Matemática Elementar IV

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Matemática
Elementar IV
Audemir Lima de Souza
Dário Souza Rocha
Genilce Ferreira Oliveira
Manaus 2007
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração 
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Projeto Gráfico
Mário Lima
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico-gramatical
João Batista Gomes
Souza, Audemir Lima de.
S729m Matemática elementar IV / Audemir Lima de Souza, Dário Souza
Rocha, Genilce Ferreira Oliveira. – Manaus/AM: UEA, 2007. –
(Licenciatura em Matemática. 2. Período)
179 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia
1. Matemática – Estudo e ensino. I. Rocha, Dário Souza. II.
Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título
CDU (1997): 51 
CDD (19.ed.): 510
SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Razões trigonométricas no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – Trigonometria no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
TEMA 02 – Relações entre seno, cosseno e Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
TEMA 03 – Resolução de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
UNIDADE II – Trigonometria na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TEMA 04 – Arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 05 – Ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TEMA 06 – Seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
TEMA 07 – Razões recíprocas do seno, cosseno e tangente e outras relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
TEMA 08 – Redução ao 1.º quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
UNIDADE III – Funções circulares e identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
TEMA 09 – Função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TEMA 10 – Função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TEMA 11 – Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
TEMA 12 – Outras funções circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 13 – Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
UNIDADE IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
TEMA 14 – Transformações: Fórmulas de adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
TEMA 15 – Arco duplo e triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
TEMA 16 – Arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
TEMA 17 – Fórmulas de transformação em produto para seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
UNIDADE V – Equações e inequações trigonométricas | Funções trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . 75
TEMA 18 – Equações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
TEMA 19 – Inequações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TEMA 20 – Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
UNIDADE VI – Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
TEMA 21 – Forma algébrica e potências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
TEMA 22 – Igualdade, soma e subtração de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
TEMA 23 – Multiplicação, conjugado e divisão de números complexos na forma algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
UNIDADE VII – Números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
TEMA 24 – Representação geométrica, módulo e argumento de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
TEMA 25 – Forma trigonométrica de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
TEMA 26 – Multiplicação e divisão com números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
TEMA 27 – Potenciação e Radiciação de números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
UNIDADE VIII – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
TEMA 28 – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
TEMA 29 – Polinômios Idênticos e Operações com polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
TEMA 30 – Divisão de Polinômios (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
TEMA 31 – Divisão de Polinômios (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
TEMA 32 – Divisão de Polinômios (parte III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
UNIDADE IX – Equaçãoes algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141TEMA 33 – Equações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 
TEMA 34 – Multiplicidade das raízes e raízes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
TEMA 35 – Raízes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 
TEMA 36 – Relações de Girard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Audemir Lima de Souza
Licenciado em Matemática – UFAM
Bacharel em Processamento de Dados – UFAM 
Especialista em Engenharia de Produção – UFAM
Dário Souza Rocha 
Licenciado e Bacharel em Matemática – UFAM
Especialista em Matemática – UFAM
Genilce Ferreira Oliveira
Licenciada em Matemática – UFAM
Especialista em Matemática – UFAM
PERFIL DOS AUTORES
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico−científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−
lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I
Razões trigonométricas no triângulo
TEMA 01
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO
1.1 Um pouco de história
As dimensões do universo sempre fascinaram
os cientistas. O astrônomo grego Aristarco de
Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi um dos pri-
meiros a calcular as distâncias entre a Terra, a
Lua e o Sol; o matemático grego Arquimedes
(287 a.C. – 212 a.C.) estimou o número de
grãos de areia necessários para preencher o
Universo conhecido até então; o físico alemão
Albert Einstein (1879–1955) avaliou o raio do
Universo, que, de acordo com seus estudos, é
finito.
O papiro de Rhind, escrito no Egito em 1650 a.
C. aproximadamente, é uma das principais fon-
tes de informação sobre a matemática egípicia.
Esse documento, constituído de um texto ma-
temático com 85 problemas, apresenta no pro-
blema 56 um dos mais antigos registros co-
nhecidos sobre trigonometria.
Na construção de pirâmides, era essencial
manter uma inclinação constante nas faces, e
pode ter sido essa preocupação que levou os
construtores a usar razões entre medidas dos
lados de triângulos, chamadas atualmente de 
razões trigonométricas.
Hoje, com o auxílio de um teodolito (instru-
mento portátil utilizado em topografia e em as-
tronomia com a finalidade de medir ângulos)
podem ser calculadas, através da trigonome-
tria, alturas de montanhas, larguras de rios,
distância entre corpos celestes, etc.
1.2 Alguns conceitos de ângulos
Ângulo é a reunião de duas semi-retas de
mesma origem, mas não contidas na mesma
reta. O ponto O é chamado de vértice, e as
semi-retas e são os lados do ângulo.
Denotaremos o ângulo pelo símbolo A^OB.
Ângulo Raso é o ângulo formado por duas
semi-retas opostas.
Ângulo de uma volta e ângulo nulo são for-
mados por duas semi-retas coincidentes.
Interior do ângulo A^OB é a intersecção de
dois semiplanos cujas origens são retas con-
correntes.
11
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
Os pontos do interior de um ângulo são pon-
tos internos ao ângulo.
Exterior de ângulo A^OB é o conjunto dos pon-
tos que não pertencem nem ao ângulo A^OB
nem ao seu interior.
Os pontos do exterior de um ângulo são pon-
tos externos ao ângulo.
Unidade de medida de ângulos
Consideraremos um ângulo raso A^OB. Divi-
dindo esse ângulo em 180 partes iguais,
chama-se ângulo de 1o (um grau) ao ângulo 
que corresponde a do ângulo raso.
Submúltiplos do grau
Dois submúltiplos do grau merecem destaque:
o minuto e o segundo.
Um minuto (1’) é igual a do grau:
Um segundo (1”) é igual a do minuto:
Dois ângulos são suplementares se, e so-
mente se, a soma de suas medidas é 180o.
Se dois ângulos são adjacentes (um lado co-
mum, mas não têm pontos internos comuns),
suplementares e têm medidas iguais, então
cada um deles é chamado de ângulo reto e
sua medida é 90o.
O ângulo que mede menos que 90o é chama-
do ângulo agudo, e o ângulo cuja medida está
entre 90o e 180o é chamado de ângulo obtuso.
Dois ângulos são complementares se, e so-
mente se, a soma de suas medidas é 90o.
1.3 Triângulo
Três pontos A, B e C, não colineares, deter-
minam três segmentos de reta: 
⎯
AB, 
⎯
BC e 
⎯
AC.
A reunião dos segmentos de reta 
⎯
AB, 
⎯
BC e 
⎯
AC
é chamado de Triângulo ABC.
Vértices: A, B e C.
Lados: 
⎯
AB, 
⎯
BC e 
⎯
AC.
Medidas dos lados: 
⎯
AB = c, 
⎯
BC = a e 
⎯
AC = b.
1.4 Razões trigonométricas no triângulo retân-
gulo 
Dado um ângulo agudo qualquer de medida α,
considere os infinitos triângulos retângulos que
possuem ângulos de medida α. Alguns desses
triângulos são:
Observe que os triângulos OAB, OCD, OEF e
OGH são semelhantes. Assim, a razão entre
dois lados quaisquer de um deles é igual à ra-
zão entre os lados correspondentes dos outros
dois, ou seja:
As constantes r1, r2 e r3 dependem exclusiva-
mente da medida α, e não das dimensões do
triângulo escolhido para obtê-las. Como os
infinitos triângulos retângulos que possuem o
ângulo agudo de medida α são semelhantes
12
UEA – Licenciatura em Matemática
entre si, as constantes r1, r2 e r3 podem ser ob-
tidas, de maneira análoga, a partir de qualquer
um deles, ou seja:
Estas razões trigonométricas r1, r2 e r3 são cha-
madas, respectivamente, de seno do ângulo
(sen α), co-seno do ângulo (cosα) e tangente
do ângulo (tg α).
Dado o triângulo retângulo abaixo:
Podemos dizer que:
Exemplos:
1. Com o auxílio de régua graduada e transfe-
ridor, calcular sen 42°, cos 42° e tg 42°.
Solução:
Construímos um ângulo de 42°: 
Traçamos uma perpendicular a um dos lados
desse ângulo e obtemos o seguinte triângulo
retângulo:
Medimos, com o auxílio da régua, os lados do
triângulo ABO. Temos: 
AB = 2,7cm; AO = 3,0cm; 
BO = 4,1cm.
Calculamos:
;
;
Nota: Com o uso da régua, cometemos, inevi-
tavelmente, erros de aproximação. Portanto os
resultados obtidos são valores aproximados.
Existem métodos mais eficientes, que calculam
esses valores com precisão desejada.2. Sabendo que sen 36° = 0,58, cos 36° = 0,80 e
tg 36° = 0,72. Calcular o valor de x em cada
figura:
a)
b) 
c)
Solução:
a) A razão trigonométrica que deve ser apli-
cada é aquela que se relaciona com os
elementos (queremos cateto oposto e te-
mos a hipotenusa). A razão é o seno.
Temos:
Logo, x = 5,8cm
13
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
b) Temos a hipotenusa e queremos encontrar
cateto adjacente ao ângulo de 36°. A razão
é o co-seno.
Logo, x = 4m
c) Temos o cateto oposto e queremos o cate-
to adjacente, ao ângulo de 36°. A razão é a
tangente.
Logo, x = 27,8km (aprox.).
3. Um engenheiro deve medir a largura de um rio.
Para isso, fixa um ponto A na margem em que
se encontra e um ponto B na margem oposta
(conforme a figura). A seguir, desloca-se 40m
perpendicularmente à reta até o ponto C e
mede o ângulo A^CB, obtendo 44°. Qual é a lar-
gura do rio? (Dados: sen 44º = 0,69, cos 44º =
0,71 e tg 44º = 0,96)
Solução:
Relacionando com ângulo de 44°, queremos
calcular o cateto oposto e temos a medida
do cateto adjacente que é 40m. A razão trigo-
nométrica que usaremos é a tangente. Logo,
temos:
A largura do rio é 38,4m.
1. Dado o triângulo ABC retângulo em A, calcule:
a) sen B^ b) cos B^
c) tg B^ d) sen C^
e) cos C^ f) tg C^
2. Calcule as razões trigonométricas seno, co-
seno, tangente dos ângulos agudos do tri-
ângulo retângulo em que um dos catetos me-
de 3 e a hipotenusa 2 .
3. Num triângulo ABC reto em A, determine as
medidas dos catetos, sabendo que a hipo-
tenusa vale 50 e .
4. Seja ABC um triângulo retângulo em A. São 
dados e hipotenusa a = 6. Calcule
os catetos b e c.
5. Sabendo que sen 28º = 0,46, cos 28º = 0,88 e
tg 28º = 0,53, calcule o valor de x na figura:
a) 
b) 
c) 
6. Um alpinista deseja calcular a altura de uma
14
UEA – Licenciatura em Matemática
encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se,
horizontalmente, 80m do pé da encosta (con-
forme a figura) e visualiza o topo sob um ângu-
lo de 55° com o plano horizontal. Calcule a
altura da encosta. (Dados: sen 55° = 0,81, cos
55° = 0,57 e tg 55° = 1,42)
7. Um teleférico deve unir os topos A e B de dois
morros. Para calcular a quantidade de cabos
de aço necessária para unir A e B, um en-
genheiro mediu as alturas dos morros em
relação a um mesmo plano horizontal, obtendo
108m e 144m. A seguir, mediu o ângulo que a
reta forma com a horizontal, obtendo 32°.
a) Desenhe na figura abaixo um esquema que
represente a situação.
b) Calcule a distância entre os pontos A e B,
sabendo que sen 32º = 0,52, cos 32º = 0,84
e tg 32º = 0,62.
8. A figura a seguir mostra um de uma circun-
ferência de centro O dividido em seis partes
congruentes. Com o auxílio do esquadro, trace
pelos pontos B, C, D, E e F as retas per-
pendiculares ao raio OA, que cruzam esse raio
nos pontos B’, C’, D’, E’ e F’, respectivamente.
b) Usando a régua graduada para medir seg-
mentos, complete as igualdades abaixo com
as medidas em centímetros (com uma casa
decimal):
OA = .......................
CC’ = .......................
DD’ = .......................
OD’ = .......................
OE’ = ....................... 
c) Considerando a medida do raio
⎯
OA como
uma unidade u, complete as igualdades
abaixo com as medidas na unidade u (com
uma casa decimal):
OA = .......................
CC’ = .......................
DD’ = .......................
OD’ = .......................
OE’ = .......................
d) Usando as medidas que você obteve, com-
plete as igualdades:
sen 30º = .......................
sen 45º = .......................
cos 45º = .......................
cols 60º = .......................
tg 45º = .......................
9. Se as medidas dos lados de um triângulo re-
tângulo estão expressas em uma mesma uni-
dade tal que a hipotenusa mede 1, complete
as sentenças de modo a torná-las verdadeiras:
a) O seno de qualquer ângulo agudo desse
triângulo é a própria medida do cateto
............... a esse ângulo.
b) O co-seno de qualquer ângulo agudo desse
triângulo é a própria medida do cateto
............... a esse ângulo.
15
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
1. (U. Católica de Salvador–BA) Na figura abaixo,
tem-se o triângulo ABC, retângulo em B, no
qual o lado 
⎯
BC = 8cm. A altura 
⎯
BH, relativa ao
vértice B, mede 4,8cm. A tangente do ângulo
B A^H é igual a:
a) b)
c) 1 d)
e)
2. (U. F. Santa Maria–RS) Num triângulo retân-
gulo, o co-seno de um ângulo é e a hipo-
tenusa mede 10cm. A soma dos catetos, em
centímetros, é:
a) 10 b) 12
c) 14 d) 16
e) 10
3. (UFRS) No triângulo retângulo da figura,
⎯
BC = 10 e cos α = 0,8. O valor de 
⎯
AB é:
a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
e) 2
4. Se os raios solares formam um ângulo α com o
solo, qual é, aproximadamente, o comprimento
da sombra de um prédio com 10m de altura?
(Dado )
a) 16,6m
b) 15,5m
c) 14,4m
d) 13,3m
e) 12,2m
5. O valor de sen 30° – cos 60° é:
a) 0
b) 1
c)
d)
e)
16
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 02
RELAÇÕES ENTRE SENO, CO-SENO E
TANGENTE
2.1 Propriedades e relação fundamental
Veremos algumas relações muito importantes
entre as razões trigonométricas estudadas.
Observe o triângulo retângulo ABC da figura
abaixo.
Temos: e
Logo, sen A = cos C
Temos ainda: e
Logo, sen C = cos A
Concluímos, então:
Se dois ângulos são complementares (soma
igual a 90°), o seno de um deles é igual ao co-
seno do outro.
Calculemos agora o valor da expressão
(sen A)2 + (cos A)2, a qual também indicamos
por sen2 A + cos2 A.
Como e temos:
sen2 A + cos2 A =
Mas a2 + c2 = b2 pelo teorema de Pitágoras. 
Portanto:
⇒ sen2 A + cos2 A = 1 
Observe que esse resultado não depende do
ângulo A^. De modo análogo, teremos para o
ângulo C^ que, sen2 C + cos2 C = 1. Então,
concluímos: 
Se x é a medida de um dos ângulos agudos de
um triângulo retângulo, temos: 
sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)
Calculemos agora o valor da tangente de um
dos ângulos agudos, por exemplo, o ângulo A^.
Temos: 
Notemos que:
Logo, (o mesmo ocorre com C^).
Então, concluímos:
Se x é a medida de um dos ângulos agudos de
um triângulo retângulo, temos:
Observação – Você verá mais adiante que as
relações acima são verdadeiras para outros
ângulos.
Exemplos:
Se α e β são as medidas dos ângulos agudos 
de um triângulo retângulo e , deter-
minar sen β, cos β, cos α, tg α e tg β.
Solução:
Como α + β = 90° , temos que sen α = cos β, 
então: .
Como sen2 α + cos2 α = 1 ⇒
.
Sabendo que cos α = sen β, temos que 
.
Calculando as tangentes, temos:
17
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
Observação – No triângulo retângulo, a hipo-
tenusa é o maior dos lados; concluímos que
para 0º < α < 90º temos:
0 < sen α < 1; 0 < cos α < 1 ; tg α > 0.
2.2 Razões trigonométricas especiais
Os valores do seno, do cosseno e da tangente
podem ser determinadas utilizando-se uma
calculadora científica ou fazendo-se uso de ta-
belas, chamadas tábuas. 
Para alguns ângulos, esses valores podem ser
determinados facilmente, conforme veremos.
a) Ângulo de 45°
Consideremos um quadrado cujo lado mede
a unidades (ver figura abaixo). O teorema
de Pitágoras fornece-nos a diagonal d:
a2 + a2 = d2 ⇒ d2 = 2a2 ⇒ d = a .
Então, no triângulo retângulo ABC, temos:
b) Ângulo de 60º
Consideremos um triângulo eqüilátero cujo
lado mede a unidades (ver figura abaixo).
Como todo triângulo eqüilátero é também
eqüiângulo, cada um de seus ângulos me-
de 60°.
Traçando a altura CH, temos que, sendo um
triângulo eqüilátero, ela será também mediana
de 
⎯
AB e bissetriz de C^.
A medida da altura será determinadaaplicando
o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
AHC:
.
Então, .
Desse modo, temos:
c) Ângulo de 30°
Como 30° + 60° = 90° (30° e 60° são com-
plementares), temos:
Observação – Os valores encontrados não de-
pendem do valor de a.
18
UEA – Licenciatura em Matemática
Essas razões trigonométricas podem ser co-
locadas numa tabela de dupla entrada:
Exemplos:
1. Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um
ângulo de inclinação de 60° (ver figura). De-
terminar a altura do foguete após 4s, supondo
a trajetória retilínea e a velocidade constante.
Solução:
Após 4s, ele percorre 4.(200m) = 800m .
Temos que: 
A altura é aproximadamente 692,8m.
2. Uma pessoa está na margem de um rio, onde
existem duas árvores (B e C na figura). Na ou-
tra margem, em frente a B, existe uma árvore A,
vista de C segundo um ângulo de 30°, com
relação a B. Se a distância de B a C é de 150m,
Qual é a largura do rio, nesse trecho?
Solução:
Temos: 
x = 50 . ⇒ x ≈ 86,7m.
2.3 Como calcular os valores das razões trigo-
nométricas com o auxílio de calculadora
científica ou da tábua trigonométrica
Vimos exemplos apenas com ângulos que co-
nhecemos os valores trigonométricos, casos
particulares (30°, 45° e 60°).
Veremos como calcular as razões trigonomé-
tricas de um ângulo agudo qualquer.
Para usar uma calculadora científica, é neces-
sário primeiramente dar uma boa lida no ma-
nual de instruções para saber quais teclas
serão utilizadas em seus cálculos.
Tenha o cuidado de verificar a unidade de me-
dida de ângulos com que a calculadora está
operando, ou seja, se o “modo” está em graus
ou não.
As calculadoras usam as seguintes teclas:
Seno – sin para encontrar o seno do ângulo
que está no visor; sin–1 para encontrar o ângu-
lo cujo seno está mostrado no visor.
Cosseno – cos para encontrar o co-seno do
ângulo que está no visor; cos–1 para encontrar
o ângulo cujo cosseno está mostrado no visor.
Exemplos:
1. Calcular sen 42°.
Solução:
Verifique se o “modo” está em DEG; se não
estiver, coloque-o. Depois digite 42 e pressione
sin. Deverá aparecer 0,6691 (aproxim.).
θ sen θ cos θ tg θ
30º
45º 1
60º
19
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
2. Sendo A^ um ângulo de um triângulo retângulo
tal que cos A^ = 0,8290, determinar quantos
graus mede o ângulo A^.
Solução: 
Verifique o “modo”, digite 0,8290 e pressione
sin–1. Aparecerá 42° (aproxim.)
Veremos como operar, no caso de não poder-
mos contar com este recurso.
Para isso, necessitamos da seguinte tábua, na
qual apareçam os senos e cossenos dos ân-
gulos de 1° a 45°.
Tábua dos senos e cossenos
Exemplos: 
1. Calcular:
a) sen 71º
b) cos 50º
Solução:
a) O ângulo de 71° não consta em nossa
tábua, pois ela só vai até 45°. Mas sen
71º = cos 19º (ângulos complementares)
Esse valor está na tábua.
Como cos 19º = 0,9455, temos que
sen 71º = 0,9455
b) O ângulo de 50° também não consta na
tábua, mas cos 50º = sen 40º e como
sen 40º = 0,6428, temos que cos 50º = 0,6428
2. Calcular tg 23º.
Solução:
Na tábua, não existe coluna referente à tan-
gente (há tábuas que possuem). No entanto
temos que: 
1. Determine o seno, o cosseno e a tangente do
maior ângulo agudo de um triângulo ABC,
onde a, b e c são as medidas dos seus lados,
nos casos:
a) a = 4cm, b = 8cm e o ângulo C^ é reto.
b) a = 4cm, b = 8cm e o ângulo B^ é reto.
2. O perímetro de um triângulo retângulo mede
264m e a hipotenusa mede 110m. Qual o seno
do menor ângulo agudo desse triângulo?
3. Um triângulo retângulo ABC é reto em B^. Sa-
be-se que tg A = 1 e que um dos catetos mede
15cm. Ache o perímetro do triângulo.
4. Sendo α e β as medidas dos ângulos agudos
de um triângulo retângulo, determine:
a) cos α, sen β, cos β, tg α e tg β, sabendo que 
.
20
UEA – Licenciatura em Matemática
b) sen α, cos α, sen β, tg α e tg β, sabendo que
.
5. Em um triângulo retângulo um ângulo agudo
mede 30°, e o lado oposto a esse ângulo mede
120m. Calcule quanto mede cada um dos ou-
tros lados.
6. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede
60m, e um dos seus ângulos mede 60°. De-
termine o perímetro desse triângulo.
7. O menor cateto de um triângulo retângulo me-
de 15cm e o maior dos ângulos agudos mede
60°. Ache a hipotenusa.
8. Utilizando a tábua de senos e co-senos, cal-
cule:
a) sen 39º b) cos 16º
c) sen 70º d) cos 85º
e) tg 47º f) tg 29º
1. Sabendo que sen 15º ≅ 0,2588, podemos dizer
que cos 75º (aprox.), é igual a:
a) 0,9659;
b) 0,3256;
c) 0,2588;
d) 0,0872;
e) nenhuma das respostas anteriores.
2. Um terreno triangular tem frentes de 6m e 8m,
em ruas que formam um ângulo de 90°. A me-
dida do terceiro lado do triângulo é igual a:
a) 9m b) 10m
c) 11m d) 12m
e) 13m
3. (CESEP–82) Num terreno de forma triangular
em que o lado maior mede 100m, o maior ân-
gulo entre os lados é 90° e um dos outros dois
ângulos é a metade do outro, seu lado menor
mede:
a) 12m
b) 33,3m
c) 17m
d) 66,6m
e) 50m
4. (COVEST–89) Um barco atravessa um rio num
trecho onde a largura é 100m seguindo uma
direção que forma um ângulo de 30° com uma
das margens. Assinale a alternativa certa para
a distância percorrida pelo barco para atra-
vessar o rio.
a) 100m
b) 200m
c) m
d) 150m
e) 250m
5. Uma rampa lisa de 20m de comprimento faz
um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma
pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se ver-
ticalmente:
a) 17m
b) 10m
c) 15m
d) 5m
e) 8m
21
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
TEMA 03
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
3.1 Introdução
Vamos estender para quaisquer triângulos as
propriedades trigonométricas aplicáveis aos
triângulos retângulos. Trataremos não só de
seus lados e tipos de ângulos, mas também de
sua área. Por tratarmos de triângulos obtusân-
gulos, apresentaremos senos e cossenos de
ângulos suplementares.
3.2 Ângulos suplementares
Os valores dos senos de dois ângulos suple-
mentares coincidem, isto é:
sen(180° – x) = sen x, sendo x a medida de um
ângulo de um triângulo.
Exemplo:
Sendo x = 45°, temos:
Logo, sen(180º – x) = sen(180º – 45) = sen 135º ⇒
Os valores dos co-senos de dois ângulos su-
plementares diferem apenas no sinal, ou seja:
cos( 180° – x) = – cos x, sendo x a medida de
um ângulo de um triângulo.
Exemplo:
Sendo x = 60°, temos:
Logo, 
cos( 180° – x) = cos( 180° – 60) = cos 120° ⇒
Observação – Para o caso particular de
x = 90°, temos sen 90° = 1 e cos 90° = 0.
3.3 Lei dos senos
Iremos aprender agora uma relação muito im-
portante, envolvendo as medidas dos lados com
os senos dos ângulos de um triângulo. Essa
relação é chamada lei dos senos.
Mostraremos que ela é verdadeira apenas quan-
do um triângulo for acutângulo. Mais adiante,
no momento oportuno, você verá como ela é
aplicada para qualquer tipo de triângulo.
Assim sendo, tomemos um triângulo acutân-
gulo ABC, no qual a, b e c são as medidas de
seus lados, e mostremos que é verdadeira a
seguinte afirmação:
(Lei dos senos)
Para isso, observe a figura a seguir. 
Traçamos a altura relativa ao lado AB.
A figura acima mostra que:
(1)
Na figura abaixo, temos o mesmo triângulo com
a altura relativa ao lado BC.
Temos que:
22
UEA – Licenciatura em Matemática
(2)
De (1) e (2), concluímos que é verdadeira a afir-
mação:
(Lei dos senos)
Exemplo:
Na figura abaixo, determinar os valores de x e y.
Solução:
Temos que α + 45° + 60° = 180°, portanto
α = 75°.
A lei dos senos permite escrever:
Nessa igualdade de três razões, podemos en-
contrar os valores das variáveis igualando duas
a duas, de forma que cada igualdade fique
apenas com uma variável.
1. Temos que: 
2. Temos também que:
Então, os lados medem: 
x ≅7,32cm e y ≅ 8,97cm.
3.4 Lei dos co-senos
Assim com a lei dos senos, a lei dos co-senos
é muito importante para determinação de la-
dos e ângulos de um triângulo.
Consideremos um triângulo acutângulo ABC e
mostremos que é verdadeira a seguinte afir-
mação:
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A
(Lei dos co-senos)
Demonstração:
No triângulo retângulo CHB, da figura abaixo,
pelo teorema de Pitágoras, temos a2 = h2 + n2,
como h = c – m, podemos escrever que
a2 = h2 + (c – m)2.
Como
Portanto, como h = b . sen A e m = b . cos A,
temos:
a2 = (b . sen A)2 + (c – b . cos A)2
a2 = b2 . sen2 A + c2 – 2 . b . c . cos A + b2 . cos2 A
. c . cos A
Dessa forma, concluímos:
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A
(Lei dos co-senos)
De modo análogo, demonstra-se que:
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos B
e
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C
Exemplo: 
Dado o triângulo ABC (ver figura), determinar
x, α e β.
23
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
Solução:
Pela lei dos cossenos, temos:
x2 = 502 + 402 – 2 . 50 . 40 . cos 60°
Substituindo cos 60° por 0,5, obtemos:
x2 = 2100, portanto x ≅ 45,83.
Aplicando a lei dos senos, temos:
.
Com o auxílio de calculadora científica ou con-
sultando a tábua trigonométrica, teremos: 
α ≅ 71°.
Como β = 180° – 60° – α, temos que:
β ≅ 180° – 60° – 71°, portanto β ≅ 49°.
3.5 Cálculo da área de um triângulo em função
das medidas de dois lados e do ângulo
compreendido por eles.
Para calcular a área do triângulo MNP, vamos
indicar por h a medida da altura relativa ao lado
⎯
NP:
Assim, a área A desse triângulo é dada por:
(I)
No triângulo MNQ, temos , ou ainda:
h = a . sen α (II)
Substituindo (II) em (I), obtemos a área do tri-
ângulo em função de a, b e α:
ou seja:
Observe que esse cálculo foi feito para α < 90°;
porém o resultado vale também para α = 90°
ou α > 90°.
Exemplo:
Determine, em centímetros quadrados, a área
do triângulo representado na figura abaixo.
Temos:
Como sen 30° = 0,5
Logo,
A = 10cm2
1. Dois lados consecutivos de um paralelogramo
medem cm e 2cm e formam entre si um ân-
gulo de 30°. Calcule a medida da maior dia-
gonal desse paralelogramo.
2. Seja ABC um triângulo isósceles tal que 
⎯
AB = 
⎯
AC = 18cm e , onde α é a medi-
da do ângulo B A^C. Sendo M o ponto médio do
lado 
⎯
AB e P o ponto de 
⎯
AC tal que 
⎯
AP = 6cm,
calcule o perímetro do quadrilátero MPCB.
3. Dois lados consecutivos de um paralelogramo
medem 5cm e 10cm e formam entre si um ân-
gulo de 120°. Calcule as medidas das diago-
nais desse polígono.
4. Um triângulo ABC está inscrito numa circun-
ferência de raio r. A medida do lado 
⎯
BC é igual
a r. Calcule a medida do ângulo A^.
5. (Vunesp) Os lados de triângulo medem 2 ,
e 3 + . Determine a medida do 
ângu-
lo oposto ao lado de medida .
24
UEA – Licenciatura em Matemática
1. (Fuvest) Um triângulo ABC é retângulo em A^.
Se o seno do ângulo B^ é 0,8, qual o valor da
tangente de C^?
a) 0,25
b) 0,50
c) 0,75
d) 1,00
e) 1,25
2. (UEPB) Com uma velocidade constante de
30km/h, um móvel parte de A e segue numa
direção que forma com a reta um ângulo
de 30°. Após 4h de percurso, a que distância o
móvel se encontra da reta ?
a) 60km
b) 60 km
c) 120km
d) 75km
e) 50km
3. (UF–PI) Um avião decola, percorrendo uma tra-
jetória retilínea, formando com o solo um ân-
gulo de 30° (suponha que a região sobrevoada
pelo avião seja plana). Depois de percorrer
1000 metros, a altura atingida pelo avião, em
metros, é:
a) 500
b) 750
c) 1000
d) 1250
e) 1500
4. (UF–CE) Sejam α e β os ângulos agudos de
um triângulo retângulo. Se sen α = sen β e se
a medida da hipotenusa é 4cm, a área desse
triângulo (em cm2) é:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 12
e) 16
5. (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um
triângulo retângulo medem 2a e 4a, respec-
tivamente, então a tangente do ângulo oposto
ao menor lado é:
a) 2
b)
c)
d)
e) 3
6. (UF–PI) Sejam e os ângulos internos de um tri-
ângulo retângulo, satisfazendo a condição
sen α = 2 sen β. Se a medida do lado oposto
ao ângulo α mede 20cm, a medida, em cen-
tímetros, do lado oposto ao ângulo β é:
a) 10 b) 20 
c) 30 d) 40
e) 50
7. (Cefet–MG) Uma escada que mede 6m está
apoiada em uma parede. Sabendo-se que ela 
forma com solo um ângulo α e que ,
a distância de seu ponto de apoio na parede
até o solo, em metros, é:
a) 4
b) 5
c) 2
d) 3
e)
8. (UF–PR) Calcule o seno do maior ângulo de um
triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros. 
a) b)
c) d)
e)
9. (Mackenzie–SP) Num retângulo de lados 1cm
e 3cm, o seno do menor ângulo formado pelas
25
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
diagonais é:
a) b)
c) d)
e)
10. (Unifor–CE) Um terreno de forma triangular tem
frentes de 10m e 20m, em ruas que formam,
entre si, um ângulo de 120°. A medida do ter-
ceiro lado do terreno, em metros, é:
a) 10
b) 10
c) 10
d) 26
e) 20
11. (Unifor–CE) As medidas de dois lados conse-
cutivos de um paralelogramo são x cm e x
cm, e a diagonal maior tem medida 2xcm.
Então, a medida da outra diagonal, em cen-
tímetros, é igual a:
a) x
b) x
c) x
d) x
e) x
12. (U.F.Ouro Preto–MG) Um ciclista de uma prova
de resistência deve percorrer 500km em torno
de uma pista circular de raio 200m. O número
aproximado de voltas que ele deve dar é:
a) 100 b) 200
c) 300 d) 400
e) 500
13. (UFAM) A medida do menor ângulo central for-
mado pelos ponteiros de um relógio que está
marcando 10h30min, em graus, é:
a) 150 b) 120
c) 105 d) 135
e) 115
14. (PUC–MG) Ao mesmo tempo em que anda em
uma pista, um menino acompanha e faz girar
um pneu circular cujo diâmetro mede 1m. Quan-
do o pneu tiver dado 100 voltas, o menino terá
percorrido aproximadamente: 
a) 156m
b) 314m
c) 412m
d) 628m
e) n.d.a.
15. (UF–CE) Um relógio marca que faltam 15 minu-
tos para as 2 horas. Então, o menor dos dois
ângulos formados pelos ponteiros das horas e
dos minutos mede:
a) 142°30’
b) 150°
c) 157°30’
d) 135°
e) 127°30’
26
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE II
Trigonometria na Circunferência
TEMA 04
ARCOS E ÂNGULOS 
4.1 Introdução
Trabalhamos com várias relações envolvendo
as medidas de lados e ângulos de um triân-
gulo. Entre as relações estudadas, estavam as
razões trigonométricas de ângulos agudos: se-
no, cosseno e tangente.
O ramo da matemática que estuda esses tipos
de relações é chamado trigonometria (do gre-
go trígonon, triângulo, e metria, medição, ato
de medir). O vocábulo foi criado em 1595, pelo
matemático alemão Bartholomäus Pitiscus
(1561-1613).
Nesta unidade, prepararemos o terreno para o
estudo das funções trigonométricas. Essas fun-
ções são muito importantes, pois inúmeros
fenômenos que ocorrem em nossa volta são
descritos por funções desse tipo. Por exemplo,
ocorre com a eletricidade, com as ondas so-
noras, com os estudos topográficos, etc.
4.2 Arcos e ângulos
Se um ponto móvel em uma circunferência par-
tir de A e parar em M, ele descreve um arco
. O ponto A é a origem do arco, e M é a
extremidade do arco. 
Quando escolhemos um dos sentidos de per-
curso, o arco é denominado arco orientado e
simplesmente pode ser denotado por se o
sentido de percurso for de A para B e quan-
do o sentido de percurso for de B para A. 
Quando não consideramos a orientação dos
arcos formados por dois pontos A e B sobre
uma circunferência, temos dois arcos não- ori-
entados sendo A e B as suas extremidades.
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita
por comparação com um outro arco da mesma
circunferência tomado como a unidade de
arco. Se u for um arco de comprimento unitário(igual a 1), a medida do arco é o número
de vezes que o arco u cabe no arco .
Na figura abaixo, a medida do arco é 5
vezes a medida do arco u. Denotando a me-
dida do arco por m( ) e a medida do
arco u por m(u), temos m( )=5 m(u)
A medida de um arco de circunferência é a
mesma em qualquer um dos sentidos. A medi-
da algébrica de um arco AB desta circunfe-
rência é o comprimento deste arco, associado
a um sinal positivo se o sentido de A para B for
anti-horário, e negativo se o sentido for horário.
O número pi
Para toda circunferência, a razão entre o perí-
metro e o diâmetro é constante. Esta constante
é denotada pela letra grega , que é um número
irracional, isto é, não pode ser expresso como
a divisão de dois números inteiros. Uma apro-
ximação para o número é dada por:
π = 3,141592653589793238462643383...
Unidades de Medidas de arco
A unidade de medida de arco do Sistema In-
ternacional (SI) é o radiano, mas existem ou-
tras medidas utilizadas pelos técnicos que são
o grau e o grado. Este último não é muito usa-
do, por isso não falaremos sobre ele..
Radiano – Medida de um arco que tem o mes-
mo comprimento que o raio da circunferência
na qual estamos medindo o arco. Assim, o arco
tomado como unidade tem comprimento igual
ao comprimento do raio ou 1 radiano, que de-
notaremos por 1 rad.
29
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
30
UEA – Licenciatura em Matemática
Grau – Medida de um arco que corresponde a 
do arco completo da circunferência na
qual estamos medindo o arco. Portanto a cir-
cunferência tem 360°.
Podemos estabelecer os resultados seguintes:
Podemos expressar esse arco por: 90° ou .
Temos a metade da circunferência que cor-
responde a 180° ou π rad
Corresponde 270° ou rad.
Temos uma volta completa na circunferência,
que corresponde 360° ou 2πrad.
Observação: 0° = 0 rad.
O grau tem seus submúltiplos. Sabemos que: 
1° = 60’ e que 1’ = 60”.
Faremos algumas operações com medidas em
graus, minutos e segundos.
Adição
Na adição de duas medidas em graus, minu-
tos e segundos, somamos separadamente, os
graus, os minutos e os segundos.
Exemplos:
1. Efetuar: 32°45’17” + 26°36’50”
Solução:
Como 60”= 1’, podemos escrever 67’ = 1’7”. 
Logo, 58° 82’ 67” = 58° 82’ 7”
Temos, ainda, que 60’ = 1°, o que nos permite
escrever 82’ = 1°22’.
Logo, 58° 81’ 7” = 28° 22’ 7”
Subtração:
2. Efetuar: 53° 26’ 17” – 53° 34’ 15”
Solução:
3. Considerando-se um relógio com ponteiro das
horas e dos minutos, calcular:
a) O deslocamento do ponteiro das horas em
1 hora.
b) O deslocamento do ponteiro das horas em
1 minuto.
c) O deslocamento do ponteiro dos minutos
em 1 hora.
d) O deslocamento do ponteiro dos minutos
em 1 minuto.
e) O menor arco determinado pelos ponteiros
quando for 3h10min.
31
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
Solução:
a) Veja o que ocorre, por exemplo, das 3h às
4h.
O mostrador está dividido em 12 partes
iguais; para cada hora, corresponderá um
deslocamento de 360 dividido por 12, ou
seja, em 1 hora o ponteiro das horas deslo-
ca-se 30°.
b) Sabemos que em 1 hora (60 min) o ponteiro
das horas se desloca 30°. Efetuamos,
então, uma regra de três simples e direta:
Tempos (min) Deslocamento (graus)
60 → 30
1 → x
Temos que: 
Então, em cada minuto o ponteiro das ho-
ras desloca-se 0,5°.
c) Em 1 hora, o ponteiro dos minutos dá uma
volta completa, ou seja, o deslocamento é
de 360°.
d) Em 1 hora (60 min), o ponteiro dos minutos
se desloca 360°. Temos a regra de três sim-
ples e direta:
Tempos (min) Deslocamento (graus)
60 → 360
1 → x
Temos que:
Então, em cada minuto o ponteiro dos mi-
nutos desloca-se 6°.
d) Vamos analisar o que ocorre desde as 3h
até 3h10min.
Às 3h, o arco das horas era de 3 . 30, ou
seja 90°.
Nos 10min, o ponteiro das horas deslocou-
se 10 . 0,5º grau, ou seja, 5° (aumentou o
arco).
Nos mesmos 10min, o ponteiro dos minutos
deslocou-se 10 . 6°, ou seja, 60°. Para
encontrarmos o arco procurado, efetuamos
uma subtração do percurso feito pelo pon-
teiros das horas com o percurso feito pelo
ponteiro dos minutos.
Temos: (90° + 5°) – 60° = 35°
Então, o menor arco às 3h10min mede 35°.
Conversão de Graus para radiano e vice-
versa.
Dado um arco em graus, para conhecermos
seu valor em radianos, ou vice-versa, usaremos
a relação (considerada mais simples):
180° - - - - - - - - π rad
Exemplos: 
1. Para determinar a medida em radianos de um
arco de medida 60 graus, fazemos:
Solução:
180° - - - - - - - - π rad
60° - - - - - - - - - x
Como é uma regra de três simples e direta,
podemos escrever:
rad.
2. Determinar a medida em graus de um arco de
medida 1 radiano.
Solução:
180° - - - - - - - - π rad
x - - - - - - - - - - 1 rad
32
UEA – Licenciatura em Matemática
Temos que:
(como π ≅ 3,14), x ≅ 57,32° 
4.3 Medida de um ângulo central
Um ângulo, com vértice no centro de uma cir-
cunferência, é chamado de ângulo central.
A figura abaixo mostra o ângulo central A^OB.
O número que exprime a medida de um ângu-
lo A^OB (central) é o mesmo que exprime a
medida do arco . Assim, se a medida do
arco for em graus, o ângulo terá sua medida
em graus; se a medida do arco for em radianos,
o ângulo terá sua medida em radianos.
Exemplos:
1. A circunferência abaixo tem 8cm de raio. Um
inseto parte do ponto A e anda sobre ela até o
ponto B. Sabendo que a medida do ângulo
central A^OB é 60°, determinar quantos cen-
tímetros andou o inseto.
Solução:
Lembrando que o comprimento da circunfe-
rência é C = 2 . π . r e que o raio r = 8cm, te-
mos a seguinte regra de três simples:
Ângulo central comprimento do arco
360° ----------------------------------- 2 . π . 8
60° ----------------------------------- x
Então: 
O inseto andou aproximadamente 8,37cm.
2. Numa circunferência que tem 28cm de diâme-
tro, um arco tem 12cm de comprimento. Qual
é a medida (em rad) do ângulo central corre-
spondente?
Solução:
Se o diâmetro mede 28cm, então o raio mede
14cm. Temos a seguinte regra de três simples
e direta:
Ângulo central (rad) Comprimento do arco (cm)
2 . π 2 . π . 14
x 12
Temos que: 
Portanto o ângulo central mede aproximada-
mente 0,86rad.
3. Determinar quanto mede o raio de uma circun-
ferência, sabendo que um arco que mede 
10cm corresponde a um ângulo central de
radianos.
Solução:
Ângulo central (rad) Comprimento do arco (cm)
2 . π 2 . π . r
10
Temos que: 
Portanto o raio da circunferência mede 12cm.
1. Efetue:
a) 50º 35’ 40” + 27º 30’ 35”
b) 30º – 23º 7’ 30”
33
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
2. Exprima em radianos:
a) 60° c) 270°
b) 120° d) 330°
3. Usando π = 3,14, determine:
a) O comprimento de um arco de circunferên-
cia (em cm), sabendo que ela tem 12cm de
raio, e o ângulo central correspondente mede
20°.
b) O ângulo central (em rad) correspondente a
um arco de 15cm de comprimento, saben-
do que ela tem raio de 20cm. 
c) A medida do raio de uma circunferência (em
cm), sabendo que nela um ângulo central
de 15° corresponde a um arco de 30cm. 
4. A roda dianteira de uma bicicíeta tem 40cm de
raio. 
a) Quantos metros ela percorre ao dar 5000
voltas? 
b) Quantas voltas ela deve dar para percorrer
9420m? 
5. Quando Pedrinho comprou sua bicicleta, o
pneu era bem borrachudo e tinha 35cm de
raio. Nessa época, para ir de sua casa à esco-
la, o pneu girava 345 vezes. Depois de muito
uso, o pneu ficou “careca”, tendo perdido 0,5
cm de sua casca. Quantas vezes a roda da
bicicleta deverá girar para fazer o mesmo traje-
to, agora com pneu “careca”? (Usar π = 3,14)
6. Numa pista de autorama, uma curvatem 60cm
e é arco de uma circunferência. Se o ângulo 
central correspondente é de , determine
o raio da circunferência. 
1. (Fesp–SP) A medida em radianos de uma arco
de 12° é:
a) b)
c) d)
e)
2. O ângulo agudo formado pelos ponteiros de
um relógio quando ele marca 1h20min é:
a) 120° 
b) 110° 
c) 100° 
d) 90° 
e) 80°
3. (UFPI) Supondo que o movimento dos ponteiros
de um relógio seja contínuo (não aos saltos), o
ângulo que esses ponteiros formam quando o
relógio marca 11 horas e 45 minutos é:
a) 60°30’
b) 72°
c) 60°
d) 82°30’
e) 85°
4. (Faap–SP) Dois ciclistas percorrem, no mesmo
sentido, uma pista circular de 50 metros de diâ-
metro. A cada volta, o primeiro percorre 2,5m a
mais do que o segundo. Supondo que man-
tenham o mesmo ritmo, o primeiro ciclista terá
percorrido 1 radiano a mais do que o segundo
após:
a) 20 voltas;
b) 15 voltas;
c) 10 voltas;
d) 5 voltas;
e) 2,5 voltas.
TEMA 05
CICLO TRIGONOMÉTRICO
5.1 Noções gerais
Considere uma circunferência de raio unitário
com centro na origem de um sistema carte-
siano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto A
será tomado como a origem dos arcos orien-
tados nessa circunferência, e o sentido posi-
tivo considerado será o anti-horário. A região
contendo essa circunferência e todos os seus
pontos interiores é denominada círculo trigo-
nométrico.
Nos livros de língua inglesa, a palavra “círculo”
refere-se à curva envolvente da região circular,
enquanto circunferência de círculo é a medida
dessa curva. No Brasil, a circunferência é a
curva que envolve a região circular.
Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigo-
nométrico em quatro quadrantes, que são enu-
merados como segue:
1.° Quadrante – abscissa: positiva; ordenada:
positiva; 0° < ângulo < 90°
2.° Quadrante – abscissa: negativa; ordenada:
positiva; 90° < ângulo < 180°
3.° Quadrante – abscissa: negativa; ordenada:
negativa; 180° < ângulo < 270°
4.° Quadrante – abscissa: positiva; ordenada:
negativa; 270° < ângulo < 360°
Os quadrantes são usados para localizar pon-
tos e a caracterização de ângulos trigonomé-
tricos. Por convenção, os pontos situados so-
bre os eixos não pertencem a qualquer um dos
quadrantes.
5.2 Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos
considerar arcos cujas medidas sejam maiores
do que 360°. Por exemplo, se um ponto móvel
parte de um ponto A sobre uma circunferência
no sentido anti-horário e para em um ponto M,
ele descreve um arco . A medida desse
arco (em graus) poderá ser menor ou igual a
360° ou ser maior do que 360°. Se essa medi-
da for menor ou igual a 360°, dizemos que esse
arco está em sua primeira determinação.
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer
a circunferência uma ou mais vezes em um
determinado sentido, antes de parar no ponto
M, determinando arcos maiores do que 360°
ou arcos com mais de uma volta. Existe uma
infinidade de arcos mas com medidas diferen-
tes, cuja origem é o ponto A e cuja extremi-
dade é o ponto M.
Seja o arco , cuja primeira determinação
tenha medida igual a m. Um ponto móvel que
parta de A e pare em M pode ter várias me-
didas algébricas, dependendo do percurso.
34
UEA – Licenciatura em Matemática
34
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da
circunferência trigonométrica será extremidade
de uma infinidade de arcos positivos de medi-
das algébricas.
m, m + 2π, m + 4π, m + 6π...
Se o sentido for o horário, o ponto M será
extremidade de uma infinidade de arcos nega-
tivos de medidas algébricas.
m – 2π, m – 4π, m – 6π...
Temos, assim, uma coleção infinita de arcos com
extremidade no ponto M. 
Generalizando esse conceito, se m é a medida
da primeira determinação positiva do arco AM,
podemos representar as medidas desses arcos
por: µ( ) = m + 2 . k . π, onde k é um
número inteiro.
Família de arcos – Uma família de arcos { }
é o conjunto de todos os arcos com ponto ini-
cial em A e extremidade em M.
Exemplo:
Se um arco de circunferência tem origem em A
e extremidade em M, com a primeira determi-
nação positiva medindo , então os arcos
desta família { }, medem:
Determinações positivas:
k = 0
k = 1
k = 2
k = 3
...
...
k = n
Determinações negativas:
k = –1
k = –2
k = –3
k = –4
...
...
k = –n 
5.3 Arcos côngruos e ângulos
Arcos côngruos – Dois arcos são côngruos se
a diferença de suas medidas é um múltiplo de
2π.
Exemplo: Arcos de uma mesma família são
arcos côngruos.
Ângulos – As noções de orientação e medida
algébrica de arcos podem ser estendidas para
ângulos, uma vez que cada arco da cir-
cunferência trigonométrica corresponde a um
ângulo central determinado pelas semi-retas
→
OA e 
→
OM.
Como no caso dos arcos, podemos considerar
dois ângulos orientados: um positivo (sentido
anti-horário) com medida algébrica a corres-
pondente ao arco e outro negativo (sen-
tido horário) com medida b = a – 2π corres-
pondente ao arco .
Existem também ângulos com mais de uma
volta, e as mesmas noções apresentadas para
arcos aplicam-se para ângulos.
5.4 Arcos de mesma origem, simétricos em
relação ao eixo OX.
Sejam os arcos e na circunferência
trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e
M' simétricos em relação ao eixo horizontal OX.
Se a medida do arco é igual a m, então a
medida do arco é dada por:
µ( ) = 2π – m.
35
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
5.5 Arcos de mesma origem, simétricos em
relação ao eixo OY.
Sejam os arcos e na circunferência
trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M'
simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a
medida do arco for igual a m, então a
medida do arco será dada pela expressão 
µ( ) = π – m.
Os arcos da família { }, isto é, aqueles com
origem em A e extremidade em M', medem: 
µ( )= 2kπ + π – m = (2k + 1)π – m, em que
k é um número inteiro.
5.6 Arcos de mesma origem, simétricos em
relação à origem.
Sejam os arcos e na circunferência
trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M'
simétricos em relação a origem (0,0).
Se a medida do arco é igual a m, então a
medida do arco é dada por: 
µ( )= π + m. 
Arcos genéricos com origem em A e extremi-
dade em M' medem:
µ( )= 2kπ + π + m = (2k + 1)π + m
Exemplos:
1. Obter a primeira determinação positiva dos
arcos cujas medidas são:
a) 125° b) 1250° 
c) d) 380°30’
Solução:
a) 125°
Como 0° < 125° < 360°, então a primeira
determinação positiva é 125°.
b) 1250°
Observando que cada 360° corresponde a
uma volta no ciclo, temos que:
portanto 1250º = 3 . 360 + 170º.
Então, a primeira determinação positiva é 170°.
c)
Lembrando que cada 2π rad corresponde a
uma volta no ciclo, temos: 
assim sendo, a primeira determinação po-
sitiva é .
c) 380°30’
Temos que:
Então, a primeira determinação positiva é
20°30’.
2. Calcular a primeira determinação positiva, e a
primeira determinação negativa dos arcos cujas
medidas são:
a) –45° b) 400° 
c) –800° d)
Solução:
a) –45°
Essa é a primeira determinação negativa.
Como a primeira determinação negativa do
arco trigonométrico µ(AM) = m + k . 360º,
com k ∈ , ocorre quando k = –1, temos
que: 
–45º = m – 1 . 360 ⇒ m = 360º – 45º = 315º
36
UEA – Licenciatura em Matemática
Então a primeira determinação positiva é 315°
e a primeira determinação negativa é –45°. 
Veja a ilustração: 
b) 400°
Temos que 400° = 360° + 40°.
Assim sendo, a primeira determinação posi-
tiva é 40°.
O arco trigonométrico é, portanto: 
µ(AM) = 40° + k . 360º, com k ∈ ,
Como a primeira determinação negativa
ocorre quando k = –1, temos:
m = 40° – 360° = –320°
Dessa forma, concluímos que a primeira
determinação positiva é 40° e a primeira
determinação negativa é –320°.
Veja a ilustração:c) –800°
Note que cada -360° corresponde a uma
volta no ciclo, dada no sentido negativo.
Então: 
Assim, a primeira determinação negativa é
–80°. 
Como no arco trigonométrico µ(AM) = m +
k . 360º, com k ∈ , a primeira determi-
nação negativa ocorre quando k = –1,
temos: 
–80° = m – 360° ⇒ m = 360° – 80° = 280°
d)
Como cada –2π rad corresponde a uma
volta no ciclo, dada no sentido negativo,
temos que: 
Assim, é a primeira determinação
negativa. Como no arco trigonométrico
µ(AM) = 40° + k . 2π, com k ∈ , a primei-
ra determinação negativa ocorre quando k
= –1, temos: 
concluí-
mos que a primeira determinação 
positiva é e a primeira determinação 
negativa é .
1. Dê a primeira determinação positiva e a primei-
ra dos arcos cujas medidas são:
a) 54°
c)
b) 840° 
d)
2. Calcule a primeira determinação negativa dos
arcos cujas medidas são:
a) 64° 
b) 540°24’ 
c)
d)
3. Obtenha a primeira determinação positiva e a
primeira determinação negativa dos arcos de
medidas:
37
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
a) –100° 
b) –800°
c)
d)
4. No arco trigonométrico µ = m + 2 . k . π, k ∈ ,
calcule:
a) a primeira determinação negativa, se a pri-
meira determinação positiva for .
b) a primeira determinação positiva primeira
determinação negativa for .
5. No arco trigonométrico µ = m + 2 . k . π, k ∈ ,
calcule:
a) a primeira determinação negativa, se a pri-
meira determinação positiva for 145°.
b) a primeira determinação positiva, se a pri-
meira determinação negativa for –240°.
TEMA 06
SENO, COSSENO E TANGENTE
6.1 Seno e co-seno
Dada uma circunferência trigonométrica con-
tendo o ponto A=(1,0) e um número real x,
existe sempre um arco orientado sobre
essa circunferência, cuja medida algébrica cor-
responde a x radianos. 
Seno – No plano cartesiano, consideremos
uma circunferência trigonométrica, de centro
em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto
dessa circunferência, localizado no primeiro
quadrante; este ponto determina um arco 
que corresponde ao ângulo central a. A proje-
ção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX
determina um ponto C=(x',0) e a projeção or-
togonal do ponto M sobre o eixo OY determina
outro ponto B=(0,y').
A medida do segmento 
⎯
OB coincide com a or-
denada y' do ponto M e é definida como o seno
do arco que corresponde ao ângulo a,
denotado por sen( ) ou sen(a).
Como temos várias determinações para o mes-
mo ângulo, escreveremos:
sen( ) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y’
Para simplificar os enunciados e as definições
seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o
seno do arco de medida x radianos.
Cosseno
Como antes, existem várias determinações para
38
UEA – Licenciatura em Matemática
este ângulo, razão pela qual, escrevemos:
cos( ) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x’
6.2 Tangente
Seja a reta t tangente à circunferência trigo-
nométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpen-
dicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto
M e pelo centro da circunferência intercepta a
reta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada
deste ponto T é definida como a tangente do
arco correspondente ao ângulo a.
Assim, a tangente do ângulo a é dada pelas
suas várias determinações:
tg( ) = tg(a) = tg(a + kπ) = t’
6.3 Ângulos no segundo quadrante
Arcos no primeiro quadrante
Podemos escrever M = ((cos a), (sen a)) e
T = (1, tag(a)), para cada ângulo a do primeiro
quadrante. O seno, o cosseno e a tangente
de ângulos do primeiro quadrante são todos
positivos.
Um caso particular importante é quando o pon-
to M está sobre o eixo horizontal OX. Nesse
caso:
cos(0)=1, sen(0) = 0 e tg(0) = 0
Ampliaremos essas noções para ângulos nos
outros quadrantes.
6.4 Arcos no segundo quadrante
Se, na circunferência trigonométrica, tomamos
o ponto M no segundo quadrante, então o ân-
gulo a entre o eixo OX e o segmento 
⎯
OM
pertence ao intervalo . Do mesmo 
modo que no primeiro quadrante, o co-seno
está relacionado com a abscissa do ponto M e
o seno com a ordenada deste ponto. Como o
ponto M = (x, y) possui abscissa negativa e
ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a
no segundo quadrante é positivo, o co-seno
do ângulo a é negativo e a tangente do ângu-
lo a é negativa.
Outro caso particular importante é quando o
ponto M está sobre o eixo vertical OY ( ) e
neste caso:
, e
6.5 Arcos no terceiro quadrante
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro
quadrante, o que significa que o ângulo per-
tence ao intervalo: . Este ponto
M = (x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do
primeiro quadrante, em relação à origem do
sistema, indicando que tanto a sua abscissa
qaunto a sua ordenada são negativos. O seno
e o co-seno de um ângulo no terceiro qua-
drante são negativos, e a tangente é positiva.
Em particular, se a = π radianos, temos que: 
cos π = –1, sen π = 0 e tg π = 0
6.6 Arcos no quarto quadrante.
O ponto M está no quarto quadrante,
. O seno de ângulos no quarto
39
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
quadrante é negativo, o cosseno é positivo
e a tangente é negativa.
Quando o ângulo mede , a tangente não
está definida, pois a reta não intercepta a
reta t, estas são paralelas. Quando ,
temos:
, 
6.7 Simetria em relação ao OX e OY
Em uma circunferência trigonométrica, se M é
um ponto no primeiro quadrante e M' o simé-
trico de M em relação ao eixo OX, estes pontos
M e M' possuem a mesma abscissa e as orde-
nadas possuem sinais opostos.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o
ângulo correspondente ao arco e b o ân-
gulo correspondente ao arco , obtemos:
sen(b) = –sen(a)
cos(b) = cos(a)
tg(b) = –tg(a)
Seja M um ponto da circunferência trigonomé-
trica localizado no primeiro quadrante, e seja
M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes
pontos M e M' possuem a mesma ordenada, e
as abscissa são simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o
ângulo correspondente ao arco e b o ân-
gulo correspondente ao arco . Desse mo-
do:
sen(b) = sen(a)
cos(b) = –cos(a)
tg(b) = –tg(a)
6.8 Simetría em relação à origem.
Seja M um ponto da circunferência trigonomé-
trica localizado no primeiro quadrante, e seja
M’ simétrico de M em relação à origem; estes
pontos M e M' possuem ordenadas e abscis-
sas simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o
ângulo correspondente ao arco e b o ân-
gulo correspondente ao arco . Desse modo:
sen(b) = –sen(a)
cos(b) = –cos(a)
tg(b) = tg(a)
6.9 Seno e co-seno de ângulos notáveis
Uma maneira de obter o valor do seno e co-
seno de alguns ângulos que aparecem com
muita frequência em exercícios e aplicações,
sem necessidade de memorização, é por
meio de simples observação no círculo
trigonométrico.
40
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1. Calcule as expressões:
a)
b)
2. Sabendo que , qual é o valor do
seno de:
a) b)
3. Calcule as expressões:
a)
b)
4. Sabendo que , qual é o valor do co-
seno de:
a) b)
5. Qual é o sinal de cada uma das expressões:
a) y1 = sen 45º + cos 45º
b)
6. Calcule as expressões:
a)
b)
7. Sabendo que , qual é o valor da 
tangente de:
a)
b)
41
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
TEMA 07
RAZÕES RECÍPROCAS DO SENO, CO-
SENO, DA TANGENTE E OUTRAS
RELAÇÕES.
7.1 Cotangente, secante e cossecante de um
arco trigonométrico
Essas três novas relações têm relativa impor-
tância na trigonometria, pois sempre que exi-
gidas podem ser substituídas por expressões
em seno, cosseno e tangente.
Indicamos a cotangente de um arco α, a se-
cante de α e a cossecante de α pelos símbo-
los cotg α, sec α e cosec α, respectivamente.
Definições:, para sen α ≠ 0;
, para cos α ≠ 0;
, para sen α ≠ 0;
Observe, pela definição de cotg α, que, se
além de sen α ≠ 0 tivermos também cos ≠ 0,
então:
Exemplos:
1. Calcular:
a) cotg 30º
b) sec 180º
c) cosec 90º
Solução:
a)
b)
c)
7.2 Relações entre as razões trigonométricas
A figura abaixo mostra um ciclo trigonométrico,
no qual foi destacado um arco que mede
x rad.
O triângulo retângulo OMM1 fornece-nos:
Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos a
relação fundamental:
sen2 x + cos2 x = 1 
Analisando agora, o triângulo retângulo OAT
fornece-nos:
Os triângulos OMM1 e OAT são semelhantes,
pois possuem ângulos de mesma medida. As-
sim sendo, seus lados homólogos são propor-
cionais. Portanto:
42
UEA – Licenciatura em Matemática
, esta relação é verdadeira
para todo x tal que cos ≠ 0.
Sabendo, portanto, que OT = sec x, temos:
Aplicando teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo OAT, encontramos:
1 + tg2 x = sec2 x
A relação acima é verdadeira sempre que as
razões envolvidas existam, ou seja, quando M
não coincidir com B ou com B1.
Além disso, temos:
.
Logo, 1 + cotg2 x = cos sec2 x
Relações desse tipo, que fornecem sentenças
numéricas verdadeiras para qualquer valor de
x, são chamadas de identidades.
Exemplos:
1. Sabendo que , com , deter-
mine:
a) cos α
b) tg α
c) sec α
Solução:
a) cos α = ?
Temos que :
Como x é do 2.o quadrante, o valor do co-
seno é negativo.
Portanto: .
b) tg α =?
Temos que:
2. Sendo tg x = com , determinar
cos x.
Solução:
Temos que 1 + tg2 x = sec2 x.
Então: 1 + ( )2 = sec2 x = 1 + 2 + 3 ⇒
Como o co-seno é negativo no 3.º quadrante, 
temos: 
1. Calcule as expressões:
a)
b)
2. Sabendo que , qual é o valor da
co-tangente de:
a) b)
3. Sabendo que , qual é o valor da se-
cante de:
a)
b)
43
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
4. Qual é o sinal de cada uma das expressões:
a) y1 = sec 269º + sen 178º
b)
5. Sabendo que , qual é o valor
da secante de:
a)
b)
6. Qual é o sinal de cada uma das expressões:
a) y1 = cos91º + cosec 91º
b) y2 = sen 107º + sec 107º
TEMA 08
REDUÇÃO AO 1.º QUADRANTE
Vamos deduzir fórmulas para calcular as ra-
zões trigonométricas de x, com x não perten-
cente ao 1.o Quadrante, relacionando com al-
gum elemento do 1.o quadrante. A meta é ficar
conhecendo sen x, cos x e tg x a partir de uma
tabela que dê as razões circulares dos reais 
entre .
8.1 Redução do 2.o ao 1.o quadrante
Dado o número real x tal que , seja P
a imagem de x no ciclo (ou seja, = x). Seja
P’ o ponto do ciclo, simétrico de P em relação
ao eixo dos senos.
Temos:
+ ’ = π (no sentido anti-horário) e,
como = ’, vem: + ’ = π, portan-
to ’ = π – x.
Podemos concluir que:
sen x = sen(π – x)
cos x = –cos(π – x)
Levando em conta as relações fundamentais,
também temos que:
cot gx = –cot g (π – x)
sec x = –sec(π – x)
cosec x = cosec(π – x)
Exemplos:
sen 115º = sen(180º – 115º) = sen 65º
cos 120º = –cos(180º – 120º) = –cos 60º
44
UEA – Licenciatura em Matemática
8.2 Redução do 3.o ao 1.o quadrante
Dado o número real x tal que , seja P
a imagem de x no ciclo (ou seja, = x). Seja
P’ o ponto do ciclo, simétrico de P em relação
ao centro.
Temos:
– ’ = π (no sentido anti-horário), por-
tanto ’ = x – π.
Podemos concluir que:
sen x = –sen(x – π)
cos x = –cos(x – π)
Em conseqüência, temos:
cotgx = cotg(x – π)
sec x = –sec(x – π)
cosec x = –cosec(x – π)
Exemplos:
sen 115º = sen(180º – 115º) = sen 65º
cos 225º = –cos(225º – 180º) = –cos 45º
8.3 Redução do 4.o ao 1.o quadrante
Dado o número real x tal que , seja
P a imagem de x no ciclo (ou seja, AP = x).
Seja P’ o ponto do ciclo, simétrico de P em
relação ao eixo dos co-senos.
Temos:
+ ’ = 2π (no sentido anti-horário) e,
como ’ = , vem: + = 2π, por-
tanto ’ = 2π – x.
Podemos concluir que:
sen x = –sen(2π – x)
cos x = cos(2π – x)
Em conseqüência, temos:
cotgx = –cotg(2π – x)
sec x = sec(2π – x)
cosec x = –cosec(2π – x)
Exemplos:
sen 280º = –sen(360º – 280º) = –sen 80º
cos 340º = cos(360º – 3400º) = cos 20º
8.4 Redução de a
Dado o número real x tal que , seja P
a imagem de x no ciclo (ou seja, AP = x). Seja
P’ o ponto do ciclo, simétrico de P em relação
à bissetriz do 1.o quadrante. 
45
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
Temos: (no sentido anti-horário) e,
como = ’, vem: , então 
.
Considerando a congruência de triângulos
OPP2 e OP’P’1 , temos:
Em conseqüência, temos:
Exemplos:
sen 71º = cos(90º – 71º) = cos 19º
cos 60º = sen(90º – 60º) = sen 30º
tg 50º = cotg(90º – 50º) = cotg 40º
1. Reduza ao intervalo .
a) sen 261º b)
c) d)
e)
2. Sabendo que e , calcule:
a) cos x b)
c) d)
e) f)
g)
3. Calcule:
01. (Cefet–MG) Os valores de x, de modo que a ex-
pressão exista, são:
a) –1 ≤ x ≤ 1
b) –2 ≤ x ≤ 2
c) –1 ≤ x ≤ 2
d) 1 ≤ x ≤ 2
e) 1 ≤ x ≤ –1 ou 1 ≤ x ≤ 2
02. (EU–CE) Se ,
então n2 + 1 é igual a:
a) 2
b)
c) 4
d)
e) 5
03. (Unifor–CE) Sendo e ,
conclui-se que, dos intervalos abaixo, o único
ao qual x pode pertencer é:
46
UEA – Licenciatura em Matemática
a)
b)
c)
d)
e) n.d.a.
04. (UFAM) A área do triângulo mostrado a seguir
é: (sendo )
a)
b) 3
c) 12
d)
e) 4
05. (unifor–CE) O valor de tg 150º + 2 sen 120º – cos
330º é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
06. (UF–AM) Quando simplificamos a expressão 
, obtemos:
a) 2 sec x
b) 2 cosec x
c) 2 sec2 x
d) 2 cos x
e) cos x
7. (FMU/Fiam/Faam–SP) Sabendo que tg α = 2e
que α é um arco do 3º quadrante, sen α vale:
a) b)
c) – d)
e) –
8. (Ucsal–BA) Se x e y são números reais tais que 
, então y é igual a:
a) 2 . sec x . tg x
b) 2 . sen x . cos x
c) 2 . cos2 x
d) 2 . sec x
e) sen x
47
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
UNIDADE III
Funções Circulares e Identidades
51
Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades
TEMA 09
FUNÇÃO SENO
9.1 Introdução
Vamos estudar as seis razões trigonométricas
do ponto de vista das funções. Para um bom
entendimento, devemos ter um conhecimento
razoável das definições e propriedades que ca-
racterizam essa teoria.
9.2 Conceito de função
Dados dois conjuntos A e B, diferentes do con-
junto vazio, uma função ƒ, de A em B, é uma
correspondência que associa a cada elemento
de A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado domínio de ƒ; o
conjunto B é denominado contradomínio de
ƒ; se x é um elemento qualquer de A, então o
único y de B, associado a x, é denominado
imagem de x pela função ƒ e é indicado por
y = ƒ(x).
O conjunto de todos os elementos de B que
são imagem de alguns elementos de A é de-
nominado conjunto imagem de ƒ e é indicado
por Im(ƒ).
Função real de variável real
Uma função ƒ, de A em B, diz-se função real
de variável real se A ⊂ |R e B ⊂ |R. 
Correspondência entre um número real e
um ponto da circunferência trigonométrica 
Consideremos a circunferência trigonométrica
dada abaixo. Já sabemos que, dado um núme-
ro real x, existe sempre um arco orientado ,
cuja medida algébrica é x radianos. 
Portanto é claro que, dado x, fica determinado
um único ponto P da circunferência trigonomé-
trica, extremidade do arco .
Temos, então, definida a seguinte correspon-
dência:
A todo número real x está associado um único
ponto P da circunferência trigonométrica.
9.3 Função seno
Na circunferência trigonométrica dada abaixo,
seja P o ponto associado a um número real x;
P1 é a projeção ortogonal de P em Oy. Sabe-
mos que a ordenada OP1 do ponto P é o seno
do arco de medida algébrica x, cuja extremi-dade é P.
Escrevemos, então, que:
A ordenada OP1 do ponto P denomina-se seno
do número real x.
Deve ser observado que ao número real x
associamos o ponto P, extremidade de um arco
; por sua vez, ao arco está associado
um único número real OP1, que é o seno de ;
assim, fica definida uma função ƒ de lR em lR
para a qual f(x) = sen x. que é denominada
função seno.
O domínio da função é lR.
Para todo x real –1 ≤ sen x ≤ 1, temos que:
Im (f) = [–1; 1]
Definição de função periódica
Uma função f, de domínio A ⊂ lR, diz-se perió-
dica se existe um real T, não nulo, tal que 
F (x + T) = f (x), ∀ x ∈ A
Período de uma função periódica f é o menor T
positivo que satisfaz a condição acima.
Gráfico da função seno
Comparando agora com a definição de função
periódica, temos T = 2kπ; o menor valor de T,
positivo, é obtido fazendo k = 1; temos, assim, o
período 2π da função seno. Pois, sen x = sen
=(x + 2π) = sen (x + 4π) = … = sen (x + 2kπ). 
A
52
UEA – Licenciatura em Matemática
Sendo assim, para a construção do gráfico de
f(x) = sen x, vamos considerar alguns valores
particulares para x no intervalo [0; 2π], já pre-
viamente sabendo que a “figura” obtida nesse
trecho será repetida à esquerda de 0 e à direi-
ta de 2π. 
Tabela:
Devemos observar que:
• A função seno é crescente no intervalo 
e decrescente no intervalo ,
voltando a ser crescente no intervalo 
. 
• O sinal da função é positivo nos 1.o e 2.o
quadrantes e negativo nos 3.o e 4.o qua-
drantes.
• Também podemos dizer que é uma função
ímpar, pois sen(–x) = –sen x para todo x real.
Exemplos:
1. Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e o
período da função ƒ(x) = 2sen x. 
Solução:
Tabela
O domínio é D(ƒ) = lR
A imagem é Im(ƒ) = [–2, 2]
O período é 2πrad.
2. Construa o gráfico e determine o domínio, a 
imagem e o período da função .
Solução:
Tabela
D(ƒ) = lR
Im(ƒ) = [–1, 1]
O período é 4πrad.
3. Determinar os valores reais de m de modo que
exista a igualdade sen x = 5m – 1.
Solução:
sen x 
0 0 0
π 1
π 2π 0
3π –1
2π 4π 0
x rad sen x y = 2 sen x
0 0 0
1 2
π 1 0
–1 –2
2π 0 0
53
Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades
Sabemos que –1 ≤ sen x ≤ 1. Logo, –1 ≤ 5m –1
≤ 1. Somando 1 a cada membro dessa dupla
desigualdade, temos:
– 1 +1 ≤ 5m – 1 + 1 ≤ 1 + 1
ou seja:
0 ≤ 5m ≤ 2
Dividindo os membros dessa última desigual-
dade por 5, obtemos .
Portanto a desigualdade sen x = 5m – 1 só 
existe m ∈ lR e
Observamos que pode haver mudança no pe-
ríodo. Essa mudança ocorre quando multipli-
camos o arco por uma constante (não-nula e
diferente de 1).
De modo geral, temos que o período da função 
y = sen kx é dado por .
Exemplos:
a) temos .
Logo, o período é .
b) y = sen (–2x) temos k = –2. 
Logo, o período é
1. Lembrando que a função seno é uma função
ímpar, verifique quais das sentenças abaixo
são verdadeiras:
a) sen (–30º) = –sen 30º
b) –sen (–45º) = sen 45º
c) sen (–60º) = sen 60º
d)
2. Dê o domínio, a imagem, o período, e construa
o gráfico das funções:
a) y = 3 . sen x
b) y = –2 + sen x
3. Dê o domínio e a imagem das funções:
a)
b) y = sen(–3 x)
4. Dê o período das seguintes funções:
a) y = sen(7x)
b)
c)
5. Na função f(x) = sen(k . x), determine k de
modo que o período da função seja:
a)
b)
6. Construa o gráfico das funções:
a) b) f(x) = sen(–x)
9.4 História
A idéia da função corda, precursora da nossa
função seno, foi trabalhada com bastante in-
tensidade durante muitos séculos anteriores a
Ptolomeu. No seu Almagesto, obra composta
de 13 livros, em que são estudados os movi-
mentos dos planetas, aparece uma tábua da
função corda, desde 0,5 grau até 180 graus, de
meio em meio grau. 
A função corda relacionava um arco de circun-
ferência com a corda respectiva. Com a natural
evolução do pensamento matemático, quando
alguém pensou em utilizar uma tábua relacio-
nando a metade da corda de um arco duplo,
estava inventada a nossa função seno, que em
latim era designada sinus. Há registros de que,
por volta do século V de nossa era, o matemá-
tico hindu Aryabhata já calculava essas semi-
cordas. 
54
UEA – Licenciatura em Matemática
O termo co-sinus foi utilizado pela primeira vez
no século XVII, por Edmund Gunter, para in-
dicar o seno do complemento, combinando as
palavras “complemento” e “sinus”, que em
português ficou co-seno. 
Idéias equivalentes às nossas conhecidas fun-
ções tangente e co-tangente apareceram há
mais de três milênios, tanto em cálculos relati-
vos à construção de pirâmides, como em cál-
culos envolvendo relógios de sol. Esses reló-
gios mostravam a relação entre as horas do dia
com o comprimento da sombra de uma vara,
chamada gnômon. 
No caso de a vara ser vertical, a sombra era
projetada no chão, e no caso de ser horizontal,
a sombra era projetada numa parede. Veja isso
nas figuras seguintes.
55
Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades
TEMA 10
FUNÇÃO COSSENO
Na circunferência trigonométrica dada abaixo,
seja P o ponto associado a um número real x;
P2 é a projeção ortogonal de P em Ox. Sabe-
mos que a abscissa OP2 do ponto P é o co-
seno do arco de medida algébrica x, cuja ex-
tremidade é o ponto P.
Escrevemos, então, que
A abscissa OP2 do ponto P denomina-se co-
seno do número real x.
Fica, assim, estabelecido que ao número real x
associamos um único número real OP2, que é
o co-seno de x; está, então, definida uma fun-
ção f de lR em lR, denominada função co-
seno, para a qual:
f(x) = cos x. que é denominada função co-
seno.
O domínio da função é lR. 
Para todo x real –1 ≤ cos x ≤ 1, temos que:
Im (f) = [–1; 1]
Gráfico da função co-seno.
O menor valor de T, positivo, é obtido fazendo
k = 1; temos, assim, o período 2π da função
co-seno. Pois, cos x = cos (x + 2π) = cos (x +
4π) = … = cos (x + 2kπ). 
A exemplo do que fizemos para a função seno,
vamos construir o gráfico de f (x) = cos x no
intervalo [0; 2π] e “completá-lo em seguida”.
Temos, assim: 
Observe que:
A função cosseno é decrescente no intervalo
[0; π] e crescente no intervalo [π; 2π].
O sinal da função é positivo nos 1.o e 4.o qua-
drantes e negativo nos 2.o e 3.o quadrantes.
É uma função par, pois cos (–x) = cos x para
todo x real.
Exemplos:
1. Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e o
período da função ƒ(x) = 2 cos x. 
Solução:
Tabela
x rad cos x y = 2cos x
0 1 –2
0 –3
π 1 –4
0 –3
2π 1 –2
56
UEA – Licenciatura em Matemática
O domínio é D(ƒ) = lR
A imagem é Im(ƒ) = [–2, 2]
O período é 2πrad.
2. Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e o
período da função ƒ(x) = –3 + cox x. 
Solução:
Tabela
O domínio é D(ƒ) = lR 
A imagem é Im (ƒ) = [–2, 2]
O período é 2πrad.
O valor do período é calculado da mesma for-
ma que foi feita para a função seno, ou seja 
dividindo-se 2πrad por |k|, ou seja, .
Exemplos:
1.
, 
, portanto o período é: 
rad
2. ƒ(x) = cos(–2x), k = 2, portanto o período é: 
rad
1. Lembrando que a função seno é uma função
ímpar, verifique quais das sentenças abaixo são
verdadeiras:
a) cos(–30º) = –cos 30º
b) –cos(–45º) = cos 45º
c) cos(–60º) = cos 60º
d)
2. Dê o domínio, a imagem, o período e o gráfico
da função:
a) y = 3 . cos x b) ƒ(x) = –2 – cos x
3. Dê o período das funções:
a) y = 8 cos x
b) ƒ(x) = cos x(–5x)
c)
d)
01. (PUC–MG) Considere a função f: lR → lR defi-
nida por ƒ(x) = 1 + cos x. O conjunto imagem
dessa função é o intervalo:
a) [–3, 4] b) [–3, 5]
c) [3, 4] d) [3, 5]
e) n.d.a.
02. (Vunesp–SP) Se x é a medida de um ângulo
em radianos e , então:
a) cos x > 0 b) cos 2x < 0
c) tg x > 0 d) sen x < 0
e) sen 2x