Física Experimental - Experimento 04 - Ondas

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Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Cieˆncias Exatas e da Natureza
Departamento de F´ısica
F´ısica Experimental 1
Experimento 4: Ondas estaciona´rias
Informac¸o˜es sobre a Equipe
Nome:
Nome:
Nome:
Bancada: Turma: Data:
F´ısica Experimental 1
Objetivos
O experimento da corda vibrante trata de um tema de grande importaˆncia para entender fenoˆmenos
no dia-a-dia: ondas. Neste experimento, voceˆ investigara´ ondas mecaˆnicas propagando-se num fio.
A ideia e´ descobrir como propriedades da onda se relacionam a caracter´ısticas intr´ınsecas do meio
que a comporta (nesse caso, um fio), tal como sua densidade.
Ondas ocorrem na natureza numa quantidade enorme de contextos. Na˜o interessando detalhes dos
meios materiais que permitem sua propagac¸a˜o (ou mesmo do ‘objeto’ que, sem ser um meio mecaˆnico,
propaga ondas mesmo assim, como ocorre no caso da luz), ondas esta˜o ligadas ao transporte ou a`
localizac¸a˜o de energia.
Elas possuem algumas propriedades gerais relativas a` propagac¸a˜o, como direc¸a˜o, sentido e velo-
cidade, mas tambe´m relativas a oscilac¸o˜es, como frequeˆncia, amplitude, e fase.
E´ verdade que para um fio existem formas mais diretas de se estudar suas propriedades. Mas, em
outros contextos, ondas fornecem informac¸a˜o essencial sobre o meio, sendo esse o princ´ıpio de va´rios
experimentos cient´ıficos atuais (e.g. ondas gravitacionais, para detetar perturbac¸o˜es na geometria
do espac¸o-tempo) e de instrumentos usados no cotidiano (e.g. aparelhos de raios-x e ultrassom, para
explorar o interior do corpo humano de forma na˜o-invasiva).
Material utilizado: suporte, alto-falante, gerador de func¸a˜o, linha, clipes e trena.
Lembretes
• Sempre leia todo o material (teoria e roteiro) antes da aula experimental.
• Justifique suas respostas sempre que necessa´rio.
• Organize sua bancada ao final do experimento.
• O material utilizado esta´ sob sua responsabilidade durante a aula.
• E o mais importante: antes de perguntar qualquer coisa ao professor, esforce-se em descobrir
a resposta sozinho(a) ou discutindo com colegas!
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Experimento 4: Ondas estaciona´rias
1 Aparato Experimental
A montagem experimental para o estudo das ondas mecaˆnicas e´ esquematizada na figura 1.
Figura 1: Aparato experimental.
O fio no qual sera˜o excitadas ondas e´ suspenso num alto-falante e tensionado pelo peso de clipes
de papel, presos por um lac¸o. Ondas mecaˆnicas sa˜o excitadas pelo alto-falante. A frequeˆncia e a
intensidade de vibrac¸a˜o do alto-falante e´ controlada por um gerador de func¸a˜o.
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F´ısica Experimental 1
2 Considerac¸o˜es iniciais
O modelo teo´rico mais simples a descrever este experimento e´ o modelo da corda vibrante. Existem
diversas ressonaˆncias na corda, cada uma produzindo uma onda estaciona´ria.
Cada onda estaciona´ria possui caracter´ısticas pro´prias, como frequeˆncia e perfil espacial (ou seja,
o formato de seu deslocamento do equil´ıbrio). Chamamos cada poss´ıvel maneira de vibrar da corda
de modo normal de vibrac¸a˜o.
No caso da corda vibrante, diferentes modos possuem frequeˆncias de excitac¸a˜o diferentes
e podem ser assim distinguidos. Portanto, sintonizando a frequeˆncia produzida pelo alto-falante,
devemos ser capazes de excitar um u´nico modo de vibrac¸a˜o por vez, sem excitar os demais.
Cada modo normal possui perfil espacial u´nico. Pontos da corda com comportamentos extremos
sa˜o os ventres, que oscilam com amplitude ma´xima, e os no´s, pontos que permanecem em repouso
durante toda a oscilac¸a˜o da corda.
Vamos rotular cada modo pelo nu´mero de ventres n de sua onda estaciona´ria associada.
O modo fundamental, ou primeiro harmoˆnico, e´ aquele que possui 1 ventre (n = 1). Seus
no´s ocorrem apenas nas extremidades do fio, associados simplesmente a`s condic¸o˜es de contorno da
vibrac¸a˜o: idealmente, o fio na˜o pode se movimentar nos pontos pelos quais e´ preso ao alto-falante e
a` forquilha.
O segundo harmoˆnico possui 2 ventres (n = 2) separados por um no´ localizado no meio do fio
(ale´m dos dois no´s impostos pelas condic¸o˜es de contorno), e assim por diante.
Desenhe esquematicamente no quadro abaixo o perfil espacial dos modos fundamental, segundo
e terceiro harmoˆnicos para os instantes de tempo pedidos, seguindo as instruc¸o˜es e avisos seguintes:
• Cada linha delimitada por c´ırculos representa o fio na situac¸a˜o de repouso.
• Esboce sobre cada linha o perfil espacial de deslocamento do fio para instantes e modos de
oscilac¸a˜o pedidos.
• Em t = 0, considere o perfil de deslocamento ma´ximo do equil´ıbrio.
• Represente cada no´ por um c´ırculo preenchido, conforme desenho.
• O per´ıodo da oscilac¸a˜o e´ denotado pela letra τ .
• Preencha o valor do comprimento de onda λn da onda estaciona´ria em relac¸a˜o ao compri-
mento L do fio nos quadrinhos.
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Experimento 4: Ondas estaciona´rias
t = 0 t = τ/4 t = τ/2
n = 3
n = 2
n = 1
λ3 = L
λ2 = L
λ1 = L
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
Com base em seus desenhos, escreva a relac¸a˜o entre n e o comprimento de onda λn.
Uma onda e´ uma estrutura perio´dica tanto no espac¸o quanto no tempo. Sua velocidade de
propagac¸a˜o v e´ tal que um comprimento de onda λn e´ percorrido em um per´ıodo τn. Escreva abaixo
a expressa˜o para v em termos de λn e da frequeˆncia fn = 1/τn da onda.
Utilize essas expresso˜es para relacionar n e fn.
O modelo teo´rico mais simples, se aplica´vel, deve ser capaz de captar a parte essencial do com-
portamento do sistema descrito. O fio a` sua frente e´ um objeto real com va´rias complicac¸o˜es, como
tudo. Aponte desvios do comportamento ideal fact´ıveis de aparecerem em seu experimento.
•
•
•
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F´ısica Experimental 1
3 Atividades
O objetivo deste experimento e´ investigar como a frequeˆncia de excitac¸a˜o do fio se
relaciona com o comprimento de onda do modo excitado e a tensa˜o colocada no fio.
A primeira coisa que bons experimentadores fazem com um aparato novo e´ brincar (embora
poucos admitam isso em pu´blico). Divirta-se de forma responsa´vel com seu novo brinquedo.
Brincadeira e´ coisa se´ria: pense na melhor forma de medir as quantidades de interesse
e teste seu procedimento, antecipando problemas em potencial.
Observe como o fio vibra conforme voceˆ varia a frequeˆncia produzida pelo alto-falante. Analise
a forma da onda produzida. Voceˆ consegue observar ventres e no´s? Analise algumas ressonaˆncias.
Elas aparecem aproximadamente nas frequeˆncias esperadas?
JAMAIS prenda mais de 7 clipes ao fio. Sete clipes produzem o peso ma´ximo
suportado pela fra´gil ligac¸a˜o entre fio e alto-falante.
3.1 Frequeˆncia de oscilac¸a˜o
Se voceˆ brincou com seriedade, deve ter notado que cada vibrac¸a˜o do fio e´ excitada na˜o por uma
frequeˆncia u´nica, mas por toda uma faixa de frequeˆncias. Essa faixa corresponde a` largura em
frequeˆncia da ressonaˆncia.
Sugesta˜o: Nesta parte do experimento, prenda 7 clipes ao fio.
Fac¸a um teste para determinar como escolher o valor mais confia´vel e a incerteza da frequeˆncia de
ressonaˆncia medida. Encontre a faixa de frequeˆncias em que o modo fundamental (n = 1) e´ excitado.
Mec¸a as frequeˆncias mı´nima fmin e ma´xima fmax da faixa.
fmin =
fmax =
Descreva brevemente seu me´todo de estimativa das incertezas σfmax em σfmin .
Resposta:
Com essas medidas, voceˆ obteve o intervalo total em que ocorre a ressonaˆncia. Voceˆ deve ter
notado que a amplitude da oscilac¸a˜o do fio varia dentro desse intervalo.
Mec¸a a frequeˆncia f0 para a qual a amplitude da oscilac¸a˜o e´ ma´xima.
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Experimento 4: Ondas estaciona´rias
f0 =
Descreva brevemente seu procedimento para determinac¸a˜o da incerteza σf0 .
Resposta:
Com base nesses testes, descrevasucintamente seu procedimento para medir frequeˆncias
de ressonaˆncia (e suas incertezas!) daqui em diante.
Resposta:
3.2 Relac¸a˜o entre modo espacial e frequeˆncia
Vamos investigar primeiramente a relac¸a˜o entre o modo excitado, descrito pelo nu´mero de ventres
n da onda, e a frequeˆncia fn produzida pelo alto-falante.
Mec¸a a frequeˆncia de ressonaˆncia fn para todos os modos n de oscilac¸a˜o que voceˆ
consegue excitar na corda.
n fn n fn
Analise seus dados em tempo real: represente graficamente cada medida logo que for realizada.
• Gra´fico 1: Utilizando papel milimetrado, represente graficamente todos os pares
de valores medidos (n, fn).
Vejamos agora como λn se relaciona com o modo n. Determine o comprimento de
onda λn da oscilac¸a˜o medindo algum comprimento ℓn que voceˆ achar mais apropriado.
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F´ısica Experimental 1
Descreva o que e´ a distaˆncia ℓn escolhida (e.g. no´s consecutivos, ou no´s mais distantes, ou me´dia
de distaˆncias entre no´s consecutivos etc). Justifique sua escolha.
Resposta:
Coloque na tabela abaixo suas medidas de ℓn. Utilize osmesmos modos n dos quais voceˆ mediu
fn anteriomente. Determine λn a partir de ℓn.
n ℓn λn n ℓn λn
Escreva no quadro abaixo a expressa˜o da incerteza σλn em func¸a˜o de σℓn .
3.3 Ana´lise gra´fica dos dados
Usando as medidas coletadas, vamos investigar a relac¸a˜o entre n, fn e λn.
O primeiro passo e´ analisar a relac¸a˜o entre n e fn a partir de seu gra´fico 1. As frequeˆncias de
excitac¸a˜o de modos n 6= 1 sa˜o mu´ltiplas da frequeˆncia fundamental f1 (isso e´ esperado?)?
Resposta:
Se sim, a relac¸a˜o deve ser linear. Ajuste visualmente uma reta a seus dados e obtenha seus
coeficientes angular avis e linear bvis. Estime suas incertezas como achar apropriado.
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Experimento 4: Ondas estaciona´rias
avis =
bvis =
Interprete os valores dos coeficientes da reta (compare com o esperado teoricamente).
Resposta:
Embora o me´todo de ajuste visual seja mais ra´pido de se executar manualmente, encontrar a
melhor relac¸a˜o linear requer algumas contas. Realize o ajuste da reta o´tima pelo me´todo de
mı´nimos quadrados.
Para esta parte, vamos simplificar a ana´lise considerando as incertezas de medida
aproximadamente iguais. Escreva abaixo o valor me´dio das incertezas σfn , chamando-o σf .
σf =
A melhor reta a ajustar os dados e´ aquela que minimiza o desvio quadra´tico me´dio. Preencha a
tabela abaixo com quantidades intermedia´rias necessa´rias ao ajuste (Eqs. 20, 22 e 23 da Apostila 3).
Para facilitar a correspondeˆncia com as varia´veis usadas na Apostila, chamamos xn = n e yn = fn.
sx2 =
∑
n x
2
n sx =
∑
n xn sy =
∑
n yn sxy =
∑
n xnyn ∆ = Nsx2 − s
2
x
Calcule os coeficientes da reta o´tima e suas incertezas.
amq =
bmq =
Compare quantitativamente os dois ajustes de reta, justificando seus argumentos.
Resposta:
Adicione a reta o´tima a seu gra´fico 1. Desenhe essa reta utilizando caneta com cor
diferente da reta visual.
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F´ısica Experimental 1
A fim de verificar a qualidade dos ajustes e compara´-los entre si, vamos analisar seus res´ıduos.
O res´ıduo δfn de cada medida e´ sua distaˆncia a` reta ajustada f(n), dado por
δfn = fn − f(n). (1)
Preencha a tabela abaixo com os valores das retas ajustadas. Para a reta visual, calcule fvis(n) =
avisn + bvis e os res´ıduos δfn,vis. Para a reta o´tima, calcule fmq(n) = amqn + bmq e seus res´ıduos
δfn,mq. Denote todas as incertezas.
n fvis(n) δfn,vis n fmq(n) δfn,mq
• Gra´fico 2: Represente os res´ıduos em papel milimetrado. Represente suas incerte-
zas σδfn,vis e σδfn,mq por barras de erro.
Analise o gra´fico de res´ıduos. Voceˆ veˆ alguma tendeˆncia preocupante? Para um bom ajuste,
os res´ıduos devem flutuar aleatoriamente em torno do valor nulo!
Resposta:
Os res´ıduos devem em princ´ıpio ser compat´ıveis com a incerteza dos dados. Calcule, para a reta
visual, a me´dia dos desvios 〈δfvis〉 e seu desvio padra˜o σ
′
δfvis
. Fac¸a o mesmo para a me´dia dos desvios
〈δfmq〉 e seu desvio padra˜o σ
′
δfmq
no caso da reta o´tima.
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Experimento 4: Ondas estaciona´rias
〈δfvis〉 σ
′
δfvis
〈δfmq〉 σ
′
δfmq
Analise a estat´ıstica dos res´ıduos.
Para cada reta ajustada, a me´dia dos res´ıduos e´ compat´ıvel com o valor nulo?
Resposta:
Para cada reta, o desvio padra˜o dos res´ıduos e´ compat´ıvel com a incerteza de medida? Com
base nisso, voceˆ diria que seus res´ıduos indicam serem suas incertezas de medidas:
subestimadas, corretamente atribu´ıdas, ou superestimadas? Justifique.
Resposta:
Analise agora a relac¸a˜o entre frequeˆncia de excitac¸a˜o e comprimento de onda. Se-
gundo o modelo teo´rico, a relac¸a˜o esperada aqui e´ uma lei de poteˆncia da forma
fn = v λ
−1
n , (2)
em que v e´ a velocidade de propagac¸a˜o da onda no fio. A fim de fazer aparecer uma relac¸a˜o linear,
fac¸a a mudanc¸a de varia´veis xn = λ
−1
n e yn = fn, para obter
yn = Axn + B. (3)
Escreva no quadro abaixo o que sa˜o os coeficientes A e B da reta teo´rica como func¸a˜o das grandezas
f´ısicas de interesse.
Utilizando seus dados, calcule os valores experimentais de xn e yn (com incertezas!).
n xn yn n xn yn
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F´ısica Experimental 1
• Gra´fico 3: Utilizando papel milimetrado, represente graficamente todos os pares
de valores medidos (xn, yn).
Na˜o se esquec¸a de representar tambe´m as barras de erro σxn e σyn (e t´ıtulo, ro´tulos
e unidades dos eixos!). Lembre-se: um gra´fico deve prover todas as informac¸o˜es necessa´rias para
que qualquer pessoa possa visualizar seus resultados.
Observe seu gra´fico. Seus dados parecem ser bem descritos por uma relac¸a˜o linear?
Resposta:
Trace uma reta de ajuste visual aos dados, estimando a incerteza de seus coeficientes.
Enuncie os valores dos coeficientes Avis e Bvis e suas incertezas.
Avis =
Bvis =
Realize o ajuste linear por mı´nimos quadrados. Novamente, simplifique a ana´lise conside-
rando as incertezas de medida como aproximadamente iguais. Escreva o valor me´dio das incertezas
σxn no quadro abaixo, chamando-o σx. Fac¸a o mesmo para a incerteza me´dia σy.
σx σy σy,T
Propague a incerteza da direc¸a˜o x para y utilizando a reta preliminar ajustada visualmente.
Obtenha a expressa˜o para a incerteza total σy,T em func¸a˜o de σx, σy e A.
Utilize σy,T como incerteza em yn para todos os dados. Escreva seu valor na tabela acima.
Preencha a tabela abaixo com quantidades intermedia´rias necessa´rias ao ajuste por mı´nimos
quadrados. Utilize nos ca´lculos os valores xn e yn encontrados.
sx2 =
∑
n x
2
n sx =
∑
n xn sy =
∑
n yn sxy =
∑
n xnyn ∆ = Nsx2 − s
2
x
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Experimento 4: Ondas estaciona´rias
Calcule os coeficientes da reta o´tima e suas incertezas.
Amq =
Bmq =
Os valores obtidos sa˜o razoa´veis com relac¸a˜o a`queles esperados teoricamente?
Resposta:
Adicione a reta o´tima a seu gra´fico 3, utilizando cor que a ressalte.
Ha´ uma sutileza de interpretac¸a˜o neste experimento. Se assumirmos a frequeˆncia de excitac¸a˜o
produzida pelo alto-falante como igual a` frequeˆncia da onda no fio, podemos obter a velocidade v de
propagac¸a˜o da onda. O coeficiente angular Amq da reta ajustada nos fornece v nesse caso [Eq. (2)].
Determine o valor de v conforme obtido atrave´s da reta o´tima ajustada.
v =
Fisicamente, e´ razoa´vel supor que a frequeˆncia fornecida pelo alto-falante seja igual a` frequeˆncia
de vibrac¸a˜o do fio? Justifique. Proponha uma maneira de se medir a frequeˆncia de vibrac¸a˜o do fio.
Resposta:
Forte sugesta˜o: voceˆ deve ter completado todas as atividas propostas
ate´ aqui antes de iniciar a segunda aula deste experimento
3.4 Propriedade do fio: densidade
Para pequenas oscilac¸o˜es, o modelo ideal da corda vibrantedita que a velocidade da onda depende
da tensa˜o T aplicada ao fio.
Determinemos experimentalmente essa dependeˆncia.
Escolha um modo normal n do fio para realizar medidas de frequeˆncia de ressonaˆncia f em func¸a˜o
da tensa˜o T . Escreva na tabela abaixo n escolhido e λ correspondente.
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F´ısica Experimental 1
n λ
O nu´mero i de clipes sustentados pelo fio controla a tensa˜o Ti imposta. Para determinar seu
valor, mec¸a a forc¸a peso Ti dos clipes com o aux´ılio de uma balanc¸a. O nu´mero i = 1, 2, ..., 7 indica
a quantidade total de clipes usados (Importante: i ≤ 7).
JAMAIS prenda mais de 7 clipes ao fio. Sete clipes produzem o peso ma´ximo
suportado pela fra´gil ligac¸a˜o entre fio e alto-falante.
Para cada valor de tensa˜o Ti, mec¸a a frequeˆncia de ressonaˆncia fi do modo escolhido. Preste
atenc¸a˜o para utilizar sempre o mesmo modo!
Coloque suas medidas na tabela, utilizando os dados de λ e fi para determinar o valor experi-
mental de vi em cada caso. Fac¸a tantas medidas quanto julgar necessa´rias.
i Ti fi vi
• Gra´fico 4: Represente todas as medidas (Ti, vi) em papel log-log. Represente incer-
tezas σvi e σTi em todos os dados.
Que tipo de relac¸a˜o foi obtida? Se sua relac¸a˜o e´ linear, enta˜o a relac¸a˜o entre v e T e´ uma lei de
poteˆncia, escrita em geral como
v = c T d. (4)
Vamos analisar a lei de poteˆncia atrave´s do gra´fico log-log. Tome o logaritmo da expressa˜o
acima para escreveˆ-la como uma relac¸a˜o linear do tipo Y = aX + b.
Relacione as varia´veis X, Y , a e b a`s grandezas v, T e aos paraˆmetros c e d da lei de poteˆncia.
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Experimento 4: Ondas estaciona´rias
Esses paraˆmetros sa˜o obtidos por ajuste linear aos dados. Trace uma reta de ajuste visual.
Para determinar seu coeficiente angular, escolha dois pontos em que a reta coincida com a
marcac¸a˜o quadriculada do papel log-log. Marque esses pontos sobre a reta e leia suas co-
ordenadas (T ′
1
, v′
1
) e (T ′
2
, v′
2
) na escala dos eixos. Anote esses valores.
T ′
1
v′
1
T ′
2
v′
2
O coeficiente angular e´ calculado da forma usual como
a′ =
log v′
2
− log v′
1
log T ′
2
− log T ′
1
. (5)
Ja´ o coeficiente linear e´ determinado por um dos pontos da reta, e.g. b′ = log(v′
1
)− a′ log(T ′
1
).
Repita o procedimento, trac¸ando uma segunda reta de ajuste visual para estimativa de incerteza.
Anote os pontos de coincideˆncia entre a reta e o grid do papel.
T ′′
1
v′′
1
T ′′
2
v′′
2
Determine os coeficientes a′ e b′ da primeira reta, e a′′ e b′′ da segunda.
a′ b′ a′′ b′′
Calcule os coeficientes a e b da reta ‘me´dia’ a partir dos valores acima.
a =
b =
O valor encontrado para a pelo ajuste de reta e´ compat´ıvel com o valor teo´rico esperado? Ou
seja, a lei de poteˆncia encontrada era esperada? Justifique.
Resposta:
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F´ısica Experimental 1
Escreva a expressa˜o para µ como func¸a˜o do coeficiente relevante da reta ajustada.
Escreva a expressa˜o para a incerteza σµ.
Determine o valor experimental de µ a partir da reta ajustada.
µ =
Comente o valor encontrado para µ: ele e´ razoa´vel?
Resposta:
3.5 Verificac¸a˜o da densidade do fio por medida independente
A propriedade do fio determinada de forma indireta pelo estudo de suas ondas estaciona´rias e´,
nesse caso, pass´ıvel de medida independente simples.
Mec¸a a densidade linear fio com o aux´ılio de uma balanc¸a. Coloque seus resultados
parciais de massa m e comprimento total l na tabela abaixo.
m l µ
Compare esse valor com o resultado obtido pelo estudo das ondas. Eles sa˜o compat´ıveis? Jamais
ignore eventuais discrepaˆncias: tente justifica´-las. Pode sempre ocorrer de alguma parte sutil de sua
interpretac¸a˜o dos dados estar incorreta.
Resposta:
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