Aula 01 Teoria Viga

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Teoria de Vigas I-1
SISTEMAS ESTRUTURAIS I
Programa do curso:
1. Revisa˜o de Teoria de Vigas
2. Reac¸o˜es de apoio e diagramas de esforc¸os
3. Resisteˆncias caracter´ısticas e de projeto para Concreto e Ac¸o
4. Estado Limite U´ltimo (ELU) para pec¸as de Concreto Armado (CA)
5. Flexa˜o Simples
• Armaduras longitudinais simples e dupla para vigas de sec¸a˜o retangular
• Armaduras longitudinais simples e dupla para vigas de sec¸a˜o T
6. Armaduras transversais para vigas de sec¸a˜o retangular e sec¸a˜o T
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Teoria de Vigas I-2
SISTEMAS ESTRUTURAIS I
Bibliografia:
1. Beer, F. P., Johnston, Jr., E. R., Resisteˆncia dos Materiais, McGraw-Hill, 1982.
2. Su¨ssekind, J. C., Curso de Concreto, Vols. 1, 2 e 3, Globo, Porto Alegre, 1985.
3. Massaro Junior, M., Manual de Concreto Armado, Vols. 1 e 2, Weber Produc¸o˜es
Gra´ficas Ltda, 1979.
4. Carvalho, R. C., e Figueiredo Filho, J. R., Ca´lculo e Detalhamento de Estruturas de
Concreto Armado, 3a Edic¸a˜o, EdUFSCar, Sa˜o Carlos, 2009.
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Teoria de Vigas I-3
SISTEMAS ESTRUTURAIS I
Sistema de Avaliac¸a˜o:
1a Avaliac¸a˜o → Presenc¸a e participac¸a˜o nas aulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1
2a Avaliac¸a˜o → Trabalho de avaliac¸a˜o individual em sala de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,9
3a Avaliac¸a˜o → Prova Oficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6,0
Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10,0
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SISTEMAS ESTRUTURAIS I
Observac¸o˜es IMPORTANTI´SSIMAS:
1. Telefones Celulares, pagers, IPADS, etc.(NA˜O PERMITIDOS EM SALA).
2. Calculadoras programa´veis (NA˜O PERMITIDAS EM PROVAS).
3. Observar e cumprir o hora´rio; evitar “entra-e-sai” da sala durante o per´ıodo das
aulas.
4. Suas notas e a aprovac¸a˜o no curso SA˜O DE SUA INTEIRA E COMPLETA
RESPONSABILIDADE.
5. Na˜o incluir nomes na lista. Somente a Secretaria podera´ fazeˆ-lo.
6. SILEˆNCIO !!!!!
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Lajes, vigas, pilares e fundac¸o˜es.
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SISTEMAS ESTRUTURAIS I
∑
FY = 0 =⇒ V − (q∆x)− (V + ∆V ) = 0 =⇒ ∆V
∆x
= −q∑
MA = 0 =⇒M + (q∆x)∆x
2
+ (V + ∆V )∆x− (M + ∆M) = 0 =⇒ ∆M
∆x
= V
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Se o tamanho do elemento ∆x tende a zero:
∆V
∆x
= −q =⇒ dV
dx
= −q =⇒ V (x) =
∫
[−q(x)]dx + C
∆M
∆x
= V =⇒ dM
dx
= V =⇒ M(x) =
∫
[V (x)]dx + D
Sendo V (x) o esforc¸o cortante e M(x) o momento fletor atuantes na sec¸a˜o.
Sentidos positivos dos esforc¸os
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Deformac¸o˜es e Tenso˜es devidas a` Flexa˜o
Matematicamente pode-se mostrar que qualquer curva v(x) no plano x-y tem seu
raio de curvatura relacionado com sua segunda derivada de acordo com a expressa˜o:
1
R
=
d2v
dx2
[1 + (dvdx)
2]
3
2
em que R e´ o raio de curvatura da func¸a˜o v(x).
Para pequenos deslocamentos e pequenas rotac¸o˜es (sin θ ' tan θ ' θ, e cos θ ' 1),
tem-se:
1
R
=
d2v
dx2
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Pode-se tambe´m mostrar que a deformac¸a˜o axial da viga, devida a` flexa˜o, e´ dada
pela relac¸a˜o:
�x =
−y
R
Da lei de Hooke para problemas lineares:
σx = E�x =
−Ey
R
sendo E o mo´dulo de Young do Material da viga.
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Da figura tem-se:
M(x) = −
∫
A
(σxdA)y = −
∫
A
(
−Ey
R
dA)y =
E
R
∫
A
y2dA∫
A
y2dA = I =⇒Momento de Ine´rcia da sec¸a˜o
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Portanto:
M(x) =
EI
R
Como
1
R
=
d2v
dx2
tem-se
M(x) = EI d
2v
dx2
que e´ a relac¸a˜o Momento-Curvatura para vigas, e v(x) e´ a func¸a˜o de deslocamentos.
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Assim, tem-se:
dV
dx
= −q(x) (a)
dM
dx
= V (x) (b)
M(x) = EI
d2v
dx2
(c)
Substituindo (c) em (b) resulta:
EI
d3v
dx3
= V (x) (d)
E finalmente substituindo (d) em (a) tem-se:
EI
d4v
dx4
= −q(x)
A equac¸a˜o acima relaciona a func¸a˜o deslocamentos v(x) com o carregamento
distribu´ıdo q(x).
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Ao integrar-se a equac¸a˜o anterior sucessivamente, tem-se:
EI
d3v
dx3
= −
∫
q(x)dx + C1 = V (x) Esforc¸o Cortante
EI
d2v
dx2
= −
∫
{
∫
q(x)dx}dx + C1x + C2 = M(x) Momento Fletor
EI
dv
dx
= −
∫
{
∫
{
∫
q(x)dx}dx}dx + C1x
2
2
+ C2x + C3 = EIθ(x) Rotac¸o˜es
EIv(x) = −
∫
{
∫
{
∫
{
∫
q(x)dx}dx}dx}dx + C1x
3
6
+ C2
x2
2
+ C3x + C4 Deslocamentos
As constantes C1, C2, C3 e C4 sa˜o determinadas atrave´s das condic¸o˜es de contorno
para o problema (condic¸o˜es de apoio da viga). Cada tipo de apoio impo˜e diferentes
condic¸o˜es.
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As condic¸o˜es de contorno para os diferentes tipos de apoio de vigas sa˜o:
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Exerc´ıcios:
1. Detemine as expresso˜es para os deslocamentos v(x), rotac¸o˜es θ(x), momentos
fletores M(x) e esforc¸os cortantes V (x).
(a) (b)
(c) (d)
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