Lista de exercícios Prova 1

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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Avaliação I - Limites e Continuidade com ênfase em representação gráfica de 
funções. 
 
As atividades a seguir estão apresentadas por tema de estudo. Para aprofundamento dos estudos, consulte as 
referências a seguir: 
ANTON, H.; et al. Cálculo. 8. ed Porto Alegre: Bookman, 2007. 
FLEMMING, D. M.; et al. Cálculo A: Funções, Limites, Derivação e Integração. 6º ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil Editora Ltda, 2007). 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo em Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1984. Volume I e II. 
STEWART, James. Cálculo. 5.ed. São Paulo: Thomson Learning, 2006. 
Site de Cálculo www.ead.unesc.net/sites/calculo 
 
Bons Estudos! 
 
 
LISTA 1 
 
 Noção intuitiva. 
 Limites e Funções: Limites laterais; Conceito; Continuidade e Descontinuidade. 
 Limites e Funções: Teoremas, Propriedades Operatórias e limites de funções compostas. 
 
Atividade 1: Para cada função a seguir, projete-as no plano cartesiano, analise e determine os 
limites, caso existam: 
(a) 






02
03
)(
2
xsex
xsex
xf 
)(lim
0
xf
x 
;
)(lim
0
xf
x 
;
)x(flim
0x
 ; 
)(lim
1
xf
x
; 
)(lim
2
xf
x 
. 
(b) 
4
43
)(
2



x
xx
xf 
)(lim
4
xf
x 
;
)(lim
4
xf
x 
;
)x(flim
4x
 ; 
)(lim
1
xf
x
; 
)(lim
2
xf
x 
. 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
Atividade 2: Considere a função, representada no gráfico. Encontre, intuitivamente, se 
existir: 
a) 
2x
lim
f(x) 
c)
x
lim
f(x) 
e) 
1x
lim

f(x) 
 
b) 
2x
lim
f(x) 
d) 
x
lim
f(x) 
 
 
 
Atividade 3: Use o gráfico para encontrar o limite. Se o limite não existir, explique por quê. 
a) b) 
| |
 
 c) 
 
 
 
 
 
Atividade 4: Uma indústria de produção queima carvão para gerar eletricidade. O custo C em reais para 
remover p% dos poluentes do ar nas emissões das chaminés é: C = 
 
 
, 0 p 100. 
a) Encontre o limite do custo quando p 20. 
b) Encontre o limite do custo quando p 60. 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Atividade 5: Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado: 
(a) 







14
13
)(
xse
xsex
xf para a=1
 
(b) 











20
25
21
)(
2
xse
xsex
xsex
xf
para a=2
 
 
Atividade 6: Encontre o valor de m para que f(x)=






264
222
xsexm
xsexx seja contínua em x = 2. 
 
Atividade 7: Para qual valor de a, a função f(x) é contínua em x = 3. 
f(x) {
 
 
 
 
 
Atividade 8: Calcule os valores das constantes a e b, de modo que a função f(x) seja contínua de 
(- , + ) e represente no gráfico a referida função. 
f(x) = {
 
 
 
 
 
 
Atividade 9: Calcule o valor da constante k, de modo que a função f(x) seja contínua de (- , + ) e 
represente no gráfico a referida função. 
f(x) = {
 
 
 
 
Atividade 10: Dada a função , diga se f(x) é continua nos pontos: 
a) x = -5 b) x = -1 c) x = 0 
 
 
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UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
4 
 
 
 
 
 
Atividade 11: Seja a função , f(x) é continua em x=1? 
 
Atividade 12: Com base na análise das funções, encontre os limites a seguir: 
(a) 
3lim
0x
 (b) 
)2(lim
1

x
 
(c) 
3
2
lim x
x
 
(c) 
x
x
coslim
)
4
(


 (e) 
tgx
x )
4
(
lim


 
(f) 
)seccos(cotlim
)
2
(
xgx
x



 
(g) 
 x)(loglim
1x
 
(h) 
)]14([loglim 3
2


x
x
 (i) 
2
3
lim
)3( 

 x
x
x
 
(j) 
)23(lim 4
0


x
x
 (k) 
)23(lim 4
16


x
x
 
(l) 
)
 3x
32
(lim
6 


x
x
 
 
Atividade 13: Qual o limite da função f, sabendo que: 
(a) 
 
1]5)([lim
0


xf
x
 
(b) 
3]32).([lim
3


xxf
x
 
(c) 
1)
 195x
)(
(lim
6


xf
x
 
 
Atividade 14: Dada a função f, definida por f(x) = , calcule b para que exista . 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
5 
 
 
 
 
 
Atividade 15: Calcule os limites das funções a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
1
.20
3
1
.19
82
3
.18
82
3
.17
36
6
.16
36
6
.15
43
2
.14
3
2
.13
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
3
3
2
4
2
4
2
6
2
6
2
2
2



























x
x
xx
x
xx
x
y
y
y
y
x
xx
x
xx
x
x
x
x
y
y
x
x








.20
.19
.18
.17
.16
.15
2
2
.14
3
122
.13
23.12
11.11
2/9.10
1.9
5.8
2.7
4/5.6
5/6.5
4096.4
27.3
6.2
9.1
:
3 2
3
RESPOSTAS
 
 
 
    
    
  3/2
7
3
4
2/1
2
2
2
2
2
1
2
2
10
0
13
1
2/1
45
1
23.12
32.11
2
4
.10
2
65
.9
2
65
.8
1
1
.7
2
3
.6
13
4
.5
4.2.4
2.4.3
72.2
26.1
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim






























x
x
s
s
t
tt
t
tt
x
x
t
t
x
x
xx
xx
x
xx
x
x
s
t
t
x
t
x
x
x
x
x
Fonte: FLEMMING, D. M.; et al. Cálculo A: Funções, Limites, Derivação e Integração. 5º ed. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1992). 
 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
6 
 
 
 
 
 
Respostas das Atividades da Lista 1 ( 1 ao 14): 
1a) 0, 3, Não existe, 2, -1; 
1b) 5, 5, 5, 2, -1; 
Representação gráfica 
1 a) 
 
b) 
 
 
 
2. a) 0; b) 0; c) +; d) -; e) 1 3. a) 1. b) . c) . 4. a) custo de R$ 20000. b) custo de R$ 120000. 
5. (a) contínua; (b)descontínua; 6. m = 4. 7. a = 
 
 
. 8. a = -1 e b = 1. 9. k = 5. 
10. a) é contínua b)não é contínua c) é contínua 11. não é contínua. 
12. a) 3; b) -2; c) 8; d) 
2
2 ; e) 1; f)1; g) 0; h) 2; i) 6; j) 2; k) 22 ; l) 1. 
13. a) -4; b) 1; c) 7. 14. B=1 
 
PARA SABER MAIS: Consulte as fontes: 
KUHLKAMP, Nilo. Cálculo 1. Fpolis/SC, Ed.UFSC, 2006, p.145-150; 
Site de Cálculo www.ead.unesc.net/sites/calculo 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
7 
 
 
 
 
 
LISTA 2 
 
 Limites e Funções: Estudo das Determinações e Indeterminações. 
 
 1º caso: A função existe, isto é, está definida no valor x em estudo. 
Atividade 1: Calcule os limites da funções compostas 
(a) 
)473(lim 2
1


xx
x
 
(b)
)
5
3612
(lim
2
6 

 x
xx
x
 
(c)
 
)103log(lim 4
3


xx
x
 (d)
 
)235(lim 2
2


xx
x
 
(e) 
)
2
3
(lim
2
4 

 x
xx
x
 (f) )
3
3
(lim
2
3 

 x
x
x
 
(g)
 
)](.[coslim 



xsenx
x
 
(h)
 
senx
x
e
)(
lim

 
 
2º caso: O numerador e o denominador tendem a zero. 
Atividade 2: Encontre os limites das funções quociente, efetuando se necessário, o 
levantamento de indeterminação. 
(a) 
)
2
145
(lim
2
2 

 x
xx
x
 (b)
 )3
96
(lim
2
3 

 x
xx
x
 
(c)
 
)
2
62
(lim
2
2 

 x
xx
x
 
(d)
 
)
12
24235
(lim
2
23
3 

 xx
xxx
x
 
(e)
 
)
1
16365
(lim
23
1 

 x
xxx
x
 
(f) 
)
2
43
(lim
24
2 

 x
xx
x
 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
8 
 
 
 
 
 
(g)
 
)
86
1217132
(lim
2
23
4 

 xx
xxx
x
 (h)
 
)
2
55
(lim
2
235
4 

 xx
xxx
x
 
(i)
 
h
aha
h
22
0
)(
lim


 
(j)
 h
aha
h
33
0
)(
lim


 (k)
 1
1
lim
4
1 

 t
t
t
 (l)
 1
1
lim
5
1 

 t
t
t
 
(m)
 x
x
x
416
lim
0


 (n)
 27
3
lim
3
27 

 x
x
x
 (o)
 3
9
lim
2
9 

 x
xx
x
 
(p)
 1
1
lim
3
1 

 x
x
x
 
(q)
 1
1
lim
6
3 3
1 

 x
x
x
 (r)
 32
2
lim
5
32 

 x
x
x
 
(s)
 5
2)3(2
lim
5 

 x
x
x
 (t)
 
)0(,lim
20


a
haa
h
h
 
(u)
 
)0(,lim
0



a
h
aha
h
 (v)
 x
axa
x
33
0
lim


 
Respostas das Atividades da Lista 2: 
1) a) 6; b) 0; c) 2; d) 
72
; e) 
2
7 ; f) 
)33(2 
; g) 0; h) 1. 
2) a) 9; b) 0; c) -7; d) -3; e) -64; f) 20; g) 9/2; h) 295/6 ou 41,167; i) 2a; j) 3a2; k) 4; l) 5; 
m) -1/8; n) 1/27; o) 54; p) 2/3; q) 6; r) 1/80; s) ½; t) -2a; u) 
a2
1 ; v)
 3 22
1
a
. 
PARA SABER MAIS: Consulte as fontes: 
KUHLKAMP, Nilo. Cálculo 1. Fpolis/SC, Ed.UFSC, 2006, p.145-150; 
Site de Cálculo www.ead.unesc.net/sites/calculo 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
9 
 
 
 
 
 
LISTA 3 
 
 Limites Infinitos e Limites no Infinito. 
1º caso) Limites de funções monômio com x  ou x  . 
Atividade 1: Encontre os limites das funções para x tendendo ao infinito. 
(a) 
8
)(
7lim x
x 
 (b)
 
6
)(
lim x
x


 
(c)
 
8
)(
7lim x
x 
 
(d)
 
6
)(
lim x
x


 
(e)
 
5
)(
lim x
x


 (f)
 
5
)(
lim x
x 
 
(g)
 
3
)(
lim x
x


 
(h)
 
7
)(
lim x
x 
 
 
2º caso) Limites de funções racionais: o numerador é um número real e o 
denominador tende a infinito ou a zero. 
Ativida
de 2: 
Encontr
e os 
limites 
no 
infinito. 
 
Atividade 3: Encontre os limites infinitos. 
(a) 
40
4
lim
xx 
 (b)
 40
4
lim
xx 
 (c)
 30
100
lim
xx 
 
(d)
 30
100
lim
xx 
 (e)
 30
100
lim
xx
 (f) 
40
8
lim
xx


 
(a) 
4
4
lim
xx 
 (b)
 4
4
lim
xx 
 (c)
 3
100
lim
xx 
 
(d)
 3
100
lim
xx 
 (e)
 3
100
lim
xx 
 (f) 
5
4
lim
xx


 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
10 
 
 
 
 
 
3º caso) Limites de funções racionais: o numerador se aproxima de um número 
não-nulo e o denominador tende a zero. 
Atividade 4: Calcule os limites. 
(a)
 2
1
lim
)2(  xx
 (b)
 2
1
lim
)2(  xx
 (c)
 
)
16
44
(lim
2)4( x
x
x 


 
(d)
 
)
16
44
(lim
2)4( x
x
x 


 
(e)
 
)
96
4
(lim
2
2
)3( 

 xx
x
x
 (f)
 
)
1
3
(lim
2
)1( 

 x
xx
x
 
 
4º caso) Limites de funções polinomiais simples com x  ou x  . 
Atividade 5: Calcule os limites. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
xxx
x


23 54lim
 (b)
 xxxx 73lim
45 

 
(c)
 
xx
x
4lim 8 

 (d)
 
972 24235lim xxx
x


 
(e)
 
1217132lim 23 

xxx
x
 (f) 
43lim 24 

xx
x
 
(g)
 
)186(lim 35 

xxx
x
 (h)
 
65)3(lim xx
x


 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
11 
 
 
 
 
 
5º caso) O numerador e o denominador tendem a ou . 
Atividade 6: Calcule os limites. 
(a) 
)
7
54
(lim
24
23
xx
xxx
x 


 (b)
 )2086
73
(lim
45
45


 xx
xxx
x
 
(c)
 
)
2
62
(lim
2


 x
xx
x
 (d)
 
)
12
24235
(lim
2
23


 xx
xxx
x
 
(e)
 
)
1
16365
(lim
23


 x
xxx
x
 (f) 
)
23
43
(lim
4
24


 x
xx
x
 
Atividade 7: Encontre o valor numérico de k para que 
4
38
33
 lim
62
26



 kxx
xx
x 
Atividade 8: Dada a função 
  1)3()2( 35  xxxxf
, calcule: 
a) 
  lim 
x
xf

 b) 
  lim 
x
xf

 c) 
  lim 
0x
xf

 d) 
  lim 
1x
xf

 
Respostas das Atividades da Lista 3: 
1 a)
 

; b)
 

; c) 

; d)
 

; e) 

; f) 

; g)
 

; h)
 

. 
2 a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e) 0; f) 0. Dica: 
0)(lim 
 nx x
k
 
3 a) 

; b)
 

; c) 

; d)
 

; e) não existe; f)

 
4 a) 

; b) 

; c) 

; d) 

; e) Não existe porque os limites laterais são diferente; f)
 

 
 5 a) 

; b) 

; c) 

; d) 

; e) Não existe. Note que o limite de f quando x  

é diferente do 
limite de f quando x 

 ; f)
 

; g) 

; h) 

. 
6 a) 0; b) 
2
1
; c) 

; d) 

; e) 

;f) 
3
1
 7) k = 
4
3
 
8a) 

; b) 

; c) -1; d) 
322 
. 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções12 
 
 
 
 
 
 
LISTA 4 
 
 Limite de Função Exponencial e Função Logarítmica. 
 Limite Exponencial Fundamental - Número de Euler. 
 Limite Trigonométrico Fundamental 
 
Atividade 1. Calcule os limites das funções exponenciais: 
a) 
x
x
2lim
2
 
b) x
x






 2
1
lim
1
 
c) 
x
x
2lim

 
d) x
x






 4
3
lim
 
e) 
15lim 

x
x
 
Atividade 2. Calcule os limites das funções logarítmicas: 
a) 
)(loglim
3
5
0
x
x 
 b) 
)(loglim
4
10
x
x 
 c) 
)(loglim 87
0
x
x 
 d) 
x
x
5loglim

 e) 
)(loglim
6
5 x
x 
 
Atividade 3. Encontre os limites das funções: 
a) x
x x
6
1
1lim 







 
b) x
x x
2
1
1
1lim 







 c) x
x x
3
4
1
1lim 







 
d) x
x x







 2
1
1lim
 
Atividade 4. Calcule os limites das funções: 
a) 
 x
x
x
1
0
1 lim 

 b) x
x x








 3
1
1lim
 c) x
x x
x





 

8
lim
 d) x
x x
lim 







3
1
 
Atividade 5. Determine x
x x
k








1lim
. 
Atividade 6. Determine os limites trigonométricos fundamentais: 
a) 
x
xsen
lim
x 2
3
0
 b) 
x
xsen
x
3
lim
0
 c) 
xsen
xsen
lim
x 3
2
0
 d) 
x
senx
x 2
lim
0
 e) 
xsen
xsen
x 3 
lim
0


 
f) 
xsen
x
lim
x 0
 g) 
x
xtg
x
5 
lim
0
 h) 


 

 x
sensenx
x
 lim
 i) 
)sec(.
)(
lim
0 xx
xtg
x
 
j) 
)(cos).sec(. xlim
0
xecx
x
 
 
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UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo I 
CONTEÚDO: Limite de Funções 
 
 
13 
 
 
 
 
 
Atividade 7. Mostre que 
e
x
x  

 )
1
1(lim 2
x
 
Atividade 8. Calcule os limites, quando necessário use o limite fundamental trigonométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 
 
Atividade 9. Calcule os limites, quando necessário use o limite fundamental exponencial. 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
Atividade 10. Encontre o limite das funções a seguir: 
(a) 
]
1x
1x2x
[lim
2
1x 


 (b) 








 x2x
2x
lim
22x
 
(c) 








 5
5
lim
5 x
x
x
 
(d) 










 5x3x2
x2x7
lim
7
4
)(x
 
(e) 










 3x
3x2
lim
2
3x
 (e) 
x3sen
x5sen
lim
0x
 
(f) 
2
2
lim
0 

 x
x x
x
 
(g) 
2
x5sen
lim
0x
 
(h) 
xloglim 3
0x
 
(i) x
x x
4
1
1lim 







 
(j) 
)(loglim 3
3
x
x
 (k) 
)(loglim 2 x
x 
 
(l) 










 4x4x
2x3x
lim
2
2
2x
 (m) 
x
x5sen
lim
0x
 
(n) 










 2x
4x
lim
2x
 
 
 
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DISCIPLINA: Cálculo I 
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14 
 
 
 
 
 
Dicas/Respostas: Relações trigonométricas: sen²x + cos²x= 1; sec²x= 1+ tg²x; cossec²x= 1+cotg²x; 
)
2
cos().
2
(2)()(
axax
senasenxsen


; 
2
245cos45
4
00  sensen
 . 
Respostas das Atividades da Lista 4: 
1 a) 4; b) 2; c) 0; d) 0; e) +; 2 a) -; b) +; c) -; d) +; e) -; 
3 a) e6; b) e1/2; c) e4/3; d) e1/2 4 a) e; b) e; c) e8; d) e-3; 
5 ek; 6 a) 3/2; b) 3; c) 2/3; d) ½; e) /3; f) 1; g) 5; h) -1; i)1; j)1; 
7 e; 8. a) 2. b) 
 
 
. c) 2. d) 
 
 
. 9. a) 
 
 . b) 
 
 . c) . 
10. a) 0; b) ½; c) 
)52(
 ;d) 0; e) não existe; f) 5/3; g) 
2
2 ; h)0 ; i) não existe; j) e
4; k) 1; l) 

; 
m) não existe; n) não existe. 
 
Representações gráficas 
6h 9) 
 
10) 
 
11)