Apostila_Multiplicação de Matrizes

Prévia do material em texto

1 
 
Aula sobre a seção 1.4 (livro do Strang) 
Regras para operações com matrizes 
Uma matriz é um arranjo retangular com um número de 
“elementos”. 
Quando A tem m linhas e n colunas, A é uma matriz m 
por n. 
Matrizes podem ser somadas se suas formas 
(tamanhos m por n) são as mesmas. 
Elas podem ser multiplicadas por qualquer constante c. 
Aqui estão alguns exemplos para matrizes 3 por 2: A+B 
e 2A: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] e [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Matrizes podem ser somadas exatamente como se faz 
com vetores: um elemento por vez. 
Podemos considerar um vetor coluna como uma matriz 
com apenas uma coluna (ou seja, n=1). 
A matriz –A pode ser obtida pela multiplicação da 
matriz A pela constante c=–1 (ou seja, invertemos os 
sinais de cada termo). Somando A com –A, obtemos a 
matriz zero (com todos os elementos iguais a zero). 
Tudo isso é bem fácil. 
 
Nomenclatura 
Agora, vamos falar sobre a nomenclatura dos 
elementos. Um elemento na linha i, e na coluna j, é 
chamado de aij ou a(i,j). 
As n entradas ao longo da primeira linha são a11, a12,..., 
a1n. Em uma matriz Amn, a primeira entrada (à 
esquerda) da linha mais embaixo é am1, e a última 
entrada dessa linha é amn. 
O número de linhas, i, vai de 1 a m. O número de 
colunas, j, vai de 1 a n. 
 
Multiplicação de Matrizes 
A adição de matrizes é fácil. A questão mais difícil é a 
multiplicação de matrizes. 
Quando nós podemos multiplicar A vezes B? Qual é o 
resultado desse produto? 
Não podemos multiplicar quando A e B têm ambas o 
tamanho 3 por 2, pois elas não passam no seguinte 
teste: 
 
Para multiplicar AB: 
Se A tem n colunas, B deve ter n linhas. 
 
Quando A é 3 por 2, a matriz B pode ser 2 por 1 (um 
vetor), ou 2 por 2 (quadrada) ou 2 por 20. 
Cada coluna de B é multiplicada por A. 
Vamos começar a discutir a multiplicação de matrizes 
falando do “modo” ou “interpretação” de produto 
escalar, onde vemos a multiplicação de uma linha por 
uma coluna como um produto escalar. Depois, vamos 
passar à “interpretação” que chamaremos de modo de 
multiplicação por colunas, em que faremos a 
multiplicação da matriz A vezes cada uma das colunas 
da matriz B. Explicaremos isso melhor daqui a pouco, 
e, se você não entendeu este parágrafo, volte a ele 
mais tarde. 
A regra mais importante que deve ser seguida na 
multiplicação de matrizes é: AB vezes C deve ser 
igual a A vezes BC. Um problema mais adiante 
permitirá que você prove isto. 
Suponha que tenhamos Amn e Bnp. Nós podemos 
multiplicar essas matrizes, e o produto terá o tamanho 
m por p: 
(m x n)(n x p) = (m x p) 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 
Uma linha vezes uma coluna é um caso extremo, no 
qual uma matriz 1 por n multiplica outra, n por 1. O 
resultado é um número (ou uma matriz 1 por 1). Esse 
número corresponde ao “produto escalar”. Veja abaixo: 
[ ] [
 
 
 
] [( )] 
O produto AB pode ser visto como a execução de 
vários produtos escalares. Por exemplo, o elemento 
(1,1) do produto AB é o produto escalar (linha 1 de A)· 
(coluna1 de B) – lembre-se que ( )·( ) indica produto 
escalar 
Para multiplicar matrizes, calculo o produto escalar de 
cada linha de A por cada coluna de B, conforme a 
receita no quadro abaixo: 
 
O elemento na linha i e coluna j de C=AB é dado pelo 
produto escalar (linha i de A)·(coluna j de B). 
 
Na figura 1, abaixo, pegamos a segunda linha (i=2) de 
uma matriz A, 4 por 5. Pegamos também a terceira 
coluna (j=3) de uma matriz B, 5 por 6. A multiplicação 
pode ser feita porque o número de colunas de A é igual 
ao número de linhas de B (5). O elemento (2,3) da 
matriz resultante é o produto escalar da linha 2 de A 
pela coluna 3 de B. 
[
 
 
 
 
]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [
 
 
 
 
] 
Figura 1: Aqui, i=2 e j=3. Então, c23=(linha2) ·(coluna3). 
 
Exemplo 1: Matrizes quadradas podem ser 
multiplicadas se e somente se elas tiverem o mesmo 
tamanho: 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
2 
 
O primeiro produto escalar é 1·2+1·3=5. Os outros três 
produtos escalares resultam em 6, 1 e 0. Cada produto 
escalar requer duas multiplicações – portanto, oito no 
total. 
Se A e B são n por n, AB também será. A operação 
contém n
2
 produtos escalares da forma (linha de 
A)·(coluna de B). Cada produto escalar necessita de n 
multiplicações, e, portanto, a computação de AB requer 
um total de n
3
 multiplicações separadas. Para n=100, 
nós teríamos um milhão de multiplicações. Para n=2, 
teríamos n
3
=8 multiplicações. 
Até recentemente, matemáticos pensavam que AB 
necessitaria, absolutamente, de 2
3
=8 multiplicações. 
Então, alguém descobriu uma forma de fazer isso com 
7 operações (e algumas adições extras). Quebrando a 
matriz em blocos de 2 por 2, essa ideia também 
reduziu o número multiplicações necessárias para 
grandes matrizes. Em vez de n
3
, passou para n
2.8
. 
Outros métodos ainda mais sofisticados foram 
desenvolvidos, e esse número continua caindo. Agora, 
está em 2.276. Mas o algoritmo é tão desajeitado que a 
computação científica é, ainda hoje, feita da forma 
tradicional: n
2
 produtos escalares em AB, e n 
multiplicações para cada produto, totalizando n
3
 
multiplicações. 
 
Exemplo 2: Suponha que A é um vetor linha (1 por 3) e 
B é um vetor coluna (3 por 1). Então, AB é 1 por 1 (só 
um termo, que equivale ao resultado de um produto 
escalar). Por outro lado, B vezes A (uma coluna vezes 
uma linha) resulta em uma matriz 3 por 3 cheia. Essa 
multiplicação é permitida! 
[ ] [
 
 
 
] [
 
 
 
] [ ] [
 
 
 
] 
Coluna vezes linha: (n×1)(1×n)=(n×n) 
A multiplicação de uma linha por uma coluna é 
chamada de produto “interno” – que é outro nome para 
o produto escalar. O produto de uma coluna por uma 
linha é chamado de produto “externo”. Estes são dois 
casos extremos de multiplicação de matrizes. 
* A matriz acima (resultado do produto externo) é um 
caso chamado “matriz de posto 1”, que estudaremos 
mais adiante. 
 
Linhas e Colunas de AB 
Em uma visão mais abrangente, quando se multiplica 
AB=C, pode-se interpretar que a matriz A é 
multiplicada por cada coluna de B, e os resultados 
dessas multiplicações formarão as colunas de C, nas 
posições correspondentes. Essa é uma das formas de 
se ver a multiplicação de matrizes. 
Para exemplificar, considere a multiplicação a seguir: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] ( ⃗ ⃗⃗) 
A multiplicação pode ter sido feita por meio de três 
produtos escalares, ressaltados a seguir: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
], 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] e 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Observe que já vimos uma forma parecida com a forma 
acima, quando vimos a matriz ⃗ [
 
 
 
] [
 
 
 
]. 
Agora consideremos uma operação um pouco mais 
complicada, de um produto de matrizes, AB: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Esta operação pode ser vista como três operações 
separadas, em que se multiplica toda a matriz A, 
separadamente, por cada coluna de B. Cada resultado 
de multiplicação será a coluna da matriz resultante, C, 
na mesma posição que a coluna de B: 
[] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Podemos resumir a subdivisão acima, em que se 
multiplica a matriz A por cada coluna de B, de forma 
mais sintética: 
 [ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ]= [ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ], 
Onde b’s indicam os vetores coluna da matriz B. 
 
Multiplicação usando linhas de A vezes a matriz B 
Uma forma um pouco incomum de se multiplicar 
matrizes será discutida agora. Vamos dar a ela o nome 
engraçado de MMM (multiplicação de matrizes 
maluca). 
Nesse processo, ao se multiplicar AB=C, multiplica-se 
a primeira linha de A pela matriz B inteira, obtendo-se a 
primeira linha de C. Multiplica-se a segunda linha de A 
pela matriz B inteira, obtendo-se a segunda linha de C, 
e multiplica-se a terceira linha de A pela matriz C 
inteira, obtendo-se a terceira linha de C. 
Para explicar melhor este processo, vejamos a 
multiplicação de matrizes a seguir, onde, para maior 
clareza, usamos letras na matriz A e números na matriz 
B, ao fazermos o produto C=AB: 
[ ] [
 
 
 
] 
[( ) ( ) ( )] 
 
3 
 
No cálculo acima, fizemos o produto escalar tradicional, 
de uma matriz linha por uma matriz coluna. Agora, 
vamos reescrever a matriz resultante de forma 
ligeiramente diferente. 
[ ] [
 
 
 
] 
[( ) ( ) ( )] 
[(
 
 
 
) (
 
 
 
) (
 
 
 
)] 
[( ) ( ) ( )]
 [( ) ( ) ( )]
 [( ) ( ) ( )]
 
 [( ) ( ) ( )]
 [( ) ( ) ( )]
 [( ) ( ) ( )]
 
 [ ] 
Por favor, acompanhe com atenção os detalhes das 
últimas três linhas da resolução acima. Observe a 
forma com podemos executar a operação. 
Primeiramente, verifique que os tamanhos das matrizes 
são compatíveis e verifique que é possível realizar a 
operação. 
Agora verifique como é feita a multiplicação. O primeiro 
número da matriz A, 1, é multiplicado por toda a 
primeira linha da matriz B, gerando a matriz 1 – de 
tamanho (1,3), que é um resultado parcial. Depois, o 
segundo número da matriz A, 2, é multiplicado por toda 
a linha 2 da matriz B, gerando a matriz 2, que também 
é um resultado parcial. Por fim, o terceiro número da 
linha 3 da matriz A é multiplicado pela terceira linha da 
matriz B, gerando a matriz 3. Somando-se as matrizes 
1, 2 e 3, encontramos o resultado, que é a matriz C. 
Tente rever a teoria acima, e resolver o exercício a 
seguir, antes de olhar a resposta. 
 
Exemplo 3: Usando o método da MMM, resolva a 
seguinte multiplicação de matrizes, indicando todos os 
passos. 
[ ] [
 
 
 
] {
[ ] 
[ ] 
[ ] 
}
 [ ] 
Explicação: O resultado é uma matriz (1,3). Essa 
matriz é a soma de outras três matrizes (1,3) – [-2 0 -1], 
[6 2 4] e [6 -3 9], obtidas como descrito a seguir. A 
primeira matriz, [-2 0 -1] é obtida multiplicando-se -1, 
na matriz A, pela primeira linha de B; a segunda, 
multiplicando-se 2 pela segunda linha; e a terceira, 
multiplicando-se 3 pela terceira linha. O resultado foi, 
então, a soma das três matrizes (3,1), resultando na 
matriz [10 -1 12]. Verifique que se você fizer a mesma 
operação com o método tradicional (produto escalar da 
linha com cada coluna), o resultado será o mesmo. 
Agora, veremos como usar o método acima para 
multiplicarmos AB=C, onde A e B são matrizes 
quadradas. 
 
Para exemplificar, vamos realizar a multiplicação a 
seguir. 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Para usar o método acima, podemos reescrever o 
produto da seguinte forma: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
Confira bem os cálculos, e repita o procedimento até 
que fique claro. 
 
Matriz Identidade: elemento neutro da multiplicação 
A matriz identidade é sempre quadrada. A seguir, são 
apresentadas matrizes identidade de tamanhos 2, 3 e 
4. 
[
 
 
], [
 
 
 
], [
 
 
 
 
] 
A matriz identidade é comumente chamada de I. Uma 
das propriedades da matriz identidade é que, para 
qualquer matriz A, teremos que AI=IA=A. 
Para explorar essa matriz, vejamos um exemplo com 
uma matriz A 3 por 3: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Por favor, verifique com atenção que a propriedade 
acima é válida. Para isso, faça a multiplicação de 
matrizes usando o primeiro método: o do produto 
escalar entre as linhas de A e as colunas de I. 
Agora, veremos outra propriedade importante: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] (IA=A) 
Por favor, use algum tempo para mostrar essa 
propriedade, usando o segundo método, em que se 
multiplica cada linha da primeira matriz pela segunda 
matriz inteira. Por exemplo, para gerar a primeira linha 
do resultado, podemos fazer: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 [ ] [ ] [ ]
 
 
]=
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Agora, tente repetir esse raciocínio para a multiplicação 
da segunda linha, antes de conferir o raciocínio, 
abaixo. 
4 
 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 [
 [ ] [ ] [ ]
 
 
] 
=[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Tente agora, fazer o raciocínio para a terceira linha. 
 
As leis para operações com matrizes 
 
A seguir, são apresentadas seis leis que todas as 
matrizes devem obedecer. 
Nas leis abaixo, c é um escalar, e A, B e C são 
matrizes. 
 
1) A + B = B + A (lei comutativa da adição) 
2) c(A + B) = cA + cB (lei distributiva) 
3) A + (B + C) = (A + B) + C (lei associativa) 
 
Três leis adicionais valem para a multiplicação de 
matrizes: 
 
4) C(A + B) = CA + CB (lei distributiva da esquerda) 
5) (A + B)C = AC + BC (lei distributiva da direita) 
6) A(BC)=(AB)C (lei associativa para ABC – note que, 
devido a essa lei, os parênteses não são necessários) 
 
A lei comutativa da multiplicação (AB=BA) não vale, em 
geral, embora possa valer para alguns poucos casos 
particulares: 
 
7) AB≠BA (a propriedade comutativa da multiplicação 
não se aplica a matrizes) 
 
Note que as leis 1, 2 e 3 valem tanto para matrizes 
quadradas quanto para retangulares. Mas, para as leis 
4, 5 e 6 valerem, é necessário que haja compatibilidade 
de tamanho. 
Agora, faremos um comentário a respeito da 
comutatividade não valer para a multiplicação de 
matrizes. Se A e B têm tamanhos diferentes, mesmo 
que seja possível calcular AB e BA, os resultados terão 
tamanhos diferentes e, portanto, não vale a 
comutatividade. 
Mesmo se A e B forem quadradas, quase sempre AB 
será diferente de BA. Veja o exemplo abaixo. 
 [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
], mas 
 [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
A comutatividade na multiplicação vale em um caso 
particular: para a matriz identidade, I. 
Para ver isso, lembre-se que AI=A, e que IA=A. 
Portanto, AI=IA, e a comutatividade vale neste caso 
particular. Na verdade, a matriz identidade, I, e os 
múltiplos dela, cI, são as únicas matrizes que podem 
comutar com todas as outras matrizes de tamanho 
compatível. 
A lei A(B + C) = AB + BC pode ser provada uma 
coluna por vez. Comece com A( ⃗⃗ ⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = A ⃗⃗ ⃗⃗⃗ + A ⃗⃗⃗⃗⃗ , 
onde ⃗⃗ ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são as primeiras colunas de B e C. 
Depois,repita para as outras colunas. Linearidade é 
tudo de bom!!! Fica a dica! 
A lei A(BC) = (AB)C significa que você pode multiplicar 
BC primeiro, ou AB primeiro, obtendo o mesmo 
resultado. Essa lei é a responsável pela forma 
idiossincrática (peculiar) que usamos para 
multiplicar matrizes! O fato dessa propriedade ter que 
valer nos obriga a multiplicar matrizes da forma como 
fazemos. A demonstração disso é um pouco 
trabalhosa, e pode ser encontrada nos vídeos. 
Essa lei é extremamente útil! 
 
Vejamos agora o caso especial em que A = B = C = 
matriz quadrada. Nesse caso, (A vezes A) pode ser 
representado por A
2
. Também, (A
2
 vezes A) é igual a 
(A vezes A
2
). O produto desses dois casos pode ser 
representado por A
3
. As potências de matriz A
p
 seguem 
as mesmas regras que os números: 
 ( ) 
( )( ) 
( ) 
As leis acima se parecem muito (visualmente) com as 
leis ordinárias para expoentes, em números. A
3
 vezes 
A
4
 é igual a A
7
 (sete fatores). A
3
 elevada à quarta é 
igual a A
12
 (doze A’s). 
Quando os expoentes p ou q são zero, as regras 
também valem, desde que exista uma potência -1 
dessa matriz (que é a matriz inversa A
-1
, que algumas 
vezes existe e outras, não, e que vamos estudar em 
breve). Nesse caso, A
0
=I, que é a matriz identidade 
(nenhum fator). 
Para um número, a
-1
 é igual a 1/a (chamado o 
“recíproco de A”). Para uma matriz, a inversa de A é 
escrita como A
-1
 (que nunca é igual a I/A). Todo 
número tem um recíproco, exceto a=0. No mundo das 
matrizes, descobrir se a matriz A tem uma inversa é 
uma questão central da álgebra linear. Na seção 1.5, 
vamos começar a tratar dessa questão. 
A presente seção (1.4), pode ser considerada a 
“Constituição Federal” para as matrizes, definindo o 
que pode ser feito com elas, e como. 
 
Blocos de Matrizes e Multiplicações em Blocos 
 
Um fato interessante sobre matrizes é que elas podem 
ser divididas em blocos (que são matrizes menores). 
Frequentemente, isso ocorre naturalmente. A seguir, 
vemos um exemplo de uma matriz 4 por 6 dividida em 
5 
 
blocos de tamanha 2 por 2. Neste exemplo, cada bloco 
é a matriz I2x2. 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
=[
 
 
] 
Se uma outra matriz B for também 4 por 6, e os 
tamanhos dos blocos são os mesmos, então é possível 
somar A+B somando um bloco por vez. 
Nós já encontramos matrizes divididas em blocos 
anteriormente. Um exemplo é o lado direito, ⃗⃗, que 
aparece na “matriz aumentada” usada na solução de 
sistemas lineares, [ ⃗⃗], que tem dois blocos de 
tamanhos diferentes. Em breve, mostraremos que a 
eliminação de Gauss em uma linha pode ser feita 
multiplicando-se os dois blocos por uma mesma matriz 
de eliminação (chamada de E): [ ⃗⃗] [ ⃗⃗]. 
Estudaremos essa técnica em breve. 
Em alguns casos, a multiplicação de duas matrizes 
pode ser feita usando multiplicações de blocos inteiros, 
como mostrado a seguir. 
 
Multiplicação de Blocos 
Se os blocos de uma matriz A forem adequados para 
multiplicação pelos blocos de uma matriz B, então a 
multiplicação por blocos, AB, pode ser feita. Como 
exemplo, vejamos a multiplicação de duas matrizes A e 
B, dividida em blocos adequados: 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Esta expressão é similar à utilizada com números (que, 
no fundo, são blocos 1 por 1). É importante tomar 
cuidado e deixar os A’s à frente dos B’s, pois BA pode 
ser diferente de AB. 
Ponto principal: em alguns casos, quando as matrizes 
são divididas em blocos, fica mais fácil entender como 
elas agem. Por exemplo, a ação da matriz 4 por 6, 
mostrada acima, ficou bem mais clara com a divisão 
em blocos de I’s. 
 
Exemplo 4 
Vejamos uma forma de dividir em blocos que parecerá 
muito familiar a todos. 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
[
 
 
 
] [
 
 
 
]=[
 
 
 
] 
Nessa matriz, dividiu-se a primeira matriz em três 
linhas e a segunda, em três colunas. Usou-se, então, a 
regra de multiplicação de blocos, ou seja, o produto 
escalar das linhas da primeira pelas colunas da 
segunda. 
Utilizando a divisão acima, fica fácil visualizar as duas 
formas que vimos anteriormente para multiplicar 
matrizes: primeiro a matriz A inteira vezes cada coluna 
da matriz B, e a outra, que pega cada linha da matriz A 
e multiplica cada uma pela matriz B inteira. 
 
Exemplo 5 
Agora, vamos ver uma forma bem menos usual de se 
multiplicar matrizes, mas que também é válida. Essa 
forma é ilustrada a seguir. 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
 
 
 
 
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [ ] 
A forma de multiplicar acima é bastante não-usual, e 
usa o produto externo em vez do produto interno. O 
resultado é uma soma de matrizes de posto 1. 
Essas matrizes de posto 1 serão discutidas mais 
adiante. 
Para ilustrar, vejamos o seguinte exemplo. 
 
Exemplo 6 
Usando a forma de multiplicação anterior, em que a 
primeira matriz é dividida em colunas e a segunda, em 
linhas, efetue a multiplicação das matrizes abaixo. 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
 
 
] [
 
 
] [ ] [
 
 
] 
 [
 
 
] [ ] [
 
 
] [ ] 
 
 
 
 [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Observe, então, que nessa situação, em vez de 
produtos internos (ou escalares) usamos diversos 
produtos externos. 
Na forma usual (com quatro produtos internos), temos 
8 multiplicações. Nesta forma, também teremos as 
mesmas 8 multiplicações, mas em uma ordem 
diferente (sugiro que chequem esse fato). 
 
Notação com 
O símbolo , denominado somatório, é uma instrução 
para somar. Vejam o exemplo a seguir. 
∑ 
 
 
 
Considere agora o produto das duas matrizes a seguir. 
 ⃗⃗ ⃗ [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Agora, escreva uma expressão, usando o somatório 
( ), para o segundo termo do resultado do produto ⃗. 
O resultado está mostrado a seguir. O segundo termo 
do produto é dado por: 
 ∑ ( )
 
 
 
 
6 
 
Exemplo 7 
Considere o produto ⃗, de uma matriz A, de tamanho 
p por p, por um vetor coluna ⃗, de tamanho p por 1. O 
resultado é um vetor coluna ⃗⃗, com p elementos. 
Usando o , escreva uma expressão para o i-ésimo 
elemento do produto. 
A solução é mostrada a seguir: 
 ∑ 
 
 
 
 
Matriz para permutação de linhas 
Considere uma matriz quadrada 2 por 2, B. Se 
tomamos outra matriz 2 por 2, A, e a multiplicamos por 
B, podemos dizer que, de alguma forma, a matriz A 
modifica a matriz B. Para verificar isso, faça o produto 
AB com as seguintes matrizes: 
 [
 
 
], [
 
 
] 
O produto será dado por: 
 [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Pergunta: como a matriz A modificou a matriz B? 
Resposta: ela permutou as linhas 1 e 2. 
Pergunta: por que isso aconteceu? 
 
Antes de responder a essa pergunta, sugiro que você 
releia a seção sobre a segunda forma de multiplicar 
matrizes (a MMM – multiplicação de matrizes maluca) e 
sobre o efeito da matriz identidade. 
Relembrando o método de multiplicação MMM, temos 
que o produto podeser realizado da seguinte forma 
(usarei uma notação um pouco imprecisa – “e” – para 
dizer que estou multiplicando uma linha de A por vez): 
 [
 
 
] [
 
 
] 
 [
 ] [
 
 
] [
 
] [
 
 
] 
=[
 
] [
 
 
] [
 
] [
 
 
] 
=[
 ] [
 
] [
 
 
] 
Na última linha, acima, o resultado é uma matriz 2 por 
2, onde o primeiro produto dá a primeira linha, e o 
segundo produto dá a segunda linha. 
Na primeira linha, teremos que o resultado será dado 
por [ ] [ ] [ ]. 
Assim, a segunda linha de B se tornou a primeira, 
depois da multiplicação por A. 
A segunda linha do produto AB será dada pelo 
segundo produto, ou seja, [ ] [ ] 
[ ]. Assim, a primeira linha de B se tornou a 
segunda do produto AB. 
E, por isso, o efeito da matriz A foi permutar as linhas 1 
e 2 de A. 
Note que a matriz A pode ser vista como a matriz 
identidade, que sofreu permutação das linhas 1 e 2. 
Essa permutação fará que a nova matriz, em vez de 
não afetar aquela pela qual ela é multiplicada, passe a 
causar a mesma permutação entra as linhas 1 e 2. 
Esse efeito ocorrerá em matrizes de outras ordens. 
 
Exemplo 8 
Considere uma a seguinte matriz B, 3 por 3: 
 [
 
 
 
] 
Determine o resultado do produto AB, caso o valor da 
matriz A seja: 
(1) [
 
 
 
] 
(2) [
 
 
 
] 
Solução: 
(1) A matriz A é a matriz I (identidade), com as linhas 2 
3 permutadas. Portanto, o efeito de multiplica-la por B é 
o da permutar as linhas 2 e 3 da matriz B: 
 [
 
 
 
] 
(2) Seguindo o mesmo raciocínio, a segunda matriz A 
irá permutar as linhas 1 e 3 da matriz B: 
 [
 
 
 
] 
 
Representação da eliminação de Gauss por meio 
de multiplicação de matrizes 
Agora, vamos utilizar os conceitos vistos acima, para 
descrever a eliminação de Gauss usando produto de 
matrizes. 
Para isso, comecemos com o sistema de equações a 
seguir: 
{
 
 
 
 
A matriz expandida que pode ser usada para a solução 
por eliminação de Gauss é mostrada a seguir: 
[
 
 
 
] 
O primeiro passo é eliminar o termo a21 (o número 4). 
Para isso, somamos a linha 2 com -2 vezes a linha 1, e 
colocamos o resultado na linha 2 {L2←(-2)×L1+L2}. 
O resultado será: 
[
 
 
 
] 
Agora, considere a seguinte operação: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Ela apenas mostra que a multiplicação da matriz I 
(identidade) pela matriz aumentada é igual à própria 
matriz aumentada. 
7 
 
Peço agora que você tente modificar a matriz 
identidade, de tal forma que o resultado do produto 
passe a ser a matriz após a eliminação do termo a21. A 
modificação necessária é a seguinte: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
]