquecer que para 
fazermos as medidas usamos todas as imagens contidas no vídeo com um tamanho 
único, para conseguirmos calcular os tamanhos corretos. 
Calculando o tamanho do quadrado: 
 
 
 
 
8 
 
Distancia Digital: 
 
 (Figura 5) 
Distância Real: 
Medida do lado interno do quadrado + 2 (largura da linha) 
3,74 + 2 × 0,12 = 3,98 cm 
 
Calculando a distância em que os pucks entram em colisão: 
 
 (Figura 6) 
9 
 
 
 (Figura 7) 
Distância Digital em que ocorre a colisão: 
 
 (Figura 8) 
 
Essa foto nos mostra a distancia que há entre os dois pucks no momento em 
que ocorre a colisão.A partir da distância digital e real do quadrado podemos calcular 
as outras medidas: 
Distancia Digital Distancia Real 
2,86 cm _____________________________3,98 cm 
1,54 cm _____________________________ X cm 
X = 2,14 ±0,010 cm 
10 
 
Distância Real percorrida antes da colisão: 
Puck 1: 
 
 
 (Figura 9) 
Distancia Digital Distancia Real 
2,86 cm _____________________________3,98 cm 
15,00 cm ____________________________ X cm 
X = 20,87 ±0,010 cm 
Puck 2: 
 
 (Figura 10) 
Distancia Digital Distancia Real 
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2,86 cm _____________________________3,98 cm 
15,00 cm ____________________________ X cm 
X = 20,87 ±0,010 cm 
Distância Real percorrida após a colisão: 
 Puck 1: 
 
 (Figura 11) 
Distancia Digital Distancia Real 
2,86 cm _____________________________3,98 cm 
8,96 cm ____________________________ X cm 
X = 12,47 ±0,010 cm 
Puck 2: 
 
 
 (Figura 12) 
Distancia Digital Distancia Real 
12 
 
2,86 cm _____________________________3,98 cm 
7,73 cm ____________________________ X cm 
X = 10,75 ±0,010 cm 
Calculando as velocidades: 
Adquirimos os tempos para calcular a velocidade através de um software 
computacional. Pois gravamos a realização do experimento para melhor trabalharmos 
com os dados de tempo e distância. 
Velocidade antes da colisão: 
Sejam V1 e V2 as velocidades do Puck 1 e do Puck 2, vamos calcular a 
velocidade antes da colisão: 
Puck 1: 
V1 = (20,87 × 10 ¯ ²) ÷ 0,17 m / s 
 V1 = 1,2 m / s 
Puck 2: 
V2 = (20,87 × 10 ¯²) ÷ 0,13 m / s 
 V2 = 1,6 m / s 
Velocidade após a colisão: 
Sejam V1 e V2 as velocidades do Puck 1 e do Puck 2, vamos calcular a 
velocidade após a colisão: 
Puck 1: 
V1 = (12,47 × 10 ¯ ²) ÷ 0,80 m / s 
 V1 = 0,15 m / s 
Puck 2: 
V2 = (10,75 × 10¯ ²) ÷ 0,80 m / s 
 V2 = 0,13 m / s 
(Ver incertezas das velocidades na seção seguinte) 
 
 
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 Tratamento Estatístico : 
Antes da apresentação dos resultados, é conveniente uma explicação sucinta 
de como foi feito o tratamento estatístico no conjunto de dados. 
 Toda medida feita n vezes deve ser expressa pelo seu valor médio juntamente 
com a sua incerteza. O valor médio é dado por: 
 
Onde é a soma das n medidas. 
A incerteza é a soma algébrica de dois tipos de erros: Limite de Erro Estatístico (LEE) e 
Limite de Erro Sistemático (LES). O LEE é obtido pela fórmula: 
(fórmula 2) 
onde σ é o Desvio Padrão Amostral dado por 
 
na qual Vi representa cada medida. O Desvio Padrão Amostral representa a variação 
dos valores obtidos em torno do seu valor médio, está designado neste Relatório por 
desvio padrão. 
 Especificamente aqui, LEE = 0 para todas as grandezas, pois, mediu-se uma vez 
cada grandeza. 
Para calcular a segunda parte da incerteza, o LES, leva-se em conta erros 
cometidos involuntariamente pelo experimentador. No caso, levou-se em 
consideração a paralaxe, ou seja, a dificuldadeem visualizar a exata posição dos Pucs, 
medidas de massa, medidas de dimensões da mesa experimental e outros possíveis 
vieses experimentais. 
É importante dizer que, geralmente, a incerteza é dada com dois algarismos 
significativos, onde se faz arredondamentos convenientes. 
O tratamento descrito acima é para medidas diretas. Para medidas indiretas 
tem-se que fazer Propagação de Erros. Para ilustrar, seja d=m/v, onde essas grandezas 
quaisquer são medidas na forma (ӯ + ∆y). Então, tem uma incerteza ∆m, tem 
uma incerteza ∆v e tem uma incerteza ∆d. 
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Ou seja, 
 
 
(Fórmulas 4 e 5, respectivamente) 
Note que a incerteza ∆d não é a razão entre as incertezas dos valores médios 
de m e v. É através da fórmula utilizada ao cálculo de ∆d que se é feita a Propagação 
de Erros. 
Ainda, se tivéssemos d = m v, sendo outra grandeza, a incerteza ∆d também é 
dada pela fórmula 5. 
 Um terceiro caso, é quando se tem medida indireta na forma x = g + h, onde x, 
g e h representam medidas com incertezas ∆x, ∆g e ∆h, respectivamente. Dessa 
maneira, 
 
 
 A Propagação de Erros para x = g + h, fica assim: 
 (Fórmula 6) 
Assim, a tabela abaixo apresenta as incertezas das medidas diretas e indiretas, sendo 
estas calculadas seguindo, a princípio, o escopo acima. 
Sobre as medidas diretas e indiretas 
Grandezas Incertezas* 
Tempo 0,020s 
Distâncias e deslocamentos 1,0 . 10-2 m 
Massa 5,0 . 10-4 kg 
Velocidade do Puc 1 antes da colisão 0,091 m/s 
Velocidade do Puc 2 antes da colisão 0,15 m/s 
Velocidade do Puc 1 depois da colisão 0,012 m/s 
Velocidade do Puc 2 depois da colisão 0,012 m/s 
*O leitor interessado pode verificar tais valores de incerteza. Omite-se a demonstração 
pois não é o objetivo do Relatório mostrar a Teoria de Propagação de Erros e aplicação desta, 
por completa. 
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RESULTADOS 
(i) Estudo da Energia Cinética na experiência 
Seja Ek1a e Ek2a as Energia Cinética dos Puc 1 e Puc 2 antes da colisão, 
respectivamente. Da teoria, tem-se que: 
Ek1a = (0,022+0,003)J e Ek2a = (0,036+0,007)J. Assim, a Energia Cinética total do Sistema 
antes da colisão é: 
Eka = Ek1a + Ek2a 
Eka = (0,058 + 0,007) J 
Seja Ek1b e Ek2b as Energia Cinética dos Puc1 e Puc 2 depois da colisão, respectivamente. 
Da teoria, tem-se que: 
Ek1b = (33+5)∙10
-5 J e Ek2b = (24+4) ∙ 10
-5 J. Assim, a Energia Cinética total do Sistema 
depois da colisão é: 
Ekb = Ek1b + Ek2b 
Ekb = (57 + 7) ∙ 10
-5 J 
Como não há conservação de tal Energia Cinética, a colisão é do tipo Parcialmente 
Elástica, pois, além disso, os corpos se separaram após esta. 
(ii) Estudo do Deslocamento do Centro de Massa do Sistema 
 Para efetuar tal estudo, adota-se aqui o seguinte Sistema de Referência: a origem do 
Sistema de Coordenadas Cartesianas no local de lançamento do Puc1 (Ponto A). Como se 
conhece o tamanho de cada quadrado, consegue-se a norma de cada vetor da figura a seguir. 
Os vetores vermelhos e verdes representam os deslocamentos dos Puc 1 e Puc 2, 
respectivamente. 
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 (Figura 13) 
Como se conhece a posição de cada corpo no experimento em relação ao referencial adotado 
então, pelo estudo dinâmico, pode-se afirmar que a: 
(i) Posição do Centro de Massa do Sistema antes da colisão é: 
( (14,8+0,8) , (9,25+0,73) )10-2 m 
(ii) Posição do Centro de Massa do Sistema depois da colisão é: 
( (2,81+0,71) , (24,4+0,8) ) 10-2 m 
A primeira coordenada cartesiana refere-se à abscissa e a segunda à ordenada. 
 
Então, o Deslocamento em estudo é: 
( (-0,120 + 0,010) , (0,152 + 0,010) )10-2 m 
 
Conservação do Momento Linear : 
Analisando (Figura 13) vetorialmente as componentes do momento antes e depois da 
colisão temos: 
MOMENTO ANTES DA COLISÃO: 
 = cos Ɵ + 
 = sen Ɵ + 0 
 
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MOMENTO APÓS A COLISÃO: 
 = - cosα - cosβ 
= senα - senβ 
Se o momento se conservasse teríamos que: 
( cos + )î + ( sen + 0)ĵ = (- cosα - cosβ)î + ( senα - senβ)ĵ 
Pi =Pf 
Sabendo que os dados são: 
Incógnitas Puck1 Puck2 
Massa (g) 29,0 28,4 
Velocidade inicial (m/s) 1,2 1,6 
Velocidade final (m/s) 0,15 0,13 
Ângulos: 
Ɵ = 73,3° 
α = 82,9° 
β = 21,8° 
E se tomarmos o módulo de e temos, finalmente: 
 = (65 + 4) g.m/s 
 = (4,9 + 0,3) g.m/s 
Assim, concluímos que ≠ , ou seja, o Momento Linear não se conserva. 
(Propagação de Erros conforme a seção “Tratamento Estatístico”). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conclusão : 
 
Após obter todas as medidas e todos os dados do experimento sobre colisões, 
foi possível observar e concluir que o tipo de colisão que ocorreu foi a Parcialmente 
Elástica. 
 Tal tipo de conclusão já era esperada, uma vez que esse tipo de colisão é a mais 
comum na natureza. A colisão Parcialmente Elástica caracteriza-se pela não 
Conservação da Energia Cinética Total, proveniente do atrito no plano onde fora feito 
o experimento, deformação dos corpos e ou outras formas dissipativas de energia e 
pelo fato de que ambos os corpos após a colisão não apresentarem velocidade nula. 
 
Bibliografia : 
 
Raymond A. Serway / John W. Jewett, Jr. Princípios de Física 1, Mecânica ClassicaVol°1 
Editora Cengage Learnin. 
 
Halliday, David, 1916- Fundamentos de Física, Volume 1: Mecânica /David Halliday, 
Robert Resnick, Jearl Walker; tradução revisão técnica Ronaldo Sérgio de Biasi. -8ª 
edição-Rio de Janeiro: Ltc ,2008. 
 
SEARS, F. Weston; ZEMANSKY, Mark W. Física, Dinâmica-Hdrodinâmica, volume I. Rio 
de Janeiro, LTC: 1979.