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FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Horácio Martins Mário Lima Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Costa, Helisângela Ramos da. C837 Matemática Elementar I / Helisângela Ramos da Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara Costa, Célia Maria Nogueira. Batista – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 1. Pe- ríodo). 131p.: il. ; 30 cm. Inclui bibliografia e anexo 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Costa, Helisângela Ramos da. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Batista, Célia Maria Nogueira. IV. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510 SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 Unidade I – Sistemas de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09 TEMA 01 – A origem, as antigas civilizações e nosso sistema de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 TEMA 02 – Bases diferentes de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Unidade II – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TEMA 03 – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Unidade III – Conjuntos dos números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TEMA 04 – Representação dos números naturais na reta numérica. Operação: adição . . . . . . . . . . . . . . 23 TEMA 05 – Operação: subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 TEMA 06 – Operação: multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 TEMA 07 – Operação: divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 TEMA 08 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 TEMA 09 – Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 TEMA 10 – Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Unidade IV – O Conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 TEMA 11 – A idéia do número inteiro. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo ou valor absoluto de um número inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 TEMA 12 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 TEMA 13 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 TEMA 14 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Unidade V – O Conjunto dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 TEMA 15 – O número racional absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 TEMA 16 – O conjunto dos racionais relativos. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo ou valor absoluto de um número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 TEMA 17 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 TEMA 18 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 TEMA 19 – Operações: potenciação e radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 TEMA 20 – Expressões numéricas e resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 TEMA 21 – Representação de números fracionários na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 TEMA 22 – Operações: multiplicação e divisão. Sistema monetário nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Unidade VI – Geometria das formas e das medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 TEMA 23 – A geometria de Euclides. Conceitos primitivos. Semi-reta. Segmento de reta. Noções de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 TEMA 24 – Unidades de medida de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 TEMA 25 – Curvas abertas e fechadas. Regiões convexas. Ângulos e Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 TEMA 26 – Triângulos e quadriláteros. Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 TEMA 27 – Medidas de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 TEMA 28 – Área de principais figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 TEMA 29 – Volume de sólidos. Medidas de capacidade e massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 TEMA 30 – Sólidos geométricos: prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 TEMA 31 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Circunferência e círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 TEMA 32 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Unidade VII – Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 TEMA 33 – Razões e proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 TEMA 34 – Regra de três simples e composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 TEMA 35 – Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 TEMA 36 – Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Referências . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Helisângela Ramos da Costa Bacharela em Matemática – UFAM Bacharela em Processamento de Dados – UFAM Especialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF) Iêda Maria de Araújo Câmara Costa Especialista em Ensino de Matemática – UFAM. Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM) Célia Maria Nogueira Batista Especialista em Ensino da Matemática – UFAM Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM) PERFIL DOS AUTORES PALAVRA DO REITOR A Licenciatura Plena em Matemática pelo Sistema Presencial Mediado vem reforçar o compromisso do Governo e da Universidade do Estado do Amazonas de avançar com ousadia na área do ensino que valo- riza os meios tecnológicos. Os recursos utilizados para tal (livro didático, tv e web) são reforçados pela pre- sença de Professores Assistentes para garantir a qualidade necessária e otimizar os efeitos positivos advin- dos dessa ousadia. O grande potencial tecnológico que caracteriza a UEA tem de ser utilizado para a formação de professores, especialmente daqueles que se encontram no interior do Estado, fazendo-os permanecer no seu local de origem, dando-lhes formação à altura das necessidades regionais e criando condições dignas de trabalho. Toda a experiência significativa acumulada em outros projetos vai contribuir para que o curso de Matemática cumpra a contento o papel de formar professores com visão diferenciada, colocando em prática uma didáti- ca eficiente, centrada nas necessidades imediatas do homem e do meio que o circunda. As estratégias de ensino-aprendizagem devem ser focadas no aluno. Em função dele é que se lança mão de todos os recursos inovadores, estimulando-o à pesquisa e à conquista de uma vida melhor. Assim, a UEA cumpre a tarefa de formar profissionais autônomos e disciplinados, aptos a absorver e a praticar uma políti- ca educacional que elevará o Estado do Amazonas à posição de vanguarda no âmbito do ensino que ultra- passa as barreiras da sala de aula. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas UNIDADE I Sistemas de Numeração TEMA 01 A ORIGEM. AS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES. NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO 1. A origem do sistema de numeração Para entender como surgiram os números, é preciso ter uma idéia de como o homem, des- de a época mais remota, vivia e quais eram suas necessidades. Naquele tempo, o homem, para alimentar-se, caçava, pescava e colhia frutos; para morar, usava cavernas; para defen- der-se, usava paus e pedras. Portanto o ho- mem precisava contar. Quantos peixes havia? Quantas espigas de milho? Quantos dias fal- tavam para a caça de pássaros antes das chu- vas? Quantas ovelhas havia no rebanho? Es- sas necessidades de sobrevivência levaram-no a fazer comparações entre as “coisas” que ti- nham ou queriam com os dedos das mãos. Segundo alguns autores, o surgimento da pri- meira máquina de calcular deve-se às conta- gens nos dedos das mãos. Devido ao aumento de posses e à necessida- de de contar quantidades maiores, o homem passou a usar objetos pequenos para repre- sentá-las. No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco. No fim do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa: para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no fim do dia sobrasse alguma pedra, era porque faltava algum dos animais. E se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra cál- culo é derivada da palavra latina calculus, que significa pedras (Figura 1). Figura 1: Correspondência biunívoca (BIANCHINI, 2002, p. 13). Nesse caso, quando ocorre a correspondência um-para-um nos dois sentidos, por exemplo, uma pedrinha para cada ovelha e uma ovelha para cada pedrinha, denomina-se correspon- dência biunívoca (Figura 1). A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e ou- tros tipos de marcação (Figura 2). Figura 2: Objetos utilizados para representar as quantidades (BIACHINI, 2002, p. 12). Porém um problema surgiu: imagine que uma pessoa usasse traços para representar cada ovelha. Por exemplo: um homem tinha ||||||||||||||||||||||| ovelhas. Não seria nada prático, não é mesmo? Talvez a solução encontrada tenha sido separar grupos de marcas. Um homem tinha ||||||||| ||||||||| ||| ovelhas. Neste caso, as marcas estão agrupadas de dez em dez. Ainda hoje em dia, nos jogos, é muito comum contar pontos registrando agrupamentos de 5. Por exemplo, num jogo: João fez pontos Para facilitar o registro dos objetos, surgiu o ábaco, cerca de 3500 a.C., na Mesopotâmia. Os mais antigos ábacos eram formados de sul- cos feitos na areia, nos quais eram colocadas pedrinhas. Um mesmo número de pedrinhas colocadas em sulcos diferentes representava quantidades diferentes. O primeiro sulco, da direita para a esquerda, corresponde ao sulco das unidades; o segundo, ao sulco das deze- nas; o terceiro, ao sulco das centenas, e assim por diante. 11 Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração Figura 3: Ábaco antigo (BIACHINI, 2002, p. 43). 2. As antigas civilizações As primeiras grandes civilizações surgiram nas regiões próximas do Mar Mediterrâneo, há pouco mais de 5 000 anos. Entre elas, desta- cou-se a civilização egípcia. A escrita egípcia era feita por meio de combinações de dese- nhos e sinais gráficos, chamados hieróglifos. A seguir, uma lista de sinais convencionais utili- zados no sistema de numeração egípcio. Sis- tema de numeração é o conjunto de regras usadas para tornar possível a leitura e a escri- ta dos números. Quadro 1: Sistema de numeração egípcio. Fonte: http://educar.sc.usp.br/matemática Observe, no quadro 1, que cada símbolo re- presenta dez vezes o que o símbolo anterior representa, justificando o fato de que a base do sistema de numeração egípcio é 10. Para representar um determinado número, os egíp- cios colocavam os símbolos tanto da direita para a esquerda quanto da esquerda para a direita ou de cima para baixo. Isto mostra que o sistema de numeração egípcio não é posicio- nal. Por exemplo, o número 22 podia ser repre- sentado por: Ao contrário de outros povos que criaram sím- bolos próprios para representar os números, os romanos buscaram letras do próprio alfabe- to para representá-los. No quadro 2, tem-se o sistema de numeração romano e os valores correspondentes em nosso sistema de nume- ração. Quadro 2: Sistema de numeração romano Na figura 4, tem-se um mostrador de relógio em que são utilizados algarismos romanos. Figura 4: Algarismos romanos. Observa-se que, da mesma forma que os egíp- cios, os romanos utilizavam base 10: I→ 1 = 1000, X→ 10 = 101, C→ 100 =102, M→ 1000 =103. A seguir, as principais regras do sistema de numeração romano: 1) Cada um dos símbolos I, X, C e M pode ser repetido seguidamente até três vezes. 2) Um símbolo escrito à esquerda de outro de maior valor indica uma subtração dos respectivos va- lores (princípio subtrativo). Exemplo: IV→ 5 − 1 = 4; IX→ 10 − 1 = 9; XL→ 50 − 10 = 40; CD→500 −100 = 400;CM→1000 − 100 = 900. 3) Um símbolo escrito à direita de outro de maior valor indica uma soma dos respectivos valores (princípio aditivo). Exemplo: VI→ 5 + 1 = 6; XI = 10 + 1 = 11; XV = 10 + 5 = 15; CX→ 100 + 10 = 110; DC→ 500 + 10 = 600; MDC → 1.000 + 500 + 100 = 1.600 12 UEA – Licenciatura em Matemática 4) Utiliza-se um traço horizontal acima do símbolo, indicando que o número abaixo dele deve ser multiplicadopor mil. Dois traços equivale a multi- plicá-lo por 1 000 × 1 000 = 1 000 000 (um milhão). Exemplos: 3. Nosso Sistema de Numeração O Brasil, assim como a maioria dos países, uti- liza o sistema de numeração indo-arábico, que é decimal. A palavra “decimal” origina-se do la- tim decem, que significa dez, ou seja, os agru- pamentos são sempre feitos de dez em dez. Por isso, é usualmente chamado de sistema numérico decimal. A denominação indo-arábi- co deve-se ao fato de seus símbolos e suas regras terem sido inventados pela antiga civi- lização hindu e aperfeiçoados e divulgados pelos árabes. O principal responsável pela divulgação desse sistema foi o matemático, astrônomo e geógra- fo muçulmano do século IX, Abu Jafar Moha- med Ibn Musa Al-Khowarizmi, com a tradu- ção de seus trabalhos de Aritmética, Álgebra e Geometria para o latim, penetrando e influen- ciando o Ocidente. A seguir, as principais características desse sis- tema: 1) Utiliza apenas 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, com os quais é possível representar qual- quer número. Esses símbolos são chamados al- garismos em homenagem à Al-Khowarizmi. Vale lembrar que os símbolos do nosso sistema de numeração sofreram várias mudanças sendo sua padronização possível com a invenção da imprensa, no século XV. Outro fato é que, os pri- meiros que chegaram à noção de zero, que indi- ca uma “casa vazia”, foram os babilônios, povo que viveu por volta de 2 500 a. C., na Mesopo- tâmia. 2) Tem base 10, ou seja, os agrupamentos são fei- tos de dez em dez. 3) É um sistema posicional, isto é, um mesmo sím- bolo representa valores diferentes dependendo da posição que ocupa no numeral. Exemplo: no número 32 524, o primeiro algaris- mo “2” (contando a partir da direita) vale vinte unidades, enquanto o segundo vale duas mil uni- dades. 4) Obedece aos princípios aditivo e multiplica- tivo. O número 235, por exemplo, significa: 200 + 30 + 5 (princípio aditivo) Ou seja, 2 ×100 + 3 ×10 + 5 ×1 (princípio multiplicativo) No princípio aditivo, o número é obtido pela adi- ção dos valores posicionais. No princípio multiplicativo, cada algarismo escri- to imediatamente à esquerda de um outro alga- rismo vale dez vezes o valor posicional deste. Assim, cada grupo de dez unidades forma uma dezena. Cada grupo de dez dezenas forma uma centena. Cada grupo de dez centenas forma um milhar. Cada grupo de dez unidades de milhar forma uma dezena de milhar. Cada grupo de dez dezenas de milhar forma uma centena de milhar. E assim por diante. Dessa forma, todo número pode ser representado uti- lizando potências de dez. Este tipo de represen- tação do número é chamado de notação expo- nencial. Observe como o número 809 432 é represen- tado no ábaco com sua notação exponencial: 13 Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração A partir dos conceitos de valor posicional, têm- se os conceitos de valor relativo e valor abso- luto. Valor relativo de um algarismo é o valor que ele assume, dependendo da ordem que ele ocupa no número, e valor absoluto é o valor isolado do algarismo, independente da posição ou or- dem que ele ocupa no número. No sistema de numeração decimal, os núme- ros são lidos ou escritos mais facilmente quan- do os algarismos são separados em grupos de três, começando pela direita. Cada algaris- mo que forma um numeral representa uma ordem e que cada três ordens consecutivas representa uma classe como se pode obser- var no quadro 3. Mas as classes não terminam nos milhões. Existem as classes dos bilhões, trilhões, etc. Considere os números que estão colocados no quadro 3 e a respectiva leitura: Lê-se: oitocentos e nove mil, quatrocentos e trinta e dois. Lê-se: sessenta e três milhões, duzentos e oitenta e três mil, cento e quatro. Atenção: Quando o número indicar quantia em di- nheiro, a separação das classes deve ser feita por um ponto, caso contrário, deve-se usar espaço. Exemplos: a) 3 456 b) 34 567 103 c) R$1.200,00 d) R$14.350,50 EXERCÍCIOS 1) Escreva a quantidade que está representada em cada ábaco. 2) Escrever os numerais em algarismos romanos: a) 12 b) 19 c) 159 d) 535 e) 1 542 f) 4 415 g) 750 3) Veja o desenho e descubra que número repre- senta e qual sua notação exponencial. 4) No quadro valor lugar, represente os números e depois faça a leitura: a) 3 482 b) 55 980 644 5) Observe o número 3 482 e responda: a) Quantas classes e quantas ordens possui o nú- mero dado? b) Quantas unidades simples possui? c) Quantas dezenas possui? d) Quantas centenas possui? e) Qual a ordem em que o valor absoluto é igual ao valor relativo? 14 UEA – Licenciatura em Matemática Quadro 3: Quadro Valor Lugar TEMA 02 BASES DIFERENTES DE 10 Quando se precisa contar uma grande quantidade de coisas, separam-se os objetos em grupos, pois isto facilita a contagem. Por exemplo, contar as dú- zias de ovos é uma forma de agrupar: agrupar de 12 em 12. Os fabricantes agrupam um determina- do número de unidades em cada embalagem. Por exemplo: as barrinhas de drops vêm com o mes- mo número de balas, as cartelas dos medicamen- tos vêm com o mesmo número de comprimidos. Até a medição do tempo é feita por meio de grupa- mentos de 60 em 60 – sistema sexagesimal. Exemplo: Uma hora tem 60 minutos e um minuto tem 60 segundos. Dessa forma, tem-se: a) 1h 20min = 1×601 + 20×600 = 1×60 + 20×1 = = 60 + 20 = 80min b) 2h 20min 40s = 2×602 + 20×601 + 40×600 = = 2×60×60 + 20×60 + 40×1 = = (7 200 + 1 200 + 40)s = 8 440s Portanto é possível usar qualquer número como base para criar um sistema numérico posicional. Regra: obtém-se o valor do número, multiplican- do o valor de cada algarismo pela base elevada à posição ocupada por ele (a partir da posição zero), somando-se todas as parcelas. Outro sistema não decimal bastante utilizado é o sistema binário – sistema numérico posicional de base dois que usa apenas os algarismos “um” e “zero”. A grande maioria dos componentes de cir- cuitos elétricos podem assumir apenas um dentre dois estados. Por exemplo: interruptores ou tran- sistores podem estar fechados ou abertos; capaci- tores podem estar carregados ou descarregados; lâmpadas podem estar acesas ou apagadas. Foi estabelecido que um desses estados representa o “um” (lâmpada acesa, por exemplo) e que o outro representa o “zero” (lâmpada apagada, por exem- plo). O algarismo do sistema binário é chamado de dígito binário, oriundo do inglês binary digit, cuja contração produz bit. O bit é a menor unidade de dado (ou informação) que pode ser armazenada em um computador. O processo de conversão das grandezas do mundo real em quantidades expressas no sistema binário chama-se “digitalização”. O sistema binário funciona de modo parecido a um interruptor, como mostra a Figura 5. Figura 5: Sistema binário (BIANCHINI, 2002, p. 53). Se desejar representar, neste sistema numérico, o número oito mediante um conjunto de lâmpadas, onde uma lâmpada acesa representa o algarismo “1” e uma lâmpada apagada o algarismo “0”, tem- se as 3 lâmpadas da esquerda para direita apa- gadas e 1 acesa (Figura 6). Figura 6: Representação do número oito no sistema binário (BIANCHINI, p. 56). 1 000(dois) = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 0×20 = 8 Já foi demonstrado como escrever um número em uma determinada base para a base 10. Agora, será demonstrado como fazer o processo inverso. A maneira mais simples consiste em fazer divisões sucessivas pela base. As divisões serão feitas com o número e com cada um dos quocientes inteiros encontrados. O processo termina quan- do o quociente for igual a zero. Os restos das divisões, escritos na ordem inversa em que aparecem, darão a representação do número na baseescolhida. Observe como fica transforman- do o número oito na base 10 para a base 2. EXERCÍCIOS 1) Escreva a quantidade que está representada em cada ábaco. 2) Escreva o número (192)dez na base cinco. 15 Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração UNIDADE II Conjuntos TEMA 03 CONJUNTOS Observe os conjuntos a seguir: Figura 1: Representação dos conjuntos em diagramas. O conjunto A caracteriza-se por seus elementos serem figuras geométricas. O conjunto B caracteri- za-se por seus elementos serem números. Os con- juntos são representados por letras maiúsculas. Portanto: Exemplo: � = {0, 1, 2, 3, 4....}. Esse conjunto é chamado de conjunto dos números naturais. Cada número natural possui um outro número natural denominado sucessor – elemento que vem ime- diatamente após um número dado (antecessor). 1 é sucessor de 0, e 0 é antecessor de 1. Os conjuntos podem ser classificados em finito, infinito, unitário e vazio. Conjunto finito – É aquele em que se podem con- tar todos os seus elementos. Exemplo: M = {0, 1, 2, ... ,718, 719}. M é o conjun- to dos números naturais menores que 720. Conjunto infinito – É aquele em que não se con- segue contar todos os seus elementos. Exemplo: Conjunto dos números naturais � = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. Observação: cada elemento é escrito uma única vez no conjunto. Conjunto unitário – É o conjunto formado por um único elemento. Exemplo: A = {3} Conjunto vazio – É o conjunto que não tem ele- mentos. Exemplo: O conjunto B formado pelos dias da semana que começam com a letra “p”. Indica-se por: B = { } ou B = ∅ Relacionando o conjunto B da figura 1 com o con- junto � , percebe-se que é possível estabelecer relação entre os conjuntos. A relação pode ser de pertinência ou de inclusão. Quadro 1: Relação de pertinência. Quadro 2: Relação de Inclusão. 1) Em ambas as notações, B é subconjunto de A, ou seja, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A. 2) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, e qualquer conjunto contém o con- junto vazio. Ou seja: ∅ ⊂ A e A ⊃ ∅ 3) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, pois se A = B, então: A ⊃ B e B ⊂ A 4) Em ambas as notações, C não é subconjunto de D, ou seja, nem todos os elementos de C pertencem ao conjunto D. Exemplo: Considerando os conjuntos A, B e C onde A é o conjunto formado pelos números que representam os ponteiros de um relógio, B pelos números que aparecem nas teclas de um telefone e C pelos números naturais. Relação de inclusão é uma relação entre conjuntos. Relação de pertinência é uma relação entre elementos e conjunto. Um conjunto é uma coleção de elementos que têm uma característica em comum, uma propriedade que os distingue. 19 Matemática Elementar I – Conjuntos Sendo A = {1, 2, 3,...,12}, B = {0, 1, 2,..., 9} e C = {0, 1, 2, 3,...} Eis algumas possibilidades de relaçõs entre eles: 5 ∈ B, 24 ∉ A, B ⊄ A, B ⊂ C, C ⊃ A, A B Além de relacionar elemento e conjunto, conjunto e conjunto, podem-se realizar operações entre conjuntos: união, interseção e diferença entre con- juntos (quadro 3). Quadro 3: Operação entre conjuntos. Exemplo: Considerando os conjuntos da figura 2, determine: Figura 2: Operações entre conjuntos. a) A ∪ B = {1,2,3,5} ∪ {2,4,5,6,7} = {1,2,3,4,5,6,7} b) A ∩ B = {1,2,3,5} ∩ {2,4,5,6,7} = {2,5} c) (A − B) ∩ (A ∩ B) A − B = {1,3} A ∩ B = {2,5} (A − B ) ∩ (A ∩ B) = {1, 3} ∩ {2,5} = ∅ EXERCÍCIOS 1) Complete os espaços com os símbolos ∈, ∉, ⊃ ou ⊄.: a) {c, b, e}.........{a, b, c, d, e, f} b) 0....... {1, ..., 10, 11,...} c) {0, 1, 2,...}........{10, 20, 30, 40} d) {a, e, i, o, u}......{a, u} e) 3 .....IN f) {2, 4, 6, 8}.......{0, 1, 2, .., 8} 2) Considerando o conjunto A formado pela idade das pessoas que têm mais de 30 anos, o conjunto B pela idade das pessoas que têm menos de 25 anos, o conjunto C pela idade das pessoas que têm entre 40 e 50 anos, assi- nale V (verdadeiro) ou F (falso) para as sen- tenças: a) A ∪ B = C b) A ∩ C = C c) C − A = C d) A − (B ∪ C ) = {0,1, 2,..., 30} 20 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE III Conjunto dos Números Naturais TEMA 04 REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA. OPERAÇÃO: ADIÇÃO O conjunto dos números naturais, representado pela letra � , é o conjunto: � = {0,1,2,3,4,5,6,...}, muito utilizado para resolver problemas de contagem, em que o zero indica a ausência de objetos. 1. Representação dos números naturais na re- ta numérica A seguir, o procedimento para representar es- ses números sobre uma reta ordenada: 1) Traça-se uma reta, e sobre ela, marca-se um pon- to “O” (chamado ponto de origem). 2) Escolhe-se uma unidade de comprimento, 1 cen- tímetro, por exemplo, à direita do ponto O. 3) Partindo do ponto de origem, coloca-se essa uni- dade de comprimento repetidas vezes, ao longo da reta, da esquerda para a direita. Cada ponto da reta está associado a um número natural. Note que: a) 1 é consecutivo de 0 ou sucessor de 0, porque 0 + 1 = 1 b) 3 é consecutivo de 2, porque 2 + 1 = 3 c) 0 < 1 < 2 < 3 → lê-se: 0 é menor que 1, que é menor que 2, que é menor que 3. O anteces- sor é sempre menor que seu sucessor. Esta- belece-se, assim, a ordem crescente dos nú- meros naturais. d) 3 > 2 > 1 > 0 → lê-se: 3 é maior que 2, que é maior que 1, que é maior que 0. O sucessor sempre é maior que seu antecessor. Estabele- ce-se, assim, a ordem decrescente dos núme- ros naturais. Portanto sempre é possível esta- belecer uma relação de ordem em � . 2. Operações com números naturais A Aritmética é o alicerce da Matemática. Essa palavra vem do grego arithmos, que significa número. As operações com os números naturais são usadas constantemente na vida diária, embora seja difícil dizer quando e como se aprende a adicionar, subtrair, multiplicar e dividir. Operar é agir sobre os objetos e, de alguma manei- ra, realizar transformações. Resolver problemas é uma prática que acom- panha os homens ao longo da história. As ciên- cias, as sociedades, as artes devem muito do seu desenvolvimento à eterna resolução de problema. George Polya (1887-1985) foi um grande educador matemático que nasceu em Budapeste, Hungria. Escreveu muitos artigos e alguns livros extraordinários, como How to solve it (“A Arte de Resolver Problemas”, em português). Figura 1: A Arte de Resolver Problemas Fonte: www.mercadolivre.com.br/.../25604126_3848.jpg Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, George Polya divi- diu-o em quatro etapas. Polya nunca preten- deu que sua divisão correspondesse a uma se- qüência de etapas a serem percorridas uma depois da outra, sem que nunca seja conve- niente ou necessário voltar atrás, ou que fun- cionasse como uma porção mágica. As quatro etapas para resolução de proble- mas segundo George Polya: 1) Compreender o problema. ! Ler o enunciado. ! Identificar os dados fornecidos. ! Identificar as incógnitas (dados desconheci- dos do problema). Aritmética é a parte da Matemática que estuda as propriedades dos números e as operações que se podem realizar so- bre eles. 23 Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais ! Verificar as possíveis relações entre os dados e as incógnitas. ! Se possível, criar um esquema que represen- te a situação. ! Identificar o que o problema pede. 2) Traçar um plano: Consiste em construir uma es- tratégia de resolução. ! Você já resolveu algum problema parecido? ! É possível resolvê-lo por partes? ! Quais são as operações matemáticas adequa- das para resolver a situação? ! Todos os dados do problema estão envolvidos no plano? 3) Executar o plano: Consiste em colocar a estra- tégia de resolução em prática. ! Tentar responder: o que eu obtenho com esse passo?! Ao encontrar dificuldades, volte à primeira eta- pa e reordene as idéias. 4) Comprovar os resultados. ! Ler o enunciado novamente e verificar se o que foi perguntado é o que foi respondido. ! Verificar se os argumentos utilizados para obter o resultado são válidos. ! Você pode obter a solução de um outro mo- do? A seguir, serão apresentadas as operações fundamentais: adição, subtração, multiplica- ção e divisão. Os problemas que as envolvem serão resolvidos utilizando as etapas de Polya. 2.1 Adição A operação de adição é associada a duas idéias: juntar e acrescentar. A seguir, duas situações que envolvem essas idéias. Exemplos: 1) Uma livraria tem 123 lápis e 24 livros. Quantos objetos há na livraria? 1.a etapa: Compreender o problema. Dados conhecidos: 123 lápis e 24 livros. Pede-se: a quantidade de objetos da livraria. Figura 2: Idéia de juntar 2.a etapa: Traçar um plano. Idéia de juntar objetos diferentes. Portanto a operação a ser utilizada é a adição. 3.a etapa: Executar o plano. Para realizar a soma, será necessário executar uma seqüência de procedimentos, chamada de algoritmo. Será utilizada a seguinte convenção para os algo- ritmos das quatro operações: Figura 3: Convenção utilizada para as quatro operações. Primeiro, deve-se representar no quadro valor lugar as parcelas 123 e 24, e depois deve-se jun- tar os objetos de cada ordem. Lê-se: “Cento e quarenta e sete”. 4.a etapa: Comprovar os resultados. Logo, a quantidade de objetos que há na livraria são 147. 2) No balde, havia 147 peixes. Marina pescou mais 56 peixes e colocou-os no mesmo balde. Quan- tos peixes há no balde? Figura 4: Idéia de acrescentar. 24 UEA – Licenciatura em Matemática 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 147 peixes e 56 peixes. Pede-se: a quantidade de peixes no balde. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de acrescentar peixes a uma quantidade de peixes já existente. Portanto, a operação a ser uti- lizada é adição. 3.a etapa – Executar o plano. Deve-se representar no quadro valor de lugar as parcelas da adição 147 + 56. Depois, trocam-se dez unidades por uma dezena e transporta-se para o lugar das dezenas. Lê-se: “Cento e noventa e três”. Chama-se de “vai um” o transporte de uma or- dem para a ordem imediatamente superior, que aqui significa “vai uma dezena”, pois 7 + 6 = 13, ou seja, 10 + 3, indicando que restam 3 na or- dem das unidades. Quando se somam as deze- nas, o “vai um” significa “vai uma centena”, pois 40 + 50 + 10 = 100. Portanto nada resta na or- dem das dezenas, representando por 0. Este pro- cesso é conhecido como “transporte de reserva”. O resultado da adição é obtido pelos algarismos que representam a quantidade que restou em cada ordem. No caso, tem-se 2 centenas, 0 dezena e 3 unidades. Portanto, 147 + 56 = 203. 4.a etapa – Comprovar os resultados. Propriedades da adição A adição em � apresenta as seguintes pro- priedades: A1) Propriedade do fechamento Observe o que acontece com a soma 2 + 6: 2 + 6 = 8 Portanto: a soma de dois números naturais resulta em um número natural. Ou seja, se a ∈ � , b ∈ � , então a + b ∈ � . A2) Propriedade comutativa Observe o que acontece com a soma 4 + 3 e 3 + 4: Portanto: dados dois números naturais a e b, tem-se que a + b = b + a. A3) Propriedade associativa Observe o que acontece com a soma: (3 + 2) + 4 e 3 + (2 + 4) Portanto: dados três números naturais a, b e c, tem-se que (a + b) + c = a + (b + c). A4) Existência do elemento neutro Observe o que acontece com a soma 0+4 e 4+0: Portanto: quando se soma zero a um núme- ro natural, a soma não se altera. Por isso, o zero é o elemento neutro da adição. 25 Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais EXERCÍCIOS 1) Para estudar para uma prova de Matemá- tica, Patrícia resolveu, no sábado, 25 exercí- cios. No domingo, ela fez 7 exercícios a mais. a) Quantos exercícios Patrícia fez no domingo? b) Quantos exercícios fez no fim de semana? 2) Foi realizada uma pesquisa entre os estudan- tes das escolas de um município para verificar qual o alimento mais consumido (arroz, feijão, macarrão, carne). Cada estudante só podia es- colher um único alimento. As respostas foram tabuladas segundo o quadro: a) Quantos estudantes escolheram o alimento arroz? b) Quantos estudantes do sexo feminino responde- ram à pesquisa? c) Quantos estudantes foram pesquisados? TEMA 05 OPERAÇÃO: SUBTRAÇÃO 2.2 Subtração Quando uma operação desfaz o que a outra realizou anteriormente, determinando a volta ao estado original, diz-se que essa operação é a inversa da outra. Veja alguns exemplos: Figura 5: Operações inversas. Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica Você observou que a adição e a subtração são operações inversas. Uma desfaz o que a outra fez. A operação de subtração é associada a três idéias: retirar, comparar e completar. A se- guir, três situações que envolvem essas idéias. Exemplos: 1) Reginaldo tem em sua biblioteca 134 livros e doa- rá 13 livros para sua escola. Quantos livros fica- rão na biblioteca de Reginaldo? Figura 6: Subtração – Idéia de retirada. 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 134 livros de Reginaldo dos quais 13 livros serão doados para a escola. Pede-se: a quantidade de livros que ficará na bi- blioteca de Reginaldo. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de retirar uma quantidade de outra. Portan- to a operação a ser utilizada é subtração. 26 UEA – Licenciatura em Matemática 3.a etapa – Executar o plano. Deve-se representar no quadro valor de lugar o número 134, de forma que se retire 3 unidades e 1 dezena (subtraendo). Lê-se: “Cento e vinte e um”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. 121 + 13 = 134 2) Num engradado onde cabem 57 garrafas, Márcio tem apenas 29. Quantos faltam para completá-la? Figura 7: Subtração – Idéia de completar (IMENES, p. 63). 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 57 garrafas cabem no engradado, e Márcio possui 29 garrafas. Pede-se: a quantidade de garrafas que faltam para encher o engradado. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de completar uma quantidade para atingir outra. Portanto a operação a ser utilizada é a sub- tração. 3.a etapa – Executar o plano Deve-se representar no quadro valor de lugar o minuendo da subtração 57 − 29. a) Registra-se o minuendo. b) Faz–se o transporte da unidade superior para a unidade imediatamente inferior. c) Observe que se trocou uma dezena por dez unidades. A seguir, retiram-se 9 unidades e depois 2 dezenas. Lê-se: “Vinte e oito”. Normalmente, o “empresta um” chama-se “re- curso à ordem superior”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. 28 + 29 = 57 Logo, a quantidade de garrafas que faltam para encher o engradado é 28. 3) Marcelo tem 25 anos, sua irmã Carmem tem 9. Quantos anos Marcelo tem a mais que Carmem? Figura 8: Subtração – Idéia de comparar 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 25 anos (idade maior) e 9 anos (idade menor). Pede-se: a quantidade de anos que Marcelo tem a mais que Carmem. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de comparar duas quantidades. Portanto a operação a ser utilizada é a subtração. 3.a etapa – Executar o plano. Deve-se efetuar a subtração 25 – 9. Como o algarismo das unidades do minuendo é menor que o do subtraendo, conforme o algorit- mo da subtração, deve-se transportar a unidade superior para a unidade imediatamente inferior. No caso, troca-se uma dezena por dez unidades. Depois, retiram-se 9 unidades das 15 unidades e 0 dezena de 1 dezena. 27 Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais 4.a etapa– Comprovar os resultados. 9 + 16 = 25 Logo, Marcelo tem 9 anos a mais que Carmem. Esta relação é conhecida como relação funda- mental da subtração e pode ser representada da seguinte forma: A relação da subtração também pode ser escrita como: A soma de três termos de uma subtração é o dobro do minuendo. Cálculo do elemento desconhecido numa igualdade: Vista a relação fundamental da subtração, ela será usada para calcular o elemento desconheci- do numa igualdade. Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade: x + 7 = 12 (relação fundamental da subtração) x + 7 − 7 = 2 − 7 Solução: x + 0 = 12 − 7 x = 5 Vale lembrar que as propriedades fechamento, comutativa, associativa e elemento neutro não são válidas para a subtração em N. Observe: a) 2 ∈ � , 3 ∈ � , mas 2 − 3 ∉ � (não é possível, no conjunto dos números naturais, retirar 3 unidades de 2 unidades se não possuo a or- dem das dezenas para fazer o “empréstimo”). Nesse caso, não é válida a propriedade de fechamento. b) 3 − 2 ≠ 2 − 3. Nesse caso, não é válida a pro- priedade comutativa. c) EXERCÍCIOS 1) A leitura de um hidrômetro feita no mês janeiro indicava 3 456 metros cúbicos, e uma nova leitura feita no mês de fevereiro seguinte indi- cava 4 789 metros cúbicos. Quantos metros cúbicos de água foram consumidos a mais no mês de fevereiro? 2) Em uma eleição para prefeito de um município no 2.O turno, o candidato A obteve um total de 5.789 votos e o candidato B obteve um total de 4.745 votos. Sabendo que houve 165 votos brancos, 59 votos nulos e que o município tem 11 567 habitantes. Responda: a) Quantas pessoas votaram no município? b) Quantas pessoas não votaram? c) Quantos votos a mais obteve o candidato A em relação ao candidato B? 3) Calcular o valor do elemento desconhecido: a) x + 45 = 312 b) 10 + y = 25 c) a − 8 = 19 Nesse caso, não é vá- lida a propriedade as- sociativa Minuendo − subtraendo = diferença ⇔ subtraendo + + diferença = minuendo 28 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 06 OPERAÇÃO: MULTIPLICAÇÃO 2.3 Multiplicação A operação de multiplicação é associada à idéia de adição de parcelas iguais. A seguir, três situações que envolvem essas idéias. Exemplos: 1) Cristina está escolhendo um sorvete de uma bola (cupuaçu, buriti, açaí, tucumã) com um tipo de cobertura (caramelo, chocolate, morango). De quantas maneiras diferentes pode montar o sorvete? 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 4 tipos de sorvete: 4 e 3 tipos de cobertura. Pede-se: a quantidade de maneiras diferentes de se montar o sorvete. Figura 9: Idéia da multiplicação. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de parcelas iguais por meio das combina- ções possíveis de sorvetes. Portanto a operação a ser utilizada é a multiplicação. 3.a etapa – Executar o plano. 4.a etapa – Comprovar os resultados. Logo, há 12 maneiras diferentes de montar o sorvete. 2) Para fazer um copo de leite, utilizam-se 3 colhe- res de sopa cheias de leite em pó. Quantas co- lheres de sopa de leite em pó são necessárias para fazer 12 copos de leite? 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 1 copo de leite corresponde a 3 colheres de leite em pó. Pede-se: a quantidade de colheres de leite em pó para fazer 12 copos de leite. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de adição de parcelas iguais por meio da proporcionalidade entre copo de leite e colheres de sopa de leite em pó. Portanto a operação a ser utilizada é a multiplicação. 3.a etapa – Executar o plano. Registra-se o número 12 e repete-se a configu- ração pela quantidade de vezes a ser repetida. Depois, conta-se a quantidade de objetos de ca- da ordem. Lê-se: “Trinta e seis”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. Logo, serão necessárias 36 colheres de sopa de leite em pó para fazer 12 copos de leite. 3) Para viajar de uma cidade A para uma cidade B, percorrem-se 123 quilômetros. Sabe-se que a distância para ir da cidade B até a cidade C é o quádruplo da distância de A até B. Qual é a dis- tância da cidade B até a cidade C? 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: ! Distância de A até B: 123 quilômetros. ! Distância de B até C: quatro vezes a distância de A até B. Pede-se: a distância da cidade B até a cidade C. 29 Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de adição de parcelas iguais por meio da proporcionalidade entre a distância de A até B e a distância de B até C. Portanto a operação a ser utilizada é a multiplicação. 3.a etapa – Executar o plano. a) Registra-se o multiplicando e repete-se a con- figuração pela quantidade de vezes indicada pelo multiplicador. b) Trocam-se 10 unidades por uma dezena. Lê-se: “Quatrocentos e noventa e dois”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. Logo, a distância de B até C é de 492 quilôme- tros. Propriedades da multiplicação M1) Propriedade do fechamento: Observe o que acontece com o produto 3 × 6: 3 × 6 = 18 Portanto: o produto de dois números natu- rais resulta em um número natural. Ou seja, se a ∈ � , b ∈ � , então a × b ∈ � . M2) Propriedade comutativa: Observe o que acontece com o produto 2 × 3 e 3 × 2: Portanto: dados dois números naturais a e b, tem-se que a × b = b × a. M3) Propriedade associativa: Observe o que acontece com o produto (3 × 5) × 4 e 3 × (5 × 4): Portanto: dados três números naturais a, b e c, tem-se que (a × b) × c = a × (b × c). Esta propriedade da multiplicação, muitas ve- zes é usada no cálculo mental. Exemplo: Nu- ma caixa há 80 lápis. Quantos lápis há em 7 caixas? Figura 10: Multiplicação – propriedade associativa. O procedimento para resolver o problema po- de ser interpretado da seguinte forma: 7 × 80 = 7 × (80 × 10) = (7 × 8) × 10 = = 56 × 10 = 560 M4) Existência do elemento neutro: Observe o que acontece com o produto 1 × 4 = 4 × 1: Portanto, quando se multiplica o número um por qualquer número natural, o produto não se altera. Por isso, o 1 é o elemento neutro da multipli- cação. 30 UEA – Licenciatura em Matemática M5) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: Exemplo: Portanto, dados três números naturais a, b, c, tem-se: a × (b + c) = a × b + a × c Essa propriedade também é muito utilizada no cálculo mental. Exemplo: Um televisor está sendo vendido em uma loja a R$453,00. Quanto a loja irá arre- cadar se vender doze televisores? 453 × 12 = 453 × (10 + 2) = 453 × 10 + 453 × 2 = 4 530 + 906 = 5 436 Logo, pagarei R$5.436,00 pelas doze televi- sores. EXERCÍCIOS 1) Uma cidade A tem 12 624 habitantes. E a cida- de B tem o triplo de habitantes da cidade A. Quantos habitantes tem a cidade B? 2) Uma pizzaria oferece 32 tipos de pizza e 9 tipos de suco. Qual o número de escolhas dife- rentes que se pode fazer de um tipo de pizza com um tipo de suco? TEMA 07 OPERAÇÃO: DIVISÃO 2.4 Divisão Entre a multiplicação e a divisão, há uma rela- ção parecida com a que existe entre a adição e a subtração, já que uma desfaz o que a outra fez. Veja os exemplos. A divisão está associada a duas idéias: de repartir e de medida. Idéia de repartir: Exemplos: 1) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas. Não foi exigido que a divisão fosse feita em par- tes iguais. Portanto há muitas maneiras de fazer a distribuição: ! 3 pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola; ! 2 pessoas com 2 bolas e 2 pessoas com 3 bolas; ! as 4 pessoas receberam 2 bolas cada uma e ficam sobrando 2 bolas, etc; 2) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que: a) Todas recebam a mesma quantidade de bolas. Nesse caso, há 2 possibilidades: cada pessoa recebe 1 bola e sobram 6 bolasou cada pes- soa recebe 2 bolas e sobram 2 bolas. b) Todas recebam a mesma quantidade de bolas e sobre o menor número de bolas. Nesse ca- so, só há um modo de repartir: 2 bolas para cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas. 31 Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais Idéia de medida: Exemplos: 1) Deseja-se arrumar 48 livros em pacotes de dois livros cada. Quantos pacotes serão formados? 1.a etapa – Compreender o problema. ! Quais os dados do problema? 48 livros, e cada pacote deve possuir 2 livros. ! O que é pedido? A quantidade de pacotes de livros. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem 2 livros. Portanto, a operação a ser utilizada é a divisão. 3.a etapa – Executar o plano. Será utilizado o algoritmo da divisão: a) Registra-se o dividendo. Lê-se: “vinte e quatro”. 4.a etapa – Comprovar os resultados 24 × 2 = 48 Portanto serão formados 24 pacotes com 2 livros cada. Esta relação é conhecida como relação funda- mental da divisão (para divisão exata) e pode também ser escrita como: q × d = D Cálculo do termo desconhecido: Dada a relação fundamental da divisão, ela será usada para calcular o elemento desconhecido numa igualdade. Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade: 25x = 175 (relação fundamental da divisão) Solução: x = 175 : 25 x = 7 2) O dono de uma loja encomendou 13 caixas pa- ra colocar 4 latas de refrigerante em cada uma. Sabendo que há 53 latas, a quantidade de caixas encomendadas pelo dono da loja é suficiente? 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: quantidade total de latas = 53 e quantidade de latas que cabem em cada cai- xa = 4. Pede-se: verificar se a quantidade de caixas encomendadas pelo dono é suficiente. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem 2 livros. Portanto a operação a ser utilizada é a divisão. 3.a etapa – Executar o plano. a) Registra-se o número 53. b) Quando não se podem formar grupos de 4 elementos, devem-se transportar os elemen- tos de uma ordem para a ordem imediatamen- te inferior em grupos de dez. Em seguida, agrupa-se de 4 em 4 e registra-se o resultado. Lê-se: “Treze”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. 13 × 4 + 1 = 52 + 1 = 53 Logo, 13 caixas não são suficientes para colocar 53 latas. O resto da divisão, nesse caso, indica que ficaria faltando colocar em uma caixa uma lata de refrigerante. Quando esse fato ocorre, diz- se que a divisão é não-exata. Divisão não-exata: Indica-se por: D = d . Q + r O maior resto possível é sempre igual a d − 1, isto é, R ≤ d − 1. A operação que associa cada par de números naturais D e d, ao maior número natural q, que multiplicado por d não supera D, é chamada divisão não-exata com resto r. 32 UEA – Licenciatura em Matemática Quanto às propriedades da divisão, assim como na subtração, não são válidas as propriedades fechamento, comutativa, associativa e elemento neutro. Observe: a) 2 ∈ � , 3 ∈ � , mas 2 : 3 ∉ � (não é possível, no conjunto dos números naturais, agrupar 3 uni- dades se só existem 2 unidades, e não há a ordem das dezenas, para fazer o empréstimo). Nesse caso, não é válida a propriedade de fechamento. b) 6 : 2 ≠ 2 : 6 Nesse caso, não é válida a pro- priedade comutativa. c) Nesse caso, não é válida a propriedade asso- ciativa. A seguir, um exemplo de aplicação da proprieda- de distributiva para a divisão. Figura 11: Divisão: propriedade distributiva. Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica Observe que: 1299 : 3 = (1200 + 90 + 9) : 3 = 1200 : 3 + 90 : 3 + 9 : 3 = 400 + 30 + 3 = 433. Considerações importantes quanto ao número zero na divisão: 1) Quando o zero é dividendo. Exemplo: 0 : 7 = 0, pois 0 × 7 = 0. 2) Quando o zero é divisor. Exemplo: se 2 : 0 = q, então q × 0 = 2? Não existe um número que multiplicado por 0 dê 2, pois todo número multiplicado por 0 dá 0. Tal divisão é impossível. 3) Quando o dividendo e o divisor são iguais a zero. Se 0 : 0 = q, então q × 0 = 0. Então, have- ria infinitos quocientes para a divisão de zero por zero. Mas, para a Matemática, não há inte- resse algum em ter-se infinitos quocientes pa- ra uma só divisão. Portanto não se permite a divisão de zero por zero. O zero nunca pode ser divisor! Vale destacar que os conceitos relativos à divisão no conjunto de números naturais desempenham papel importante para os conceitos de números fracionários e dos que se relacionam com o con- junto de números racionais. EXERCÍCIOS 1) Para ir a pé de casa para a escola ou da esco- la para casa, Maria gasta o triplo do tempo que gastaria se fosse de bicicleta. Ontem, ela foi a pé da escola até sua casa, pegou a bicicleta e, imediatamente, voltou para a escola. Tudo isso demorou 72 minutos. Quantos minutos ela de- morou no trajeto de casa à escola? 2) Marcos comprou um CD e 5 agendas de mes- mo preço, gastando ao todo 70 reais. Sabendo que o CD custou 25 reais, quanto custou cada agenda? 3) Tenho 150 mudas para plantar. Já plantei 86 e quero plantar as que faltam em 4 dias, plantan- do o mesmo número de mudas em cada dia. Quantas mudas devo plantar por dia? 4) Efetue as seguintes operações: a) 123 × 78 b) 4 056 × 34 c) 1 809 × 908 d) 1 064 : 2 e) 405 : 68 f) 8 905 : 45 33 Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais TEMA 08 POTENCIAÇÃO – RADICIAÇÃO – EXPRESSÕES NUMÉRICAS 2.5 Potenciação Na vida cotidiana, existem várias situações em que são utilizados números muito grandes ou muito pequenos. Quantos grãos de areia há na praia? Qual a distância da Terra à Lua? Quanto pesa nosso planeta? Quantos gigabytes tem o disco rígido de seu computador? Escrever nú- meros muito grandes nem sempre é conve- niente. Portanto, para multiplicações em que se tem um mesmo fator, criou-se uma quinta operação, mais econômica: a potenciação. Exemplo: Como representar matematicamente o número de posições do jogo da velha? Lê-se: “3 elevado ao quadrado”. Quando o expoente for 3, lê-se “(base) elevado ao cubo”. Para os demais expoentes, lê-se: “(base) eleva- do à (n.o ordinal correspondente: quarta, quin- ta,...) potência” ou apenas “(base) elevado à (n.o ordinal correspondente: quarta, quinta,...). Exemplo: 56 lê-se: “cinco elevado à sexta po- tência” ou “cinco elevado à sexta”. Casos especiais da potenciação: 1) Toda potência de base 1 é igual a 1. Exemplo: 16 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 2) Toda potência de expoente 1 é igual à base. Exemplo: 51 = 5 3) Toda potência de base 10 e expoente natural é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos indicar o expoente. Exemplos: a) A velocidade da luz é de trezentos mil quilô- metros por segundo: 300 000 km/s = 3 × 105 km/s b) O disco rígido de meu computador tem 20 Gigabytes (Gb) 1 Gb = 1 000 000 000 bytes ou 109 bytes 4) Toda potência de base zero e expoente diferente de zero é igual a zero. Exemplo: 04 = 0 Propriedades das potências: P1) Multiplicação e divisão Exemplos: Então: Para efetuar a multiplicação de potên- cias de bases iguais, deve-se manter a base e adicionar os expoentes. am . an = am + n onde m, n ≠ 0 Para efetuar a divisão de potências de bases iguais, deve-se manter a base e subtrair os expoentes. am : an = am − n onde a, m, n ≠ 0 Observação: Quando as bases não são iguais, calcula-se o valor de cada potência. A partir da propriedade envolvendo divisão de potências com bases iguais, tem-se que: Toda potência de um número natural dife- rente de zero com expoente zero é igual a 1. Dado dois números naturais a e n (n > 1), a expressão an representa um produto de n fatores iguais ao número a, ou seja: an = a . a . a . ...... a 34 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo: 30 significaum quociente como 24 : 24 = 52 : 52 = 1 P2) Potência de uma potência Exemplos: Então: Para efetuar uma ou mais potência de potência, deve-se repetir a base e multipli- car os expoentes. P3) Potência de um produto ou quociente Exemplos: a) (3 × 5)2 = 152 = 225 = 9 × 25 = 32 × 52 b) (46 : 23)2 = 22 = 4 = 2116 : 529 = 462 : 232 Então: Para efetuar potência de um produto (ou quociente) pode-se aplicar a potência em cada base e multiplicar (ou dividir) os resultados obtidos. 2.6 Radiciação Na potenciação, você viu como representar matematicamente o número de posições do jogo da velha: 32 = 3 × 3 = 9. Agora, se a per- gunta fosse: Qual o número de posições em cada linha (ou coluna) cujo quadrado resulta no total de posições do jogo da velha? Chamando “x” o número de posições em cada linha (ou coluna) de x, deve-se encontrar o número “x”, elevado ao quadrado resulta em 9. Portanto é necessário realizar a operação in- versa, chamada radiciação. Observação: quando o índice é 2, não se es- creve o número 2, apenas quando o índice é diferente de 2. Exemplo: Lê-se: “raiz cúbica de sessenta e quatro é igual a quatro”. 2.7 Expressões Numéricas Para resolver corretamente expressões numéri- cas, é necessário obedecer à ordem em que as operações devem ser resolvidas. 1) Potenciações e radiciações, na ordem em que aparecem. 2) Divisões e multiplicações, na ordem em que aparecem. 3) Adições e subtrações, na ordem em que aparecem. No caso dos sinais de associação, eles de- vem ser eliminados na seguinte ordem: pa- rênteses, colchetes parênteses, colchetes e chaves. Na figura 12, tem-se vários livros distribuídos em várias prateleiras. Como apresentar duas expressões numéricas diferentes para que se obtenha a quantidade de livros existentes na estante? Figura 12: Resolução de problemas utilizando expressões numéricas. Exemplos: Nas expressões com chaves, colchetes e pa- rênteses, eliminam-se primeiro os parênteses, depois os colchetes e em seguida a chave. Efetuam-se as operações conforme a ordem descrita anteriormente. 35 Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais EXERCÍCIOS 1) Um prédio tem 4 andares. Cada andar tem 4 apartamentos e cada apartamento tem 4 qua- tro vagas na garagem. Quantas vagas há na garagem do prédio? 2) Resolva as expressões numéricas: a) 17 + [ 10 − (15 : 3 + 2) + 4] b) 6 + { 9 − [(8 − 10 : 2) × 3]} c) 48 − {28 − 4[3 (40 : 5 − 3) : (17 − 3 × 4)]} d) 22 + {25 − [34 : (23 + 3 : 3) − ]} e) 3 × (14 − 3)2 : 33 + [ : 13 + (23 × 21)] TEMA 09 DIVISIBILIDADE 3. Divisibilidade Sabe-se que o ano bissexto é aquele que pos- sui 366 dias, ao contrário do ano comum que possui 365 dias. Os anos bissextos acontecem de quatro em quatro anos exemplos: os anos de 1 600 e 2 000 foram anos bissextos. Estes números têm uma característica em comum: são números que, quando divididos por 4, dão resto zero. Ou seja, a divisão é exata. 3.1 Conjunto dos divisores de um número na- tural Dados dois números naturais, se a divisão do primeiro pelo segundo é exata, diz-se que: O primeiro é divisível pelo segundo (ou o pri- meiro é múltiplo do segundo); O segundo é divisor do primeiro (ou o segun- do é fator do primeiro). Exemplo: Na operação 1600 : 4 = 400; 1600 é divisível por 4 ou múltiplo de 4; 4 é divisor de 1600 ou fator de 1600. Para se obter o conjunto dos divisores de um número, basta dividir esse número pela sucessão dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, ... e verificar em quais se obteve resto zero. Exemplo: Determinar o conjunto dos divisores de 16. Indica-se D(16). Continuando o processo até o divisor ser igual a 16, tem-se: D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} 3.2 Conjunto dos múltiplos de um número na- tural Para se obter o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicar esse número pela su- cessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 36 UEA – Licenciatura em Matemática Exemplo: Determinar o conjunto dos múltiplos de 2, indica-se M(2). 2 × 0 = 0 2 × 1 = 2 2 × 3 = 6 2 × 4 = 8 M(2) = {0, 2, 4, 6, 8...} Observe que: O conjunto dos múltiplos diferentes do zero é infinito; Zero é múltiplo de qualquer número; Todo número é múltiplo de si mesmo. 3.3 Critérios da divisibilidade Para verificar se um número é divisível por outro, deve-se efetuar a divisão entre eles, po- rém existem regras que permitem verificar se um número é divisível por outro sem se efetuar a divisão. Essas regras são denominadas cri- térios da divisibilidade. Divisibilidade por 2: um número será divisí- vel por 2 quando for par. Exemplo: 16 é divisível por 2 porque é par. Divisibilidade por 3: um número será divisí- vel por 3 quando a soma dos valores abso- lutos de seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 27 é divisível por 3 porque 2 + 7 = 9, que é divisível por 3. Divisibilidade por 4: um número será divisí- vel por 4 quando terminar em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Exemplos: a) 400 é divisível por 4 porque termina em 00. b) 336 é divisível por 4 porque o número 36 é divisí- vel por 4 Divisibilidade por 5: um número será divisí- vel por 5 quando terminar em 0 ou 5. Exemplos: a) 65 é divisível por 5 porque termina em 5. b) 30 é divisível por 5 porque termina em 0. Divisibilidade por 6: um número será divisí- vel por 6 quando for divisível por 2 e por 3. Exemplo: 630 é divisível por 6 porque é divisí- vel por 2 e por 3. Divisibilidade por 8: um número será divisí- vel por 8 quando terminar em 000 ou quan- do o número formado pelos seus três últi- mos algarismos for divisível por 8. Exemplos: a) 1000 é divisível por 8 porque termina em 000. b) 1744 é divisível por 8 porque 744 é divisível por 8. Divisibilidade por 9: um número será divisí- vel por 9 quando a soma dos valores abso- luto de seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 2133 é divisível por 9 porque 2 + 1 + 3 + 3 = 9, que é divisível por 9. Divisibilidade por 10: um número será divisí- vel por 10 quando terminar em 0. Exemplos: a) 40 é divisível por 10 porque termina em 0. b) 75 não é divisível por 10 porque não termina em 0. 3.4 Números primos Desde o sistema de escrita dos egípcios, a criptografia vem sendo utilizada, tanto para fins militares como diplomáticos. Um arquiteto do faraó Amenemhet II construiu alguns monu- mentos para o faraó, os quais precisavam ser documentados em tabletes de argila, sem que caíssem no domínio público. Um escriba teve a idéia de substituir algumas palavras ou trechos de texto destes tabletes. Caso o documento fosse roubado, o ladrão não encontraria o ca- minho que o levaria ao tesouro. Muitos consi- deram isto como o primeiro exemplo docu- mentado da escrita cifrada. Erastótenes de Cirene, filósofo e geômetra grego (276 a.C. a 194 a.C.) é conhecido como criador de um método para identificar números primos, o crivo de Erastótenes. O termo Criptografia surgiu da fusão das pa- lavras gregas “Kryptós” (oculto) e “gráphein” (escrever). Trata-se de um conjunto de concei- tos e técnicas que visam codificar uma infor- mação de modo que apenas o emissor e o receptor possam acessá-la e interpretá-la. Um exemplo simples de código consiste em per- mutar cada letra do alfabeto usada na men- sagem pela letra seguinte. Por exemplo, a palavra “Matemática” seria escrita codificada como “Nbufnbujdb”. Porém, esse método é muito simples de ser decifrado. 37 Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais Durante a 2.a Guerra Mundial, três americanos desenvolveram um sistema de código secreto, chamado RSA (Rivest, Shamir and Adleman Algorithm), em homenagem aos seus criadores Ron Rivest, Adi Shamir e Len Adleman. Criava- se umnovo ramo da Criptografia, a ciência dos códigos, fortemente baseado na Teoria dos Números e, em particular, nos números pri- mos. A grande maioria das pessoas não sabe que a inviolabilidade dos seus dados pessoais, cartões de crédito e senhas bancárias depen- de em parte destes números. O método RSA é um dos algoritmos mais usa- dos para transações criptográficas na Internet. Nesse algoritmo, números primos são utiliza- dos da seguinte forma: dois números primos são multiplicados para se obter um terceiro valor. Porém, descobrir os dois primeiros nú- meros a partir do terceiro (ou seja, fazer uma fatoração) é muito trabalhoso, pois é necessá- rio usar muito processamento para descobri- los, tornando essa tarefa quase sempre inviá- vel. Observação: é muito importante que além de se escolher primos p e q muitos grandes, a diferença | p − q | não pode ser pequena, pois isso facilitaria a fatoração. D(2) = {1,2}; D(3) = {1,3}; D(4) = {1,2,4}; D(5) = {1,5}; D(6) = { 1, 2, 3, 6} São exemplos de números primos 2, 3, 5, 7, 11... EXERCÍCIOS 1) Quais são os múltiplos do número: a) 3 b) 4 c) 7 2) Quais são os divisores do número: a) 35 b) 450 c) 73 3) Dadas as sentenças: I) 1 339 é múltiplo de 13. II) Zero é o único múltiplo de 0. III) 1 414 é divisível por 11. Podemos afirmar que: a) I e II são verdadeiras. b) I e III são verdadeiras. c) II e III são verdadeiras. d) As três são verdadeiras. 4) Dado o conjunto A = {n ∈ N; 10 ≤ n ≤ 20}, de- terminar os números primos desse conjunto. Um número é primo quando possui exa- tamente dois divisores (ele mesmo e a unidade). Se possuir mais de dois diviso- res, é chamado número composto. 38 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 10 MÁXIMO DIVISOR COMUM. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 4. Máximo divisor comum Analise a seguinte situação: deseja-se dividir 3 toras de madeira, que medem respectivamente 12m, 18m e 24m, em partes iguais e com maior tamanho possível. Qual comprimento deve possuir cada uma das partes? Figura 13: Máximo divisor comum. Para responder a estas pergunta, devem-se encontrar os divisores de 12, 18 e 24? D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D(18) = {1, 2, 3, 6, 18} D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D(12) I M(18) I M(24) = {6} Observe que 6 é o maior divisor comum entre 12, 18 e 24. Logo, cada tora deve ser dividida em 6 partes iguais. Processos práticos para decomposição de fatores primos: I) Decomposição em fatores primos Para chegar à forma fatorada completa de um número natural, realiza-se uma opera- ção denominada decomposição em fatores primos, que consiste em: 1) dividir, inicialmente, o número dado pelo seu menor divisor primo; 2) dividir o quociente obtido pelo seu menor divi- sor primo; 3) repetir este procedimento até obter o quocien- te igual a 1. Exemplo: Calcular o m.d.c. entre 48 e 40. O processo de decomposição em fatores primos pode ser utilizado para determinar os divisores de um número, a quantidade de divisores, a quantidade de divisores pares e ímpares. Procedimento para determinar os divisores de um número: 1) Fatora-se o número dado. 2) Traça-se uma barra vertical à direita dos fato- res primos. 3) Um pouco acima, à direita da barra, escreve- se o divisor 1. 4) Multiplicam-se os fatores primos pelos núme- ros que vão ficando à direita da barra. Observação: Os produtos que se forem repe- tindo não serão escritos. Veja a aplicação da regra para o número 60. Logo, os divisores D(60)= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. Procedimento para determinar a quantidade de divisores de um número: 1) Decompõe-se o número em fatores primos. 2) Soma-se uma unidade a cada expoente. 3) Multiplicam-se os resultados obtidos. Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51 Logo, o número de divisores de 60 é: N.D(60) = (2 +1) × (1 +1) × (1 +1) = 3 × 2 × 2 = 12. Procedimento para determinar a quantidade de divisores ímpares de um número. Nesse caso, faz-se o processo anterior apenas com os expoentes dos fatores primos ímpares. O m.d.c é o produto dos fatores comuns elevados ao seu menor expoente. Dados dois ou mais números naturais di- ferentes de zero, denomina-se máximo divisor comum (m.d.c) o maior de seus divisores comuns. 39 Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51 Logo, o número de divisores ímpares de 60 é: N.D.I. (60) = (1 +1) × (1 +1) = 5 Procedimento para determinar a quantidade de divisores pares de um número: 1) Soma-se uma unidade a cada expoente dos fatores primos ímpares. 2) Multiplicam-se os resultados encontrados pelo expoente do fator primo par. Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51 Logo, o número de divisores pares de 60 é: N.D.P. (60) = 2 × (1 +1) × (1 +1) = 8 II) Divisões sucessivas O cálculo do m.d.c. de dois números pelo processo das divisões sucessivas obedece às seguintes regras: 1) Divide-se o maior número pelo menor. 2) Divide-se o número menor pelo primeiro resto. 3) Divide-se o primeiro resto pelo segundo resto, e assim sucessivamente, até se obter uma di- visão exata. 4) O último divisor é o m.d.c. procurado. Exemplo: Calcular o m.d.c de 78 e 54. 5. Mínimo múltiplo comum Analise a seguinte situação: três navios fazem o mesmo percurso entre dois portos: o primei- ro de 8 em 8 dias. O segundo de 12 em 12 dias e o terceiro de 16 em 16 dias. Tendo saído jun- tos em certo dia do mês, após quantos dias sairão juntos novamente? Para responder a essa pergunta, devem-se en- contrar os múltiplos de 8, 12 e 16. M(8) = {0, 8,16, 24, 32, 40,48, ....} M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} M(16) = {0, 16, 32, 48, 64, 80, .... } M(8) I M(12) I M(16) = {48} Logo, após 48 dias esses navios sairão juntos novamente. Pode-se observar que o menor múltiplo co- mum entre 8, 12 e 16 diferente de 0 é o 48. Processos práticos para o calculo do m.m.c.: a) Decomposição em fatores primos O cálculo do m.m.c de dois ou mais números pela decomposição em fatores primos obedece à seguinte regra: Decompõem-se os números em fatores primos. Exemplo: m.m.c. (36, 120) = b) Decomposição simultânea O cálculo do m.m.c. de dois ou mais números pela decomposição simultânea obedece à se- guinte regra: Decompõem-se, simultaneamente, os números em fatores primos. Exemplo: O m.m.c é o produto dos fatores primos obtidos. O m.m.c é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns elevados ao seu maior expoente. Dados dois ou mais números naturais di- ferentes de zero, chama-se mínimo múl- tiplo comum (m.m.c.) o menor de seus múltiplos comuns diferente de 0. 40 UEA – Licenciatura em Matemática EXERCÍCIOS 1) De uma estação urbana, partem ônibus para o bairro A de 18 em 18 minutos; para o bairro B de 12 em 12 e para o bairro C de 10 em 10 mi- nutos. Sabendo que às 10h os ônibus das três linhas partiram juntos, a que horas partirão jun- tos novamente? 2) Considerando os números a = 27 × 3, b = 24 × 5, c = 26 × 11 determine: a) m. d. c. b) m. m. c. 3) Se a = 2 × 32 × 5 e b = 22 × 3 × 5, determine o m.d.c. (a,b) e o m.m.c.(a,b). 41 Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais UNIDADE IV O Conjunto dos Números Inteiros TEMA 11 A IDÉIA DO NÚMERO INTEIRO. REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA. SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO 1. A idéia do número inteiro Durante muito tempo, os povos não conhe- ciam o número negativo. Os hindus recusa- vam-se a aceitar que quantidades negativas pudessem ser expressas pela idéia de núme- ro. Somente na passagem da Idade Média pa- ra a Idade Moderna (séculos XIV a XVI) é que os países da Europa Ocidental sofreram pro- fundas transformações com o desenvolvimen- to do comércio e o crescimento das cidades, surgindo a necessidade de solucionar proble- mas dodia-a-dia que não poderiam ser resolvi- dos utilizando números naturais, como perda e prejuízo. Surge, assim, uma interpretação para os números negativos, antes chamados de números falsos ou números absurdos. Os números negativos estão presentes em vá- rias situações do nosso dia-a-dia. Veja alguns exemplos: 1) A temperatura de duas cidades. Considere a seguinte situação: um termômetro marca uma temperatura de 10 graus Celsius (10oC) afastado do zero. Conforme mostra a Figura 1. Tem-se duas possibilidades de interpretação. a) Temperatura da cidade A. b) Temperatura da cidade B. Figura 1: Temperatura de duas cidades (GIOVANI, 2002, p.29) Observa-se que há dois pontos (A e B) do ter- mômetro que podem ser tomados como a po- sição da coluna de mercúrio em relação ao ponto de origem 0 (zero). Isso mostra que o número natural 10 não foi suficiente para ex- pressar o afastamento da coluna de mercúrio em relação ao ponto de origem 0. Para elimi- nar a dupla interpretação, convenciona-se: ! o ponto A está 10oC acima de zero. Simbo- licamente: +10oC; ! o ponto B está 10oC abaixo de zero. Simbo- licamente: −10oC. Figura 2: Representação da temperatura de duas cidades no mesmo termômetro (GIOVANI,2002, p. 30) Diz-se que +10 é um número inteiro positivo (muitas vezes, omite-se o sinal +) e −10 é um número inteiro negativo. 2) Saldos bancários: Observe que cada vez que o banco desconta algum valor do saldo de seu Jorge, aparece o sinal de menos (−) no valor descontado. Portanto crédito de R$50,00 (+R$50,00) e débito de R$120,00 (− R$120,00). Ainda hoje, quando uma empresa termina o ano em prejuízo, diz-se que ela terminou o ano no vermelho, isto é, seu balanço final indicou mais despesas (saídas) do que receitas (entradas). Portanto seu saldo é negativo. 3) Elevadores Muitos edifícios têm piso abaixo do nível da rua. Para localizar os andares de um prédio em rela- ção ao térreo, utilizam-se números inteiros, em que os números negativos servem para indicar os pisos abaixo do térreo. O térreo é considerando o ponto de referência (ou de origem). Figura 3: Números inteiros no painel do elevador. 45 Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros 4) Calendários Os números inteiros são utilizados para diferen- ciar períodos antes e depois de uma data. Para os povos cristãos, o calendário tem como refe- rência o ano de nascimento de Cristo. Veja na reta numerada como representar as afirmações: Roma foi fundada no ano 753 a. C. (−753) Jesus Cristo nasceu no ano 0. Manaus foi fundada no ano 1 848. (subentende- se que foi depois de Cristo) (+1 848) 2. Representação dos números inteiros na reta numérica Os números negativos são representados na reta de forma semelhante à representação dos números naturais. Partindo do ponto de origem O, coloca-se a unidade de comprimento esco- lhida repetidas vezes, ao longo da reta, da es- querda para a direita, determinando o sentido positivo da reta, e da direita para a esquerda determinando o sentido negativo da reta. Cada ponto associado ao número inteiro é cha- mado imagem geométrica do número inteiro, e cada número inteiro é chamado abscissa do ponto correspondente. Exemplo: O ponto A é a imagem geométrica do número 2. O número 2 é a abscissa do ponto A. Nesse contexto, reunindo os números negati- vos e os números naturais, tem-se o conjunto dos números inteiros indicado por � . � = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} 3. Subconjuntos O conjunto dos números inteiros possuem im- portantes subconjuntos. Veja alguns deles no quadro 1. Representação em Diagramas 46 UEA – Licenciatura em Matemática Quadro 1: Subconjuntos de �� . 4. Módulo ou valor absoluto de um número inteiro A reta numérica a seguir indica a posição dos municípios de Manacapuru e Itacoatiara em re- lação a Manaus, sendo quilômetros a unidade de medida adotada. Observe que o município de Itacoatiara encon- tra-se a 177 quilômetros a leste de Manaus. Indica-se por: +177 ou apenas 177. O município de Manacapuru encontra-se a 79 quilômetros à oeste de Manaus. Indica-se por: − 79. Representa-se por |x|. Exemplos: O módulo de +177 é 177 e indica-se |+177| = = 177. O módulo de − 79 é 79 e indica-se |−79| = 79. Para determinar a distância entre dois pontos na reta numerada, devem ser considerados os módulos das distâncias de cada ponto à origem e somar (ou subtrair) os resultados obtidos. Exemplos: 1) Quantos quilômetros são percorridos entre Ma- nacapuru e Itacoatiara passando por Manaus? Solução: |−79| + |+177| = 79 + 177 = 256 quilô- metros em linha reta. 2) Quantos quilômetros são percorridos entre Ita- coatiara e Maués? Solução: |+267| − |+177| = 267 − 177 = 90 quilô- metros em linha reta. 4.1 Números inteiros opostos ou simétricos Suponha agora que um posto de saúde encon- tra-se a 177km a leste de Manaus. Nesse caso, as distâncias de Itacoatiara e do posto de saúde a Manaus são as mesmas. Indica-se: |+177| = |−177|. Os números +177 e −177 são chamados de números inteiros opostos ou simétricos. Assim, +177 é o oposto ou simétrico de −177 e vice-versa. 4.2 Comparação entre números inteiros O módulo de um número inteiro também é importante para comparar dois números intei- ros. A comparação de dois números positivos já foi demonstrada no conjunto dos números naturais. Entre os negativos, comparando as distâncias de Humaitá e Manicoré a Manaus, tem-se que: −600 < −333, pois |−600| > |−333| Portanto, entre dois números negativos, o número que tiver o maior valor em módulo será o menor. EXERCÍCIOS 1) Observe a reta numérica inteira a seguir. Dê a distância de: a) +6 a 0 d) −6 a −2 b) −2 a 0 e) −3 a +3 c) −3 a +5 f) +5 a −2 2) Uma cidade A encontra-se a 1 200 quilômetros ao norte da cidade B, e uma cidade C encon- tra-se a 3 500 quilômetros ao sul da cidade B, ambas em linha reta. Quantos quilômetros há entre as cidades B e C em linha reta? 3) Analisando as sentenças: I) |−7| > |+5| II) Existe um número inteiro que tem módulo menor que zero. III) O valor da expressão |−15| + |−3| − |−41| é 23. Podemos afirmar que: a) I e II são falsas. b) I e III são falsas. c) II e III são falsas. d) Todas são falsas. Chama-se módulo ou valor absoluto de um número inteiro “x” a distância desse número até o zero na reta numérica. 47 Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros TEMA 12 OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 5. Operações com números inteiros As operações com os números inteiros são usadas constantemente no cotidiano em situa- ções como: a) Devo R$50,00 ao banco. Meu pai depositou na minha conta R$30,00. Quanto ficará o meu sal- do? b) A temperatura de uma cidade da Região Sul do Brasil em um dia foi de 2o C abaixo de zero, e nos Estados Unidos, foi 3 vezes menor. Qual foi a temperatura nos Estados Unidos? 5.1 Adição A reta numérica será utilizada para entender a adição entre números inteiros. Procedimento: 1) Partindo do número que indica a 1.a parcela, caminhe na reta tantas casas quanto indi- cadas na 2.a parcela. 2) Se o número for positivo, caminhe para a direita. 3) Se o número for negativo, caminhe para a esquerda. 1.o Caso: Adição de números de mesmo sinal: a) (+1) + (+3) Partindo de +1, caminhe +3 Tem-se que (+1) + (+3) = +4 b) (−2) + (−4) Partindo de −2, caminhe −4 Tem-se que (−2) + (−4) = −6 2.o Caso: Adição de números de sinais dife- rentes: a) (−2) + (+5) Partindo de −2, caminhe +5 Tem-se que (−2) + (+5) = −2 + 5 = +3 b) (+2) + (−5) Partindo de +2, caminhe −5 Tem-se que (+2) + (−5) = −3 A adição de três ou mais parcelas (somas algé- bricas) pode ser obtida utilizando a proprie- dade associativa, adicionando-se as parcelas positivas, depois as parcelas negativas e, final-
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