RELATÓRIO 2 - LABORATÓRIO DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM 
FACULDADE DE TECNOLOGIA – FT 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO E GÁS 
CURSO – ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO 2 – LABORATÓRIO DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DE PROCESSOS 
(FTP-017) – OPERAÇÕES BASICAS NO MATLAB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS (AMAZONAS) 
2016/1 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM 
FACULDADE DE TECNOLOGIA - FT 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO E GÁS 
CURSO – ENGENHARIA QUÍMICA - EQ 
 
 
 
RELATÓRIO 2 – LABORATÓRIO DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DE PROCESSOS 
(FTP-017) – OPERAÇÕES BASICAS NO MATLAB 
 
 
 
IGOR MORAES BEZERRA CALIXTO (21456321) 
WALDENIZE SANTANA FONSECA (21552462) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS -AM 
2016/1 
 
Relatório 2, de Laboratório de Controle 
e Automação de Processos, orientada 
pelo professor Pablo Guimarães, com o 
intuito de obter conhecimentos a 
respeito de um dos ramos de estudo da 
Laboratório, válida como componente 
parcial. 
 
 
RESUMO 
 
 A atividade prática realizada envolveu a operação básica numérica na Plataforma de 
Linguagem Matlab cujo intuito foi inserir e aprender a utilizar cálculos matemáticos básicos 
na operação deste programa, muito útil em cálculos de Engenharia e obviamente dentre da 
gama de estudos que Controle e Simulação de Processos possui. A partir desses parâmetros, 
avaliamos a estabilidade de um sistema a partir da análise do Lugar das Raízes percebendo as 
características gráficas que permitem qualificar se um sistema é estável ou não. Além disso, 
obtivemos a resposta em degrau às funções de transferência solicitadas e avaliamos o 
comportamento das mesmas. 
 
Palavras-Chave: Lugar das raízes, estabilidade, Entrada em Degrau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1- Parte Inicial do Matlab. Fonte: Matlab. ...................................................................... 8 
Figura 2- Parte M-files. Fonte: Matlab. ...................................................................................... 9 
Figura 3- Comando Básico para malha aberta (questão 1-a). ................................................... 14 
Figura 4- Gráfico de resposta ao degrau obtida em malha aberta (quetão 1-a) ........................ 14 
Figura 5- Comando Básico para malha fechada (questão 1-a) ................................................. 15 
Figura 6- Gráfico de resposta ao degrau obtido em malha fechada(questão 1-a) .................... 15 
Figura 7- Comando Básico para malha aberta (questão 1-b) ................................................... 16 
Figura 8- Gráfico da resposta ao degrau obtido em malha aberta (questão 1-b) ...................... 16 
Figura 9- Comando Básico para malha fechada (questão 1b) .................................................. 17 
Figura 10- Gráfico da resposta ao degrau obtido em malha fechada (questão 1-b) ................. 17 
Figura 11- Comando Básico para Malha Aberta (questão 1c) ................................................. 18 
Figura 12- Gráfico obtido para resposta em degrau em malha aberta (questão 1c) ................. 18 
Figura 13- Comando Básico para malha fechada (questão 1c) ................................................ 19 
Figura 14- Gráfico obtido para a resposta em degrau em malha fechada (questão 1c) ............ 19 
Figura 15- Comando Básico para malha aberta(questão 1d) .................................................... 20 
Figura 16 - Gráfico da resposta em degrau obtido para malha aberta (questão 1d) ................. 20 
Figura 17- Comando Básico para malha fechada (questão 1d) ................................................ 21 
Figura 18- Gráfico da resposta em degrau para malha fechada (questão 1d)........................... 21 
Figura 19- Comando Básico para Malha Aberta (questão 1e) ................................................. 22 
Figura 20- Gráfico da resposta em degrau obtido para malha aberta (questão 1e) .................. 22 
Figura 21- Comando Básico para Malha Fechada (questão 1e) ............................................... 23 
Figura 22- Gráfico da resposta em degrau para malha fechada (questão 1e) ........................... 23 
Figura 23- Lugar das Raízes em malha aberta (questão 2a) ..................................................... 24 
Figura 24- Gráfico do Lugar das Raízes em malha aberta (questão 2a)................................... 24 
Figura 25- Comando básico para lugar das raízes em malha fechada (questão 2a) ................. 25 
Figura 26- Gráfico do Lugar das Raízes para malha fechada (questão 2a) .............................. 25 
Figura 27- Comando básico para lugar das raízes para malha aberta (quesão 2b) ................... 26 
Figura 28- Gráfico para lugar das raízes em malha aberta (questão 2b) .................................. 26 
Figura 29- Comando básico para lugar das raízes em malha fechada (questão 2b) ................. 27 
Figura 30- Gráfico do lugar das raízes para malha fechada (questão 2b) ................................ 27 
Figura 31- Comando Básico para lugar das raízes em malha aberta (questão 2c) ................... 28 
Figura 32- Gráfico do Lugar das Raízes em malha aberta (questão 2c)................................... 28 
Figura 33- Comando Básico para lugar das raízes em malha fechada (questão 2c) ................ 29 
Figura 34- Gráfico do lugar das raízes em malha fechada (questão 2c)................................... 29 
Figura 35- Comando Básico para lugar de raízes em malha aberta (questão 2d) .................... 30 
Figura 36- Gráfico do lugar das raízes para malha aberta (questão 2d) ................................... 30 
Figura 37- Comando Básico para lugar das raízes em malha fechada (questão 2d) ................ 31 
Figura 38- Gráfico obtido para lugar das raízes em malha fechada (questão 2d) .................... 31 
Figura 39- Comando Básico para Lugar das Raízes em malha aberta (questão 2e) ................ 32 
Figura 40- Gráfico obtido para lugar das raízes em malha aberta (questão 2e) ....................... 32 
Figura 41- Comando Básico de lugar das raízes para malha fechada (questão 2e).................. 33 
 
 
Figura 42- Gráfico obtido para lugar das raízes para malha fechada (questão 2e) .................. 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1- Operações Aritméticas Básicas no Matlab. ................................................................ 9 
Tabela 2- Comandos de funções básicas no Matlab. ................................................................ 10 
Tabela 3- Características das Respostas ................................................................................... 34 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ........................................................................................... 8 
2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: ............................................................................. 12 
2.1. Materiais Necessários ................................................................................................... 12 
2.2. Parte Experimental ......................................................................................................... 12 
2.2.1. Parte 1 – Definir variáveis iniciais de operação no Matlab. .................................... 12 
2.2.2. Parte 2 – Realizar a resolução das questões solicitadas na atividade. ..................... 12 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO .........................................................................................14 
3.1. Questão 1 ....................................................................................................................... 14 
3.2. Questão 2. ...................................................................................................................... 24 
3.3. Questão 3 ....................................................................................................................... 34 
3.4. Questão 4. ...................................................................................................................... 36 
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................ 38 
5. REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 39 
 
 
 
 
1. CONSIDERAÇÕES I8NICIAIS 
 
MATLAB é uma abreviação para MATrix LABoratory. Trata-se de um ambiente de 
alto nível que possui ferramentas avançadas de análise e visualização de dados. Mais do que 
um aplicativo, o MATLAB também possui características de linguagem de programação. 
A programação em ambiente MATLAB dispensa tarefas como declaração de 
variáveis, alocação de memória, utilização de ponteiros, necessárias durante a utilização de 
linguagens de programação como C ou Fortran (COSTA,2003) 
As funções matemáticas já existentes no MATLAB são otimizadas, programadas em 
linguagem MATLAB e estão agrupadas de acordo com a área de interesse em toolboxes. 
Assim, o usuário tem acesso aos arquivos das funções matemáticas o que possibilita a 
realização de alterações nas rotinas já existentes. Todavia, vale ressaltar que estas alterações 
são perigosas e só devem ser realizadas como última alternativa (COSTA,2003) 
O primeiro passo para iniciarmos nosso estudo do MATLAB é nos familiarizarmos 
com a interface do programa. 
 
Figura 1- Parte Inicial do Matlab. Fonte: Matlab. 
 
a) Command Window: Local onde as operações podem ser diretamente feitas. 
b) Workspace: espaço destinado às variáveis que estão salvas na memória, onde é possível 
visualizar o nome, valor e classe da mesma. 
c) Command History: Lista de comandos realizados, organizados por data de execução, 
permitindo o comando ser realizado novamente com duplo clique. 
 
 
Podemos também utilizar M-files, na barra de Menus acessando a guia File>New>M-
file, caso se deseje criar procedimentos de forma que estes fiquem salvos em arquivo. O 
MATLAB gera a seguinte janela: 
 
Figura 2- Parte M-files. Fonte: Matlab. 
 
 Os arquivos salvos são gerados na extensão ‘nomedoarquivo’.m. que são compilados 
utilizando-se a Command Window como espaço de comunicação de dados, de entrada e saída, 
entre o programa e o usuário (BECKER ET ALL, 2010) 
 Pode-se também chamar um M-file, escolhendo-se em Current Directory a pasta em que o 
mesmo está localizado. Depois de escolhido o diretório, digite na Command Window o nome 
do arquivo, e então a programação salva será compilada. 
 As operações aritméticas básicas são esquematizadas nos quadros a seguir: 
 
Tabela 1- Operações Aritméticas Básicas no Matlab. 
OPERAÇÃO SÍMBOLO EXEMPLO 
Adição + 100+20=120 
Subtração - 100-20=80 
Multiplicação * 4*5=20 
Divisão / 56/8=7 
Potenciação ^ 5^2 = 25 
Fonte: Apostila. Operações Básicas de programação em Matlab, Santa Maria, 2010. 
 
 
 
Tabela 2- Comandos de funções básicas no Matlab. 
COMANDO DESCRIÇÃO 
abs (x) Valor absoluto ou módulo de um número complexo 
acos(x) Arco cosseno 
acosh(x) Arco cosseno hiperbólico 
angle(x) Ângulo de um número complexo 
asin(x) Arco seno 
asinh(x) Arco seno hiperbólico 
atan(x) Arco tangente 
atan2(x,y) Arco tangente em quatro quadrantes 
Atanh(x) Arco tangente hiperbólica 
Ceil(x) Arredondar para inteiro na direção de mais infinito 
conj(x) Conjugado complex 
cos(x) Cosseno 
cosh(x) Cosseno hiperbólico 
exp(x) Exponencial 
fix(x) Arredonda para inteiro na direção do zero 
floor(x) Arredondar para inteiro na direção de menos infinito 
imag(x) Parte Imaginária de um número complexo 
log(x) Logaritmo Natural 
log10(x) Logaritmo na base 10 
real(x) Parte real de um número complexo 
rem(x,y) Resto da divisão de x por y 
round(x,y) Arredondar para o próximo número inteiro 
sign(x) Função Sinal: retorna o sinal de um argumento. 
sin(x) Seno 
sinh(x) Seno Hiperbólico 
sqrt(x) Raiz quadrada 
tan(x) Tangente 
tanh(x) Tangente Hiperbólica 
Eye(n) Matriz Identidade 
zeros(m,n) Matriz Nula 
 
 
ones(m,n) Matriz com todos os elementos igual a 1 
rand(m,n) Matriz Aleatória 
eig Autovalores e autovetores 
chol Fatorização de Cholesky 
svd Decomposição em fator singular 
inv Inversa 
lu Fatorização Triangular LU 
qr Fatorização ortogonal QR 
hess Forma de Hessenberg 
schur Decomposição de Schur 
expm Matriz Exponencial 
sqrtm Matriz de raiz quadrada 
poly Polinómio Característico 
det Determinante 
size Tamanho 
cond Número de condição na norma 2 
norm Norma 1, Norma 2, Norma F, Norma Infinita 
rank Número de linhas linearmente independentes 
triu(A) Gera uma matriz com os elementos acima da diagonal 
principal de A e zera os elementos que estão abaixo 
Fonte: Apostila. Operações Básicas de programação em Matlab, Santa Maria, 2010. 
 
Assim, os objetivos deste Relatório são: 
1) Obter resoluções numéricas através do programa Matlab. 
2) Entender as principais funções de cálculo no Matlab. 
3) Avaliar a estabilidade de diversos sistemas em malha aberta e malha fechada. 
 
 
 
 
2. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: 
 
2.1. Materiais Necessários 
 Para que a atividade experimental fosse desenvolvida, foram necessários alguns 
componentes básicos de operação e trabalho. 
Dentre eles, fizemos uso essencialmente do Notebook, Software Matlab e Microsoft 
Word. 
 
2.2. Parte Experimental 
 
2.2.1. Parte 1 – Definir variáveis iniciais de operação no Matlab. 
 
a) Declarar valores da função de transferência. 
b) Declarar resposta ao degrau em malha aberta e fechada. 
c) Avaliar Lugar das Raízes das funções de transferências dadas. 
d) Classificar sistema predominante. 
e) Avaliar estabilidade da função de transferência. 
 
2.2.2. Parte 2 – Realizar a resolução das questões solicitadas na atividade. 
 
Questão 1. Dadas as funções de transferência a seguir, faça a resposta ao degrau em 
malha aberta e fechada com ganho 1. 
a) F(s) = 
3
1∗s2+ 3∗s+2
 
b) F(s) = 
3
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
c) F(s) = 
7
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
d) F(s) = 
3∗s
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
e) F(s) = 
1
1∗s5+ 28∗s4+284∗s3+1232∗s2+1930∗s+20
 
 
Questão 2. Dadas as funções de transferência a seguir, faça a análise do Lugar das 
Raízes, avaliando a estabilidade. Descreva a realização destas etapas, classificando o 
sistema. 
 
 
a) F(s) = 
3
1∗s2+ 3∗s+2
 
b) F(s) = 
3
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
c) F(s) = 
7
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
d) F(s) = 
3∗s
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
e) F(s) = 
1
1∗s5+ 28∗s4+284∗s3+1232∗s2+1930∗s+20
 
 
Questão 3. Dadas as funções de transferência a seguir, classifique os sistemas em: 
amortecido, criticamente amortecido, não-amortecido, subamortecido. Descreva o 
processo detalhadamente. 
a) F(s) = 
3
1∗s2+ 3∗s+2
 
b) F(s) = 
3
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
c) F(s) = 
7
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
d) F(s) = 
3∗s
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
e) F(s) = 
1
1∗s5+ 28∗s4+284∗s3+1232∗s2+1930∗s+20
 
 
Questão 4. A respeito da avaliação dos critérios de estabilidade discutidos em ambiente 
acadêmico, disserte e descreva sobre as diferenças entre a resposta forçada e a respostanatural de um sistema em termos de estabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
3.1. Questão 1 
 
Questão 1. Dadas as funções de transferência a seguir, faça a resposta ao degrau em 
malha aberta e fechada com ganho 1. 
a) F(s) = 
3
1∗s2+ 3∗s+2
 
Em malha aberta: 
 
Figura 3- Comando Básico para malha aberta (questão 1-a). 
 
Figura 4- Gráfico de resposta ao degrau obtida em malha aberta (quetão 1-a) 
 Percebemos que este sistema é relativamente simples, com tempo de pico entre 4-5 s, com os 
comandos básicos do Matlab sendo feitos a partir das funções “tf” e “step”. 
 
 
Em malha fechada: 
 
Figura 5- Comando Básico para malha fechada (questão 1-a) 
 
Figura 6- Gráfico de resposta ao degrau obtido em malha fechada(questão 1-a) 
O gráfico obtido já muda em relação ao gráfico da resposta em malha aberta, tendo uma 
estabilização diferente. 
 
 
b) F(s) = 
3
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
 
Em malha aberta: 
 
Figura 7- Comando Básico para malha aberta (questão 1-b) 
 
 
Figura 8- Gráfico da resposta ao degrau obtido em malha aberta (questão 1-b) 
O gráfico obtido apresentou um comportamento anômalo ao esperado. 
 
 
 
 
 
 
Em malha fechada: 
 
Figura 9- Comando Básico para malha fechada (questão 1b) 
 
 
Figura 10- Gráfico da resposta ao degrau obtido em malha fechada (questão 1-b) 
 O gráfico difere muito da resposta obtida ao degrau em malha aberta. 
 
 
c) F(s) = 
7
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
Em malha aberta: 
 
Figura 11- Comando Básico para Malha Aberta (questão 1c) 
 
 
Figura 12- Gráfico obtido para resposta em degrau em malha aberta (questão 1c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em malha fechada: 
 
Figura 13- Comando Básico para malha fechada (questão 1c) 
 
 
Figura 14- Gráfico obtido para a resposta em degrau em malha fechada (questão 1c) 
 O gráfico apresentado mostra o fenômeno da ressonância. 
 
 
d) F(s) = 
3∗s
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
Em malha aberta: 
 
Figura 15- Comando Básico para malha aberta(questão 1d) 
 
 
Figura 16 - Gráfico da resposta em degrau obtido para malha aberta (questão 1d) 
 
 
 
 
 
 
 
Em malha fechada: 
 
Figura 17- Comando Básico para malha fechada (questão 1d) 
 
 
Figura 18- Gráfico da resposta em degrau para malha fechada (questão 1d) 
 
 
 
e) F(s) = 
1
1∗s5+ 28∗s4+284∗s3+1232∗s2+1930∗s+20
 
Em malha aberta: 
 
Figura 19- Comando Básico para Malha Aberta (questão 1e) 
 
 
Figura 20- Gráfico da resposta em degrau obtido para malha aberta (questão 1e) 
 
 
 
 
Em malha fechada: 
 
Figura 21- Comando Básico para Malha Fechada (questão 1e) 
 
Figura 22- Gráfico da resposta em degrau para malha fechada (questão 1e) 
 
 
 
3.2. Questão 2. 
 
Questão 2. Dadas as funções de transferência a seguir, faça a análise do Lugar das 
Raízes, avaliando a estabilidade. Descreva a realização destas etapas, classificando o 
sistema. 
a) F(s) = 
3
1∗s2+ 3∗s+2
 
Em malha aberta: 
 
Figura 23- Lugar das Raízes em malha aberta (questão 2a) 
 
 
Figura 24- Gráfico do Lugar das Raízes em malha aberta (questão 2a) 
O sistema apresentado no Root-Locus é considerado estável, uma vez que os polos estão 
localizados no semiplano esquerdo do gráfico. 
 
 
Em malha fechada: 
 
Figura 25- Comando básico para lugar das raízes em malha fechada (questão 2a) 
 
 
Figura 26- Gráfico do Lugar das Raízes para malha fechada (questão 2a) 
O sistema apresentado no Root-Locus é considerado estável, uma vez que os polos estão 
localizados no semiplano esquerdo do gráfico. 
 
 
b) F(s) = 
3
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
Em malha aberta: 
 
Figura 27- Comando básico para lugar das raízes para malha aberta (quesão 2b) 
 
 
Figura 28- Gráfico para lugar das raízes em malha aberta (questão 2b) 
O sistema apresentado no Root-Locus é considerado instável, uma vez que os polos estão 
projetados fora do semiplano esquerdo do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em malha fechada: 
 
Figura 29- Comando básico para lugar das raízes em malha fechada (questão 2b) 
 
Figura 30- Gráfico do lugar das raízes para malha fechada (questão 2b) 
O sistema apresentado no Root-Locus é considerado instável, uma vez que os polos estão 
projetados fora do semiplano esquerdo do gráfico. 
 
 
c) F(s) = 
7
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
Em malha aberta: 
 
Figura 31- Comando Básico para lugar das raízes em malha aberta (questão 2c) 
 
 
Figura 32- Gráfico do Lugar das Raízes em malha aberta (questão 2c) 
O sistema apresentado no Root-Locus é considerado instável, uma vez que os polos estão 
projetados fora do semiplano esquerdo do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
Em malha fechada: 
 
Figura 33- Comando Básico para lugar das raízes em malha fechada (questão 2c) 
 
 
Figura 34- Gráfico do lugar das raízes em malha fechada (questão 2c) 
O sistema apresentado no Root-Locus é considerado instável, uma vez que os polos estão 
projetados fora do semiplano esquerdo do gráfico. 
 
 
d) F(s) = 
3∗s
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
Em malha aberta: 
 
Figura 35- Comando Básico para lugar de raízes em malha aberta (questão 2d) 
 
 
Figura 36- Gráfico do lugar das raízes para malha aberta (questão 2d) 
O sistema apresentado no Root-Locus é considerado estável, uma vez que os polos estão 
localizados no semiplano esquerdo do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
Em malha fechada: 
 
Figura 37- Comando Básico para lugar das raízes em malha fechada (questão 2d) 
 
Figura 38- Gráfico obtido para lugar das raízes em malha fechada (questão 2d) 
O sistema apresentado no Root-Locus é considerado estável, uma vez que os polos estão 
localizados no semiplano esquerdo do gráfico. 
 
 
e) F(s) = 
1
1∗s5+ 28∗s4+284∗s3+1232∗s2+1930∗s+20
 
Em malha aberta: 
 
Figura 39- Comando Básico para Lugar das Raízes em malha aberta (questão 2e) 
 
 
Figura 40- Gráfico obtido para lugar das raízes em malha aberta (questão 2e) 
O sistema apresentado no Root-Locus é considerado instável, uma vez que os polos estão 
projetados fora do semiplano esquerdo do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
Em malha fechada: 
 
Figura 41- Comando Básico de lugar das raízes para malha fechada (questão 2e) 
 
 
Figura 42- Gráfico obtido para lugar das raízes para malha fechada (questão 2e) 
O sistema apresentado no Root-Locus é considerado instável, uma vez que os polos estão 
projetados fora do semiplano esquerdo do gráfico. 
 
 
3.3. Questão 3 
 
Questão 3. Dadas as funções de transferência a seguir, classifique os sistemas em: 
amortecido, criticamente amortecido, não-amortecido, subamortecido. Descreva o 
processo detalhadamente. 
Resposta: 
Segundo NISE, a resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a 
resposta forçada e a reposta natural. A resposta forçada é também chamada de resposta em 
regime permanente ou solução particular, e a resposta natural é também chamada de resposta 
homogênea. 
 Podemos analisar um projeto de sistema de controle por meio dos polos e zeros. 
Assim, podemos definir os polos de uma função de transferência como: 
1) os valores de uma variável da transformada de Laplace (s), que faz com que a função 
de transferência se torne infinita, ou 
2) quaisquer raízes do denominador da função de transferência que são comuns as raízes 
do denominador 
Quanto aos Zeros de uma função de transferência , considera-se que: 
1) os valores da variávelda transformada de Laplace (s) que fazem com que a função de 
transferência se torne zero; 
2) quaisquer raízes do numerador da função de transferência que são comuns às raízes do 
denominador. 
Neste sentido, as funções de transferências presentadas neste relatório são de sistemas de 
segunda ordem. Este tipo de sistema apresenta uma ampla variedade de respostas, pois as 
variações dos parâmetros de um sistema de segunda ordem podem alterar a forma das 
respostas. Desse modo, pode-se ter respostas superamortecida, subamortecida, resposta não 
amortecida e respostas criticamente amortecidas. Estas respostas, em entrada em degrau 
apresentam características conforme tabela abaixo: 
Tabela 3- Características das Respostas 
RESPOSTAS POLOS RESPOSTA NATURAL 
Superamortecidas 2 reais em σ1 e σ2 c(t)= K1e- σ1t + K2e- σ2t 
Subanortecidas 2 Complexos em –σd ± jωd c(t)= Ae- σdt Cos(ωdt-Ø) 
Não amortecidas 2 imaginários em ± jωd c(t)= A Cos(ωdt-Ø) 
Criticamente Amortecidas 2 reais em - σ1 c(t)= K1e- σ1t + K2te- σ2t 
 
 
 
Desse modo, todas as Respostas proveniente da entrada em Degrau Unitário apresentam 
um polo na origem, e polos no caso da Reposta Superamortecida dois polos reais provenientes 
do sistema, já na reposta subamortecida dois polos complexos provenientes do sistema. A 
Resposta não amortecida apresenta dois polos imaginários provenientes do sistema e a 
Resposta Criticamente Amortecida apresenta dois polos Reais e iguais provenientes do 
sistema. 
Considerando as posições dos polos em Malha fechada, o caminhos dos polos em malha 
fechada à medida que o ganho (K) é variado que chamamos de Lugar Geométrico das Raízes. 
Portanto, a partir dos gráficos já mostrados nos itens anteriores, percebe-se que as 
equações de função de transferência seguem os seguintes critérios para classificação quanto 
ao tipo de sistema. Todas as funções de transferências em malha aberta possuem polos reais 
negativos e distintos, sendo classificados portanto como sistema superamortecido. Já na 
malha fechada, tivemos algumas diferenças. Tem sistema subamortecido onde os polos são 
complexos conjugados e negativos e o sistema não amortecido, onde os polos são positivos e 
distintos. 
Em malha aberta: 
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 1 2 3 4 5 
F(s) = 
3
1∗s2+ 3∗s+2
 
F(s) = 
3
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
F(s) = 
7
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
F(s) = 
3∗s
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
F(s) = 
1
1∗s5+ 28∗s4+284∗s3+1232∗s2+1930∗s+20
 
 
LEGENDA: (1). AMORTECIDO 
 (2). CRITICAMENTE AMORTECIDO 
 (3). NÃO-AMORTECIDO 
 (4). SUPERAMORTECIDO 
 (5). SUBAMORTECIDO 
 
 
 
 
 
Em malha fechada com ganho 1: 
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 1 2 3 4 5 
F(s) = 
3
1∗s2+ 3∗s+2
 
F(s) = 
3
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
F(s) = 
7
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
F(s) = 
3∗s
1∗s3+ 3∗s2+2∗s
 
F(s) = 
1
1∗s5+ 28∗s4+284∗s3+1232∗s2+1930∗s+20
 
 
LEGENDA: (1). AMORTECIDO 
 (2). CRITICAMENTE AMORTECIDO 
 (3). NÃO-AMORTECIDO 
 (4). SUPERAMORTECIDO 
 (5). SUBAMORTECIDO 
 
3.4. Questão 4. 
 
Questão 4. A respeito da avaliação dos critérios de estabilidade discutidos em ambiente 
acadêmico, disserte e descreva sobre as diferenças entre a resposta forçada e a resposta 
natural de um sistema em termos de estabilidade. 
Resposta: A resposta livre (ou natural) de um sistema é definida como a resposta que o 
mesmo apresenta quando solicitado apenas por uma condição inicial imposta ao sistema. No 
caso de um sistema mecânico de 1a ordem, por exemplo, a condição inicial seria um 
deslocamento inicial x(o) = x0. Em contrapartida, definimos como resposta forçada aquela que 
o sistema apresenta quando submetido a uma excitação que permanece após o instante inicial 
t = 0. Pode ser resposta ao degrau, rampa, senóide. 
 Segundo NISE, a discussão da resposta transitória e do erro em Regime Permanente é 
irrelevante se o sistema não tiver estabilidade. Para explicar a estabilidade, partimos do fato 
que a resposta total de um sistema é a soma da resposta natural com a resposta forçada. A 
Resposta Natural descreve o modo como o sistema dissipa ou obtém energia. A forma ou a 
natureza dessa resposta é dependente apenas do sistema, e não da entrada. Por outro lado, a 
 
 
forma ou a natureza dessa resposta forçada é dependente apenas do sistema. Assim para um 
sistema linear, podemos escreve: 
Resposta Total = Resposta natural + Resposta Forçada 
 Para um sistema de controle ser útil, a resposta natural deve eventualmente tender a 
zero, deixando assim, apenas a resposta forçada ou oscilar. Em alguns sistemas, a resposta 
natural aumenta sem limites, ao invés de diminuir até chegar a Zero ou Oscilar. 
Eventualmente, a resposta natural é tão maior que a resposta forçada, que o sistema não é 
mais controlado. Esta condição, chamada de instabilidade, poderia levar a autodestruição do 
dispositivo físico, caso limitadores não façam parte do projeto. Um gráfico e função do tempo 
de um sistema instável mostraria uma resposta transitória que cresce sem limite e sem querer 
evidência de uma resposta em regime permanente. 
 Os sistemas de controle devem ser projetados para ser estáveis. Isto é, suas respostas 
naturais devem decair para zero à medida que o tempo tende a infinito, ou oscilar. Em muitos 
sistemas, a respostas transitória observada em um gráfico da resposta em função do tempo 
tende a infinito, ou oscilar. 
 Em muitos sistemas, a resposta transitória observada em um gráfico da resposta em 
função do tempo pode ser diretamente relacionada à resposta natural. Assim, se a resposta 
natural tende a zero à medida que o tempo infinito, a resposta transitória também 
desaparecerá, deixando apenas a resposta forçada. Caso o sistema seja estável, as 
características de resposta transitória e erro em regime permanente adequadas podem ser 
projetadas. 
 Além disso, a estabilidade de sistemas digitais a partir de duas perspectivas: no plano z 
e no plano s. No plano s, a região da estabilidade é o semipleno esquerdo. A região da 
estabilidade no plano z pode ser determinada a partir da definição z=eTS. Fazendo s=α+jω, 
obtém-se uma vez que (cos ωT + j sen ωT)=1< ωT. 
 Cada região do plano s pode ser mapeada em uma região correspondente no plano z. 
Os pontos que possuem valores positivos de α estão no semipleno da direita no plano s. 
Portanto, pontos na metade direita do plano s são mapeados em pontos fora do círculo unitário 
no plano z. 
 
 
 
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4. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 A partir das considerações feitas diante de todo o corpo de trabalho, percebe-se que a 
utilização do Matriz Laboratory (MatLab) é extremamente útil e importante para os cálculos 
de engenharia, uma vez que aplica uma série de conhecimentos como por exemplo o 
reconhecimento de uma função de transferência, o cálculo da resposta ao degrau em malha 
aberta e em malha fechada e cálculos como diferenciais e operações com lugar de raízes, 
estabilidade. Além disso, pudemos observar que o uso das ferramentas computacionais nos 
ajuda no processo de obtenção matemática das respostas solicitadas, além da maior precisão e 
otimização da aprendizagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
COSTA, A. Dicas iniciais de utilização no Matlab. Programa de Engenharia Química. 
COPPE/ UFRJ. Janeiro, 2003. 
 
DAIBERT, M.R; CHAIA, A.V. Minicurso Introdução ao Matlab. GET – Engenharia de 
Produção. UFJF.DIAS,F; PINHEIRO, L; BECKER, A; SILVA,D. Noções Básicas de programação em 
Matlab. Santa Maria, 2010. 
 
DORF, R. C., BISHOP, R. H., Modern Control Systems. Pearson Education, 2001, 11th 
edition. 
 
NISE, N. Engenharia de Sistemas de Controle. Tradução de Paulo Álvaro Maya; revisão 
técnica Fabrizio Leonardi. 5ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, c2009. 
 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. Tradução de Paulo Alvaro Maya; 
revisão técnica Fabrizio Leonardi... [et al.]. 4. ed. São Paulo: Prentice Hall do Brasil, 2003.